LOGIC

1. เอกสารประกอบการเรียน
วิชา คณิตศาสตร์ ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 <เทอม1>
สาระการเรียนรู้
จานวนและพีชคณิต
ตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ชื่อ ................................นามสกุล ...........................
ชื่อเล่น .............................. ชั้น .........เลขที่ ...........
Algebra
Arithmetic

2. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 1
คณิตศาสตร์ มคณิตศาสตร์ ม..44
ในทางตรรกศาสตร์ จะแบ่งข้อความออกเป็น 2 ลักษณะ คือ
1. ข้อความที่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริง หรือเท็จ ซึ่งข้อความในลักษณะนี้ทางตรรกศาสตร์ จะเรียกว่า
“ประพจน์”
2. ข้อความที่ไม่สามารถจะบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ ข้อความในลักษณะนี้จะไม่เรียกว่าประพจน์
(ไม่เป็นประพจน์นั่นเอง)
ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่า ปฏิเสธที่เป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
ข้อควรทราบเบื้องต้น
1. จะเรียกประพจน์ที่เป็นจริงว่า ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง และจะแทนค่าความจริงที่เป็นจริงด้วย T
2. จะเรียกประพจน์ที่เป็นเท็จว่า ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ และจะแทนค่าความจริงที่เป็นเท็จด้วย F
Example 1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าเป็นประพจน์หรือไม่
1. 2 – 1 = 0
2. โอ้แม่เจ้า!
3. โปรดเอื้อเฟื้อแก่ชายฉกรรจ์ และนักกล้าม
4. กรุงเทพฯ เป็นเมืองหลวงของประเทศไทย
5. เมื่อคืนนอนละเมอหรือเปล่า
จะพบว่า ประโยคหรือข้อความที่มีลักษณะเป็นคาอุทาน คาขอร้อง คาสั่ง คาถาม
จะไม่เป็นประพจน์
บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น (Logic)

3. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 2
พิจารณาข้อความ “เขาเป็นนักคณิตศาสตร์” ข้อความนี้จะไม่ถือว่าเป็นประพจน์ เนื่องจากไม่ทราบว่า “เขา”
ในที่นี้หมายถึงใคร จึงไม่สามารถระบุได้ว่าข้อความนี้มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จกันแน่ (และ “เขา” ในที่นี้
ต่อไปจะเรียกว่า ตัวแปร) ดังนั้นข้อความนี้จึงไม่เป็นประพจน์ แต่ถ้าแทน “เขา” ด้วย “ปีทากอรัส” ก็จะทราบได้
ทันทีว่าข้อความดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้นข้อความนี้ก็จะกลายเป็นประพจน์ไป
ประโยคบอกเล่าที่มีตัวแปร ประโยคเหล่านี้ไม่เป็นประพจน์ โดยจะเรียกประโยคเหล่านี้ว่า “ประโยคเปิด”
และสามารถที่จะทาให้ประโยคเปิดเป็นประพจน์ได้ โดยการแทนตัวแปรนั้นด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ หรือ
ทาการเติมวลีบ่งปริมาณหน้าประโยคนั้นให้ครบทุกตัวแปร
Example 2 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าเป็นประพจน์หรือประโยคเปิด ถ้าเป็นประโยคเปิด ให้หาตัวแปรออกมา
ด้วย
1. เขาชอบเล่นพนันบอล
2. เส้นตรงที่ขนานกันมีความชันเท่ากัน
3. x2
– 4 = 0
4. 5x = 3
5. คุณจะไปเที่ยวกับผมไหม
ข้อควรทราบ
ในการกล่าวถึงประพจน์ เพื่อความสะดวกจะใช้อักษร p, q, r, s, …. แทนประพจน์ที่กาหนดให้ และใช้
T, F แทนค่าความจริงที่เป็นจริงและเท็จ ตามลาดับ
ในทางตรรกศาสตร์จะมี ตัวเชื่อม อยู่ทั้งหมด 4 ตัว คือ
1. การเชื่อมด้วยคาว่า “และ” จะใช้สัญลักษณ์ “ ^ ” แทน
2. การเชื่อมด้วยคาว่า “หรือ” จะใช้สัญลักษณ์ “v” แทน
3. การเชื่อมด้วยคาว่า “ถ้า…แล้ว…” จะใช้สัญลักษณ์ “ ” แทน
4. การเชื่อมด้วยคาว่า “…..ก็ต่อเมื่อ…..” จะใช้สัญลักษณ์ “ ” แทน

4. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 3
Example 3 ให้ p แทนประพจน์ น้อง………หน้าตาดี
q แทนประพจน์ น้อง………เรียนเก่ง
1. p  q หมายถึง
2. P  q หมายถึง
3. P q หมายถึง
4. P q หมายถึง
ค่าความจริงของ p  q
พิจารณาข้อความ “ภราดรเล่นฟุตบอลและเทนนิส”
ภราดร ภราดรเล่นฟุตบอลและเทนนิส
เล่นฟุตบอล
เล่นฟุตบอล
ไม่เล่นฟุตบอล
ไม่เล่นฟุตบอล
เล่นเทนนิส
ไม่เล่นเทนนิส
เล่นเทนนิส
ไม่เล่นเทนนิส
จริง
เท็จ
เท็จ
เท็จ
และจากความหมายดังกล่าวสามารถนามาสร้างตารางค่าความจริงของ P  q ได้ดังนี้
p q p  q
T
T
F
F
T
F
T
F
สรุป ประพจน์ p  q จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ p และ q เป็นจริงทั้งคู่ นอกจากนี้แล้ว
ประพจน์ p  q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ ทั้งสิ้น

5. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 4
ค่าความจริงของ p  q
ความหมายของคาว่า “หรือ” ในทางตรรกศาสตร์นั้น จะมีลักษณะที่แตกต่างจากคาว่า “หรือ” ในทางสังคม
ทั่วไป โดยในทางตรรกศาสตร์ จะหมายรวมถึง
1. อย่างใดอย่างหนึ่งเพียงอย่างเดียว
2. ทั้งสองอย่าง (แตกต่างจากสังคมทั่วไป)
พิจารณาข้อความ “นายดาซื้อมะม่วงหรือฝรั่ง”
ดา นายดาซื้อมะม่วงหรือฝรั่ง
ซื้อมะม่วง
ซื้อมะม่วง
ไม่ซื้อมะม่วง
ไม่ซื้อมะม่วง
ซื้อฝรั่ง
ไม่ซื้อฝรั่ง
ซื้อฝรั่ง
ไม่ซื้อฝรั่ง
จริง
จริง
จริง
เท็จ
สามารถนามาสร้างตารางค่าความจริงของ p  q ได้ดังนี้
p q p  q
T
T
F
F
T
F
T
F
สรุป
ประพจน์ P  q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ P และ q เป็นเท็จทั้งคู่ นอกจากนี้แล้ว
ประพจน์ P  q จะมีค่าความจริงเป็นจริงทั้งสิ้น

6. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 5
ค่าความจริงของ p q
พิจารณาข้อความ “ถ้าน้องป้ อตอบคาถามได้ แล้วพี่หมูจะซื้อขนมให้”
จากข้อความดังกล่าว จะแยกเป็นแต่ละกรณีได้คือ
1. ตอบคาถามได้ และพี่หมูซื้อขนมให้ (ไม่ผิดสัญญา)
2. ตอบคาถามได้ แต่พี่หมูดันไม่ซื้อขนมให้ (ทาผิดสัญญา)
3. ตอบคาถามไม่ได้ แต่พี่หมูดันซื้อขนมให้ (ไม่ผิดสัญญา)
4. ตอบคาถามไม่ได้และ พี่หมูก็ไม่ซื้อขนมให้ (ไม่ผิดสัญญา)
สามารถนามาสร้างตารางค่าความจริงของ p q ได้ดังนี้
p q p q
T
T
F
F
T
F
T
F
สรุป ประพจน์ p q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p เป็นจริง และ q เป็นเท็จเท่านั้น
นอกจากนั้นแล้วประพจน์ p q จะมีค่าความจริงเป็นจริงทั้งสิ้น
ค่าความจริงของ p q
เนื่องจาก p q มีความหมายเหมือนกับ (p q)  (q p)
ดังนั้น ในการหาค่าความจริงของ p q สามารถหาได้จากการหาค่าความจริงของ (p q)  (q p)
ได้จากการสร้างตารางค่าความจริงดังนี้
p q
P q p q q p (p q) ^ (q p)
T
T
F
F
T
F
T
F
สรุป ประพจน์ p q จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเหมือนกันทั้งคู่
นอกจากนี้แล้วประพจน์ p q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ

7. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 6
นิเสธของประพจน์และค่าความจริง
ถ้าให้ P เป็นประพจน์ นิเสธของ p จะมีค่าความจริงตรงข้ามกับ p และจะใช้สัญลักษณ์  p แทน
ความหมายนิเสธของ p ซึ่งสามารถเขียนเป็นตารางแสดงค่าความจริงได้ดังนี้
p  p
T
F
F
T
Example 4 หานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาค่าความจริงของนิเสธของประพจน์ดังกล่าว
1. 7 + 3 < 10
2. 2 + 5 = 7
3. ควายมี 2 ขา
4.น้องเจี๊ยบนิสัยไม่ดี
5.พรุ่งนี้ ทาการบ้ามาส่งครูด้วย
Example 5 ถ้า p  q มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ p มีค่าความจริง จงหาค่าความจริงของ q
Example 6 ถ้า p q มีค่าความจริงเป็นจริง และ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาความจริงของ q
Example 7 ถ้า p v q มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ r มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริงของ q r
Example 8 ถ้า p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ r  p มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ  r
Example 9 หาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1.  เป็นจานวนอตรรกยะ หรือ  เป็นทศนิยมไม่รู้จบ ชนิดไม่ซ้า
2. 3 x 3 เป็นจานวนคู่ ก็ต่อเมื่อ 9 เป็นจานวนคู่

8. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 7
ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป
ข้อควรทราบ ในการหาค่าความจริง จะต้องหาค่าความจริงของประพจน์ที่อยู่ในวงเล็บเสียก่อน
แต่ถ้าในโจทย์บางข้อไม่ได้ใส่วงเล็บ ถือเป็นข้อตกลง ให้หาค่าความจริงตามลาดับดังนี้
เริ่มต้น  ,  ,  , , สิ้นสุด
ในการหาค่าความจริงของประพจน์นั้นสามารถแบ่งได้ 2 กรณี คือ
1. กรณีไม่ได้บอกค่าความจริง ของประพจน์ย่อยมาให้ (ต้องสร้างตารางค่าความจริง)
- ถ้าประพจน์ย่อยมี 1 ประพจน์ ค่าความจริงที่จะเป็นไปได้ทั้งหมดจะมี 2 กรณี
- ถ้าประพจน์ย่อยมี 2 ประพจน์ ค่าความจริงที่จะเป็นไปได้ทั้งหมดจะมี 4 กรณี
- ถ้าประพจน์ย่อยมี 3 ประพจน์ ค่าความจริงที่จะเป็นไปได้ทั้งหมดจะมี 8 กรณี
Example 10 จงสร้างตารางค่าความจริงของ (p   q) p
เนื่องจากประกอบด้วยประพจน์ย่อย 2 ประพจน์ ดังนั้นค่าความจริงที่จะเป็นไปได้ทั้งหมดจะมี 4 กรณี
ดังตารางแสดงค่าความจริงต่อไปนี้
p q q p   q (p   q) p

9. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 8
Example 11 จงสร้างตารางค่าความจริงของ (p  q) r
p q r p  q (p  q) r
2. กรณีที่กาหนดค่าความจริงของประพจน์ย่อยบางประพจน์มาให้ (ไม่ต้องสร้างตารางค่าความจริง)
Example 12 กาหนดให้ p เป็นจริง q เป็นเท็จ r เป็นจริง และ s เป็นเท็จ หาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1. (p q) (s  r)
2. (p   q) (r  s)
3.  (p  q) (p   q)

10. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 9
Example 13 ให้ p, q, r, s เป็นประพจน์ และค่าความจริงของ [  (p  q)]  (r s)
สัจนิรันดร์ (Tautology) ประพจน์ที่จริงเสมอ
- พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ p v  p โดยตารางค่าความจริง
p  p p   p
- พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ (p q) p โดยตารางค่าความจริง
p q p  q (p  q) p
สัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ

11. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 10
วิธีการตรวจสอบว่าประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ทาได้ดังนี้
1. สร้างตารางค่าความจริง (เป็นวิธีพื้นฐาน)
Example 14 ตรวจสอบว่าประพจน์ใดที่เป็นสัจนิรันดร์
1.  p (p  q)
2.  (p  q) (p   q)
2. ใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง เป็นวิธีการที่ตรวจสอบว่า รูปแบบของประพจน์นั้น ๆ มีโอกาสเป็นเท็จได้หรือไม่
ถ้ามีโอกาสเป็นเท็จได้แม้แต่กรณีเดียว ก็สามารถสรุปได้เลยว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ [เป็นวิธีที่สะดวกที่สุด]
ขั้นตอนในการทาคือ
1. สมมติให้ประพจน์นั้น ๆ เป็นเท็จ
2. หาค่าความจริงของประพจน์ย่อยแต่ละประพจน์
3. ดูว่าเกิดการขัดแย้งหรือไม่
ถ้าขัดแย้งจะเป็นสัจนิรันดร์ ถ้าไม่ขัดแย้งจะไม่เป็นสัจนิรันดร์

12. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 11
2.1 เชื่อมด้วย “หรือ”
ประพจน์ p v q จะเป็นเท็จ เมื่อ p และ q เป็นเท็จทั้งคู่
Example 15 ประพจน์ [p (q  r)]  [q (p  r)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Example 16 ประพจน์ [p  (q  r)]   [p   (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
2.2 เชื่อมด้วย “ถ้า … แล้ว…”
ประพจน์ p q เป็นเท็จ เมื่อ p เป็นจริง q เป็นเท็จ
Example 17 ประพจน์ (p  q) p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Example 18 ประพจน์ (p q) [(p  r) (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

13. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 12
Example 19 ประพจน์  p (p  q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
2.3 เชื่อมด้วย “…..ก็ต่อเมื่อ…..”
ประพจน์ p q เป็นเท็จ เมื่อ p, q มีค่าความจริงต่างกัน
Example 20 ประพจน์  (p q) (p   q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Example 21 [(p r)  (q r)] [(p  q) r] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Example 22 [น่าสนใจมาก]
ประพจน์ [(p r)  (q r)] [(p  q) r] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

14. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 13
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ p q และ  p  q จากตารางค่าความจริงต่อไปนี้
p q  p p q  p  q
จากตารางจะพบว่า ประพจน์ p q และ  P  q มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี ในลักษณะเช่นนี้
จะเรียกว่า รูปแบบของประพจน์ p q สมมูลกับประพจน์  p  q ซึ่งประพจน์ทั้ง 2 รูปแบบนี้จะมี
คุณสมบัติเหมือนกัน และที่สาคัญสามารถนาไปใช้แทนกันได้
สรุป จะเรียกว่ามันสมมูลกันได้ ถ้าค่าความจริงของทั้ง 2 ประพจน์เหมือนกันทุกกรณี
วิธีการตรวจสอบว่ามันสมมูลกันหรือไม่
1. สร้างตารางค่าความจริง (เป็นวิธีพื้นฐาน)
Example 23 พิจารณาว่า p q สมมูลกับ q  p หรือไม่
p q q  p p q  q  p
Example 24 พิจารณาว่า  (p  q) สมมูลกับ  p   q หรือไม่
p q  p q p  q  (p  q)  p   q

15. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 14
2. ใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง (ในเรื่องสัจนิรันดร์) เข้าช่วย
ขั้นตอนในการตรวจสอบว่า 2 ประพจน์ สมมูลกันหรือไม่ ให้นาทั้ง 2 ประพจน์ มาเชื่อมด้วย จากนั้น
ให้ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยวิธีหาข้อขัดแย้ง
- ถ้าเป็นก็แสดงว่าทั้ง 2 ประพจน์นั้นสมมูลกัน
- ถ้าไม่เป็นแสดงว่าทั้ง 2 ประพจน์นั้นไม่สมมูลกัน
Example 25 ตรวจสอบว่า  (p  q) สมมูลกับ  p   q หรือไม่
Example 26 ตรวจสอบว่า p q สมมูลกับ  p  q หรือไม่
Example 27 ตรวจสอบว่า  (p q) สมมูลกับ p   q หรือไม่
Example 28 ตรวจสอบว่า p q สมมูลกับ q  p หรือไม่
Example 29 ตรวจสอบว่า (p  q) r สมมูลกับ p (q r) หรือไม่

16. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 15
3. ดัดแปลงจากรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน ที่นามาใช้บ่อย ๆ มีดังนี้
กระทากับตนเอง
1. P  P  P
2. P  P  P
สลับที่
1. p  q  q  p
2. p  q  q  p
3. p q  q p
จัดหมู่
1. p (q  r)  (p  q)  r
2. p  (q  r)  (p  q)  r
3. p (q r)  (p q) r
เดอร์มอแกน
1.  (p  q)   p   q
2.  (p  q)   p   q
แปลงรูป
1. p q   p  q
2. p q   q  p
3.  (p q)  p  q
กระจายปกติ
1. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
2. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

17. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 16
Example 30 ตรวจสอบว่า p  (q p) สมมูลกับ  p  (p  q) หรือ
(ดัดแปลงจากข้อสอบ Ent 40)
Example 31 ตรวจสอบว่า  [(p  q) (p  q)] สมมูลกับ (p  q)  (p  q) หรือไม่
Example 32 ตรวจสอบว่า (p  q) (r  s) สมมูลกับ ( r  s) (p  q) หรือไม่
Example 33 พิจารณาข้อความ “ถ้านาย x หรือนาย y ชอบเที่ยวแล้ว นาย z จะชอบเที่ยวด้วย” สมมูลกับข้อความ
“ถ้านาย z ไม่ชอบเที่ยว แล้ว นาย x ไม่ชอบเที่ยว และนาย y ไม่ชอบเที่ยว” หรือไม่

18. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 17
พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ p  q และ  p   q จากตารางค่าความจริงต่อไปนี้
p q  p q p  q  p   q
จากตารางจะพบว่า ประพจน์ p  q และ  p   q มีค่าความจริงต่างกันทุกกรณี
รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงกันทุกกรณีเช่นนี้ จะเรียกว่านิเสธของกันและกัน เช่นจากตารางค่าความ
จริงด้านบนจะได้ว่า
- p  q เป็นนิเสธของ  p   q
-  p   q เป็นนิเสธของ p  q
หรืออาจเขียนว่า
- นิเสธของ p  q คือ  p   q
- นิเสธของ  p   q คือ p  q
และสามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้
 (p  q) สมมูลกับ  p   q
 (p   q) สมมูลกับ p  q
Example 34 จงแสดงว่า p q เป็นนิเสธ ของ p   q
p q q p q p   q

19. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 18
Example 35 หานิเสธของข้อความ “ถ้าแดงสอบได้แล้ว แดงจะได้รางวัล”
Example 36 จงหานิเสธของ  (p  q) (p  q)

20. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 19
การอ้างเหตุผล
ตัวอย่างการอ้างเหตุผล เช่น
เหตุ 1. นายหมาลักทรัพย์
2. นายหมาฆ่าคน
3. นายหมาเสพยา
ผล นายหมาติดคุก
จากตัวอย่างดังกล่าว จะพบว่า การอ้างเหตุผลประกอบไปด้วย 2 ส่วนสาคัญ คือ
1. ส่วนเหตุ (ซึ่งส่วนมากเหตุที่ทาให้เกิดผลจะมีหลาย ๆ เหตุ)
2. ส่วนผล
ถ้าส่วนที่เป็นเหตุสามารถทาให้ผลเป็นจริง จะกล่าวว่าเป็นการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล แต่ถ้าส่วนที่เป็น
เหตุไม่สามารถทาให้ผลเป็นจริงได้ จะกล่าวว่าเป็นการอ้างเหตุที่ไม่สมเหตุสมผล
วิธีการตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล หรือไม่มีดังนี้
วิธีที่ 1 ให้นาเหตุและผลที่จะตรวจสอบมาเขียนในรูป
เหตุ ผล
นั่นก็คือ (P1  P2  P3  …. Pn) q
สังเกตว่าถ้ามีเหตุหลาย ๆ เหตุให้เชื่อมด้วยคาว่า “และ” เสมอ
และตรวจสอบว่าประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
ถ้าเป็น สรุปว่า สมเหตุสมผล
ถ้าไม่เป็น สรุปว่า ไม่สมเหตุสมผล
Example 37 ใช้ตรวจสอบว่า การอ้างเหตุผลต่อไนปี้ สมเหตุสมผล หรือไม่
เหตุ 1. p q
2. p
ผล q

21. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 20
Example 38 ให้ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1. p q
2. q r
ผล p r
Example 39 ให้ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1. ดาจิมชอบเล่นเทนนิส หรือฟุตบอล
2. ดาจิมไม่ชอบเล่นเทนนิส
สรุป ดาจิมชอบเล่นฟุตบอล

22. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 21
วิธีที่ 2 ดัดแปลงมาจากวิธีที่ 1
พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้
(P1  P2 …..  Pn) q
T T T
T F F
F T T
F T F
จะพบว่ากรณีที่เหตุเป็นเท็จ ประพจน์ดังกล่าวจะมีค่าความจริงเป็นจริงอย่างแน่นอน [จึงไม่ต้องตรวจสอบ]
ดังนั้นในการตรวจสอบให้ตรวจสอบเฉพาะกรณีที่เหตุเป็นจริง เพื่อที่จะดูว่าผลของ q เป็นอย่างไร ถ้าผล q เป็น
จริงแสดงว่าประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรันดร์ จึงสรุปได้ว่าการให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล
ขั้นตอนการทา ให้เหตุแต่ละเหตุเป็นจริง แล้วนามาข้อมูลดังกล่าวไปหาค่าความจริงของผล
ถ้าผลจริงก็สรุปได้ว่าสมเหตุสมผล
Example 40 ให้ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1) p (q  s)
2) p  s
ผล q
Example 41 ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1)  p q 2. p ( r  s)
3) q  t 4. t
ผล  r s

23. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 22
Example 42 กาหนดเหตุดังต่อไปนี้
เหตุ 1. p q 2. r s 3. r  p
จงพิจารณาว่าผลในข้อใดที่ทาให้การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล
1. q   s 2. q (r   s)
3. r  q 4. (r  q) (p   s)
Example 43 ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1. p (q r)
2. p
3.  t q
ผล r t

24. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 23
วิธีที่ 3 จารูปแบบการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลของรูปแบบที่ใช้บ่อย ๆ ผสมกันความรู้เกี่ยวกับประพจน์ที่
สมมูลกันมาช่วยในการตรวจสอบการอ้างเหตุผล
รูปแบบการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล ที่ใช้บ่อย ๆ (ควรจา) มีดังนี้
รูปแบบที่ 1 รูปแบบที่ 2
เหตุ 1. p q เหตุ 1. p q
2. p 2. q r
ผล q ผล p r
รูปแบบที่ 3 รูปแบบที่ 4
เหตุ 1. p q เหตุ 1. p  q
2. q 2.  p
ผล q ผล q
รูปแบบที่ 5 รูปแบบที่ 6
เหตุ p  q เหตุ p
ผล p (จะสรุป q ก็ได้นะ) ผล p  q
รูปแบบที่ 7 รูปแบบที่ 8
เหตุ 1. p r เหตุ 1. p r
2. q r 2. q s
ผล (p  q) r 3. p  q
ผล r v s
Example 44 ตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1.  p q 2.  r
3. p s 4. q  r
ผล s

25. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 24
Example 45 ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1. p  q 2. q
3.  r  p 4. r s
ผล s
Example 46 ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1.  r s 2. s (p  q) 3. r t
4.  t 5.  p
ผล q
Example 47 ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1. q (p r) 2. r s
3. q 4.  s
ผล  p

26. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 25
ตัวบ่งปริมาณ
ทราบมาแล้วว่าประโยคบอกเล่าที่มีตัวแปรจะเรียกว่า “ประโยคเปิด” ตัวอย่าง เช่น “เขาเป็นนัก
คณิตศาสตร์” มีตัวแปรคือ “เขา” x + 10 = 25 มีตัวแปรคือ x นิยมใช้สัญลักษณ์
- P(x) แทน ประโยคเปิดที่มีตัวแปร x เช่น ใช้ P(x) แทน x + 2 > 5
- P(x, y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปร x, y เช่น ใช้ P(x, y) แทน x2
+ y2
= 25
ประโยคเปิดเหล่านี้ไม่เป็นประพจน์ แต่สามารถทาให้เป็นประพจน์ได้ ถ้านาค่าบางค่าแทนตัวแปรในประโยค
เปิด แล้วมีผลทาให้ทราบทันทีว่า ประโยคเหล่านี้เป็นจริงหรือเท็จ โดยค่าที่นามาแทน จะต้องมาจาก
เอกภพสัมพัทธ์ที่กาหนดขึ้น และจะต้องมีการบ่งบอกจานวนที่จะนามาแทนค่าตัวแปรด้วย (ตัวบ่งปริมาณ)
สรุป ประโยคเปิดสามารถที่จะเป็นประพจน์ได้ ถ้าประกอบด้วย 3 ส่วน คือ
1. ส่วนที่เป็นประโยคเปิด
2. เอกภพสัมพัทธ์
3. ตัวบ่งปริมาณ เช่น ทุก ๆ ค่า , บางค่า
ตัวบ่งปริมาณจะมีอยู่ 2 ชนิด คือ
1. ตัวบ่งปริมาณ “ทั้งหมด” ได้แก่ คาว่า “ทั้งหมด” , “แต่ละค่าของ…” “สาหรับทุก ๆ ค่า….” เขียนแทนด้วย
 อ่านว่า “for all” มีความหมายว่า สมาชิกทั้งหมดในเอกภพสัมพัทธ์จะเป็นไปตามเงื่อนไขที่กาหนด
x[P(x)] มีความหมายว่า สาหรับทุก ๆ x ในเอกภพสัมพัทธ์ ( ) มีเงื่อนไข P(x)
Example 48
1. x[x + 4 > 6] เมื่อ = {2, 3, 4, 5}
อ่านว่า
2. x[x2
+ 2x + 1  0] เมื่อ = {-2, 1, 3, 7}
อ่านว่า

27. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 26
Example 49 ให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนจริง เขียนประโยคต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์
 จานวนเต็มทุกจานวนเป็นจานวนจริง
 สาหรับจานวนจริงบวก x ทุกจานวน 2x = |x|
2. ตัวบ่งปริมาณ “มีอย่างน้อยหนึ่ง” ได้แก่ คาว่า “มีอย่างน้อยหนึ่ง” “สาหรับบางค่าของ…” เขียนแทนด้วย 
อ่านว่า “for some” หมายความว่า มีสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์อย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็นไปตาม
เงื่อนไขที่กาหนด
x[P(x)] มีความหมายว่า มี x อย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไข P(x)
Example 50
1. x[x2
+ 2x + 3 = 0] เมื่อ U = I
อ่านว่า
2. x[x > 0  x2
+ x  0] เมื่อ U = R
อ่านว่า
Example 51
1. มีจานวนจริง x อย่างน้อยหนึ่งจานวนที่ทาให้ x2
= 2
2. มีจานวนจริงบวก x อย่างน้อยหนึ่งจานวนที่ทาให้ x2
– 2x + 3 = 0
 ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 1 ตัว
ถ้ากาหนดให้ P(x) เป็นประโยคเปิดที่มีตัวแปร x และกาหนดเอกภพสัมพัทธ์คือ ค่าความจริงของ
[P(x)] และ [P(x)] เป็นดังนี้
x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อนาสมาชิกทุกตัวที่อยู่ใน ไปแทนค่า x ใน P(x) แล้วทาให้ P(x) เป็นจริง
x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมีสมาชิกใน อย่างน้อย 1 ตัว ไปแทนค่า x ใน P(x) แล้วทาให้ P(x)
เป็นเท็จ

28. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 27
ข้อสังเกต ถ้าจะเช็คว่า x[P(x)] จริงต้องแทน x ทุกค่า แต่ถ้าจะเช็คว่า x[P(x)] เป็นเท็จ
ถ้าเจอค่า x ที่ทาให้ P(x) เป็นเท็จค่าเดียวก็สรุปได้เลย
x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมีสมาชิกใน อย่างน้อย 1 ตัว ไปแทนค่า x ใน P(x)
แล้วทาให้ P(x) เป็นจริง
x[P(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อนาสมาชิกทุกตัวที่อยู่ใน ไปแทนค่า x ใน P(x) แล้วทาให้ P(x) เป็นเท็จ
(ไม่มีตัวไหนที่แทนแล้วเป็นจริงเลย)
ความสัมพันธ์ระหว่าง x, x ได้ดังนี้
ถ้า x[P(x) มีค่าความจริงเป็นจริง แล้ว x[P(x)] จะมีค่าความจริงเป็นจริงด้วย
(ถ้าเช็ค x จริง สรุป x ได้เลย)
ถ้า x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้ว x[P(x)] จะมีค่าความจริงเป็นเท็จทันที
(ถ้าเช็ค x เท็จ สรุป x เท็จได้ทันที)
Example 52 หาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1.  x[x2
– 2x – 3 = 0] เมื่อ U = {1, 2, 3, 4}
2. x[x2
+ 2x + 1  0] และ  x[x2
+ 2x + 1 0] เมื่อ U = {-2, 1, 3, 7}
3. x[x + 3 > 5] เมื่อ U = {4, 5, 6}

29. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 28
4. x[ 2x = x] โดยที่ U = R (ทาไงดีเอกภพสัมพัทธ์คือ R เลยนะ)
5. x[x + 1  x] โดยที่ U = R (เป็นจานวนจริงอีกแล้ว)
Example 53 ให้ R เป็นเซตของจานวนจริง Q เป็นเซตของจานวนตรรกยะ I เป็นเซตของจานวนเต็มและ
เอกภพสัมพัทธ์ คือ R จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1. x [ x  Q  x > 2 ] (ระวัง! มีตัวเชื่อมด้วยนะ)
2. x [x2
> 9 x > 3]

30. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 29
3. x[x2
 x V x2
+ x + 1 = 0]
Example 54 ให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนจริง จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1. x[ x > 0] x[x  5]
2.  x[x > 0]   x[2 < x < 5]

31. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 30
ประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณมากกว่า 1 ตัว
ถ้าประโยคเปิดมีตัวแปรมากกว่า 1 ตัว เช่น
x2
+ 2xy + y2
= 3 , (x – 5)2
+ (y – 3)2
= 25
การที่จะรู้ว่าประโยคเปิดดังกล่าวเป็นจริงหรือเท็จนั้นจะต้องทราบทั้งค่าของ x และ y ที่จะนาไปแทน นั่นคือ
ถ้าจะทาให้เป็นประพจน์จะต้องมีตัวบ่งปริมาณทั้งของ x, y
โดยจะใช้สัญลักษณ์ P(x, y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปร x และ y
Example 55 พิจารณาว่าเป็นประพจน์หรือไม่
1. x y[x + y = y + 5]
2.  y[x + y = y + 5]
ถ้าให้ P(x, y) คือ x2
+ y2
= 2x + 1 เป็นประโยคเปิด จะทาให้เป็นประพจน์โดยนาตัวบ่งปริมาณมาใช้กับ
ประโยคเปิดดังกล่าวได้ 4 รูปแบบ คือ (ให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนจริง)
1. x y [x2
+ y2
= 2x + 1]
อ่านว่า “สาหรับทุก ๆ x และทุก ๆ y ที่เป็นจานวนจริงที่ทาให้ x2
+ y2
= 2x + 1”
2. x y[x2
+ y2
= 2x + 1]
อ่านว่า “สาหรับบางค่าของ x และ y ที่เป็นจานวนจริงที่ทาให้ x2
+ y2
= 2x + 1”
3. x y [x2
+ y2
= 2x + 1]
อ่านว่า “สาหรับทุกค่า x ที่เป็นจานวนจริง จะมี y ที่เป็นจานวนจริงอย่างน้อยหนึ่งค่าที่ทาให้
x2
+ y2
= 2x + 1”
4. x y [x2
+ y2
= 2x + 1]
อ่านว่า “มี x ที่เป็นจานวนจริงอย่างน้อย 1 ตัว ซึ่งทาให้ x2
+ y2
= 2x + 1 สาหรับทุก ๆ จานวนจริง y”

32. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 31
Example 56 กาหนดให้ U = R ประโยค “สาหรับจานวนจริง x ใด ๆ มีจานวนจริง y ซึ่งทาให้ x + y > 10 หรือ
x2
+ y2
= 3” เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ คือ
ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตัว
ในการตรวจสอบว่าประโยคเปิด P(x,y) ใด ๆ เป็นจริงหรือเท็จนั้น ในแต่ละครั้งต้องแทนค่า x หนึ่งค่า
และ y หนึ่งค่า ในประโยคเปิดพร้อมกัน จึงจะทราบว่า P(x, y) เป็นจริงหรือเท็จ
ถ้ากาหนดให้ P(x, y) เป็นประโยคเปิดที่มีตัวแปร x, y และกาหนดเอกภพสัมพัทธ์คือ ค่าความจริง
ของ x y [P(x, y)] , x y [P(x, y)] , xy[P(x, y)] , x y [P(x, y)] เป็นดังนี้
x y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ ทุก ๆ ค่าของ x และ y ใน เมื่อนาไปแทนค่าแล้วทาให้
P(x, y) เป็นจริง
xy [P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ มี x และ y อย่างน้อย 1 คู่ใน ซึ่งเมื่อนาไปแทนค่าแล้ว
ทาให้ P(x, y) เป็นเท็จ
xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อแต่ละค่าของ x ใน สามารถหาค่า y ที่อยู่ใน อย่างน้อย 1 ตัว
แทนค่าแล้วทาให้ P(x, y) เป็นจริง
xy [P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ มี x อย่างน้อย 1 ตัว ใน ซึ่งทาให้ P(x, y) เป็นเท็จสาหรับทุก ๆ
ค่าของ y ที่อยู่ใน
x y [P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ มี x อย่างน้อย 1 ตัว ใน ซึ่งทาให้ P(x, y) เป็นจริงสาหรับ
ทุกค่า y ที่อยู่ใน
x y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ ไม่มี x ที่อยู่ใน เลยที่ทาให้ P(x, y) เป็นจริงสาหรับทุกค่า
ของ y ที่อยู่ใน
xy [P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x และ y อย่างน้อย 1 คู่ ใน ที่ทาให้ P(x, y) เป็นจริง
xy [P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ ทุก ๆ ค่าของ x และ y ที่อยู่ใน เมื่อนาไปแทนค่าแล้วทาให้ P(x, y)
เป็นเท็จ

33. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 32
Example 57 จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1. xy [x2
+ y2
= 9] เมื่อกาหนดให้ U = {0, 2, 3}
2. xy[x2
– y < 3] เมื่อกาหนดให้ U = {-1, 1, 2}
3. xy [|x + y| = |x| + |y|] เมื่อ U = {-2, -1, 0, 1, 2}
4. xy[x + y  y] เมื่อ U = I+

34. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 33
5. xy[x + y = 0] เมื่อ U = {-1, 0, 1}
6. xy [xy = y] เมื่อ U = {0, 3, 4}
7. xy[|x + y| = |x| - |y|] เมื่อ U = {-2, -1, 1, 2}
8. xy [x + y = y] เมื่อ U = I

35. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 34
9. xy [x  y = 1] เมื่อ U = I
10. xy[x2
+ x = y2
= y] เมื่อ U = {-2, -1, 0, 1, 2}
11. xy  2yx  เมื่อ U = I+

36. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 35
การสมมูลกันของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
เนื่องจากประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณจะเป็นประพจน์ ดังนั้นสามารถที่จะนารูปแบบการสมมูลกันของ
ประพจน์มาใช้กับประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณได้เช่นเดียวกัน
ตัวอย่าง เช่น
1. x[P(x)] x(Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)]  x[P(x)]
(จากรูปแบบ p q  q p นั่นเอง)
2.  (x[P(x)]  x[Q(x)]) สมมูลกับ  x[P(x)]  x[Q(x)]
(จากรูปแบบ  (p  q)   p  q
3.  [x[P(x)] x[Q(x)]] สมมูลกับ x[P(x)]  x[Q(x)]
นิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
1. นิเสธของ x[P(x)] คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกัน x[P(x)]
โดยนิเสธของ x[P(x)] จะเขียนแทนด้วย x[P(x)]
x [P(x)]  x[P(x)]
2. นิเสธของ x[P(x)] จะเขียนแทนด้วย x[P(x)]
x[P(x)]  x[ P(x)]
สังเกตว่า ถ้ามี  ให้เปลี่ยนเป็น  แต่ถ้ามี  ก็ให้เปลี่ยนกลับไปเป็น  และใส่  หน้าประโยคเปิด
Example 58 หานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้
1. มีนักเรียนอย่างน้อย 1 คน ในห้องนี้ไม่ใส่นาฬิกา
2. จานวนจริง x ทุกจานวนที่ทาให้ x2
 0
3. x[x + 5 = 7]
4. x[x – 5 = 3  x + y = 9]
5. x[x = 2 x2
= 4]
6. “มีอย่างน้อย 1 คน ในห้องนี้ ที่รับประทานขนมจีน”
7. x[x = 2 2 + 1]

37. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 36
ในทานองเดียวกัน ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีตัวบ่งปริมาณมากกว่าหนึ่งตัว สามารถที่จะหานิเสธของประพจน์
ดังกล่าวได้ดังนี้
 xy[P(x, y)]  xy [P(x, y)]
 xy[P(x, y)]  xy [P(x, y)]
 xy[P(x, y)]  xy[P(x, y)]
 xy[P(x, y)]  xy[P(x, y)]
Example 59 หานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้ (พื้นฐาน)
1. xy[x2
+ y2
> 5]
2. xy [x + y = 7]
3. xy [x + y = y2
]
4. xy [x + y > y2
– 5]
Example 60 หานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้
1. xy [(x + y < 4)  (x – y > 5)]
2.  x[(x + 3 = 4) x2
= 9]
3. xy [x2
+ y = y – 1 x เป็นจานวนอตรรกยะ]

38. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 37
Example 61 หานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้
1. x[P(x)  x[Q(x)]
2. x[P(x)]  x[Q(x)]
3.  [x[P(x)] x[Q(x)]
4. x[P(x)]   x[Q(x)]

39. แบบฝึกหัด
จงเลือกคำตอบที่ถูกต้อง
1. ประโยคในข้อใดต่อไปนี้เป็นประพจน์
ก. เดือนตุลำคมนี้น้ำท่วมกรุงเทพมหำนครหรือไม่ ข. อย่ำลอกคำตอบของผู้อื่น
ค. ดำวฤกษ์ไม่มีแสงสว่ำงในตัวเอง ง. x + 1 = 2
2. ข้อควำมใดไม่เป็นประพจน์
ก. สำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ x2
 0 ข. 5 เป็นจำนวนตรรกยะ
ค. สำหรับจำนวนจริง x และ y ใด ๆ x + y = 8 ง. สำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ x > x
3. ข้อควำมใดเป็นประพจน์
ก. รักดีหำมจั่ว รักชั่วหำมเสำ ข. บนดำวพลูโตมีสิ่งที่มีชีวิตอำศัยอยู่
ค. กินข้ำวให้เสร็จก่อนแล้วจึงดูทีวี ง. ขอให้ทุกคนโชคดีในกำรสอบ
4. ถ้ำให้ p แทน 2 น้อยกว่ำ 6
q แทน 6 หำรด้วย 2 เท่ำกับ 3
r แทน 3 เป็นจำนวนเต็มคี่
ข้อควำม “ 2 น้อยกว่ำ 6 และ 6 หำรด้วย 2 เท่ำกับ 3 ดังนั้น 3 เป็นจำนวนเต็มคี่ ”
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ในข้อใด
ก. ( p  q )  r ข. ( p  q )  r
ค. ( p  q ) r ง. ( p  q ) r
5. ให้ p แทน “ นักเรียนชั้น ม. 4 ”
q แทน “ ผู้ที่เรียนวิชำ ค 011 ”
r แทน “ ผู้ที่ได้รับอนุญำตให้เข้ำห้องประชุม ”
ข้อควำม “นักเรียนชั้น ม. 4 ที่เรียนวิชำ ค 011 เป็นผู้ที่ไม่ได้รับอนุญำตให้เข้ำห้องประชุม ”
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ข้อใด
ก. ( p  q ) ~ r ข. ( p  q ) ~ r
ค. ( p  q )  ~ r ง. ( p  q )  ~ r
6. ถ้ำ p , q และ r เป็นประพจน์ที่มีค่ำควำมจริง เป็นจริง , เท็จ และจริงตำมลำดับ แล้วประพจน์ใด
ต่อไปนี้มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ก. ( p  r ) q ข. ( q  ~ p ) p
ค. ( p  ~ q ) ~ r ง. ( p  ~q ) r
7. ถ้ำกำหนดให้ประพจน์ p ( q  r ) มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จแล้ว ข้อสรุปใดถูกต้อง
ก. p เป็นเท็จ ข. q เป็นเท็จ ค. r เป็นเท็จ ง. ~ q  ~ r เป็นจริง
คณิตศำสตร์ ม. 4 “ต ร ร ก ศ ำ ส ต ร์”

40. 2
8. ถ้ำ pq มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ และ p rมีค่ำควำมจริงเป็นจริงเป็นเท็จแล้วข้อใดมีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ก. ~ ( p  q ) ข. ~ (p r) ค. ( p  r ) q ง. P (qr)
9. ถ้ำ ~ p ~q เป็นเท็จ และ q  r เป็นจริง ข้อใดต่อไปนี้มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ
ก. ~ p  (q r ) ข. ( p  q ) r
ค. ( q p )  ~ r ง. ( p  ~ q ) ~ r
10. กำหนด ( p  q ) r เป็นจริง และ r ~ s เป็นเท็จ ประพจน์ใดมีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ
ก. ~ s p ข. (pq ) r ค. ( p  q ) ~ r ง. r (~ s  p )
11. กำหนดให้ [ p  ( q r )] [ (q  s) (q  r) ] มีค่ำควำมจริงเป็นจริงและ
p มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ ข้อใดเป็นค่ำควำมจริงของ q , r , s ตำมลำดับ
ก. T, T, F ข. F, F, T ค. T, F, T ง. F, T, F
12. กำหนดให้ ~ p q , ~ p  r , ~ r เป็นประพจน์ที่มีค่ำควำมจริงเป็นจริง ประพจน์ในข้อใด
ต่อไปนี้มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ก. p q ข. q r ค. p  r ง. p  ~ q
13. กำหนดให้ p แทนประพจน์ “ 2 + 2 = 4 ” q แทนประพจน์ “ 4 x 8 = 24 ”
แล้วประพจน์ p q มีค่ำควำมจริงตรงกับค่ำควำมจริงของประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้
ก. p ~ q ข. ~ p q ค. ( p  q ) p ง. (pq) q
14. ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ สมมูลกับประพจน์ p q
ก. ~ p  q ข. p  ~ q ค. ~ p  q ง. p  ~ q
15. ประพจน์ ~ ( ~ p q ) สมมูลกับประพจน์ในข้อใด
ก. ~ ( p  q ) ข. ~ ( p  q ) ค. ~ p  q ง. p  ~ q
16. ประพจน์ p ~ q สมมูลกับประพจน์ในข้อใด
ก. ~ p  q ข. ~ ( p  q ) ค. p  ~ q ง. ~ ( p  q )
17. ประพจน์ ( p  q ) r สมมูลกับประพจน์ในข้อใด
ก. ~ r ( ~ p  ~ q ) ข. ( ~ p  ~ q )  r
ค. ( ~ p  ~ q ) ~ r ง. ~ p  ( ~ q  r )
18. ประพจน์ ~ ( p q ) r สมมูลกับประพจน์ในข้อใด
ก. ~ r ( p  q ) ข. ~ r ( ~ p  q )
ค. ~ r ( p  ~ q ) ง. ~ r ( ~ p  q )
19. ประโยค “ไม่เป็นควำมจริงที่ว่ำ ถ้ำ x + y  1 แล้ว ( x + y )2
> 1 ”จะมีควำมหมำย
เช่นเดียวกับประโยคใด ต่อไปนี้
ก. x + y  1 และ ( x + y )2
> 1 ข. ถ้ำ ( x + y )2
 1 แล้ว x + y = 1
ค. x + y  1 และ ( x + y )2
 1 ง. ถ้ำ x + y = 1 แล้ว ( x + y )2
 1

41. 3
20.กำหนดให้ประพจน์ x y สมมูลกับประพจน์ y  ~ x ประพจน์ ( ~ p  q ) r
สมมูลกับประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้
ก. ( r  p )  ( ~ r  q ) ข. ( r  p )  ( r  ~ q )
ค. ( r  p )  ( ~ r  q ) ง. ( r  p )  ( r  ~ q )
21. กำหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ดังนั้นประพจน์ ~ [ (p  q ) ( ~ q  r ) ]
สมมูลกับประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้
ก. p  ~ ( q r ) ข. ~ q ( ~ p  r )
ค. ~ ( p  q )  ( q  r ) ง. ~ ( p  q ) ( q  ~ r )
22. ข้อควำมใดสมมูลกับข้อควำม “ ถ้ำ ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 ”
ก. ถ้ำ a = 0 หรือ b = 0 แล้ว ab = 0 ข. ถ้ำ ab  0 แล้ว a  0 หรือ b  0
ค. ถ้ำ a  0 หรือ b  0 แล้ว ab  0 ง. ถ้ำ a  0 และ b  0 แล้ว ab  0
23. ประพจน์ในข้อใดสมมูลกับ p q
ก. ( p  ~ q ) ( r  ~ r ) ข. ( p  ~ q ) ~ p
ค. ( p  ~ q ) q ง. สมมูลทั้ง ก, ข, ค
24. ข้อควำม “ ถ้ำ x = 3 แล้ว x2
= 9 ” สมมูลกับข้อควำมในข้อใด
ก. ถ้ำ x2
 9 แล้ว x  3 ข. ถ้ำ x  3 แล้ว x2
 9
ค. ถ้ำ x  3 แล้ว x2
= 9 ง. ถ้ำ x = 3 แล้ว x2
 9
25. “ ถ้ำวิภำหนีเรียนแล้ววิภำถูกทำโทษ ” สมมูลกับข้อใด
ก. ถ้ำวิภำถูกทำโทษ แล้ววิภำหนีเรียน ข. ถ้ำวิภำไม่ถูกทำโทษ แล้ววิภำไม่หนีเรียน
ค. วิภำหนีเรียน และวิภำถูกทำโทษ ง. วิภำไม่หนีเรียน และวิภำไม่ถูกทำโทษ
26. กำหนดข้อควำม “ ถ้ำนำยแดงกินผักแล้ว นำยแดงไม่เป็นหวัด ” ข้อควำมข้ำงบนนี้สมมูลกับข้อควำมในข้อใด
ก. ถ้ำนำยแดงไม่กินผักแล้ว นำยแดงเป็นหวัด ข. ถ้ำนำยแดงเป็นหวัด แล้วนำยแดงไม่กินผัก
ค. นำยแดงกินผัก และนำยแดงไม่เป็นหวัด ง. นำยแดงไม่กินผัก และนำยแดงเป็นหวัด
27. นิเสธของประพจน์ ( p q ) r คือข้อใด
ก. ( p  ~ q )  ~ r ข. ( p  ~ q)~ r ค. (~pq)~ r ง. (p~ q)  ~ r
28. ข้อใดเป็นนิเสธของ ~ p ( q  ~ r )
ก. ~ p  ~ q  r ข. p  ~ ( q  r )
ค. ~ p ( ~ q  r ) ง. ( q  ~ r ) ~ p
29. นิเสธ ของข้อควำม “ พิไลเป็นคนสวย แต่ไม่ฉลำด ” คือข้อใด
ก. พิไลเป็นคนไม่สวย หรือไม่ฉลำด ข. พิไลเป็นคนสวย แต่ฉลำด
ค. ถ้ำพิไลเป็นคนสวย แล้วพิไลฉลำด ง. พิไลไม่เป็นคนสวย และไม่ฉลำด

