More Related Content Similar to ตรรกศาสตร์ (14) ตรรกศาสตร์1. เอกสารประกอบการเรียน ชั้น ม.4 วิชา ค 31201
เรื่องตรรกศาสตร์เบื้องต้น
1. ประพจน์
1.1 ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง นักเรียนสามารถ
1) บอกข้อความที่เป็นประพจน์ได้เมื่อกาหนดข้อความให้
2) หาค่าความจริงของประพจน์ที่กาหนดให้ได้
1.2 เนื้อหา
ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง หรือเป็นเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่งเพียง
อย่างเดียวเท่านั้น ใช้ “T” แทน ค่าความจริงเป็น “จริง” “F” แทน ค่าความจริงเป็น “เท็จ”
ข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ เช่น ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่ไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ
ประโยคคาถาม คาสั่ง คาขอร้อง คาอุทาน ความปรารถนา เป็นต้น
แบบฝึกทักษะชุดที่ 1
(1) ข้อความต่อไปนี้ ข้อใดเป็นประพจน์ เพราะเหตุใด
1. 5 มากกว่า 2 อยู่เท่าไร ไม่เป็น เพราะเป็นประโยคคาถาม
2. –1 มากกว่า 0 เป็น เพราะเป็นประโยคบอกเล่า มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3. 0 เป็นจานวนคู่ 4. มีมนุษย์อยู่บนดวงจันทร์
5. จานวนตรรกยะทุกตัวเป็นจานวนเต็ม 6. ทาดีได้ดี ทาชั่วได้ชั่ว
7. โปรดช่วยกันประหยัดไฟฟ้า 8. x y2 2
= 1 มีกราฟเป็นวงกลมหนึ่งหน่วย
9. x + 3 10 10. (3 , 4)
11. {–1 , 1} (–1 , 1) = 12. กรุณาอย่าส่งเสียงดัง
13. กราฟของสมการ x + y = 0 เป็นเส้นตรง 14. เขาเป็นคนไทย
15. ไตรรงค์เป็นชื่อของธงชาติไทย 16. จงอยู่ในความสงบ
17. โปรดช่วยกันอนุรักษ์ธรรมชาติ 18. มีจานวนนับที่น้อยกว่า 1
19. ออกไปให้พ้นจากห้องนี้ 20. 23 เป็นจานวนเฉพาะ
21. จงหาเซตคาตอบของสมการ x2
+ 4x – 5 = 0
22. เส้นตรงที่ตั้งฉากกันมีความชันเท่ากัน
23. อยากไปเที่ยวเกาะสมุยเหลือเกิน
24. ขอให้เจ้าภาพจงเจริญ
25. รักวัวให้ผูก รักลูกให้ตี
(2) ให้นักเรียนยกตัวอย่างข้อความที่เป็นประพจน์ และไม่เป็นประพจน์ มาอย่างละ 3 ข้อความ
2. ตรรกศาสตร์ หน้า 2
2. การเชื่อมประพจน์
2.1 ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง นักเรียนสามารถเขียนสัญลักษณ์แทนประพจน์ที่ได้จากการเชื่อมประพจน์และเขียน
บรรยายเป็นข้อความได้ถูกต้อง
2.2 เนื้อหา
เราสามารถสร้างประพจน์ใหม่ได้จากการนาประพจน์สองประพจน์มาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม “และ” , “หรือ” ,
“ถ้า...แล้ว...” , “…ก็ต่อเมื่อ…” หรือหานิเสธของประพจน์เดิมที่กาหนดให้ ตัวเชื่อมทั้ง 5 ตัวเชื่อม มีสัญลักษณ์ดังต่อไปนี้
1. ตัวเชื่อม “และ” ใช้สัญลักษณ์ “” 2. ตัวเชื่อม “หรือ” ใช้สัญลักษณ์ “”
3. ตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” ใช้สัญลักษณ์ “” 4. ตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” ใช้สัญลักษณ์ “”
5. ตัวเชื่อม “ไม่” หรือ “นิเสธ” ใช้สัญลักษณ์ “”
แบบฝึกทักษะชุดที่ 2
1. จงเขียนข้อความแทนประโยคสัญลักษณ์ต่อไปนี้ เมื่อกาหนดให้
p แทนประพจน์ “2 เป็นจานวนตรรกยะ” q แทนประพจน์ “2 เป็นจานวนเต็ม”
(1) pq ............................................................................................................
(2) pq ............................................................................................................
(3) pq ............................................................................................................
(4) pq ............................................................................................................
(5) pq ............................................................................................................
2. กาหนดให้ p แทนประพจน์ “3 เป็นจานวนคู่” q แทนประพจน์ “2 เป็นจานวนเฉพาะ”
r แทนประพจน์ “2 หาร 5 ลงตัว” s แทนประพจน์ “5 เป็นจานวนเต็ม”
จงเขียนข้อความต่อไปนี้ในรูปสัญลักษณ์
(1) 3 เป็นจานวนคู่หรือ 3 ไม่เป็นจานวนคู่ ......…....................................................
(2) 2 เป็นจานวนเฉพาะที่หาร 5 ไม่ลงตัว ...….......................................................
(3) ถ้า 3 เป็นจานวนคู่แล้ว 5 ไม่เป็นจานวนเต็ม …..........................................................
(4) ถ้า 3 เป็นจานวนคู่และ 2 หาร 5 ลงตัวแล้ว 5 เป็นจานวนเต็ม.........………...................…….
(5) 2 เป็นจานวนเฉพาะหรือ 2 หาร 5 ลงตัวก็ต่อเมื่อ 3 เป็นจานวนคู่และ 5 เป็นจานวนเต็ม ...............................
