1. ตรรกศาสตร์เบื้องต้น โดย ครูอดุลย์ จันธิมา โรงเรียนฝายกวางวิทยาคม

2. 1. ประพจน์ (Propositions or Statements) บทนิยาม ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเท็จเพียงอย่าง ใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เช่น โลกเป็นดาวเคราะห์ ( จริง ) สงขลาเป็นเมืองหลวงของไทย ( เท็จ ) 12 + 3 = 15 ( จริง ) 0 เป็นจำนวนนับ ( เท็จ ) ในตรรกศาสตร์การเป็น จริง หรือ เท็จ ของแต่ละประพจน์ เรียกว่า ค่าความจริง (truth value) ของประพจน์

3. 2. การเชื่อมประพจน์ (1) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ และ ” ถ้า p และ q เป็นประพจน์ p และ q เขียนแทนด้วย p q ตารางค่าความจริงของ p q เขียนได้ดังนี้ p q p q T T T T F F F T F F F F ตัวอย่าง p : 2 เป็นจำนวนคู่ (T) , q : 2 มากกว่า 3 (F) p q : 2 เป็นจำนวนคู่ และ 2 มากกว่า 3 (F)

4. (2) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ หรือ ” ถ้า p และ q เป็นประพจน์ p หรือ q เขียนแทนด้วย p q ตารางค่าความจริงของ p q เขียนได้ดังนี้ p q p q T T T T F T F T T F F F ตัวอย่าง p : 2 เป็นจำนวนคี่ (F) , q : 2 มากกว่า 3 (F) p q : 2 เป็นจำนวนคี่ หรือ 2 มากกว่า 3 (F)

5. ( 3 ) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ ถ้า ... แล้ว ... ” ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ถ้า p แล้ว q เขียนแทนด้วย p q ตารางค่าความจริงของ p q เขียนได้ดังนี้ p q p q T T T T F F F T T F F T ตัวอย่าง p : 2 เป็นจำนวนคี่ (F) , q : 2 มากกว่า 3 (F) p q : ถ้า 2 เป็นจำนวนคี่ แล้ว 2 มากกว่า 3 (T)

6. ( 4 ) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ ก็ต่อเมื่อ ” ถ้า p และ q เป็นประพจน์ p ก็ต่อเมื่อ q เขียนแทนด้วย p q ตารางค่าความจริงของ p q เขียนได้ดังนี้ p q p q T T T T F F F T F F F T ตัวอย่าง p : 2 เป็นจำนวนคี่ (F) , q : 2 มากกว่า 3 (F) p q : 2 เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ 2 มากกว่า 3 (T)

7. (5) นิเสธของประพจน์ นิเสธของประพจน์ p เขียนแทนด้วย ~ p ตารางค่าความจริงของ ~ p เขียนได้ดังนี้ p ~ p T F F T ตัวอย่าง p : 0 เป็นจำนวนเต็ม (T) ~ p : 0 ไม่เป็นจำนวนเต็ม (F) q : 2 มากกว่า 3 (F) ~ q : 2 ไม่มากกว่า 3 (T)

9. ตัวอย่าง กำหนดให้ p , r เป็นจริง และ q , s เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ วิธีทำ T F T F F F F T F T F ดังนั้น ประพจน์ มีค่าความจริงเป็น เท็จ *

12. รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันที่สำคัญมีดังนี้

14. 2. การพิจารณาโดยวิธีหาข้อขัดแย้ง ซึ่งวิธีนี้จะสมมุติให้รูปแบบของประพจน์ที่กำหนดให้เป็นเท็จ แล้วจึงหาค่าความจริงของประพจน์ย่อย หากมีข้อขัดแย้งกับที่สมมุติใว้ แสดงว่า รูปแบบของประพจน์นั้นเป็นสัจนิรันดร์ ตัวอย่าง จงแสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์ วิธีทำ F T F T T T F T T จะเห็นได้ว่าค่าความจริงของ q เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น แสดงว่าประพจน์ เป็นสัจนิรันดร์ *

15. 7. การอ้างเหตุผล การอ้างเหตุผล คือการอ้างว่า เมื่อมีข้อความ P 1 , P 2 , P 3 ,…,P n ชุดหนึ่ง แล้วสามารถสรุปได้ข้อความ C การอ้างเหตุผลประกอบด้วยสองส่วนคือ เหตุหรือสิ่งที่กำหนดให้ ได้แก่ ข้อความ P 1 , P 2 , P 3 ,…,P n และ ผลหรือข้อสรุป ได้แก่ ข้อความ C การอ้างเหตุผลอาจจะสมเหตุสมผลหรือไม่สมเหตุสมผลก็ได้ ถ้า เป็นสัจนิรัดร์ จะกล่าวว่า การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (valid) ถ้า ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ก็กล่าวได้ว่า การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล (invalid) ดังนั้น ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผล จึงใช้วิธีเดียวกับการตรวจสอบสัจนิรันดร์

16. ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. ถ้าฝนตกแล้วถนนลื่น 2. ฝนไม่ตก ผล ถนนไม่ลื่น วิธีทำ ให้ p แทน ฝนตก และ q แทน ถนนลื่น จะได้ ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ F T F T T T F F T จากแผนภาพ รูปแบบของประพจน์ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้น การอ้างเหตุผล ไม่สมเหตุสมผล

17. 8. ประโยคเปิด (open sentence) บทนิยาม ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร และเมื่อแทนค่า ตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วจะได้ประพจน์ เช่น เขาเป็นนักร้อง เมื่อแทนเขาด้วย ภราดร จะได้ประโยคเป็นเท็จ 2 x + 1 = 15 เมื่อแทน x ด้วย 7 จะได้ประโยคเป็นจริง ประโยคเปิดที่มี x เป็นตัวแปร เขียนแทนด้วย P(x) , Q(x) , R(x) , … และการเชื่อมประโยคเปิด ด้วยตัวเชื่อมทำได้เช่นเดียวกับประพจน์ ตัวอย่าง 1. 2. 3.

18. 9. ตัวบ่งปริมาณ (quantifier) สัญลักษณ์ แทนสำหรับ x ทุกตัว สัญลักษณ์ แทนสำหรับ x บางตัว ตัวอย่าง 1) สำหรับ x ทุกตัว x+2 = 2+x เขียนแทนด้วย [x+2 = 2+x] 2) มีจำนวนเต็มบางจำนวนน้อยกว่า 1 เขียนแทนด้วย 3) สำหรับจำนวนจริง x และ y ทุกตัว x+3y = y+3x เขียนแทนด้วย [x+3y = y+3x]

19. ประโยค มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทน x ใน P(x) ด้วยสมาชิกทุกตัว ของ U แล้วได้ประพจน์ที่เป็นจริงทั้งหมด ประโยค มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทน x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อย หนึ่งตัวของ U แล้วได้ประพจน์ที่เป็นเท็จ ประโยค มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทน x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อย หนึ่งตัวของ U แล้วได้ประพจน์ที่เป็นจริง ประโยค มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทน x ใน P(x) ด้วยสมาชิกทุกตัว ของ U แล้วได้ประพจน์ที่เป็นเท็จทั้งหมด 10. ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว บทนิยาม

20. ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าประโยคต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ . 1) 2) 3) 4) 5)

21. 11. สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ รูปแบบที่ 1 สมมูลกับ หรือ นิเสธของ คือ รูปแบบที่ 2 สมมูลกับ หรือ นิเสธของ คือ ตัวอย่าง จงหานิเสธของข้อความต่อไปนี้ 1) นิเสธคือ 2) นิเสธคือ 3) จำนวนคี่ทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม นิเสธคือ จำนวนคี่บางจำนวนไม่ใช่จำนวนเต็ม 4) นิเสธคือ

22. 12. ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว บทนิยาม ประโยค มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทน x และ y ด้วยสมาชิกทุกตัว ใน U แล้วทำให้ P(x,y) เป็นจริงเสมอ ประโยค มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทน x และ y ด้วยสมาชิกบางตัว ใน U แล้วทำให้ P(x,y) เป็นเท็จ ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ 1) 2)

23. บทนิยาม ประโยค มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทน x และ y ด้วยสมาชิกบางตัว ใน U แล้วทำให้ P(x,y) เป็นจริง ประโยค มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทน x และ y ด้วยสมาชิกทุกตัว ใน U แล้วทำให้ P(x,y) เป็นเท็จเสมอ ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ 1) 2)

24. บทนิยาม ประโยค มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทน x ด้วยสมาชิกทุกตัว ใน U แล้วทำให้ เป็นจริง ประโยค มีค่าความจริงเป็นเท็จก็ต่อเมื่อ แทน x ด้วยสมาชิกบางตัว ใน U แล้วทำให้ เป็นเท็จ ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ 1) 2)

25. บทนิยาม ประโยค มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทน x ด้วยสมาชิกบางตัว ใน U แล้วทำให้ เป็นจริง ประโยค มีค่าความจริงเป็นเท็จก็ต่อเมื่อ แทน x ด้วยสมาชิกทุกตัว ใน U แล้วทำให้ เป็นเท็จ ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ 1) 2)