42. 4
30. รูปแบบประพจน์ในข้อใด เป็นสัจนิรันดร์
ก. ( ~ p q )  ( p  ~ q ) ข. ( ~ p q ) ( q p )
ค. ( ~ r  ~ s )  ( r  s ) ง. ( ~ p q ) ( q ~ p )
31. ข้อต่อไปนี้ ข้อใดเป็นสัจนิรันดร์
ก. [ ( p q )  p ] ~ q ข. [ ( p q )  ~ q ] ~ p
ค. ( p  ~ q ) ( p  q ) ง. ( ~ p q ) ( P  ~ p )
32. จงพิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้
(1) ( p ~ q ) ~ ( p  q ) เป็นสัจนิรันดร์
(2) ~ ( ~ p q ) ~ ( p q ) เป็นสัจนิรันดร์
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
ก. ข้อ 1 ถูก ข. ข้อ 2 ถูก ค. ข้อ 1 และข้อ2 ถูก ง. ข้อ 1 และ ข้อ 2 ผิด
33. ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์
ก. [ ( p  r ) ( q  r ) ] ( p q )
ข. [ ( p  ~ q ) ~ p ] ( p q )
ค. [ ( p  ~ q ) ~ q ] ( p q )
ง. [ ( p  ~ q ) ~ q ] ( p q )
34. กำหนดประพจน์ 1. ( p  ~ p ) ( q  ~ q )
2. [ p  ( q  ~ q ) ] [ ~ p  ( q  ~ q ) ]
3. ~ ( p q )  ( ~ p ~ q )
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. นิเสธของ 1 เท่ำนั้นที่เป็นสัจนิรันดร์ ข. นิเสธของ 1 และ 2 เท่ำนั้นที่เป็นสัจนิรันดร์
ค. นิเสธของ 1 , 2 และ 3 เป็นสัจนิรันดร์ ง. นิเสธของ 1 , 2 และ 3 ไม่เป็นสัจนิรันดร์
35. ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ไม่เป็นสัจนิรันดร์
ก. [(p  q)  ~ p] (~ p  q) ข. [(pq) (p  q)] [(~p~q) (~p~ q)]
ค. ~ (p q) ~ (~ p  q) ง. [(~ p  q)  p] (p  q)
36. ให้ Q แทน จำนวนตรรกยะ R แทน จำนวนจริง
ประโยค “จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ใด
ก. x [ x  Q  x  R ] ข. x [ x  Q x  R ]
ค. x [ x  Q x  R ] ง. x [ x  Q  x  R ]
37. ให้ E แทน จำนวนคู่ O แทน จำนวนคี่
ประโยค “จำนวนเต็มคู่บำงตัวเป็นจำนวนคี่” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ใด
ก. x [ x E  x  O ] ข. x [ x E x O ]
ค. x [ x E x  O ] ง. x [ x E  x O ]

43. 5
38. กำหนดเอกภำพสัมพัทธ์ U และ p(x) เป็นประโยคเปิด จงพิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้
(1) ถ้ำ x [ p(x) ] มีค่ำควำมจริงเป็นจริงแล้ว x [ p(x) ] จะมีค่ำควำมจริงเป็นจริง
(2) ถ้ำ x [ p(x) ] มีค่ำควำมจริงเป็นจริงแล้ว x [ ~ p(x) ] จะมีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. ข้อ (1) และ (2) ถูกต้อง ข. ข้อ (1) เท่ำนั้นที่ถูกต้อง
ค. ข้อ (2) เท่ำนั้นที่ถูกต้อง ง. ข้อ (1) และ (2) ไม่ถูกต้อง
39. กำหนดเอกภพลักษณ์ U ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
ก. ประพจน์ x [ p(x) ] x [ p(x) ] เป็นสัจนิรันดร์
ข. ประพจน์ x [~ p(x) ] x [~ p(x) ] เป็นสัจนิรันดร์
ค. ประพจน์ x [~ p(x) ] x [ p(x) ] เป็นสัจนิรันดร์
ง. ประพจน์ x [ p(x) ] x [~ p(x) ] ไม่เป็นสัจนิรันดร์
40. กำหนดเอกสัมพัทธ์ U = เซตของจำนวนเต็ม ข้อใดต่อไปนี้ถูก
ก. x [ x2
 0 หรือ x2
+ 1 = 0 ] มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ข. x [ x + 4 = 0 และ x – 2 = -6 ] มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ
ค. x [ x2
> 0 และ x เป็นจำนวนตรรกยะ] มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ง. x [ ถ้ำ x < 3 แล้ว x < 5 ] มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ
41. กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = R+
= เซตของจำนวนจริงบวก ประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ก. xy [ x + y  x ] ข. x y [ xy U ]
ค. x y [ x > y ] ง. x y [ x + y = 0 ]
42. กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = { - 1, 0, 1} จงพิจำรณำประพจน์ต่อไปนี้
(1) x y [ x2
– y = y2
– x ] (2) xy [ x2
– y = y2
– x ]
(3) x y [ x2
– y = y2
– x ] (4) xy [ x2
– y = y2
– x
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. ประพจน์ (1) และ (2) มีค่ำควำมจริงเป็นจริง ข. ประพจน์ (1) และ (3) มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ค. ประพจน์ (1), (3), (4) มีค่ำควำมจริงเป็นจริง ง. ประพจน์ (2), (3), (4) มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
43. กำหนดประพจน์ x y [ xy = 1 ]  xy [ xy = y ]
เอกภพสัมพัทธ์ในข้อใดต่อไปนี้ที่ทำให้ประพจน์ที่กำหนดให้มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ก. เซตของจำนวนเต็ม ข. เซตของจำนวนเต็มบวก
ค. เซตของจำนวนจริง ง. เซตของจำนวนจริงบวก
44. กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ U =เซตของจำนวนจริงและกำหนดประโยคเปิด p(x) แทน x เป็นจำนวนอตรรกยะ
q(x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ ประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ
ก. x [ p(x) q( 2 ) ] ข. x [q(x) p(0.5)]
ค. x [p(x)  ~q( 2 ) ] ง. x [q(x)  ~ p(0.5)]

44. 6
45. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. x [ x < 1] x [x > 1] สมมูลกับ x [ x  1 ] x [ x  1 ]
ข. x [ x A ] x [ x B ] สมมูลกับ x [x A ]  x [ x B]
ค. x [ x < 1 xA ] ไม่สมมูลกับ x [x  A x  1 ]
ง. x [x A x B ] ไม่สมมูลกับ x [x A x B ]
46. กำหนดกำรอ้ำงเหตุผลต่อไปนี้
(1) เหตุ 1. p  ~q (2) เหตุ 1. r q
2. q 2. ~p r
3. r ~p 3. ~s ~q
ผล ~ r ผล p  v
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
ก. อ้ำงเหตุผล (1) เท่ำนั้นที่สมเหตุสมผล ข. กำรอ้ำงเหตุผล (2) เท่ำนั้นที่สมเหตุสมผล
ค. ข้อ (1) และ (2) สมเหตุสมผล ง. กำรอ้ำงเหตุผล (1) และ (2) ไม่สมเหตุสมผล
47. กำหนดกำรอ้ำงเหตุผล ซึ่งประกอบด้วยเหตุดังนี้
เหตุ 1. P (q r)
2. s (t u)
3. p  q
4. s  t
ผลในข้อใดต่อไปนี้ ทำให้กำรอ้ำงเหตุผลนี้สมเหตุสมผล
ก. ผล ~r  u ข. ผล r  u
ค. ผล r  ~u ง. ผล ~r  ~u
48. กำหนดกำรอ้ำงเหตุผล ซึ่งประกอบด้วยเหตุดังนี้
เหตุ 1. ถ้ำนักเรียนตั้งใจเรียนแล้ว นักเรียนจะสอบได้
2. ถ้ำนักเรียนเกเรแล้ว นักเรียนจะสอบตก
3. นักเรียนตั้งใจเรียน และทำแบบฝึกหัดสม่ำเสมอ
ผลในข้อใดต่อไปนี้ ทำให้กำรอ้ำงเหตุผลนี้สมเหตุสมผล
ก. ผล นักเรียนไม่เกเร ข. ผล นักเรียนเกเร
ค. ผล นักเรียนเกเรแต่ตั้งใจเรียน ง. ผล นักเรียนเกเรแต่สอบได้
Do not worry about your difficulties in Mathematics.
I assure you mine are still greater.
อย่ำรู้สึกกังวลเกี่ยวกับควำมยำกของวิชำคณิตศำสตร์…
จนถึงทุกวันนี้ข้ำพเจ้ำยืนยันได้ว่ำคณิตศำสตร์ยังเป็นเรื่องยำก
สำหรับข้ำพเจ้ำ
คำคมจำกอัลเบิร์ต
ไอน์สไตน์