3. จงเขียนนิเสธของประพจน์ต่อไปนี้
(1) กรุงเทพฯ เป็นเมืองหลวงของไทย ……….....................………........................................
(2) {5} {2 , 3 , {5}} .......................................................................................
(3) 2 เป็นจานวนอตรรกยะ …...................................................................................
(4) นพหทัยชอบดื่มนม …...................................................................................
(5) กระต่ายไม่ชอบเรียนคณิตศาสตร์ .........………........................……...................................
(6) ถ้า 2 > 3 แล้ว 2 – 3
R ………………………………………………………….
(7) ก็ต่อเมื่อ = ………………………………………………………….
3. ตรรกศาสตร์ หน้า 3
3. การหาค่าความจริงของประพจน์
3.1 ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง นักเรียนสามารถหาค่าความจริงของประพจน์เมื่อกาหนดเงื่อนไขเพียงพอในรูปต่างๆได้
3.2 เนื้อหา
กาหนดให้ p และ q แทนประพจน์ใดๆ และให้ T แทนค่าความจริงเป็น “จริง” F แทนค่าความจริงเป็น “เท็จ”
การหาค่าความจริงของประพจน์ซึ่งได้จากการเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อมต่างๆ หาได้จากตารางค่าความจริงดังต่อไปนี้
1) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ” p และ q เขียนแทนด้วย pq
ในบางครั้งจะใช้คาว่า “แต่ , กับ , ที่” แทนความหมายของ “และ” มีค่าความจริงดังตาราง
p q pq เช่น
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
2 เป็นจานวนเฉพาะและจานวนคู่ (T)
2 เป็นจานวนเต็มแต่ 3 เป็นจานวนคู่ (F)
3 เป็นจานวนคู่และ 2 เป็นจานวนคู่ (F)
0 และ 4 เป็นจานวนคี่ (F)
2) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” p หรือ q เขียนแทนด้วย pq มีค่าความจริงดังตาราง
p q pq เช่น
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
4 0 หรือ 4 เป็นจานวนคู่ (T)
4 0 หรือ 4 เป็นจานวนเฉพาะ (T)
4 0 หรือ 4 เป็นจานวนคู่ (T)
4 0 หรือ 4 เป็นจานวนเฉพาะ (F)
3) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” ถ้า p แล้ว q เขียนแทนด้วย pq มีค่าความจริงดังตาราง
p q pq เช่น
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
ถ้า 2 เป็นจานวนคู่แล้ว 2+2 = 22
(T)
ถ้า 2 เป็นจานวนคู่แล้ว 3 เป็นจานวนคู่ (F)
ถ้า 2 เป็นจานวนคี่แล้ว 2 เป็นจานวนเฉพาะ (T)
ถ้า 2 เป็นจานวนคี่แล้ว 2 เป็นจานวนอตรรกยะ (T)
4) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” p ก็ต่อเมื่อ q เขียนแทนด้วย pq มีค่าความจริงดังตาราง
p q pq เช่น
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
2 เป็นจานวนคู่ก็ต่อเมื่อ 2 เป็นจานวนเฉพาะ (T)
2 เป็นจานวนคู่ก็ต่อเมื่อ 4 เป็นจานวนเฉพาะ (F)
3 เป็นจานวนคู่ก็ต่อเมื่อ 2 เป็นจานวนเฉพาะ (F)
3 เป็นจานวนคู่ก็ต่อเมื่อ 2 เป็นจานวนคี่ (T)
5) นิเสธของประพจน์ นิเสธของประพจน์ p เขียนแทนด้วย p มีค่าความจริงดังตาราง
p p เช่น
T
F
F
T
นิเสธของ 2 + 2 = 2
2 คือ 2 + 2 2
2
นิเสธของ – 2 0 คือ –2 0 หรือ –2 0
4. ตรรกศาสตร์ หน้า 4
แบบฝึกทักษะชุดที่ 3
1. จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
..............1) 1 กับ 2 เป็นจานวนเฉพาะ ..............2) 2 และ 6 เป็นสมาชิกของ {2 , 4}
..............3) เดือนกุมภาพันธ์มี 28 วัน หรือไม่ก็ 29 วัน ..............4) 5 6 หรือ 2 3
..............5) ถ้า 1 สัปดาห์มี 7 วัน แล้วเดือนกุมภาพันธ์มี 30 วัน ..............6) ถ้า 1 + 1 = 1 แล้ว 2 = 3
..............7) ถ้า เป็นเศษส่วน จะไม่ใช่จานวนเฉพาะ ..............8) 1 + 1 = 2 ก็ต่อเมื่อ 2 3
..............8) 5 เป็นจานวนเต็มแต่ไม่ใช่จานวนเฉพาะ ............10) 1 + 1 3 ก็ต่อเมื่อ 0 –2
............11) ถ้า 2 หาร 10 ลงตัวแล้ว 10 เป็นจานวนคู่
............12) 2 เป็นจานวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ 3 เป็นจานวนคู่หรือ 5 เป็นจานวนเต็ม
............13) ถ้า 2 เป็นจานวนคู่แล้ว 2 เป็นจานวนเฉพาะที่หาร 5 ลงตัว
............14) ถ้า 3 เป็นจานวนคี่แล ะ 4 เป็นจานวนคู่แล้ว 5 หรือ 6 เป็นจานวนเฉพาะ
............15) ไม่จริงที่ว่า เป็นจานวนตรรกยะก็ต่อเมื่อ 1 เป็นจานวนคี่และ –2 0
2. ถ้า p , q , r เป็นประพจน์ และ r มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
..............1) (pq)r ..............2) pr
..............3) (pq)r ..............4) r(pq)
..............5) (pr)(qr) ..............6) r(pr)
3. กาหนดให้ pq มีค่าความจริงเป็นจริง และ pr มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1) p 2) q 3) r 4) pq
5) pq 6) qr 7) rp 8) pr
4. กาหนดให้ pq มีค่าความจริงเป็นจริง qr มีค่าความจริงเป็นจริง และ rs มีค่าความจริงเป็นเท็จ
จงหาค่าความจริงของประพจน์
1) pq 2) pr 3) ps 4) qs
5) ps 6) qs 7) pr 8) rs
9) (pq)(rs) 10) (pr)(qs)
5. กาหนดค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบ จงหาค่าความจริงของประพจน์ย่อย
1) (pq)(rs) เป็นจริง จงหาค่าความจริงของ p q r s ………………………………
2) (pq)r เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ p q r ………………………………
3) (pq)(pr) เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ p q r ………………………………
4) (pq)(pr) เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ p q r ………………………………
5) (pq)(pr) เป็นจริง จงหาค่าความจริงของ p q r ………………………………
6) (pr)(qr) เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ p q r ………………………………
7) (pq)(rs) เป็นเท็จ และ ps เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ p q r s ………………
8) (pq)(rs) เป็นเท็จ และ rs เป็นจริง จงหาค่าความจริงของ p q r s …………….
5. ตรรกศาสตร์ หน้า 5
6. คนสามคนนั่งเรียงกัน คนชื่อกิ๊บพูดจริงเสมอ คนชื่อสองพูดเท็จเสมอ คนชื่อแม็กพูดจริงบ้างเท็จบ้าง
ถ้าถามคนนั่งซ้ายว่า “ใครนั่งถัดจากคุณ” คนนั้นตอบว่า “กิ๊บ”
ถ้าถามคนนั่งกลางว่า “คุณคือใคร” คนนั้นตอบว่า “แม็ก”
ถ้าถามคนนั่งขวาว่า “ใครนั่งข้างท่าน” คนนั้นตอบว่า “สอง”
อยากทราบว่าสองนั่งตรงไหน .............................................
7. อานาจ สมจิต และ มนัส ประกอบอาชีพต่างกัน ซึ่งคนใดจะเป็นแพทย์ ทนายความหรือสถาปนิก ยังไม่ทราบแน่ชัด
ทั้งสามคนนี้มีสานักงานอยู่คนละชั้นของอาคารหลังเดียวกันและต่างมีเลขานุการประจาตัวทุกคนชื่อ วารี ไฮด์ และ
พิมพ์ซึ่งยังไม่ทราบว่าใครเป็นเลขานุการของหนุ่มผู้ใด ถ้ามีข้อเท็จจริงดังนี้
1) ทนายความมีสานักงานอยู่ชั้นล่าง
2) แทนที่จะแต่งงานกับนายจ้าง ไฮด์กลับหมั้นกับมนัส และออกจากสานักงานไปรับประทานอาหารกลางวัน
กับคู่หมั้นทุกวัน
3) ตอนเที่ยงวารีขึ้นบันไดไปร่วมรับประทานอาหารกับเลขานุการของสมจิตเป็นประจา
4) เมื่อวันจันทร์ที่แล้วอานาจต้องวานให้เลขานุการของเขาลงมาขอยืมแสตมป์จากสานักงานของสถาปนิก
จงหาว่า ชายหนุ่มทั้งสามคนอยู่ชั้นไหน ประกอบอาชีพอะไร และมีเลขานุการชื่ออะไร
อาชีพ ชื่อชายหนุ่ม ชื่อเลขานุการ
ชั้น 3
ชั้น 2
ชั้น 1
8. วันดีเป็นคนพูดจริงเสมอ โสภาเป็นคนพูดเท็จเสมอ สมจิตเป็นคนพูดจริงบ้างเท็จบ้าง ถ้าได้ยินคนทั้งสามพูดกันดังนี้
วันดี : สมใจเป็นคนกรุงเทพฯ หรือสมพิศเป็นคนกรุงเทพฯ
โสภา : สมใจเป็นคนกรุงเทพฯ หรืออุษาเป็นคนกรุงเทพฯ
สมจิต : ถ้าสมใจเป็นคนกรุงเทพฯ แล้วมณฑาเป็นคนกรุงเทพฯด้วย
ใครเป็นคนกรุงเทพฯ .............................................................
4. การสร้างตารางค่าความจริง
4.1 ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง นักเรียนสามารถสร้างตารางหาค่าความจริงของประพจน์ที่ได้จากการนาประพจน์ย่อยมา
เชื่อมกัน
4.2 เนื้อหา
จงเติมตารางค่าความจริงในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้สมบูรณ์
p q p q pq qp pq qp p q q p
6. ตรรกศาสตร์ หน้า 6
pq qp (pq) pq (pq) pq (pq) pq
(pq)(qp) pq pq pq pq (pq) (p)
แบบฝึกทักษะชุดที่ 4
1. จงสร้างตารางค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ (ทาใส่กระดาษนะจ๊ะ)
1) (pq)(pq) 2) (pq)(pq)
3) (pq)p 4) (pq)((pq)
5) [(pq)p]q 6) (pq)(pq)
7) [(pq)r][p(qr)] 8) [(pq)(qr)](pr)
5. รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
5.1 ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง นักเรียนสามารถบอกได้ว่ารูปแบบของประพจน์สองประพจน์ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่
5.2 เนื้อหา
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ………………………….………
รูปแบบของประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบเป็นนิเสธของกันและกัน ก็ต่อเมื่อ ………………………..