45. เอกสาร สรุปสูตรวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน&เพิ่มเติมระดับม.ปลาย
สรุป : อาจารย์ ประสิทธิ์ พงศ์ดารง (อาจารย์น้อย) Page 1
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรรกศาสตร์
ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่า ปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง(T)หรือค่าความจริงเป็นเท็จ(F)อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
ประโยคหรือข้อความที่มีลักษณะเป็นคาอุทาน คาขอร้อง คาสั่ง คาถาม ไม่เป็นประพจน์
ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีคาสรรพนาม(ตัวแปร) และสามารถทาให้เป็นประพจน์ได้เมื่อทราบค่า
ของตัวแปร เช่น x + 3 = 5 เป็นต้น
ตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมชนิดต่างๆ
ตัวเชื่อมของประพจน์มี 4 แบบ คือ
1. คาว่า “และ” แทนด้วย “”
2. คาว่า “หรือ” แทนด้วย “”
3. “ถ้า...แล้ว...” แทนด้วย “ ”
4. “…ก็ต่อเมื่อ...” แทนด้วย “ ”
หลักการจา จากรณีที่แตกต่าง
การสร้างตารางค่าความจริง ถ้ามีจานวน n ประพจน์ (p1 ,p2 ,p3 , … , pn) ค่าความจริงของทั้ง n ประพจน์
จะเป็นไปได้ทั้งหมด 2n
กรณี เช่น ในตารางข้างต้น จะมีประพจน์ 2 ประพจน์ (p, q) กรณีทั้งหมดที่เป็นไปได้มี 4 กรณี
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันและนิเสธกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์ที่สมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี แทนด้วย “ ”
ประพจน์ 2 ประพจน์ที่นิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงต่างกันทุกกรณี แทนด้วย “ ”
คุณสมบัติของประพจน์ที่สมมูลกัน
1. สมบัติ สลับที่และเปลี่ยนกลุ่ม ตัวเชื่อม “”,“” และ “ ”
2. สมบัติแจกแจง p  (q  r) (p  q)  (p  r) // p  (q  r) (p  q)  (p  r)
3. สมบัติตัดออก ( p ) p
4. สมบัติเดอร์มอแกน (p  q) p  q // (p  q) p  q
5. สมบัติเปลี่ยนรูป p q p  q // p q q p
สัจนิรันดร์ (Tautology)
สัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
วิธีตรวจสอบมี 3 วิธี ดังนี้ 1. สร้างตารางค่าความจริง (เป็นวิธีพื้นฐาน) 2. ใช้วิธีสมมูลกัน
3. ใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง(นิยมใช้***)
*** ใช้วิธีหาข้อขัดแย้งเป็นวิธีการที่ตรวจสอบว่า รูปแบบของประพจน์นั้น ๆ มีโอกาสเป็นเท็จได้หรือไม่
ถ้ามีโอกาสเป็นเท็จได้แม้แต่กรณีเดียวก็สามารถสรุปได้เลยว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ ขั้นตอนในการทาคือ
1. สมมติให้ประพจน์นั้น ๆ เป็นเท็จ
2. หาค่าความจริงของประพจน์ย่อยแต่ละประพจน์
3. ดูว่าเกิดการขัดแย้งหรือไม่
ตอบ ถ้าขัดแย้งจะเป็นสัจนิรันดร์ ถ้าไม่ขัดแย้งจะไม่เป็นสัจนิรันดร์
บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น(Logic)
p q p q p q p→q p↔q
T T T T T T
T F F T F F
F T F T T F
F F F F T T

46. เอกสาร สรุปสูตรวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน&เพิ่มเติมระดับม.ปลาย
สรุป : อาจารย์ ประสิทธิ์ พงศ์ดารง (อาจารย์น้อย) Page 2
การอ้างเหตุผล//ข้อความสมเหตุสมผล
วิธีการตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล หรือไม่มีดังนี้
วิธีที่ 1 ให้นาเหตุและผลที่จะตรวจสอบมาเขียนในรูป เหตุ ผล รูปแบบ (P1  P2  P3  …. Pn) q
แล้วตรวจสอบสัจนิรันดร์ ถ้าเป็นสัจนิรันดร์จะสรุปได้ สมเหตุสมผล
วิธีที่ 2 (นิยมใช้***)ให้เหตุแต่ละเหตุเป็นจริง แล้วนามาข้อมูลดังกล่าวไปหาค่าความจริงของประพจน์ย่อยพิจารณาผล
ถ้าผลจริงจะสรุปได้ว่าสมเหตุสมผล
วิธีที่ 3 จารูปแบบการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลของรูปแบบที่ใช้บ่อย ๆ
ตัวบ่งปริมาณ
1. ตัวบ่งปริมาณ “ทั้งหมด” ได้แก่ คาว่า “ทั้งหมด” “สาหรับทุก ๆ ค่า...” เขียนแทนด้วย  อ่านว่า “for all”
2. ตัวบ่งปริมาณ “มีอย่างน้อยหนึ่ง” ได้แก่ คาว่า “มีอย่างน้อยหนึ่ง” “สาหรับบางค่าของ…” เขียนแทนด้วย 
อ่านว่า “for some” หรือ “there exists”
ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 1 ตัว เมื่อกาหนดให้ P(x) เป็นประโยคเปิดที่มีตัวแปร x และ
กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U คือ ค่าความจริงของ [P(x)] และ [P(x)] เป็นดังนี้
x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อนาสมาชิกทุกตัวที่อยู่ใน U ไปแทนค่า x ใน P(x) แล้วทาให้ P(x) เป็นจริง
x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมีสมาชิกใน U อย่างน้อย 1 ตัว ไปแทนค่า x ใน P(x) แล้วทาให้ P(x) เป็นจริง
3. ประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตัว ประโยคเปิดจะมีได้ 4 รูปแบบ คือ
1. x y [P(x, y)] อ่านว่า “สาหรับทุก ๆ x และทุก ๆ y ที่เป็นจานวนจริงที่ทาให้ P(x, y)
2. x y [P(x, y)] อ่านว่า “สาหรับบางค่าของ x และ y ที่เป็นจานวนจริงที่ทาให้ P(x, y)
3. x y [P(x, y)] อ่านว่า “สาหรับทุกค่า x ที่เป็นจานวนจริง จะมี y ที่อย่างน้อยหนึ่งค่าที่ทาให้ P(x, y)
4. x y [P(x, y)] อ่านว่า “มี x ที่เป็นจานวนจริงอย่างน้อย 1 ตัว ซึ่งทาให้ P(x, y) สาหรับทุก ๆ y”
สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
1. x [P(x)] x [P(x)]
2. x [P(x)] x [P(x)]
3. x y [P(x, y)] x y [ P(x, y)]
4. x y [P(x, y)] x y [ P(x, y)]
5. x y[P(x, y)] x y [ P(x, y)]
6. x y [P(x, y)] x y [ P(x, y)]
Noi

47. ตรรกศาสตร์ 1
PAT 1 (มี.ค. 59)
1. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เป็นประพจน์ใดๆ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) (~𝑝 → 𝑞) → (~𝑞 → 𝑝) เป็นสัจนิรันดร์
(ข) (𝑝 → 𝑞) ↔ (~𝑝 ∧ 𝑞) ไม่เป็นสัจนิรันดร์
(ค) (𝑝 → 𝑞) ∨ (~𝑟 → ~𝑞) สมมูลกับ 𝑝 → 𝑟
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด 2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด 4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
PAT 1 (ต.ค. 58)
1. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เป็นประพจน์ โดยที่ (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ (~𝑝 ∧ ~𝑞) เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (𝑞 ↔ 𝑟) ∨ 𝑝 มีค่าความจริงเป็น จริง 2. (𝑝 → 𝑞) ∨ (𝑟 → 𝑝) มีค่าความจริงเป็น จริง
3. (𝑟 → 𝑞) ∧ (𝑝 ∧ 𝑞) มีค่าความจริงเป็น จริง 4. (𝑞 → ~𝑝) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
5. (𝑟 ∨ 𝑞) ↔ (𝑝 → ~𝑟) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
12. กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนตรรกยะ ให้ 𝑃(𝑥) คือ 8𝑥3
− 4𝑥 − 1 = 0
𝑄(𝑥) คือ 8𝑥4
− 8𝑥2
+ 𝑥 + 1 = 0
และ 𝑅(𝑥) คือ 𝑥3
+ 𝑥2
> 0
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)] มีค่าความจริงเป็นจริง
(ข) ∀𝑥[𝑄(𝑥) → 𝑅(𝑥)] มีค่าความจริงเป็นจริง
(ค) ∀𝑥[𝑃(𝑥) → 𝑅(𝑥)] มีค่าความจริงเป็นจริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อ (ก) ถูกเพียงข้อเดียว 2. ข้อ (ข) ถูกเพียงข้อเดียว
3. ข้อ (ค) ถูกเพียงข้อเดียว 4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
27 Jul 2016

48. 2 ตรรกศาสตร์
PAT 1 (มี.ค. 58)
2. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เป็นประพจน์ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ถ้าประพจน์ 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) มีค่าความจริงเป็น จริง
แล้วประพจน์ (𝑝 → 𝑞) ↔ (𝑝 → 𝑟) มีค่าความจริงเป็น จริง
(ข) ถ้าประพจน์ 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
แล้วประพจน์ [(~𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑟] ∨ (𝑝 ∨ ~𝑟) มีค่าความจริงเป็น จริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
PAT 1 (พ.ย. 57)
1. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 แทนประพจน์ใดๆ ให้ 𝑆(𝑝, 𝑞, 𝑟) แทนประพจน์ที่ประกอบด้วยประพจน์ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟
และค่าความจริงของประพจน์ 𝑆(𝑝, 𝑞, 𝑟) แสดงดังตารางต่อไปนี้
ประพจน์ 𝑆(𝑝, 𝑞, 𝑟) สมมูลกับประพจน์ใดต่อไปนี้
1. (𝑞 → 𝑝) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) 2. (𝑞 → 𝑝) → (𝑝 → ~𝑟)
3. (𝑝 ∧ ~𝑞) → (𝑞 ∧ 𝑟) 4. (𝑝 ∧ ~𝑞) → (𝑝 → ~𝑟)
𝑝 𝑞 𝑟 ค่าความจริงของ 𝑆(𝑝, 𝑞, 𝑟)
T T T T
T T F T
T F T F
T F F F
F T T T
F T F T
F F T T
F F F T