แบบฝึกทักษะชุดที่ 5
1. จากแบบฝึกทักษะชุดที่ 4 ข้อ 1 รูปแบบของประพจน์คู่ใดบ้างที่สมมูลกัน
.........................................…………..........................................................................………………….......................
.........................................…………..........................................................................………………….......................
2. จงตรวจสอบดูว่า ข้อความ A และ B ในข้อต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่
1) A : ถ้าอ๋องดื่มนมแล้วอ๋องจะแข็งแรง
B : อ๋องไม่ดื่มนมหรืออ๋องแข็งแรง ……………………………………….
2) A : ไม่เป็นความจริงที่ว่า 2 หาร 2 และ 5 ลงตัว
B : 2 หาร 2 และ 5 ไม่ลงตัว ……………………………………….
3) A : ถ้าฝนตกแล้วน้าท่วมกรุงเทพฯ
B : ถ้าน้าไม่ท่วมกรุงเทพฯแล้วฝนไม่ตก ……………………………………….
4) A : ไม่เป็นความจริงที่ว่าศูนย์เป็นจานวนคู่หรือเป็นจานวนคี่
B : ศูนย์ไม่เป็นจานวนคู่และไม่เป็นจานวนคี่ ……………………………………….
7. ตรรกศาสตร์ หน้า 7
3. จงสร้างตารางค่าความจริงเพื่อตรวจสอบว่าประพจน์ในต่อไปนี้เป็นนิเสธกันหรือไม่
1) (pq)r กับ (pq)r 2) (pr)(qr) กับ (pq)r
4. จงหานิเสธของข้อความต่อไปนี้
1) ฝนตกหรือแดดออก ..................................................................................
2) ณวัชชอบอ่านหนังสือและร้องเพลง ..................................................................................
3) ถ้า 2 + 3 = 5 แล้ว 2
2 = 4 ..................................................................................
4) ถ้า p เป็นประพจน์แล้ว p มีค่าความจริงเป็นจริง………...……………...............................................
5) pq ..................................................................................
6) pq ..................................................................................
7) p(qr) ..................................................................................
8) (pq)r ..................................................................................
9) pq ..................................................................................
10) (pq)(pq) ..................................................................................
5. จงแสดงว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่ โดยไม่ต้องสร้างตารางค่าความจริง
1) (pq) กับ pq
3) p(qr) กับ (pq)(pr)
5) (pq)r กับ (pr)(qr)
2) (pq) กับ (qp)
4) (pq)r กับ p(qr)
6) (pq)r กับ (pr)(qr)
6. จงตรวจสอบดูว่าประพจน์คู่ใดเป็นนิเสธกัน โดยไม่ต้องสร้างตารางค่าความจริง
1) p(pq) กับ pq 2) p(qr) กับ (qr)p
3) (pq)q กับ pq
6. สัจนิรันดร์
6.1 ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง นักเรียนสามารถตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ด้วยวิธีต่างๆ ได้
6.2 เนื้อหา
สัจนิรันดร์ คือรูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
การตรวจสอบสัจนิรันดร์ มีวิธีตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ได้ดังต่อไปนี้
1) ตรวจสอบโดยใช้ตารางค่าความจริง เช่น (pq)(pq)
p q q pq pq (pq)(pq)
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
T
F
T
F
F
T
T
T
T
ประพจน์ (pq)(pq) เป็นสัจนิรันดร์
8. ตรรกศาสตร์ หน้า 8
2) ตรวจสอบโดยใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ที่สมมูลกันจะมีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี ดังนั้นถ้านาประพจน์ที่สมมูลกันมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม
“” จะทาให้ได้รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี จึงเป็นสัจนิรันดร์ เช่น
(pq)(pq) เป็นสัจนิรันดร์ เพราะว่า ประพจน์ (pq) สมมูลกับ (pq)
3) ตรวจสอบโดยหาข้อขัดแย้ง โดยให้รูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
– ถ้าเกิดกรณีขัดแย้ง แสดงว่ารูปแบบนั้นเป็นเท็จไม่ได้ นั่นคือ รูปแบบของประพจน์นั้นเป็นสัจนิรันดร์
– ถ้าไม่เกิดกรณีขัดแย้ง แสดงว่ารูปแบบของประพจน์เป็นเท็จได้ นั่นคือรูปแบบของประพจน์นั้นไม่เป็น
สัจนิรันดร์
3.1 รูปแบบ AB AB เป็นเท็จ เมื่อ A และ B เป็นเท็จทั้งคู่
1) ถ้า A เป็นเท็จ และ B มีโอกาสเป็นเท็จได้แล้ว AB ไม่เป็นสัจนิรันดร์
2) ถ้า A เป็นเท็จ และ B ไม่มีโอกาสเป็นเท็จแล้ว AB เป็นสัจนิรันดร์
เช่น [ p (q r)] [q (p r)]
F F F T F
T T T F เกิดข้อขัดแย้ง
F F ดังนั้น [ p(qr)][q(pr)] เป็นสัจนิรันดร์
3.2 รูปแบบ AB AB เป็นเท็จ เมื่อ A เป็นจริง และ B เป็นเท็จ
1) ถ้า A เป็นจริง และ B มีโอกาสเป็นเท็จแล้ว AB ไม่เป็นสัจนิรันดร์
2) ถ้า B เป็นเท็จ และ A มีโอกาสเป็นจริงแล้ว AB ไม่เป็นสัจนิรันดร์
3) ถ้า A เป็นจริง และ B ไม่มีโอกาสเป็นเท็จแล้ว AB เป็นสัจนิรันดร์
4) ถ้า B เป็นเท็จ และ A ไม่มีโอกาสเป็นจริงแล้ว AB เป็นสัจนิรันดร์
เช่น [(p q) p] q
T F F
T T เกิดข้อขัดแย้ง
F F ดังนั้น [(pq)p]q เป็นสัจนิรันดร์
3.3 รูปแบบ AB
AB เป็นเท็จ เมื่อ A เป็นจริง และ B เป็นเท็จ
หรือ A เป็นเท็จ และ B เป็นจริง
การตรวจสอบสัจนิรันดร์ในกรณีนี้ จะต้องพิจารณา 2 กรณี
เช่น (pq)(pq)
9. ตรรกศาสตร์ หน้า 9
แบบฝึกทักษะชุดที่ 6
1. จงสร้างตารางค่าความจริงเพื่อตรวจสอบว่า รูปแบบของประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
1) p (p r)
3) [p q) p] q
5) [(p q) r] [p (q r)]
2) (p q) p
4) (p q) (p q)
6) [p (q r)][( p q) r]
2. จงอาศัยการสมมูลของรูปแบบของประพจน์พิจารณาว่ารูปแบบของประพจน์ต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
ถ้าไม่เป็นสัจนิรันดร์ให้ยกตัวอย่างกรณีค่าความจริงของประพจน์ย่อยที่ทาให้รูปแบบนั้นไม่เป็นสัจนิรันดร์
1) (p q) (q p)
2) (p q) (q p)
3) (pq) (q p)
4) (pq) (q p)
5) (pq) (pq)
6) (pq) (pq)
7) (pq) (pq)
8) [p(qr)] [(p q)(p r)]
9) [(pq)r)] [(p r)(q r)]
10) [(pq)r)] [p(q r)]
3. จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยอาศัยข้อขัดแย้ง
1) (pq) (pq)
3) [p(pq)] q
5) (p q) (q p)
7) [p(qr)] [(pq) r]
9) (pq) (pq)
2) p (pq)
4) (pq) (pq)
6) (pq) (pq)
8) (pq) (pq)
11) (pq) (pq)
10. ตรรกศาสตร์ หน้า 10
7. ประโยคเปิด
7.1 ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง นักเรียนสามารถบอกได้ว่าประโยคที่กาหนดให้เป็นประโยคเปิดหรือไม่
7.2 เนื้อหา
บทนิยาม ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธ ที่ประกอบด้วยตัวแปร ทาให้ไม่เป็นประพจน์
และเมื่อแทนที่ตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วจะได้ประพจน์
ตัวอย่างเช่น กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจานวนจริง
1) 2x+3 = 5 เป็นประโยคเปิด
แทนค่า x = 4 จะได้ 2(4)+3 = 5 เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ
แทนค่า x = 1 จะได้ 2(1)+3 = 5 เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
2) 2x+3 ไม่เป็นประโยคเปิด เพราะเมื่อแทนค่าตัวแปรด้วยจานวนจริงใดๆแล้วไม่เป็นประพจน์
สัญลักษณ์แทนประโยคเปิดใดๆที่มี x เป็นตัวแปร เขียนแทนด้วย P(x)
แบบฝึกทักษะชุดที่ 7
ประโยคต่อไปนี้เป็นประโยคเปิดหรือประพจน์ หรือไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
1. เขาเป็นนักฟุตบอล .................……………...........
2. x + 3 = 3 + x .................……………...........
3. 1 = 5 .................……………...........
4. x มากกว่า 6 อยู่เท่าไร .................……………...........
5. 2
x > 0 .................……………...........
6. x {1 , 2 , 3} .................……………...........
7. (2 , 3) เป็นคาตอบของสมการ 2x + y = 5 .................……………...........
8. 2
x – 3x – 4 = (x – 4)(x + 1) .................……………...........
9. เขาเป็นนักวิทยาศาสตร์ใช่ไหม .................……………...........
10. x หาร 8 ลงตัว .................……………...........
11. x + y = y + x .................……………...........
12. 1x2x2
= 2
)1x( .................……………...........
13. เมื่อ x เป็นจานวนจริง x + 4 = 4 + x .................……………...........
14. 2x + 3 > 0 หรือ x < 0 .................……………...........
15. คนมีขาสองขา .................……………...........
16. ถ้า xy = 0 แล้ว x = 0 หรือ y = 0 .................……………...........
17. มีจานวนจริง x บางจานวนที่
x
0
= 0 .................……………...........
18. เขาเรียนเก่งจริงๆ .................……………...........