49. ตรรกศาสตร์ 3
2. ให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริง กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือ { 𝑥 ∈ ℝ | 0 < 𝑥 < 1 } พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ประพจน์ ∃ 𝑥∀𝑦 [ 𝑥2
− 𝑦2
< 𝑦 − 𝑥 ] มีค่าความจริงเป็นจริง
(ข) ประพจน์ ∀𝑥∀𝑦 [ |𝑥 − 𝑦| < 1 − 𝑥𝑦 ] มีค่าความจริงเป็นจริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
PAT 1 (เม.ย. 57)
3. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 และ 𝑡 เป็นประพจน์ ซึ่ง 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
𝑝 ↔ (𝑠 ∨ 𝑡) มีค่าความจริงเป็น จริง
ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็น จริง
1. (𝑞 ∧ 𝑠) → (𝑝 ∧ 𝑞) 2. (𝑠 ∧ 𝑡) → ~𝑞
3. (𝑞 ∨ 𝑠) ↔ 𝑝 4. (𝑝 → 𝑟) → 𝑠
PAT 1 (มี.ค. 57)
2. กาหนดให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจานวนจริง โดยที่ 𝑎𝑏 > 0
ให้ 𝑝 แทนประพจน์ “ถ้า 𝑎 < 𝑏 แล้ว 1
𝑎
>
1
𝑏
” และ 𝑞 แทนประพจน์ “√𝑎𝑏 = √ 𝑎√𝑏 ”
ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง
1. (𝑝 ⇒ 𝑞) ∨ (𝑞 ∧ ~𝑝) 2. (~𝑞 ⇒ ~𝑝) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑝)
3. (𝑝 ∧ ~𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝) 4. (~𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ (𝑝 ∧ 𝑞)

50. 4 ตรรกศาสตร์
3. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞, 𝑟 และ 𝑠 เป็นประพจน์ใดๆ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ถ้าประพจน์ (𝑝 ∨ 𝑞) ⇔ (𝑟 ∧ 𝑠) และประพจน์ 𝑝 มีค่าความจริงเป็นจริง
แล้วสรุปได้ว่าประพจน์ 𝑠 มีค่าความจริงเป็นจริง
(ข) ประพจน์ (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ (𝑟 ∧ 𝑠) สมมูลกับ ประพจน์ [𝑞 ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟)] ∧ [𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑠)]
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
PAT 1 (มี.ค. 56)
1. กาหนดให้ 𝑃 แทน ประพจน์ “ถ้า 𝐴 ∪ 𝐶 ⊂ 𝐵 ∪ 𝐶 แล้ว 𝐴 ⊂ 𝐵 เมื่อ 𝐴, 𝐵 และ 𝐶 เป็นเซตใดๆ”
และให้ 𝑄 แทน ประพจน์ “ถ้า 𝐶 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵 แล้ว 𝐶 ⊂ 𝐴 และ 𝐶 ⊂ 𝐵 เมื่อ 𝐴, 𝐵 และ 𝐶 เป็นเซตใดๆ”
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ประพจน์ [(𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ~𝑄] ⇔ 𝑃 มีค่าความจริงเป็น จริง
(ข) ประพจน์ (𝑃 ⇒ 𝑄) ⇒ (~𝑃 ∧ ~𝑄) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
PAT 1 (ต.ค. 55)
2. กาหนดให้ 𝑝 และ 𝑞 เป็นประพจน์ ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์
1. (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑝) 2. (~𝑝 ∨ ~𝑞) ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑞)
3. [(𝑝 ∧ ~𝑞) ⇒ ~𝑝] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑞) 4. [(𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ ~𝑞] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑞)

51. ตรรกศาสตร์ 5
3. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ถ้า 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เป็นประพจน์โดยที่ 𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑟) มีค่าความจริงเป็นจริง
แล้ว 𝑟 ⇒ [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (~𝑝 ⇒ 𝑟)] มีค่าความจริงเป็นจริง
(ข) กาหนดเอกภพสัมพัทธ์คือ { 𝑥 ∈ R | 𝑥2
≤ 2𝑥 + 3 } เมื่อ R คือเซตของจานวนจริง
แล้ว ∃𝑥[3 𝑥
+ 6 = 33−𝑥] มีค่าความจริงเป็นจริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
PAT 1 (มี.ค. 55)
2. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞, 𝑟 และ 𝑠 เป็นประพจน์ใดๆ
ประพจน์ [(𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ ~𝑝] ⇒ [(𝑟 ∨ 𝑠) ∧ (𝑟 ∨ ~𝑠)] สมมูลกับประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้
1. 𝑝 ⇒ 𝑟 2. 𝑞 ⇒ 𝑟
3. (𝑝 ∨ 𝑟) ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) 4. (𝑞 ∨ 𝑟) ∧ (𝑞 ∨ 𝑠)
PAT 1 (ธ.ค. 54)
1. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เป็นประพจน์ใดๆ โดยที่ ~𝑝 → 𝑞 มีค่าความจริงเป็นเท็จ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. (𝑝 ↔ 𝑟) → [(𝑝 ∨ 𝑟) → 𝑞] มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ข. (𝑝 → 𝑟) → (~𝑞 → 𝑝) มีค่าความจริงเป็นจริง
ข้อสรุปใดถูกต้อง
1. ก. ถูก ข. ถูก 2. ก. ถูก ข. ผิด
3. ก. ผิด ข. ถูก 4. ก. ผิด ข. ผิด

52. 6 ตรรกศาสตร์
2. กาหนดให้ 𝑃(𝑥) และ 𝑄(𝑥) เป็นประโยคเปิด ถ้า ∀𝑥[𝑃(𝑥)] ∧ ∀𝑥[~𝑄(𝑥)] มีค่าความจริงเป็นจริง แล้ว
ประพจน์ในข้อใดมีค่าความจริงเป็นเท็จ
1. ∀𝑥[𝑃(𝑥) → 𝑄(𝑥)] 2. ∃𝑥[~𝑃(𝑥) ∨ ~𝑄(𝑥)]
3. ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∧ ~𝑄(𝑥)] 4. ∀𝑥[𝑃(𝑥) → ~𝑄(𝑥)]
PAT 1 (มี.ค. 54)
1. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เป็นประพจน์โดยที่ 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) , 𝑟 ∨ ~𝑝 และ 𝑝 มีค่าความจริงเป็นจริง ประพจน์ใน
ข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1. [𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ ~𝑟)] ⇔ ~(𝑞 ∧ 𝑟) 2. [𝑝 ⇒ (𝑟 ⇒ q)] ⇔ [(𝑟 ⇒ 𝑝) ⇒ 𝑞]
3. [𝑝 ⇒ ~(𝑟 ∧ 𝑞)] ⇔ [𝑟 ⇒ (𝑝 ∧ 𝑞)] 4. [𝑝 ∨ ~(𝑞 ⇒ 𝑟)] ⇔ [𝑟 ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑞)]
PAT 1 (ต.ค. 53)
1. กาหนดให้ 𝐴 , 𝐵 และ 𝐶 เป็นประพจน์ใดๆ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ถ้า 𝐴 ⇔ 𝐵 มีค่าความจริงเป็นจริง แล้ว (𝐵 ∧ 𝐶) ⇒ (~𝐴 ⇒ 𝐶) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
2. ประพจน์ 𝐴 ⇒ [(𝐴 ∧ 𝐵) ∨ (𝐵 ∨ 𝐶)] เป็นสัจนิรันดร์
3. ประพจน์ [(𝐴 ∧ 𝐵) ⇒ 𝐶] ⇒ [(𝐴 ⇒ 𝐵) ⇒ (𝐴 ⇒ 𝐶)] เป็นสัจนิรันดร์
4. ประพจน์ (𝐴 ⇒ 𝐶) ∧ (𝐵 ⇒ 𝐶) สมมูลกับประพจน์ (𝐴 ∧ 𝐵) ⇒ 𝐶

53. ตรรกศาสตร์ 7
2. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนจริง และ
𝑃(𝑥) แทน √(𝑥 + 1)2 = 𝑥 + 1
𝑄(𝑥) แทน √ 𝑥 + 1 > 2
ข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงตรงข้ามกับประพจน์ ∃𝑥[𝑃(𝑥)] ⇒ ∀𝑥[𝑄(𝑥)]
1. ∃𝑥[~𝑃(𝑥)] ⇒ ∀𝑥[~𝑄(𝑥)] 2. ∃𝑥[𝑃(𝑥)] ⇒ ∃𝑥[𝑄(𝑥)]
3. ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)] ⇒ ∀𝑥[𝑃(𝑥)] 4. ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)] ⇒ ∀𝑥[𝑄(𝑥)]
PAT 1 (ก.ค. 53)
1. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞, 𝑟 และ 𝑠 เป็นประพจน์ที่ ประพจน์ (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ (𝑟 ∨ 𝑠) มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ
ประพจน์ 𝑝 ⇔ 𝑟 มีค่าความจริงเป็นจริง ประพจน์ในข้อใดมีค่าความจริงเป็นจริง
1. (𝑞 ⇒ 𝑝) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟) 2. 𝑞 ⇒ [𝑝 ∨ (𝑞 ∧ ~𝑟)]
3. (𝑝 ⇒ 𝑠) ⇔ (𝑟 ⇔ 𝑞) 4. (𝑟 ⇔ 𝑠) ∧ [𝑞 ⇒ (𝑝 ∧ 𝑟)]
2. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {−1, 0, 1} ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ∀𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 + 2 > 0] มีค่าความจริงเป็นจริง
2. ∀𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 ≥ 0] มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3. ∃𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 = 1] มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 > 1] มีค่าความจริงเป็นเท็จ