11. ตรรกศาสตร์ หน้า 11
8. ตัวบ่งปริมาณ
8.1 ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง นักเรียนสามารถใช้สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณและตัวเชื่อมของประพจน์เขียนประโยค
สัญลักษณ์แทนข้อความได้
8.2 เนื้อหา
เรียก “สาหรับ...ทุกตัว” และ “สาหรับ...บางตัว” ว่า ตัวบ่งปริมาณ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ และ
ตามลาดับ
x ใช้แทน สาหรับ x ทุกตัว
สาหรับ x แต่ละตัว
สาหรับ x ใดๆ
x ใช้แทน สาหรับ x บางตัว
มี x บางตัว
มี x อย่างน้อยหนึ่งตัว
ตัวอย่างการอ่านประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
1. x [ 2
x > x] อ่านว่า สาหรับ x ทุกตัว 2
x > x
2. x [x I x R] อ่านว่า สาหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจานวนเต็มแล้ว x เป็นจานวนจริง
3. x [x < 23] อ่านว่า มี x บางตัวซึ่ง x < 23
4. x [x I 2
x = x] อ่านว่า มี x บางตัวซึ่ง x เป็นจานวนเต็ม และ 2
x = x
5. x y [x+y = xy] อ่านว่า สาหรับ x ทุกตัว มี y บางตัวซึ่ง x+y = xy
6. x y [x+y = xy] อ่านว่า สาหรับ x ทุกตัวและสาหรับ y ทุกตัวซึ่ง x+y = xy
7. x x [x+y = xy] อ่านว่า มี x บางตัวซึ่งสาหรับ y ทุกตัวซึ่ง x+y = xy
8. x x [x+y = xy] อ่านว่า มี x บางตัวและมี y บางตัวซึ่ง x+y = xy
หมายเหตุ 1. ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณจะมีความหมายก็ต่อเมื่อมีส่วนประกอบ 3 ส่วน คือ ประโยคเปิด ตัวบ่งปริมาณ
และเอกภพสัมพัทธ์ เช่น
สาหรับ x ทุกตัว 2
x > 0 U = {–2,0,1}
สาหรับ x ทุกตัว 2
x > 0 U = {–1,1,–2,2,–3,3,...}
สาหรับ x ทุกตัว 2
x > 0 U = R
2. ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่เกี่ยวข้องกับเรื่องจานวน ถ้าไม่ได้กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ ให้ถือว่า
เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจานวนจริง
3. เอกภพสัมพัทธ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวบ่งปริมาณต้องไม่เป็นเซตว่าง
แบบฝึกทักษะชุดที่ 8
1. จงเขียนข้อความต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์เมื่อเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจานวนจริง
1) สาหรับ x ทุกตัว 2
x – 9 = (x – 3)(x + 3) ..................................................................................
2) สาหรับ x บางตัว x > 2
x ..................................................................................
3) สาหรับ x ทุกตัว 2
x > 0 ..................................................................................
4) สาหรับ x บางตัว ถ้า x 0 แล้ว 2
x > 0 ..................................................................................
12. ตรรกศาสตร์ หน้า 12
5) สาหรับ x ทุกตัว x = –x ก็ต่อเมื่อ x < 0 ..................................................................................
6) มี x และ y ซึ่ง 2
x = 2
y ..................................................................................
7) จานวนจริงทุกตัวเป็นจานวนเต็ม ..................................................................................
8) จานวนเต็มทุกตัวเป็นจานวนจริง ..................................................................................
9) สาหรับ x และ y ทุกตัว ถ้า x < 0 และ y < 0 แล้ว xy < 0 ……........................……............................
10) สาหรับ x ทุกตัวจะมี y บางตัว จะมี y ซึ่ง xy = y …............................……........................................
11) มี x และ y บางตัวซึ่ง x + y = xy ..................................................................................
12) มี x บางตัวสาหรับ y ทุกตัว ถ้า x > y แล้ว 2
x > 2
y …...................................…...............................
2. จงเขียนข้อความแทนประโยคสัญลักษณ์ต่อไปนี้
1) x [x > 0 x < 0] ...............................................................................................................
2) x [ 1
x
=
x
1
x 0] ………...............................................................................................
3) x [x + x = 2x] …...........................................................................................................
4) xy [x + y = y + x] ...............................................................................................................
5) xy [(x< y – y < x < y] ……........................................................................................
6) x [x > 2 2
x < 10] ................................................................................................................
7) x [x I x Q] ................................................................................................................
8) xy [x > y x > 0] …............................................................................................................
9) x [ 2
x = 25 x = 5] ….............................................................................................................
10) x [ 3
x < 27 x < 3] .................................................................................................................
11) x y [ 2
x = y + 5] .................................................................................................................
12) x [x I 2
x = 3] .................................................................................................................
13) x y [xy = yx] .................................................................................................................
14) x y [xy = yx] .................................................................................................................
15) x y [ 2
x – y = 2
y – x] ….............................................................................................................
9. ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ (ตัวแปรเดียว)
9.1 ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง นักเรียนสามารถบอกค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณได้
9.1 เนื้อหา
บทนิยาม
ประโยค x [P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ …………………………………………………………….
ประโยค x [P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ …………………………………………………………….
ประโยค x [P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ …………………………………………………………….
ประโยค x [P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ …………………………………………………………….
13. ตรรกศาสตร์ หน้า 13
ตัวอย่าง
1. x [x > 0] U = R มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะจานวนจริง x ทุกจานวน x > 0
2. x [x = x] U = R มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะมีจานวนจริง –2 ซึ่ง –2 –2
3. x [x = –x] U = R มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะมีจานวนจริง –2 ซึ่ง –2 = – (–2)
4. x [x< 0] U = R มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะไม่มีจานวนจริง x ใดที่ทาให้ x2
< 0
แบบฝึกทักษะชุดที่ 9
1. จงหาค่าความจริงของประพจน์ในข้อต่อไปนี้
1) x [x + 5 = 5] ; U = {0}
2) x [x + 5 = 5] ; U = I
3) x [ 2
x = x] ; U = R
4) x [x < x + 1] ; U = R
5) x [ 2
x + 1 = 21x ] ; U = {0 , 1}
6) x [2 2
x – 5x + 3 = 0] ; U = {
2
1
, 3}
7) x [2 2
x – 5x + 3 0] ; U = R
8) x [ 2
x + x + 1 0] ; U = R
9) x [ 2
x + 2x – 1 > 0] ; U = I
10) x [ 2
x > 0 x = –x] ; U = {0 , –1 , –2 , –3}
11) x [x = x 2
x = x] ; U = {0 , 1}
12) x [x เป็นจานวนคู่ x > 0] ; U = {–6 , –4 , –2 , 0 , 1 , 2}
13) x [x เป็นจานวนคู่] x [x > 0] ; U = {–6 , –4 , –2 , 0 , 1 , 2}
14) x [ 2
x – 1 = 1 – 2
x x เป็นจานวนคี่] ; U = {–1 , 0 , 1}
15) x [ 2
x – 1 = 1 – 2
x ] x [x เป็นจานวนคี่] ; U = {–1 , 0 , 1}
2. จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1) x [x – 5 = 5 – x] ; U = I
2) x [x – 5 = x] ; U = R
3) x [ 2
x = –x] ; U = I
4) x [x < x + 1] ; U = R
5) x [ 2
x + 1 = 21x ] ; U = {–1 , 0 , 1}
6) x [ 2
x – 2x + 2 = 0] ; U = R
7) x [ 2
x – 2x + 2 < 0] ; U = R
8) x [x > 2
x ] ; U = N
14. ตรรกศาสตร์ หน้า 14
9) x [x < 0] ; U = N
10) x [ 2
x < x] ; U = {–1 ,
2
1
,
2
3
}
11) x [x < 0 x – 1 = 0] ; U = {–1 , 0 , 1}
12) x [x < 0] x [x – 1 = 0] ; U = {–1 , 0 , 1}
13) x [ 2
x – 4 = 0 x > 0] ; U = {–2 , –1 , 0 , 1 , 2}
14) x [ 2
x – 4 = 0] x [x > 0] ; U = {–2 , –1 , 0 , 1 , 2}
15) x [ x
2 = 0] x [ 2
x + 2x + 1 > 0] ; U = R
16) x [– 1x = x] x [
1x
xx2
= x] ; U = {–1 , 0}
17) x [
1x
xx2
= x] x [– 1x = x] ; U = {–2 , –1 , 0}
18) x [ 2
x < x x (0 , 1)] x [x I x<1] ; U = R
19) x [ 2
x > x x > 1] x [ 2
x + x + 1 < 0] ; U = R
20) x [x2 2x] x [x เป็นจานวนคี่ x เป็นจานวนเฉพาะ] ; U = {1 , 2}
10. สมมูลของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ
10.1 ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง นักเรียนสามารถ เขียนรูปแบบที่สมมูลกันของประพจน์และนิเสธของประพจน์ที่มีตัว
บ่งปริมาณได้
10.2 เนื้อหา
รูปแบบของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่สมมูลกันหรือเป็นนิเสธกัน จะเป็นรูปแบบที่มีลักษณะเดียวกันกับรูปแบบของ
ประพจน์ที่สมมูลกันหรือเป็นนิเสธกัน
กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันได้แก่
1) p q สมมูลกับ q p 2) p q สมมูลกับ q p
3) p q สมมูลกับ q p 4) p q สมมูลกับ p q
5) (p q) สมมูลกับ p q 6) (p q) สมมูลกับ p q
7) (p q) สมมูลกับ p q เป็นต้น
ถ้ากาหนดให้ P(x) และ Q(x) เป็นประโยคเปิด จะได้ว่า
1) P(x) Q(x) สมมูลกับ Q(x) P(x) 2) P(x) Q(x) สมมูลกับ Q(x) P(x)
3) P(x) Q(x) สมมูลกับ Q(x) P(x) 4) P(x) Q(x) สมมูลกับ P(x) Q(x)
5) (P(x) Q(x)) สมมูลกับ P(x) Q(x) 6) (P(x) Q(x)) สมมูลกับ P(x) Q(x)
7) (P(x) Q(x)) สมมูลกับ P(x) Q(x) เป็นต้น
15. ตรรกศาสตร์ หน้า 15
ตัวอย่างประโยคเปิดที่สมมูลกัน เช่น
1) x = x x > 0 สมมูลกับ x > 0 x = x
2) x > 0 2
x > x สมมูลกับ x < 0 2
x > x
3) ( 2
x > 0 x < 0) สมมูลกับ x2
< 0 x > 0
4) (x > 1 2
x > x) สมมูลกับ x > 1 2
x < x
รูปแบบของประโยคเปิดที่สมมูลกัน ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกันไว้ข้างหน้าประโยคเปิดดังกล่าว
จะได้ประพจน์ที่สมมูลกัน
ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกัน เช่น
1) x [xN xI] สมมูลกับ x [xN xI]
2) x [(P(x) Q(x))] สมมูลกับ x [P(x) Q(x)]
แบบฝึกทักษะชุดที่ 10
1. กาหนดให้ P(x),Q(x) และ R(x) เป็นประโยคเปิด จงตรวจสอบดูว่าประโยคในข้อต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่
1) (P(x)) กับ P(x)
2) P(x) Q(x) กับ Q(x) P(x)
3) P(x) Q(x) กับ P(x) Q(x)
4) P(x) (Q(x) R(x)) กับ (P(x) Q(x)) (P(x) R(x))
5) P(x) (Q(x) R(x)) กับ (P(x) Q(x)) R(x)
2. จงตรวจสอบว่าประโยคแต่ละคู่ต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่
1) x [P(x)] กับ x [P(x)]
2) x [P(x)] กับ x [(P(x) P(x))]
3) x [P(x) Q(x)] กับ x [Q(x) P(x)]
4) x [P(x) Q(x)] กับ x [P(x) Q(x)]
5) x [P(x) Q(x)] กับ x [P(x) Q(x)]
6) x [x เป็นจานวนอตรรกยะ] x[ 2
x เป็นจานวนตรรกยะ] กับ
x [x เป็นจานวนอตรรกยะ] หรือ x [ 2
x เป็นจานวนตรรกยะ]
7) (x [x > 0] x [ 2
x = 2x] ) กับ x [x > 0] x[ 2
x = 2x]
8) x [x เป็นจานวนเฉพาะ] x [x เป็นจานวนเต็ม] กับ
(x [x เป็นจานวนเฉพาะ] x [x เป็นจานวนเต็ม])
9) ไม่จริงที่ว่าจานวนคู่ทุกจานวนเป็นจานวนเฉพาะ กับ มีจานวนคู่บางจานวนเป็นจานวนเฉพาะ
10) ไม่จริงที่ว่ามีจานวนจริงบางจานวนที่ 0 หารลงตัว กับ จานวนจริงทุกจานวน 0 หารไม่ลงตัว
16. ตรรกศาสตร์ หน้า 16
แบบฝึกหัดชุดที่ 11 นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ
1. จงตรวจสอบว่าประโยคแต่ละคู่ต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่
1) ~x [ 2
x > 0] กับ x [x2< 0]
2) ~x [x เป็นจานวนคู่] กับ x [x ไม่เป็นจานวนคู่]
3) x [ x2 = x x > 0 กับ ~x [ x2 = x x < 0]
4) x [x + x = x2 x2 4] กับ ~x [x + x x2 x2= 4]
5) x [x = 2 x3= 8] กับ x [(x = 2 x3 = 8) (x3 = 8 x = 2)]
2. จงหานิเสธของประโยคต่อไปนี้
1) x [ x
2 > 0] .....…...........................................................................................
2) x [x = 2 x เป็นจานวนคู่] .....…...........................................................................................
3) x [x > 0 > 0] .....…...........................................................................................
4) x [(x = 1 x = 1) x2= 4] .....…...........................................................................................
5) จานวนตรรกยะบางจานวนเป็นจานวนเต็ม .....…...........................................................................................
6) จานวนคู่บางจานวนเป็นจานวนเฉพาะ .....…...........................................................................................
7) จานวนเฉพาะทุกจานวนเป็นจานวนคี่ .....…...........................................................................................
8) x [x > 0 ] x [x2> 0] ……………................................................................................................
9) x [x 0] x [x 0] ........................................………………….................................................
10) x [x+1 x] x [x2< 0] ...................................................................………………...........................
11) x [P(x)] x [Q(x)] ..............................................................................................……………….
12) (x [P(x)] x [Q(x)]) x [P(x)] ..........................................................................………………….
13) x [P(x)] x [P(x)] ..............................................................................................……………….
14) ฝนตกหนักย่อมทาให้บางจังหวัดน้าท่วม.................................................................................………………..
15) คนทุกคนทางานหนักหรือคนบางคนพูดไม่ได้........................................................................…………………
16) x y [x+y = 2x] ………………………………………………………………………………………….
17) x y [x+y = y] ………………………………………………………………………….……….…….
18) x y [x+y xy] ………………………………………………………………………….….………….
19) x y [x+y = xy] ……………………………………………………………………..………………….
20) x y z [x+y+z xyz xy = z]…………………………………………………….…………………...
21) x y [xy = yx] x y [xy = y] ………………………………………………………………………
22) x y [xy = yx] x y [xy = y] ………………………………………………………………………
23) x y [x+y > 5] x y [x > y] …………………………………………………………..……………
24) x y [x+y > 5] x y [x > y] ………………………………………………………….……………..
25) x y [x+y > 5] x y [x > y] ………………………………………………………….……………
17. ตรรกศาสตร์ หน้า 17
12. การอ้างเหตุผล การอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลบางรูปแบบซึ่งใช้บ่อย ๆ
1. เหตุ 1. p q
2. p ผล q
2. เหตุ 1. p q
2. ~q ผล ~p
3. เหตุ 1. p q
2. q r ผล p r
4. เหตุ p q
ผล ~q ~p
5. เหตุ 1. p q
2. ~p
ผล q
6. เหตุ 1. p r
2. q s
3. p q ผล r s
7. เหตุ p q
ผล p (หรือผล q)
8. เหตุ p
ผล p q
การอ้างเหตุผลในกรณีที่เป็นประโยคเปิดทาได้เช่นเดียวกับประพจน์
แบบฝึกหัดชุดที่ 12
จงตรวจสอบดูว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่
1) เหตุ 1. p ~q
2. q r
ผล p r
2) เหตุ 1. p (q r)
2. p s
3. r s ผล ~q
3) เหตุ 1. p q
2. ~p
3. r ~q
4. s r ผล ~s
4) เหตุ 1. p q
2. q r
3. p
ผล r s
5) เหตุ 1. p q
2. r p
3. s r
4. ~q ผล ~s
6) เหตุ 1. ~ q ~ p
2. ~ r
3. q r
4. p s ผล s
7) เหตุ 1. ถ้าฝนตกแล้วอากาศจะเย็นลง
2. ถ้าอากาศเย็นลงแล้วจะเกิดหมอก
3. ไม่เกิดหมอก
ผล ฝนไม่ตก
8) เหตุ 1. ถ้าเขาขยันเรียนแล้วเขาจะสอบผ่าน
2. เขาสอบผ่านหรือเขาเรียนเก่ง
3. เขาไม่ขยันเรียน
ผล เขาเรียนไม่เก่ง
9) เหตุ 1. ถ้า ก ไม่เรียนหมอ แล้ว ข จะไม่เรียนวิศวะ
2. ข เรียนวิศวะ หรือ ค เรียนบัญชี
3. ค ไม่เรียนบัญชี
ผล ก ไม่เรียนหมอ
10) เหตุ 1. ฉันตั้งใจเรียนและฉันขยัน
2. ถ้าฉันขยันแล้วฉันจะสอบได้ที่หนึ่ง
3. ถ้าฉันไม่ท่องหนังสือแล้วจะไม่สอบได้ที่หนึ่ง
ผล ฉันต้องท่องหนังสือ