Μια αποκλειστική προσφορά του Χρήστου Κουστέρη για το lisari.blogspot.gr

1. Μια αποκλειστικότητα από το διαδικτυακό τόπο http://lisari.blogspot.gr/
ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ
ΆΛΓΕΒΡΑΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Επιμέλεια: Χρήστος Κουστέρης
ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ 2015 - 16

2. 2
Πρόλογος
Το βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας περιλαμβάνει την ύλη της Άλγεβρας και των
Πιθανοτήτων που προβλέπεται από το πρόγραμμα σπουδών της Α’ τάξης του Γενικού
Λυκείου.
Το περιεχόμενο του βιβλίου περιλαμβάνει σε γενικές γραμμές τα εξής:
Στο 1° Κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στη Θεωρία των Πιθανοτήτων. Η απόδειξη των
ιδιοτήτων της πιθανότητας ενός ενδεχομένου γίνεται μόνο στην περίπτωση που τα απλά
ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Η Θεωρία των Πιθανοτήτων ασχολείται με καταστάσεις
όπου υπάρχει αβεβαιότητα, και αυτό την κάνει ιδιαίτερα σημαντική στις εφαρμογές της
καθημερινής ζωής.
Στο 2° Κεφάλαιο επαναλαμβάνονται, συμπληρώνονται και επεκτείνονται οι βασικές
ιδιότητες των πραγματικών αριθμών.
Στο 3° Κεφάλαιο επαναλαμβάνονται, επεκτείνονται και
εξετάζονται συστηματικά όσα είναι γνωστά από το
Γυμνάσιο για τις εξισώσεις 1ου
και 2ου
βαθμού. Επίσης
εξετάζονται εξισώσεις που, για να επιλυθούν, ανάγονται
σε 1ου
και 2ου
βαθμού.
Στο 4° Κεφάλαιο παρουσιάζονται ανισώσεις 1ου
και 2ου
βαθμού καθώς και ανισώσεις που, για να επιλυθούν,
ανάγονται σε 1ου
και 2ου
βαθμού.
Στο 5° Κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στην έννοια της
ακολουθίας πραγματικών αριθμών, και εξετάζονται η
αριθμητική και η γεωμετρική πρόοδος ως ειδικές
περιπτώσεις κανονικότητας (pattern) σε ακολουθίες.
Στο 6° Κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της συνάρτησης. Η
συνάρτηση είναι μια θεμελιώδης έννοια που διαπερνά
όλους τους κλάδους των Μαθηματικών και έχει κεντρική
σημασία για την περαιτέρω ανάπτυξη και εφαρμογή τους.

3. 3
Σχολικό βιβλίο Α΄ Λυκείου Άλγεβρας
ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ
Ανδρεαδάκης Στυλιανός
Κατσαργύρης Βασίλειος
Παπασταυρίδης Σταύρος
Πολύζος Γεώργιος
Σβέρκος Ανδρέας
ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
Ανδρεαδάκης Στυλιανός Ομοτ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών
Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής Βαρβακείου Πειραματικού Λυκείου
Παπασταυρίδης Σταύρος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών
Πολύζος Γεώργιος Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι.
Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής 2ου Πειραματικού Λυκείου Αθηνών
ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ Π.Ι.
Σκούρας Αθανάσιος Σύμβουλος του Π.Ι.
Πολύζος Γεώργιος Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι.
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΜΕΝΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ
Ελευθερόπουλος Ιωάννης Καθηγητής Μαθηματικών, Αποσπασμένος στο Π.Ι.
Ζώτος Ιωάννης Καθηγητής Μαθηματικών, Αποσπασμένος στο Π.Ι.
Καλλιπολίτου Ευρυδίκη Καθηγήτρια Μαθηματικών, Αποσπασμένη στο Π.Ι.
Α΄ ΕΚΔΟΣΗ: 1991
ΕΠΑΝΕΚΔΟΣΕΙΣ ΜΕ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ: 1992, 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998
Η προσαρμογή του βιβλίου στο νέο αναλυτικό πρόγραμμα έγινε από το Παιδαγωγικό
Ινστιτούτο.

4. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
Ε1. Το λεξικότης λογικής.........................................................................................7
Ε2. Σύνολα ................................................................................................................15
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
1.1. Δειγματικός Χώρος – Ενδεχόμενα .....................................................................23
Ασκήσεις..............................................................................................................26
1.2. Έννοια της πιθανότητας......................................................................................33
Ασκήσεις..............................................................................................................36
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο
: ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητες τους ........................................................................53
Ασκήσεις..............................................................................................................60
2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών.........................................................................67
Ασκήσεις..............................................................................................................72
2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικών Αριθμών...............................................................81
Ασκήσεις..............................................................................................................89
2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών..............................................................................96
Ασκήσεις..............................................................................................................98
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο
: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
3.1. Εξισώσεις 1ου
Βαθμού.........................................................................................109
3.2. Η Εξίσωση xν
= α................................................................................................126
3.3. Εξισώσεις 2ου
Βαθμού.........................................................................................129
Ασκήσεις..............................................................................................................133
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο
: ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.1. Ανισώσεις 1ου
Βαθμού........................................................................................148
Ασκήσεις..............................................................................................................151
4.2. Εξισώσεις 2ου
Βαθμού.........................................................................................162
Ασκήσεις..............................................................................................................164
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο
: ΠΡΟΟΔΟΙ
5.1. Ακολουθίες..........................................................................................................175
5.2. Αριθμητική Πρόοδος ..........................................................................................178
Ασκήσεις..............................................................................................................183
5.3. Γεωμετρική Πρόοδος..........................................................................................187
Ασκήσεις..............................................................................................................191
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο
: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης ..................................................................................204
6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης......................................................................216
6.3. Η Συνάρτηση f(x) = αx + β.................................................................................231
Επαναληπτικά θέματα………………………………………………………………….248
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

5. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
Μια αποκλειστικότητα από το διαδικτυακό τόπο lisari.blogspot.gr

6. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
Απαγορεύεται η αναπαραγωγή και η αναδιατύπωση του
παρόντος συγγράμματος με σκοπό την εμπορική
εκμετάλλευση χωρίς την έγγραφη έγκριση του συγγραφέα

7. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
7
Ε1. Το λεξιλόγιο της λογικής
Μαθηματική πρόταση ή ισχυρισμός ονομάζεται κάθε έκφραση η οποία
μπορεί να χαρακτηριστεί αποκλειστικά ως αληθής (Α) ή ψευδής (Ψ).
Παράδειγμα
Πρόταση 1
Ο αριθμός 14 είναι άρτιος. →Αληθής
Πρόταση 2
Το 3 είναι διαιρέτης του 10. →Ψευδής
Πρόταση 3
Σήμερα είναι ωραία μέρα για μπάνιο. →Δεν είναι μαθηματική πρόταση
Παρατηρήσεις – Επισημάνσεις
1. Μία μαθηματική πρόταση θα πρέπει να δέχεται ή να αρνείται κάτι το ο-
ποίο απορρέει από κάποιο νόμο ,από μια φυσική αναγκαιότητα και όχι
κάτι που εκφράζει επιθυμία, διάθεση και γενικά ότι έχει να κάνει με συ-
ναισθήματα και απόψεις
2. Μία πρόταση λέγεται απλή αν δε μπορεί να χωριστεί σε δύο ή περισσό-
τερες άλλες προτάσεις.
3. Μία πρόταση λέγεται σύνθετη αν μπορεί να χωρισθεί σε δύο ή και πε-
ρισσότερες απλές προτάσεις.
4. Προτασιακός τύπος είναι μία μαθηματική έκφραση που περιέχει μία με-
ταβλητή και η οποία γίνεται λογική πρόταση για κάθε τιμή της μεταβλη-
τής.
 Προτασιακός τύπος (1)
p(x): «για το πραγματικό αριθμό x ισχύει: x 2
0 »
Ο p(x) γίνεται αληθής για οποιαδήποτε τιμή του πραγματικού αριθμού x.
Άρα ο p(x) είναι μία καθολική πρόταση.
Χρησιμοποιούμε το σύμβολο  για να δηλώσουμε ότι η p(x) είναι αλη-
θής για κάθε τιμή της μεταβλητής.
Το σύμβολο  λέγεται καθολικός ποσοδείκτης.

8. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
8
 Προτασιακός τύπος (2)
q(x): «για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει x  1 7»
Ο q(x) γίνεται αληθής μόνο για x  6 ενώ για οποιαδήποτε άλλη τιμή του
x γίνεται ψευδής πρόταση.
Χρησιμοποιούμε το σύμβολο  για να δηλώσουμε ότι η q(x) είναι αλη-
θής για συγκεκριμένη τιμή της μεταβλητής.
= υπάρχει
Το σύμβολο  λέγεται υπαρξιακός ποσοδείκτης.
 Η συνεπαγωγή  
Παράδειγμα 1:
Έστω οι προτάσεις
Ρ: Ο Γιάννης είναι κάτοικος Περιστερίου
Q: Ο Γιάννης είναι κάτοικος του νομού Αττικής
Αν η πρόταση Ρ είναι αληθής τότε και η πρόταση Q θα είναι αληθής.
Άρα η πρόταση: «Αν ο Γιάννης είναι κάτοικος Περιστερίου τότε είναι κάτοικος
και του νομού Αττικής» είναι αληθής.
Μπορεί ο Γιάννης να μην είναι κάτοικος Περιστερίου αλλά να μένει στο νο-
μό Αττικής δηλαδή μπορεί από μια ψευδή υπόθεση να καταλήξω σε ένα α-
ληθές συμπέρασμα οπότε η συνεπαγωγή είναι αληθής.
Παράδειγμα 2:
Έστω οι προτάσεις
Ρ: Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα
Q: Οι γωνίες των τριγώνων ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι μία προς μία ίσες
Αν η πρόταση Ρ είναι αληθής τότε και η πρόταση Q θα είναι αληθής.
Άρα η πρόταση: «Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα τότε και οι γωνίες τους
είναι μία προς μία ίσες» είναι αληθής.
Γενικά
Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί (προτάσεις) τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει και ο
Ρ να αληθεύει και ο Q τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και γράφουμε
P Q
Ο ισχυρισμός “ P Q ” λέγεται συνεπαγωγής και πολλές φορές διαβάζεται: «αν
P τότε Q».
Η πρόταση Ρ λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα.
Πίνακας αλήθειας
P Q P Q
A Α Α
A Ψ Ψ
Ψ Α Α
Ψ Ψ Α

9. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
9
Παραδείγματα:
i. P : 5 3 (A) p q (A) 
Q: 10 6 (Α)
ii. P : 5 3 (A) p q (Ψ) 
Q: 10 6 (Ψ)
iii. P : 2 3 (Ψ) p q (A) 
Q: 4 6 (Ψ)
iv. P : 3 3 και 2 2 (Ψ) p q (A)    
Q: 6 6 (Α)  
Θεωρούμε ότι η συνεπαγωγή p q είναι ψευδής μόνο στην περίπτωση
που η υπόθεση p είναι αληθής και το συμπέρασμα q είναι ψευδής πρότα-
ση.
 Η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή  
Παράδειγμα
Έστω οι προτάσεις:
P: Το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή του Α είναι ισοσκελές.
Q: Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ΑΒ=ΑΓ
Αν η πρόταση Ρ είναι αληθής τότε και η πρόταση Q είναι αληθής.
Αν η πρόταση Q είναι αληθής τότε και η πρόταση P είναι αληθής.
Δηλαδή ισχύει P Q και Q P τότε ισχυρισμοί p και q είναι ισοδύναμοι και
γράφουμε p q
Γενικά:
Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί (προτάσεις) τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο Ρ
να αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q και όταν αληθεύει ο Q να αληθεύει και ο
Ρ τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ή ο Ρ είναι ισοδύναμος
με τον Q και γράφουμε P Q
Ο ισχυρισμός « P Q » λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται «Ρ
αν και μόνο αν Q»
Πίνακας αλήθειας
P Q P Q
A Α Α
A Ψ Ψ
Ψ Α Α
Ψ Ψ Α

10. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
10
 Ο σύνδεσμος (ή)
«Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί τότε ο ισχυρισμός P ή Q αληθεύει μό-
νο στην περίπτωση που τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς αληθεύει»
Ο ισχυρισμός « P ή Q» λέγεται διάζευξη των P και Q.
Πίνακας αλήθειας
P Q P ή Q
A Α Α
A Ψ Α
Ψ Α Α
Ψ Ψ Ψ
Παράδειγμα:
 
  
2
2
2 2
P : x 3x 0
Q: x 9 0
P ή Q: x 3x x 9 0
 
 
  
Η πρόταση Ρ αληθεύει για x= 0, x = 3
Η πρόταση Q αληθεύει για x = 3, x = -3
Η πρόταση P ή Q αληθεύει για x = 0, x = 3, x= -3
 Ο σύνδεσμος και
Γενικά: Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί τότε ο ισχυρισμός Ρ και Q αλη-
θεύει μόνο στην περίπτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν.
Ο ισχυρισμός «Ρ και Q» λέγεται σύζευξη των Ρ και Q
Πίνακας αλήθειας
P Q P και Q
A Α Α
A Ψ Ψ
Ψ Α Ψ
Ψ Ψ Ψ
 Η άρνηση
Από τη μαθηματική πρόταση ρ μπορούμε να δημιουργήσουμε την άρνη-
ση της ρ η οποία συμβολίζεται: « ρ » ή «ρ΄» ή «ρ » ή «όχι ρ»
Η πρόταση ρ είναι αληθής όταν η ρ είναι ψευδής.
Πίνακας αλήθειας
ρ ρ
Α Ψ
Ψ Α
Παράδειγμα 1: ρ: x 5
ρ : x 5 
Παράδειγμα 2: ρ: x 5
ρ : x 5 

11. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
11
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1
Να γράψετε με λόγια τη σύζευξη “P και Q” και τη διάζευξη “P ή Q” και
να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς.
i. P: Το έτος έχει 12 μήνες
Q: Η εβδομάδα έχει 7 μέρες
ii. P: Το Βερολίνο βρίσκεται στη Γαλλία
Q: Το Λονδίνο βρίσκεται στην Ιταλία
iii. P: Το 2 είναι μεγαλύτερο του 1
Q: Το 4 είναι μικρότερο του 3
iv. P: Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 141
Q: Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους.
v. P: Ο αριθμός 12 είναι ακέραιος.
Q: Ο αριθμός 16 είναι πολλαπλάσιο του 4
vi. P: Ο αριθμός - 4 είναι φυσικός
Q: Ο αριθμός
3
5
είναι ρητός

12. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
12
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2
Α) Να χαρακτηρίσετε τις παραπάνω προτάσεις αληθείς ή ψευδείς
1Π : 2> 3
2Π : Ο πρώτος παγκόσμιος πόλεμος έγινε τον 20ο
αιώνα
3Π : To 3 είναι διαιρέτης του 12
4Π : Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους
5Π :  
2 2 2
α +β = α +2αβ+β ,α,β πραγματικοί αριθμοί
6Π : 2= 4
B) Να χαρα-
κτηρίσετε τις
παρακάτω συνε-
παγωγές αληθείς
ή ψευδείς
1) 1 2Π Π
2) 2 3Π Π
3) 3 4Π Π
4) 4 5Π Π
5) 5 6Π Π
6) 6 3Π Π
7) 1 3Π Π
8) 1 4Π Π
9) 3 6Π Π
Γ) Να χαρα-
κτηρίσετε τις
παρακάτω ισο-
δυναμίες αλη-
θείς ή ψευδείς
1) 1 2Π Π
2) 2 3Π Π
3) 3 4Π Π
4) 4 5Π Π
5) 5 6Π Π
6) 6 3Π Π
7) 1 3Π Π
8) 1 4Π Π
9) 3 6Π Π
Δ) Να χαρα-
κτηρίσετε τις
παρακάτω δια-
ζεύξεις αληθείς
ή ψευδείς
1) 1 2Π ή Π
2) 2 3Π ή Π
3) 3 4Π ή Π
4) 4 5Π ή Π
5) 5 6Π ή Π
6) 6 3Π ή Π
7) 1 3Π ή Π
8) 1 4Π ή Π
9) 3 6Π ή Π
Ε) Να χαρα-
κτηρίσετε τις
παρακάτω συ-
ζεύξεις αληθείς
ή ψευδείς
1) 1 2Π και Π
2) 2 3Π και Π
3) 3 4Π και Π
4) 4 5Π και Π
5) 5 6Π και Π
6) 6 3Π και Π
7) 1 3Π και Π
8) 1 4Π και Π
9) 3 6Π και Π

13. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
13
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3
Α) Να αντιστοιχίσετε κάθε ένα από τους ισχυρισμούς της Α ομάδας στον
ισοδύναμο του ισχυρισμό της Β ομάδας
Α ΟΜΑΔΑ Β ΟΜΑΔΑ
1.    x 1 x 3 0    α. x 4 
2. 2
x 2x β. x 3 και x 3 
3. 2
x 16 γ. x 1 ή x 3
4. 2
x 4 και x 0 δ. x 4 και x 4 
5.    x 6 x 2 0    ε. x 0 ή x 2
6. 2
x 9 στ. x 4
7. 2
x 16 και
2
x 4x 0 
ζ. x 4 ή x 4 
η. x 2
θ. x 6 και x 2
Β) Να βρείτε για ποιες τιμές του x αληθεύουν οι ισχυρισμοί
i)   2x 4 x 3 0  
ii)  
1
x 5 x 0
2
 
   
 
iii)   x 4 x x 6 0  
iv)    4x x 1 2 x 9 3x 0     
Γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x αληθεύουν συγχρόνως οι ισχυρισμοί
i)   
5
x 1 x 3 x 0
3
 
    
 
και   2x x 6 x 1 0  
ii)    x x 2 x 1 x 5 0    και    x 2 x x 4 x 5 0     

14. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
14
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4
Α) Να γράψετε με λόγια την σύζευξη “P και Q” και την διάζευξη “P ή
Q” και να τις χαρακτηρίσετε αληθείς ή ψευδείς
i. P: Ο αριθμός 12 είναι ακέραιος
Q: Ο αριθμός 12 είναι πολλαπλάσιο του 3
ii. P: Ο αριθμός 3 είναι μικρότερος του 6
Q: Ο αριθμός 6 είναι μικρότερος του 5
iii. P: Ο αριθμός -2 είναι φυσικός
Q: Ο αριθμός -5 είναι μεγαλύτερος του- 3
Β) Θεωρούμε τις προτάσεις
1P : ο αριθμός 3 είναι περιττός
2P : ο αριθμός 8 είναι άρτιος
3P : Ο αριθμός 5 είναι άρτιος
4P : ο αριθμός 4 είναι περιττός
Να συμπληρωθεί ο πίνακας με Ψ (αν είναι ψευδής) ή Α (αν είναι αληθής )
1 2P και P 1 3P και P 3 4P και P 1 2P ή P 2 3P ή P 3 4P ή P

15. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
15
Ε2. Σύνολα
Η έννοια του συνόλου στα μαθηματικά είναι ΑΡΧΙΚΗ οπότε δεν υπάρχει ορι-
σμός, αλλά θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε την έννοια αυτή περιγραφικά
Σύνολο στα μαθηματικά εννοούμε μια ομάδα αντικειμένων τα οποία είναι
αυστηρώς καθορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.(Cantor)
Τα αντικείμενα που αποτελούν το σύνολο λέγονται στοιχεία ή μέλη του συ-
νόλου.
Λέγοντας αυστηρώς καθορισμένα εννοούμε ότι τα στοιχεία μπορούμε να τα
αναγνωρίσουμε ενώ να διακρίνονται το ένα από το άλλο εννοούμε να μην είναι
ακριβώς τα ίδια .
Για παράδειγμα αν πούμε το σύνολο των μεγάλων συγγραφέων του 20ου
αιώνα
είναι λάθος να το θεωρήσουμε ως σύνολο στα μαθηματικά διότι δεν είναι πλή-
ρως καθορισμένη η έκφραση “μεγάλος συγγραφέας”, ενώ αν θεωρήσουμε το
σύνολο των πρωτευουσών όλων των χωρών της Ευρώπης αυτό αποτελεί σύνο-
λο με τη μαθηματική έννοια του όρου διότι οι πρωτεύουσες της Ευρώπης είναι
συγκεκριμένες και διακρίνονται η μία από την άλλη.
Για να συμβολίσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε κεφαλαία γράμματα του ελ-
ληνικού ή του λατινικού αλφάβητου ενώ για τα στοιχεία του συνόλου χρησι-
μοποιούμε τα μικρά γράμματα
Για να δηλώσουμε ότι το στοιχείο κ είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε
κ Α και το διαβάζουμε «το κ ανήκει στο Α» ενώ για να δηλώσουμε ότι το
στοιχείο κ δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε κ Α και διαβάζουμε
«το κ δεν ανήκει στο Α»
ΓΝΩΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ
 Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με
 Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με
 Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με
 Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με

16. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
16
Παράσταση Συνόλου
Για να παραστήσουμε ένα σύνολο υπάρχουν οι παρακάτω τρόποι:
1. Με αναγραφή των στοιχείων του
i. Αν το πλήθος των στοιχείων του συνόλου είναι λίγα σε πλήθος τότε
μεταξύ δύο αγκίστρων γράφουμε τα στοιχεία του από μία φορά το
καθένα με όποια σειρά θέλουμε διαχωρίζοντάς τα με κόμμα.
Παράδειγμα
Το σύνολο των φωνήεντων του ελληνικού αλφαβήτου είναι
 A = α,ο,ω,η,ι,υ
Το σύνολο των φυσικών από το 1 έως το 7 είναι:  Β = 1,2,3,4,5,6,7
ii. Αν το πλήθος των στοιχείων του συνόλου είναι “πολλά” ή και άπει-
ρα ακόμη αλλά ακολουθούν μία λογική σειρά τότε γράφουμε μερικά
από αυτά –συνήθως τα πρώτα παραλείποντας τα υπόλοιπα αρκεί να
είναι σαφές ποια στοιχεία παραλείπονται.
Παράδειγμα
Το σύνολο των ακεραίων από το 20έως το 80 είναι  C : -20,-19,-18,...,80
Το σύνολο των φυσικών είναι:  = 0,1,2,3,...
2. Με περιγραφή των στοιχείων του
Όταν είναι δύσκολο να αναγράψουμε τα στοιχεία ενός συνόλου τότε τα
περιγράφουμε αναφέροντας μία κοινή χαρακτηριστική ιδιότητα που έ-
χουν τα στοιχεία του.
Βέβαια μπορεί ένα σύνολο να παρασταθεί και με περιγραφή αλλά και με
αναγραφή των στοιχείων του.
Αν από ένα σύνολο Ω επιλέγουμε εκείνα τα στοιχεία του που έχουν μία
ορισμένη ιδιότητα Ι τότε γράφουμε:
 x Ω / x έχει την ιδιότητα Ι
και διαβάζεται: Το σύνολο των x που ανήκουν στο Ω έτσι ώστε τα x να
έχουν την ιδιότητα Ι
Παράδειγμα
Αν θέλουμε το σύνολο των θετικών ρητών τότε γράφουμε:  Α = x / x > 0
Το σύνολο Α είναι αδύνατο να παρασταθεί με αναγραφή διότι δεν είναι δυνατόν
να καταστεί σαφές ποια στοιχεία παραλείπονται. Εξάλλου δεν μπορούμε να απα-
ντήσουμε στην ερώτηση: Ποιος είναι ο επόμενος ρητός μετά το 2;

17. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
17
3. Διάγραμμα Venn
Το διάγραμμα Venn αποτελείται:
α. Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο το οποίο παριστάνει το βασικό σύ-
νολο Ω.
β. Κλειστές καμπύλες οι οποίες βρίσκονται μέσα στο παραλληλό-
γραμμο και παριστάνουν τα σύνολα στα εσωτερικά των οποίων
γράφουμε τα στοιχεία του με τελείες.
Παράδειγμα
 /A x x 7    1 περιγραφή
 A  1,2,3,4,5,6,7 αναγραφή
Ίσα σύνολα
Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα αν και μόνο αν έχουν ακριβώς τα ίδια στοι-
χεία και γράφουμε Α=Β.
Δηλαδή κάθε στοιχείο x A είναι και στοιχείο του Β και κάθε στοιχείο x B
είναι και στοιχείο του Α.
Παράδειγμα
 A = 0, 2, - 2
  2
B = x R/x x - 4 = 0 
Το σύνολο Β αποτελείται από τα στοιχεία 0, -2, 2 και ο τα οποία είναι λύσεις της
εξίσωσης  2
x x - 4 .
Δηλαδή  B = -2, 0, 2 . Άρα Α = Β
Υποσύνολα συνόλου
Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β όταν κάθε στοιχείο του Α
είναι και στοιχείο του Β και γράφουμε A B
Ισχύει: A A για κάθε σύνολο Α
 Αν A B και B Γ τότε Α Γ
 Αν A B και B Α τότε Α Β
Α 1
2
3
4
5
6 7

18. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
18
Κενό σύνολο
Κενό είναι το σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία και συμβολίζεται:  ή  
Ισχύει: Α  για κάθε σύνολο Α
Πράξεις με σύνολα
1. Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνο-
λο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα
Α και Β και συμβολίζεται Α Β
* Το Α Β περιέχει τα κοινά και
μη κοινά στοιχεία των συνόλων Α, Β
 Α Β x Ω / x A ή x B    
2. Τομή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο
των στοιχείων του Ω που ανήκουν και στα δύο Σύνολα Α,Β και συμβολί-
ζεται: A B
* Το A B περιέχει τα κοινά στοι-
χεία των συνόλων Α,Β
 Α Β x Ω / x A και x B    
Αν A B   τότε τα δύο σύνολα λέγονται ξένα μεταξύ τους και
αντίστροφα.
3. Συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός
βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο
των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο
Α και συμβολίζεται με Α’
 Α x Ω / x A   
4. Διαφορά δύο μη κενών συνόλων
Α,Β δηλαδή:
Α-Β ονομάζουμε το σύνολο που έχει
στοιχεία τα στοιχεία του συνόλου Α
που δεν ανήκουν στο Β
 A B x Ω / x A και x B    

19. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
19
Ιδιότητες συνόλων
1. Ένωση
α. A B B A  
β. A A 
γ.    A B Γ Α Β Γ    
δ. Α Ω Ω 
ε. Α Α Α 
στ. Αν Α Β τότε Α Β Β 
ζ. Α Α Β  και Β Α Β 
2. Τομή
α. Α Β Β Α  
β. A   
γ. Α Ω Α 
δ.    Α Β Γ Α Β Γ    
ε. Α Α Α 
στ. Αν Α Β τότε Α Β Α 
ζ. Α Β Α  ΚΑΙ Β Α Β 
3. Συμπλήρωμα
α. Α Α  
β. Α Α Ω 
γ.  Α Α 
δ. Ω  
ε. Ω 
4. Διαφορά
α. Α Β Α Β  
β. Ω Α Α 
γ.    Α Β Α Β Α   
δ.    Α Β Α Β    
Να χαρακτηρίσετε με ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις:
1. Το σύνολο  Α  0 είναι το κενό σύνολο  Σ  Λ
2. Το σύνολο  Α   είναι το κενό σύνολο  Σ  Λ
3. Αν  Α , , 0 3 5 και  Β , , , , 0 1 5 6 3 τότε Α Β  Σ  Λ
4. Αν  Α , 1 3 και  Β x / x περιττός  τότε  Α Β ,  1 3
 Σ  Λ
5. Αν  Α x / x   3 0 τότε A    Σ  Λ
6. Αν  A x / x  2
16 και  B , 4 4 τότε A B  Σ  Λ
7. Αν  A κ,λ και  B κ, λ 2 2 τότε Α Β  Σ  Λ
8. Ισχύει: Ω   Σ  Λ

20. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
20
Ασκήσεις κατανόησης στα σύνολα
1. Ποια από τα παρακάτω σύνολα είναι καλώς ορισμένα
α) Το σύνολο των ψηλών μιας ομάδας μπάσκετ
β) Το σύνολο των ρητών από το 3 έως το 25
γ) Το σύνολο των ημερήσιων εφημερίδων
δ) Το σύνολο των μικρών ομάδων της Γ εθνικής
2. Να γράψετε το σύνολο των ψηφίων των παρακάτω αριθμών
α) 1625
β) 313
γ) 22200
δ) 2525
ε) 0,0066655
στ) 121
3. Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα
α) Το σύνολο των ακεραίων από το -4 έως και το 2
β) Το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης   x x 1 x 4 0  
γ) Το σύνολο των θετικών ακεραίων
4. Να γράψετε το σύνολο των γραμμάτων που χρησιμοποιούμε για τις ακό-
λουθες λέξεις
α) ΠΑΠΠΑΣ
β) ΘΕΣΑΛΛΟΝΙΚΗ
γ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
δ) ΚΛΑΣΜΑ
5. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα
2,6
6π
0,325
14
2
2 π
1
3
4

6. Να γράψετε με αναγραφή τα ακόλουθα σύνολα
   2
A x Z/ x 81 2x 5 0    
 2
B x R / x 6 0   
 2
Γ x N / x 16 0   

21. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
21
7. Να γράψετε με περιγραφή τα παρακάτω σύνολα
α)  A 1,2,3,4,5,6,7,8,9
β)  B 3,6,9,12,15,...
γ)  Γ 4, 8, 12, 16,...    
8. Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις έχουμε A B
α)  A 2, 1,1,2   και  B x Z/ 3 x 4    
β)  A 5,7,9 και  B x N/ x διαιρέτης του 4 
9. Να γράψετε όλα τα υποσύνολα του συνόλου  A 1,2,3
10. Αν  Ω 1,2,3,4,...,10 ,  A x Ω / x άρτιος  και
 B x Ω / x διαιρέτης του 8  τότε να βρείτε τα ακόλουθα σύνολα :
A B,A B,A ,B ,A B,B A    
11. Αν  Ω 1,2,3,4,...,20 ,  A x Ω / x άρτιος  και
 B x Ω / x πολλαπλάσιο του 3  τότε να βρείτε τα ακόλουθα σύνολα :
A B,A B,A ,B ,A B,B A     και να κάνετε το διάγραμμα του Venn
12. Α) Να παραστήσετε με αναγραφή τα στοιχεία του συνόλου
 3
A x Z / x 64x 0   
Β) Να βρείτε ποια από τα παρακάτω σύνολα είναι υποσύνολα του
συνόλου Α.
         B 2 ,Γ 8,8 ,Δ 3,4 ,Ε 0,8, 8 ,Κ 0,64       
13. Έστω τα σύνολα      A 3,4,5,6,9 ,B 3,4,7,9 ,Γ 7,6,5,4   . Να βρείτε τα
σύνολα
 A B, A Γ, Β Γ, Α Β, Α Γ, Β Γ, Α Β Γ, (Α Β) Γ         
14. Με τη βοήθεια του επόμενου διαγράμματος Venn
Να βρείτε τα σύνολα A,B,A B,A B,A ,B ,A B,B A    
.4.3 .1 .2
.7 .8
.9
.5 . 6
.10
.11
.7
.8
.9
A
B
Ω

22. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
22
15. Θεωρούμε το βασικό σύνολο  Ω α,β,γ,δ,ε,ζ,η,θ και τα υποσύνολά του
     A α,β,δ,ζ ,Β β,γ,ε,η ,Γ β,δ,η,θ   .
α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα σύνολα Ω,Α,Β,Γ
β) Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω
σύνολα A Γ,Β Γ,(Α Β) Γ,Α Β Γ     
16. Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις ισχύει A B
α)  A 1,2,3 και  B 3,1,2
β)  A x R / x 3 0    και  2
B x N / x 9 0   
γ)  A x R / x 5 0    και  B x R / x 5 0   
17. Θεωρούμε το βασικό σύνολο  Ω 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 και τα υποσύνολά
του      A 1,2,3,4 ,B 3,4,5,6,8 ,Γ 3,4,7,9,10   . Να παραστήσετε με
αναγραφή των στοιχείων τους και με διάγραμμα του Venn τα επόμενα
σύνολα    A ,A B,A B,A Γ,Α Γ,Α Β,Α Β, Α Β Β Α           
18. Αν      Ω 1,2,3,4 ,Α 1,4 ,Β 1,3   να αποδείξετε ότι  A B A B    

23. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
23
1.1. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα
Πειράματα
Ορισμός:
Πείραμα καλείται κάθε διαδικασία που καταλήγει σε ένα ή περισσότερα
αποτελέσματα ή όπως αλλιώς λέγονται παρατηρήσεις ή εξαγόμενα.
Τα πειράματα διακρίνονται σε δύο βασικές κατηγορίες:
α) Αιτιοκρατικά πειράματα: είναι εκείνα τα πειράματα στα οποία οι
συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιούνται προκαθορίζουν το
αποτέλεσμα.
Π.χ. αν θερμάνουμε αποσταγμένο νερό σε 100C στην επιφάνεια της
θάλασσας δηλαδή σε ατμοσφαιρική πίεση 760mm Hg το νερό θα βράσει.
β) Πειράματα τύχης: είναι εκείνα τα πειράματα τα οποία όσες φορές και
αν τα επαναλάβουμε κάτω από τις ίδιες (φαινομενικά) συνθήκες, δεν
μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα.
Π.χ. η ρίψη ενός αμερόληπτου ζαριού ή νομίσματος, η κλήρωση του
ΤΖΟΚΕΡ κλπ.
Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα
 Δυνατά αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις ενός πειράματος τύ-
χης καλούνται όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν σε
ένα πείραμα τύχης.
 Δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης καλείται το σύνολο όλων
των δυνατών αποτελεσμάτων του και συμβολίζεται με Ω.
Π.χ. στο πείραμα τύχης «ρίψη ζαριού» ο δειγματικός χώρος είναι: Ω =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Αν ω1, ω2, ω3, ..., ων είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος
τύχης τότε ο δειγματικός του χώρος είναι: Ω = {ω1, ω2, ..., ων}.
 Ενδεχόμενο ή γεγονός ενός πειράματος τύχης καλείται κάθε υποσύ-
νολο του δειγματικού χώρου Ω του πειράματος.
Π.χ. στο πείραμα ρίψης ζαριού το σύνολο Α = {2, 4, 6} είναι το ενδε-
χόμενο το αποτέλεσμα της ρίψης να είναι άρτιος.
 Απλό ενδεχόμενο καλείται κάθε ενδεχόμενο που περιέχει ένα μόνο
στοιχείο.
 Σύνθετο ενδεχόμενο καλείται κάθε ενδεχόμενο που περιέχει περισσό-
τερα από ένα στοιχεία.

24. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
24
 Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή
του είναι στοιχείο ενός ενδεχομένου, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο
πραγματοποιείται ή συμβαίνει. Γι’ αυτό και τα στοιχεία ενός ενδεχο-
μένου λέγονται ευνοϊκές περιπτώσεις των ενδεχομένων.
- Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος είναι ένα ενδεχό-
μενο αφού Ω  Ω. Το ενδεχόμενο Ω πραγματοποιείται πάντα α-
φού όποιο κι αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει
στο Ω. Γι’ αυτό το Ω καλείται βέβαιο ενδεχόμενο.
- Το κενό σύνολο  είναι ένα ενδεχόμενο αφού   Ω. Το  δεν
πραγματοποιείται ποτέ αφού δεν υπάρχει περίπτωση σε ένα πεί-
ραμα να μην έχουμε αποτέλεσμα. Γι’ αυτό το  καλείται αδύ-
νατο ενδεχόμενο.
 Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α συμβολίζεται με Ν(Α).
Π.χ. αν Α = {2, 4, 6} τότε Ν(Α) = 3.
Πράξεις με ενδεχόμενα
Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Μεταξύ των εν-
δεχομένων αυτών ορίζονται οι ακόλουθες πράξεις:
1. Το ενδεχόμενο ΑΒ. Με διάγραμμα Venn παριστάνεται στο
διπλανό σχήμα. Το ενδεχόμενο αυτό διαβάζεται ως εξής:
ΑΒ = πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα δύο εν-
δεχόμενα.
2. Το ενδεχόμενο ΑΒ. Με διάγραμμα Venn παριστάνεται στο
διπλανό σχήμα. Το ενδεχόμενο αυτό διαβάζεται ως εξής:
ΑΒ = πραγματοποιούνται συγχρόνως και τα δύο ενδεχό-
μενα.
3. Το ενδεχόμενο Α΄. Με διάγραμμα Venn παριστάνεται στο δι
πλανό σχήμα. Το ενδεχόμενο αυτό διαβάζεται ως εξής:
Α΄ = δεν πραγματοποιείται το ενδεχόμενο.
4. Το ενδεχόμενο (ΑΒ)΄. Με διάγραμμα Venn παριστάνεται
στο διπλανό σχήμα. Το ενδεχόμενο αυτό διαβάζεται ως εξής:
(ΑΒ)΄ = δεν πραγματοποιείται κανένα από τα δύο ενδεχό-
μενα.
Α Β
Ω
Α Β
Ω
Ω
Α
α
Ω
Α Β

25. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
25
5. Το ενδεχόμενο Α - Β ή ΑΒ΄. Με διάγραμμα Venn παριστά
νεται στο διπλανό σχήμα. Το ενδεχόμενο αυτό διαβάζεται ως
εξής:
Α - Β = πραγματοποιείται μόνο το ενδεχόμενο Α.
6. Το ενδεχόμενο (Α - Β)  (Β - Α). Με διάγραμμα Venn
παριστάνεται στο διπλανό σχήμα. Το ενδεχόμενο αυτό διαβά-
ζεται ως εξής:
(Α - Β)(Β - Α) = πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα
δύο ενδεχόμενα.
7. Το ενδεχόμενο (Α - Β)  (Β - Α). Με διάγραμμα Venn
παριστάνεται στο διπλανό σχήμα. Το ενδεχόμενο αυτό διαβά-
ζεται ως εξής:
(Α - Β)(Β - Α) = πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα
δύο ενδεχόμενα.
8. Δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω καλούνται α-
συμβίβαστα όταν δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο, δηλαδή ό-
ταν ΑΒ = . Αλλιώς καλούνται ξένα μεταξύ τους ή αμοι-
βαίως αποκλειόμενα. Με διάγραμμα Venn παριστάνονται ό-
πως στο διπλανό σχήμα.
Α
Β
Ω
Ω
Β
Α
Α Β
Ω
Α
Β
Ω

26. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
26
Ασκήσεις κατανόησης
1. Αν ΑΒ = Ω τότε ΑΒ =   Σ  Λ
2. Αν ΑΒ =  τότε ΑΒ = Ω  Σ  Λ
3. Αν ΑΒ, τότε Β - Α =   Σ  Λ
4. Τα αντίθετα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα.  Σ  Λ
5. Τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα είναι αντίθετα.  Σ  Λ
6. Όταν οι συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται ένα πείραμα
προκαθορίζουν το αποτέλεσμα τότε το πείραμα λέγεται πείραμα τύχης.
 Σ  Λ
7. Πείραμα τύχης λέγεται κάθε πείραμα, που είναι δυνατό να επαναληφ-
θεί πολλές φορές κάτω από τις ίδιες συνθήκες (φαινομενικά), και του
οποίου δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα.
 Σ  Λ
8. Η καταγραφή του αριθμού των τροχαίων ατυχημάτων που συμβαίνουν
κάθε Κυριακή σε όλη τη χώρα είναι πείραμα τύχης.  Σ  Λ
9. Η καταγραφή της θερμοκρασίας βρασμού του νερού είναι πείραμα τύ-
χης.  Σ  Λ
10. Η καταγραφή του διαστήματος, που διανύει ένα κινητό σε χρόνο t κι-
νούμενο σε ευθεία με σταθερή ταχύτητα υ, είναι πείραμα τύχης.
 Σ  Λ
11. Η καταγραφή της θερμοκρασίας στην οποία τήκεται ο πάγος είναι
πείραμα αιτιοκρατικό.
 Σ  Λ
12. Η καταγραφή της ώρας ανατολής του ηλίου στις 14 Ιουλίου κάθε χρό-
νου είναι πείραμα τύχης.  Σ  Λ
13. Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης
λέγεται δειγματικός χώρος του πειράματος.  Σ  Λ
14. Κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης ονο-
μάζεται δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος.  Σ  Λ

27. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
27
15. Κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης ονο-
μάζεται ενδεχόμενο του πειράματος.  Σ  Λ
16. Κατά τη ρίψη ενός ζαριού, το ενδεχόμενο η ένδειξη της άνω έδρας να
είναι αριθμός μικρότερος του 4 είναι σύνθετο ενδεχόμενο.
 Σ  Λ
17. Κατά τη ρίψη ενός ζαριού το ενδεχόμενο η ένδειξη της άνω έδρας να
είναι αριθμός μεγαλύτερος του 5 είναι απλό ενδεχόμενο. Σ  Λ
18. Βέβαιο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης είναι το ενδεχόμενο που πε-
ριέχει όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος.  Σ  Λ
19. Όταν ένα ενδεχόμενο πραγματοποιείται σε κάθε εκτέλεση ενός πειρά-
ματος τύχης, τότε είναι ίσο με το δειγματικό χώρου του πειράματος
 Σ  Λ
20. Αδύνατο ενδεχόμενο είναι το ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται σε
καμιά εκτέλεση του πειράματος.  Σ  Λ
21. Το σύνολο των δυνατών περιπτώσεων ενός πειράματος τύχης είναι υ-
ποσύνολο του δειγματικού χώρου.  Σ  Λ
22. Αν ω είναι το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης και Α, Β είναι δύο
ενδεχόμενα του πειράματος τύχης, τότε ισχύει η παρακάτω ισοδυνα-
μία: Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β  ω(ΑΒ)΄ (ή
ωΑ΄Β΄)
 Σ  Λ
23. Η πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α συνεπάγεται και την πραγματο-
ποίηση του ενδεχομένου Β  ΒΑ.  Σ  Λ
24. Πραγματοποιείται μόνο το ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β  πραγ-
ματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β  ω(Α - Β)(Β - Α) (ή
ω(ΑΒ΄)(Α΄Β).
 Σ  Λ
25. Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα ή αμοιβαίως απο-
κλειόμενα ή ξένα μεταξύ τους, όταν δεν έχουν κοινά στοιχεία δηλαδή
όταν ΑΒ = .  Σ  Λ

28. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
28
26. Όταν σε ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο Ω, δύο ενδεχόμενα Α
και Β είναι αντίθετα, τότε ισχύουν ΑΒ = Ω και ΑΒ = .
 Σ  Λ
27. Αν Ω είναι δειγματικός χώρος και Α ένα ενδεχόμενο τότε
Α΄Ω.  Σ  Λ
28. Το ενδεχόμενο ΑΒ πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το ενδε-
χόμενο Α και το ενδεχόμενο Β.  Σ  Λ
29. Αν Ω είναι δειγματικός χώρος και Α ένα ενδεχόμενό του τότε το ενδε-
χόμενο ΑΑ΄ είναι βέβαιο.  Σ  Λ
30. Όταν η πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α συνεπάγεται την πραγμα-
τοποίηση του Β τότε Α  Β.  Σ  Λ
31. Το ενδεχόμενο (ΑΒ)΄ σημαίνει ότι δεν πραγματοποιείται ούτε το εν-
δεχόμενο Α ούτε το ενδεχόμενο Β.  Σ  Λ
32. Το ενδεχόμενο ΑΒ σημαίνει ότι πραγματοποιείται μόνο το ένα από
τα ενδεχόμενα Α και Β.  Σ  Λ
33. Τα ενδεχόμενα: Α: ο Γιάννης θα ταξιδέψει στη Φλώρινα, Β: ο Γιάννης
θα ταξιδέψει με πλοίο, είναι ασυμβίβαστα.  Σ  Λ
34. Τα ενδεχόμενα {1}, {2} κατά τη ρίψη ενός ζαριού είναι
ασυμβίβαστα.  Σ  Λ
35. Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω,
τότε ισχύει η ισότητα Α - Β = ΑΒ΄.  Σ
 Λ

29. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
29
36. Στη στήλη Α του παρακάτω πίνακα γράφονται διάφορες σχέσεις για τα
ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος. Στη στήλη Β απεικονίζονται
γραφικά οι σχέσεις αυτές. Να αντιστοιχίσετε κατάλληλα τα στοιχεία
της στήλης Α με στοιχεία της στήλης Β.
Α στήλη Β στήλη
α. ΑΒ
1.
β. ΑΒ
2.
γ. Α΄
3.
δ. Α - Β
4.
ε. (Α - Β)(Β - Α)
5.

30. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
30
37. Να αντιστοιχίσετε κάθε έκφραση της στήλης Α με την ισοδύναμή της
στην γλώσσα των συνόλων, που βρίσκεται στη στήλη Β.
Στήλη Α Στήλη Β
α. Το Α δεν πραγματοποιείται
β. Ένα τουλάχιστον από τα Α και
Β πραγματοποιείται
γ. Η πραγματοποίηση του Α συνε-
πάγεται την πραγματοποί-
ηση του Β
δ. Πραγματοποιείται μόνο το Α
ε. Τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβα-
στα.
1. ΑΒ
2. ΑΒ
3. ωΑ
4. Ν(ΑΒ)  0
5. Α - Β
6. ωΑ
38. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Να αντι-
στοιχίσετε κάθε σκιασμένη επιφάνεια των διαγραμμάτων Venn της
στήλης Α στο ενδεχόμενο που την παριστάνει της στήλης Β.
Α στήλη Β στήλη
α.
1. (ΑΒ΄)(Α΄Β)
β.
2. (ΑΒ)΄
γ.
3. Α΄
δ.
4. ΑΒ
Ω
Α Β
Α
Ω
Β
Α
Ω
Α
Β
Ω

31. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
- 31 -
ε.
5. Α – ΒΑ
Ω
Β

32. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
32
Ασκήσεις
Ασκήσεις στην εύρεση δειγματικού χώρου
1) Σε μια κάλπη βρίσκονται 4 σφαίρες, μια λευκή, μια κόκκινη και 2 μαύρες.
Ανασύρουμε από την κάλπη δύο σφαίρες συγχρόνως και καταγράφουμε
το χρώμα τους.
α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος
β) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα:
Α : «καμία σφαίρα δεν είναι μαύρη»
Β : «ακριβώς μια σφαίρα είναι μαύρη ή κόκκινη».
2) Κατά την κατάταξη στο στρατό, οι νεοσύλλεκτοι εξετάζονται με βάση τις
γραμματικές τους γνώσεις, τη σωματική τους διάπλαση και τη διανοητική
τους κατάσταση και χαρακτηρίζονται αντίστοιχα:
Α. Για τις γραμματικές γνώσεις Λ (απολυτήριο Λυκείου), Π (απόφοιτοι
Πανεπιστημίου).
Β. Για τη σωματική διάπλαση Ι (ικανός), Β (βοηθητικός), Α (ανίκανος).
Γ. Για τη νοημοσύνη τους Ε (έξυπνος), Ο (όχι έξυπνος).
Επιλέγουμε τυχαία ένα στρατιώτη και σημειώνουμε τα χαρακτηριστικά
του.Να βρεθούν:
α) Ο δειγματικός χώρος του πειράματος.
β) Το ενδεχόμενο Α: «ο στρατιώτης είναι έξυπνος, ικανός»
γ) Το ενδεχόμενο Β: «ο στρατιώτης έχει απολυτήριο λυκείου»
δ) Το ενδεχόμενο Γ: «ο στρατιώτης έχει απολυτήριο λυκείου ή είναι έ-
ξυπνος»
3) Σε ένα κουτί έχουμε τρεις μπάλες διαφορετικού χρώματος (άσπρο -
μαύρο - κόκκινο) και επιλέγουμε τυχαία δύο απ’ αυτές:
Α. χωρίς επανατοποθέτηση
Β. με επανατοποθέτηση
Γ. ταυτόχρονα.
Να βρεθεί σε κάθε περίπτωση ο δειγματικός χώρος και το πλήθος των
στοιχείων του.
4) Ρίχνουμε ένα άσπρο ζάρι και ένα κόκκινο ζάρι. Να βρεθούν:
α) Το ενδεχόμενο Α: «το άθροισμα των ενδείξεων των δύο ζαριών εί-
ναι άρτιος».
β) Το ενδεχόμενο Β: «η ένδειξη του κόκκινου ζαριού είναι άρτιος»
γ) Το πλήθος των στοιχείων των συνόλων ΑΒ, ΑΒ.
5) Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο  3620  xZxA : .
Να βρεθεί το ενδεχόμενο Β: «ο x είναι πρώτος ή διαιρείται με το 5».

33. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
33
6) Δύο παίκτες θα παίζουν τάβλι και συμφωνούν νικητής να είναι αυτός που
θα κερδίσει τρία παιχνίδια. Αν α είναι το αποτέλεσμα να κερδίσει ο πρώ-
τος παίκτης και β είναι το αποτέλεσμα να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης, να
γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος. Να βρείτε το ενδεχόμενο Α:
«ο πρώτος παίκτης κερδίζει σε 4 παιχνίδια».
7) Δύο παίκτες θα παίξουν σκάκι και συμφωνούν νικητής να είναι εκείνος
που θα κερδίσει δύο παιχνίδια περισσότερα από τον άλλον. Αν α είναι το
αποτέλεσμα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης και β το αποτέλεσμα να κερδί-
σει ο δεύτερος παίκτης, να γραφεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος.
Να γραφούν τα ενδεχόμενα: Α: «νικητής είναι ο πρώτος παίκτης», Β: «νι-
κητής δεν είναι ο πρώτος παίκτης».
8) Μια δισκογραφική εταιρεία παραγωγής CD ελέγχει την παραγωγή της ως
εξής: Ανά δέκα CD από τη γραμμή παραγωγής επιλέγει τυχαία τρία και
ελέγχει αν έχουν ελάττωμα εμφάνισης (Ε) ή ελάττωμα ποιότητας ήχου
(Η) ή αν δεν έχουν κανένα ελάττωμα (Κ). Αν δύο CD έχουν ελάττωμα
εμφάνισης ή ένα έχει ελάττωμα ποιότητας ήχου τότε σταματάει ο έλεγχος
και η παρτίδα των 10 CD δεν κυκλοφορεί στην αγορά.
α) Να γράψετε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος για μια συγκε-
κριμένη «παρτίδα» και να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του.
β) Να βρεθεί το ενδεχόμενο Α: «η παρτίδα κυκλοφορεί στην αγορά»
και το πλήθος των στοιχείων του.
9) Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α, Β δύο ενδεχό-
μενα. Να παραστήσετε με διαγράμματα Venn και να εκφράσετε με τη βο-
ήθεια της γλώσσας των συνόλων τα ενδεχόμενα που ορίζονται από τις εκ-
φράσεις:
α) πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β,
β) δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β.
10) Μια αυτόματη μηχανή παράγει βίδες. Ελέγχουμε στη γραμμή παραγωγής
τις βίδες. Οι βίδες ταξινομούνται σε καλές (Κ) και ελαττωματικές (Ε). Ο
έλεγχος σταματάει αν βρεθούν 2 ελαττωματικές ή 3 καλές. Να βρείτε το
δειγματικό χώρο του πειράματος.

34. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
33
1.2. Η έννοια της πιθανότητας
Σχετική συχνότητα
Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος τύχης το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται
κ φορές με κ  ν τότε ο λόγος
ν
κ
καλείται σχετική συχνότητα του ενδεχομέ-
νου Α και συμβολίζεται με fA, δηλαδή
ν
κ
fA  .
Έστω ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο Ω = {ω1, ω2, ..., ωλ}. Αν σε ν ε-
κτελέσεις του πειράματος αυτού, τα απλά ενδεχόμενα {ω1}, {ω2}, ..., {ωλ}
πραγματοποιούνται αντίστοιχα κ1, κ2, κλ φορές τότε ορίζονται οι σχετικές συ-
χνότητες των ενδεχομένων αυτών από τους τύπους:
ν
κ
f...,,
ν
κ
f,
ν
κ
f λ
λ
2
2
1
1  .
Γι’ αυτές ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
α. 0  fi  1 για κάθε i = 1, 2, ..., λ.
β. f 1 + f 2 + …+ f λ = 1
Όταν σε ένα πείραμα τύχης ο αριθμός των δοκιμών αυξάνει απεριόριστα τότε η
σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου σταθεροποιείται γύρω από μια συγκεκρι-
μένη αριθμητική τιμή. Το συμπέρασμα αυτό επιβεβαιώνεται και θεωρητικά και
ονομάζεται νόμος των μεγάλων αριθμών.
Πιθανότητα ενδεχομένου
Σε πολλές περιπτώσεις καθορίζουμε την ίδια σχετική συχνότητα εμφάνισης
όλων των δυνατών αποτελεσμάτων του δειγματικού χώρου. Τέτοια αποτελέ-
σματα ονομάζονται ισοπίθανα δυνατά αποτελέσματα.
Κλασσικός ορισμός πιθανότητας:
Αν Ω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, με ισοπίθανα αποτελέ-
σματα, τότε ορίζουμε ως πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α τον αριθμό που εκ-
φράζεται από το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών περιπτώσεων προς το πλή-
θος των δυνατών περιπτώσεων του πειράματος και συμβολίζεται Ρ(Α).
Δηλαδή:
)Ω(Ν
)Α(Ν
σεωνώπεριπτνώδυνατθοςήπλ
σεωνώπεριπτνώκϊευνοθοςήπλ
)A(P 
Από τον κλασικό ορισμό προκύπτουν οι παρακάτω ιδιότητες:
1. 1)Ω(Ρ
)Ω(Ν
)Ω(Ν
)Ω(Ρ 
2. Ρ() = 0)(Ρ
)Ω(Ν
0
)(Ρ
)Ω(N
)(N


3. Για κάθε ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: 0  Ρ(Α)  1.

35. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
34
Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων
Για τις πιθανότητες των ενδεχομένων ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν οι
παρακάτω ιδιότητες, που είναι γνωστές ως κανόνες λογισμού πιθανοτήτων.
1. Για οποιαδήποτε ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΑ ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού
χώρου Ω ισχύει:
Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) απλός προσθετικός νόμος
2. Για δύο οποιαδήποτε συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ενός δείγμα
τικού χώρου Ω ισχύει:
Ρ(Α΄) = 1 - Ρ(Α)
3. Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω
ισχύει:
Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(ΑΒ) προσθετικός νόμος
4. Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω
ισχύει: Αν Α  Β τότε Ρ(Α)  Ρ(Β)
5. Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω
ισχύει: Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(ΑΒ)
Αποδείξεις των κανόνων λογισμού πιθανοτήτων
1. Έστω τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α, Β ενός
δειγματικού χώρου Ω όπως φαίνεται στο α-
κόλουθο διάγραμμα Venn.
Αν Ν(Α) = κ και Ν(Β) = λ τότε
  λκBAN  γιατί αλλιώς τα Α, Β δεν θα
ήταν ασυμβίβαστα.
Τότε:
   
 
)Β(Ρ)Α(Ρ
)Ω(Ν
)Β(Ν
)Ω(Ν
)Α(Ν
)Ω(Ν
λ
)Ω(Ν
κ
)Ω(Ν
λκ
ΩN
BAN
BAP 




2. Έστω τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α, Α΄
ενός δειγματικού χώρου Ω όπως φαίνεται στο
ακόλουθο διάγραμμα Venn.
Αφού τα Α, Α΄ είναι συμπληρωματικά θα
ισχύει:  AA Ø δηλαδή τα Α, Α΄ είναι α-
συμβίβαστα.
Επίσης:   )Α(Ρ1)Α(Ρ1)Α(Ρ)Α(Ρ)Ω(ΡΑΑΡΩAA
)1(

3. Έστω τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώ-
ρου Ω όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα
Venn.
Τότε    BAN)B(N)A(NBAN  αφού τα
στοιχεία του BA  έχουν υπολογιστεί διπλή φορά.
Α Β
Ω
Ω
Α
΄
Α
Α Β
Ω

36. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
35
Άρα:
   
 
     
 
 
 
 
 
 
 
 ΒΑΡ)Β(Ρ)Α(Ρ
ΩΝ
ΒΑΝ
ΩΝ
ΒΝ
ΩΝ
ΑΝ
ΩΝ
ΒΑΝΒΝΑΝ
ΩN
BAN
BAP








4. Έστω τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω με
ΒΑ  όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα Venn.
Αφού:


)Ω(Ν
)Β(Ν
)Ω(Ν
)Α(Ν
)B(N)A(NBA
0)Ω(N
)Β(Ρ)Α(Ρ 
5. Έστω τα ενδεχόμενα Α – Β και BA  ενός δειγματικού
χώρου Ω όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα Venn.
Για τα ενδεχόμενα Α – Β, BA  ισχύει     BABA Ø.
Δηλαδή τα Α – Β, BA  είναι ασυμβίβαστα.
Επίσης :
       
 
A B,A B ασυμβ.
A B A B A P A B A B P(A)
P(A B) P(A B) P A P(A B) P(A) P(A B)
 
           
        
Α
Β
Ω
Α Β
Ω
Α-Β

37. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
36
Ασκήσεις κατανόησης
1. Αν Ω είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης τότε, Ρ(Ω) = 1.
 Σ  Λ
2. Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε 0  Ρ(Α)  1.
 Σ  Λ
3. Για το αδύνατο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ισχύει Ρ() = 0.
 Σ  Λ
4. Σε ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα αποτελέσματα και δειγματικό
χώρο Ω, η πιθανότητα του ενδεχομένου Α είναι ο αριθμός
)Ω(N
)A(N
)A(P  .
 Σ  Λ
5. Αν ΑΒ τότε Ρ(Α)  Ρ(Β).  Σ  Λ
6. Αν τα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου πραγματικού χώρου Ω είναι ξένα
μεταξύ τους, τότε Ρ(ΑΒ) = 0.  Σ  Λ
7. Ισοπίθανα είναι τα ενδεχόμενα που έχουν ίσες πιθανότητες
πραγματοποίησης.  Σ  Λ
8. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, τότε:
Ρ(ΑΒ)=Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(ΑΒ)  Σ  Λ
9. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει
Ρ(ΑΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β).  Σ  Λ
10. Πραγματοποιείται το Α ή το Β  πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον
από τα Α και Β.  Σ  Λ
11. Πραγματοποιείται το Α ή το Β, όχι όμως και τα δύο ταυτόχρονα 
πραγματοποιείται το (ΑΒ΄)(ΒΑ΄).  Σ  Λ
12. Δεν πραγματοποιείται το Α (και) ούτε το Β  πραγματοποιείται
το (ΑΒ)΄.  Σ  Λ
13. Αν Α και Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, Α΄ το αντίθετο
του ενδεχομένου Α και Α΄Β, τότε: Ρ(Α) + Ρ(Β) < 1.  Σ  Λ
14. Αν Α και Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, Α΄ το αντίθετο
του ενδεχομένου Α και Ρ(Α) = Ρ(Α΄), τότε 2Ρ(Α) = Ρ(Ω).
 Σ  Λ

38. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
37
15. Αν Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α ένα ενδεχόμενό
του, για το οποίο ισχύει Ρ(Α) = 1, τότε Α = Ω.  Σ  Λ
16. Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου
Ω, τότε Ν(ΑΒ) = Ν(Α) + Ν(Β).  Σ  Λ
17. Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός πειράματος τύχης ισχύει:
Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(ΑΒ).  Σ  Λ
18. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β δειγματικού χώρου Ω ισχύει Ν(Α) = Ν(Β)
τότε Ρ(Α) = Ρ(Β).  Σ  Λ
19. Η πιθανότητα ότι θα βρέξει αύριο είναι 0,40 και η πιθανότητα ότι δεν θα
βρέξει αύριο είναι 0,52.  Σ  Λ
20. Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος τύχης ένα ενδεχόμενο Α
πραγματοποιείται κ φορές τότε ο λόγος
ν
κ
fA  λέγεται σχετική
συχνότητα του ενδεχομένου.  Σ  Λ
21. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύει Ρ(Α) =
Ρ(ΑΒ), τότε θα είναι και Ρ(Α - Β) = 0.  Σ  Λ
22. Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, τότε ισχύει πάντοτε
Ρ(Α) Ρ(Α-Β) = Ρ(Α) - Ρ(Β).  Σ  Λ
23. Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) = 0,7 και Ρ(Β) =
0,6 τότε τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα.  Σ  Λ
24. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) = 0,4 και
Ρ(Β)=0,6 τότε τα Α, Β μπορεί να είναι ασυμβίβαστα.  Σ  Λ
25. Αν ΑΒ   τότε Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β).  Σ  Λ
26. Αν Ρ(Α) = Ρ(Β), τότε Α = Β.  Σ  Λ
27. Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου, οι εκφράσεις
«να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β» και «να πραγματο-
ποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β» ορίζουν το ίδιο ενδεχόμενο.
 Σ  Λ

39. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
38
Ασκήσεις
1. Από μία τράπουλα με 52 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις
πιθανότητες των ενδεχομένων:
α) το χαρτί να είναι οχτώ ή δέκα
β) το χαρτί να μην είναι ούτε οχτώ ούτε δέκα
2. Σε μια φρουτιέρα βρίσκονται 4 μήλα, 2 πορτοκάλια, 3 αχλάδια και 5 μα-
νταρίνια. Παίρνουμε τυχαία ένα φρούτο. Να βρείτε τις πιθανότητες των
ενδεχομένων το φρούτο να είναι:
α) μανταρίνι
β) πορτοκάλι ή μανταρίνι
γ) ούτε αχλάδι ούτε μήλο
3. Σε μια έρευνα που έγινε ρωτήθηκαν 50 οικογένειες πόσα παιδιά έχουν
και οι απαντήσεις που δόθηκαν φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:
Αριθμός οικογενειών 5 12 18 7 4 3 1
Αριθμός παιδιών 0 1 2 3 4 5 6
Να βρεθεί η πιθανότητα, αν διαλέξουμε τυχαία μια οικογένεια να έχει:
α) το πολύ 2 παιδιά
β) περισσότερα από 4 παιδιά
4. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Αν
Ρ(Α)=0,8, Ρ(Β) = 0,3 και Ρ(ΑΒ) = 0,1, να βρείτε τις πιθανότητες των
ενδεχομένων:
α) «Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α»
β) «Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β»
γ) «Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β»
δ) «Να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β»
ε) «Να πραγματοποιηθεί το Α και το Β»
στ) «Να μην πραγματοποιηθεί το Α»
ζ) «Να μην πραγματοποιηθεί το Β»
η) «Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από Α και Β»
5. Μια έρευνα με σκοπό να δείξει τις προτιμήσεις των αυτοκινητιστών όσον
αφορά τα αξεσουάρ του αυτοκινήτου έδωσε τα παρακάτω αποτελέσματα:
80% των αυτοκινητιστών θέλουν το αυτοκίνητό τους να έχει στερεοφω-
νικό, 30% θέλουν κλιματισμό και 15% και τα δύο. Διαλέγουμε τυχαία
ένα άτομο που πήρε μέρος στην έρευνα. Να βρείτε την πιθανότητα:
α) Να μη θέλει στερεοφωνικό.
β) Να θέλει το λιγότερο ένα από τα δύο αξεσουάρ (στερεοφωνικό,
κλιματισμό).
6. Σε ένα σχολείο 150 μαθητές ρωτήθηκαν κατά πόσον ασχολούνται με κά-
ποιο από τα δύο σπορ: μπάσκετ και ποδόσφαιρο. Η έρευνα έδειξε ότι 120
ασχολούνται με το ποδόσφαιρο, 105 με το μπάσκετ και 80 και με τα δύο

40. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
39
σπορ. Να βρεθεί η πιθανότητα, αν επιλέξουμε τυχαία έναν μαθητή του
σχολείου, να ασχολείται τουλάχιστον με ένα από τα δύο σπορ.
7. Σε έναν κινηματογράφο στον οποίο βρίσκονται 400 θεατές το 50% των
θεατών τρώει ποπ-κορν, το 30% πίνει αναψυκτικό και το 10% τρώει ποπ-
κορν και πίνει αναψυκτικό. Ποια η πιθανότητα ένας θεατής που επιλέγε-
ται τυχαία
α) να τρώει ποπ - κορν ή να πίνει αναψυκτικό
β) να μην τρώει ποπ-κορν και να μην πίνει αναψυκτικό.
8. Για τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ι-
σχύουν:
17
14
)ΒΑ(Ρ  και
4
3
)Β(Ρ
)Α(Ρ
 . Να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ(Β), Ρ(Α).
9. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν:
15
8
)΄Β(Ρ,
15
4
)΄Α(Ρ  και . Να βρείτε την Ρ(ΑΒ).
10. Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν:
5
2
)ΒΑ(Ρ  και
10
9
)ΒΑ(Ρ  και Ρ(Α) = 2Ρ(Β΄). Να βρεθεί η Ρ(Β).
11. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου ισχύουν:
8
7
 )( και
8
3
)ΒΑ(Ρ  και Ρ(Α΄) = 3Ρ(Β΄). Να βρεθούν οι πιθα-
νότητες Ρ(Α), Ρ(Β).
12. Δίνεται ένα πρόβλημα σε δύο μαθητές Α και Β. Η πιθανότητα να το λύσει
ο Α είναι 15%, ενώ η πιθανότητα να το λύσει ο Β είναι 20%. Η πιθανότη-
τα να το λύσουν και οι δύο είναι 10%. Να βρείτε την πιθανότητα:
α) Να το λύσει ένας τουλάχιστον από τους δύο.
β) Να το λύσει μόνο ένας από τους δύο.
13. Στην εκδρομή των μαθητών της Γ΄ Λυκείου ενός σχολείου, που έγινε οδι-
κώς, συμμετείχαν 60 μαθητές. Στον πρώτο σταθμό γευμάτισαν 30 μαθητές,
στο δεύτερο σταθμό 40 μαθητές, ενώ 20 μαθητές γευμάτισαν και στους δύο
σταθμούς. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο μα-
θητής:
α) να γευμάτισε σε τουλάχιστον έναν από τους δύο σταθμούς
β) να γευμάτισε σε έναν μόνο από τους δύο σταθμούς
γ) να μη γευμάτισε σε κανέναν από τους δύο σταθμούς.
5
4
)ΒΑ(Ρ 

41. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
40
14. Σε μια έρευνα μεταξύ μαθητών μιας τάξης διαπιστώθηκε ότι:
Το 40% δεν είχε διαβάσει αρχαία, το 80% δεν είχε διαβάσει μαθηματικά
και το 40% δεν είχε διαβάσει και τα δύο μαθήματα. Να βρείτε την πιθα-
νότητα ένας μαθητής να έχει διαβάσει και τα δύο μαθήματα.
15. Σε μια έκθεση μεταχειρισμένων αυτοκινήτων, το 20% των αυτοκινήτων
δεν έχει μηχανή, το 40% δεν έχει λάστιχα και το 15% δεν έχει ούτε μηχα-
νή ούτε λάστιχα. Αν Α και Β είναι τα ενδεχόμενα:
Α: «το αυτοκίνητο δεν έχει μηχανή»
Β: «το αυτοκίνητο δεν έχει λάστιχα»,
να βρείτε την πιθανότητα ένα τυχαία επιλεγμένο αυτοκίνητο να έχει λά-
στιχα και μηχανή.
16. Από 120 μαθητές ενός Λυκείου, 24 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνι-
σμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 20 μαθητές συμμετέχουν
στον διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και 12 μαθητές συμμε-
τέχουν και στους δύο διαγωνισμούς. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Να
βρείτε την πιθανότητα που έχει ο μαθητής:
α) να συμμετέχει σε έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς
β) να συμμετέχει μόνο σε έναν από τους δύο διαγωνισμούς
γ) να μη συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς.
17. Μια ομάδα έχει πιθανότητα 40% να κερδίσει το πρωτάθλημα, 15% να
κερδίσει το κύπελλο και 8% να κερδίσει και τα δύο. Να βρείτε τις πιθα-
νότητες:
α) να κερδίσει τουλάχιστον έναν τίτλο
β) να κερδίσει μόνο το πρωτάθλημα
γ) να κερδίσει ακριβώς έναν τίτλο
18. Αν τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ασυμβίβαστα
και ισχύουν
5
3
)Β(Ρ
)Α(Ρ
 και Ρ(ΑΒ) = 0,8, να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α)
και Ρ(Β).
19. Αν για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω έχουμε Ρ(Α-Β)
= κ, Ρ(Β-Α) = λ και Ρ(ΑΒ) = μ, να βρείτε τις πιθανότητες:
α) Να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α και Β.
β) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β.
γ) Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β.
20. Σε ένα Λύκειο οι μαθητές που παρακολουθούν το μάθημα της γυμναστι-
κής είναι υποχρεωμένοι να επιλέξουν τουλάχιστον ένα από τα αθλήματα
μπάσκετ ή βόλεϊ. Αν επιλέξουμε έναν μαθητή στην τύχη, η πιθανότητα να
επιλέξει το μπάσκετ είναι 70%, ενώ η πιθανότητα να μην έχει επιλέξει το
βόλεϊ είναι 60%.
α) να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα

42. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
41
β) να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέγεται τυχαία να συμ-
μετέχει και στα δύο αθλήματα.
γ) να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέγεται τυχαία να συμ-
μετέχει μόνο σε ένα από τα δύο αθλήματα.
21. Σε μια τάξη 30 μαθητών οι 20 δεν συμπαθούν τα μαθηματικά, οι 14 δεν
συμπαθούν τα φιλολογικά και 5 δεν συμπαθούν ούτε τα μαθηματικά ούτε
τα φιλολογικά. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή της τάξης να βρείτε την
πιθανότητα να συμπαθεί τα μαθηματικά και τα φιλολογικά.
22. Σε ένα σχολείο στο μάθημα της Γυμναστικής κάθε μαθητής μπορεί να διαλέ-
ξει μέχρι τρία αθλήματα. Το ποδόσφαιρο το διάλεξαν όλοι. Το 70% δεν διά-
λεξαν μπάσκετ. Το 40% διάλεξε και στίβο. Το 65% δεν διάλεξε ούτε στίβο
ούτε μπάσκετ. Αν εκλέξουμε αν μαθητή στην τύχη να βρεθούν οι πιθανότη-
τες των ενδεχομένων:
α) Να έχει διαλέξει τουλάχιστον ένα άθλημα.
β) Να έχει διαλέξει και τα τρία αθλήματα.
23. Στο σύλλογο καθηγητών ενός Λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40%
των καθηγητών είναι φιλόλογοι και το 30% είναι γυναίκες φιλόλογοι. Ε-
πιλέγουμε τυχαία έναν καθηγητή για να εκπροσωπήσει το σύλλογο σε
κάποια επιτροπή. Να υπολογίστε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι:
α) γυναίκα ή φιλόλογος β) γυναίκα και όχι φιλόλογος
γ) άνδρας και φιλόλογος δ) άνδρας ή φιλόλογος
24. Σε ένα χωριό 90 κατοίκων μετά από έρευνα βρέθηκε ότι:
α) Οι 50 είναι άνδρες από τους οποίους οι μισοί είναι ηλικιωμένοι
β) Οι 60 είναι ηλικιωμένοι.
Αν επιλέξουμε έναν κάτοικο τυχαία να βρείτε την πιθανότητα:
α) Να είναι άνδρας ή ηλικιωμένος.
β) Να μην είναι ούτε άνδρας ούτε ηλικιωμένος.
γ) Να είναι μόνο άνδρας ή μόνο ηλικιωμένος.
25. Από δύο Λύκεια μιας πόλης συμμετείχαν στις πανελλήνιες εξετάσεις, 120
μαθητές από το 1ο
Λύκειο και 240 από το 2ο
. Από το 1ο
Λύκειο πέτυχαν
30 μαθητές και 80 από το δεύτερο.
Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους μαθητές που συμμετείχαν στις εξετά-
σεις:
α) Να βρεθεί η πιθανότητα να έχει πετύχει.
β) Να ανήκει στο 1ο
Λύκειο και να έχει αποτύχει.
γ) Να ανήκει στο 1ο
Λύκειο και να έχει πετύχει.
δ) Να έχει πετύχει ή να ανήκει στο 1ο
Λύκειο.
26. Από τους 5000 μαθητές μιας πόλης που φοίτησαν στο γυμνάσιο, το 80%
πήρε απολυτήριο, οι υπόλοιποι διέκοψαν. Όσοι πήραν απολυτήριο γρά-

43. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
42
φτηκαν στο Λύκειο και απ’ αυτούς το 80% πήρε απολυτήριο, οι υπόλοι-
ποι διέκοψαν. Από τους μαθητές που αποφοίτησαν από το Λύκειο το 40%
πέρασε σε ανώτατες σχολές. Για ένα μαθητή που γράφτηκε στο Γυμνά-
σιο:
α) Ποια είναι η πιθανότητα να μην τελειώσει το Γυμνάσιο;
β) Ποια είναι η πιθανότητα να τελειώσει το Λύκειο;
γ) Ποια είναι η πιθανότητα να έχει περάσει σε ανώτατη σχολή;
δ) Ποια είναι η πιθανότητα για ένα μαθητή, που γράφτηκε στο Λύκειο,
να έχει περάσει σε ανώτατη σχολή;
27. Όλα τα αγόρια μιας τάξης παίζουν ποδόσφαιρο ή μπάσκετ. Το 80% παί-
ζει ποδόσφαιρο και το 60% παίζει μπάσκετ.
α) Να εξετάσετε, αν κάποιος μαθητής παίζει ποδόσφαιρο ή μπάσκετ
β) Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου: «Ο μαθητής να παίζει
ποδόσφαιρο ή μπάσκετ».
γ) Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου: «Ο μαθητής να παίζει
ποδόσφαιρο και μπάσκετ».
28. Αν η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενα Α είναι διπλάσια της πιθανό-
τητας να μην συμβεί, να βρείτε τις Ρ(Α) και Ρ(Α΄).
29. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: Ρ(Α) =
2Ρ(Β) και )A(P
2
3
)BA(P  . Να βρείτε την Ρ(ΑΒ). Τι συμπεραίνετε
για τα ενδεχόμενα Α, Β;
30. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: Ρ(ΑΒ)=
0,1 και .
4
)ΒΑ(Ρ
3
)Β(Ρ
2
)Α(Ρ 
 Να βρείτε τις Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(ΑΒ).
31. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν:
4
1
)ΒΑ(Ρ,
5
2
)ΒΑ(Ρ  και
2
1
)΄Α(Ρ  . Να βρείτε τις πιθανότητες
Ρ(Β) και Ρ(ΑΒ΄).
32. Για τα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω δίνεται ότι:
4
1
)΄Β(Ρ,
3
1
)΄Α(Ρ  και Ρ(ΑΒ)= 0,5. Να βρείτε την πιθανότητα να μη
συμβεί κανένα από τα Α και Β.
33. Αν Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 20} να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδε-
χομένων:
Α: τα στοιχεία του Ω που διαιρούνται με το 2
Β: τα στοιχεία του Ω που διαιρούνται με το 5
Γ: τα στοιχεία του Ω που διαιρούνται με το 5 και το 2

44. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
43
34. Η πιθανότητα να επιλεγεί ένας μαθητής για την ομάδα ποδοσφαίρου του
σχολείου είναι 1/6 ενώ για την ομάδα μπάσκετ 1/5. Η πιθανότητα να ε-
κλεγεί και στις δύο ομάδες είναι 1/10. Ποια η πιθανότητα των ενδεχομέ-
νων:
α) Να επιλεγεί τουλάχιστον σε μία από τις δύο ομάδες;
β) Να επιλεγεί μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου;
γ) Να επιλεγεί μόνο σε μια από τις δύο ομάδες;
35. Δύο μαθητές ο α και ο β λύνουν μια άσκηση πιθανοτήτων. Η πιθανότητα
να τη λύσει τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 3/4 ενώ η πιθανότητα
να τη λύσουν και οι δύο είναι 1/4. Αν γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να μη
λύσει την άσκηση ο α μαθητής είναι 2/3 να υπολογιστούν:
α) Η πιθανότητα να λύσει την άσκηση ο μαθητής α
β) Η πιθανότητα να λύσει την άσκηση ο μαθητής β
γ) Η πιθανότητα να λύσει την άσκηση μόνο ο μαθητής α.
36. Εξετάστε αν υπάρχουν ενδεχόμενα Α, Β δειγματικού χώρου Ω ώστε να
ισχύει: Ρ(Α) = 5/6, Ρ(Β) = 3/4 και Ρ(Α΄Β΄) = 5/8.
37. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με
3
1
)Α(Ρ  και
4
3
)ΒΑ(Ρ  , να αποδειχθεί ότι
4
3
)Β(Ρ
12
5

38. Από 100 μαθητές που συμμετείχαν στις εξετάσεις της Γ΄ τάξης ενός Λυ-
κείου, διαπιστώθηκε ότι οι 30 δεν έγραψαν καλά στα Μαθηματικά, 25
δεν έγραψαν καλά στη Φυσική και 21 δεν έγραψαν καλά και στα δύο μα-
θήματα. Αν επιλέξουμε τυχαία έναν μαθητή, ποια είναι η πιθανότητα να
έχει γράψει καλά σε ένα μόνο από τα δύο μαθήματα;
39. Η πιθανότητα να επιλεγεί ένας μαθητής για την ομάδα μπάσκετ του σχο-
λείου του είναι
5
1
, ενώ για την ομάδα του ποδοσφαίρου είναι
6
1
. Η πιθα-
νότητα να επιλεγεί και για τις δύο ομάδες είναι
10
1
. Να υπολογίσετε τις
πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων:
α) Α1: Να επιλεγεί σε μία τουλάχιστον από τις δύο ομάδες.
β) Α2: Να επιλεγεί μόνο στην ποδοσφαιρική ομάδα.
γ) Α3: Να επιλεγεί μόνο σε μία από τις δύο ομάδες.
40. Η πιθανότητα να επιλεγεί ένας μαθητής για την ομάδα ποδοσφαίρου του
σχολείου του είναι
8
1
, ενώ για την ομάδα μπάσκετ
6
1
. Η πιθανότητα να

45. Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος
44
επιλεγεί και στις δύο ομάδες είναι
12
1
. Ποια είναι η πιθανότητα των ενδε-
χομένων:
Α: Να επιλεγεί τουλάχιστον σε μια από τις δύο ομάδες.
Β: Να επιλεγεί μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου.
Γ: Να επιλεγεί μόνο σε μία από τις δύο ομάδες.
41. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, με
3
1
)Α(Ρ  ,
2
1
)Β(Ρ  και
4
1
)ΒΑ(Ρ  , να βρεθούν οι πιθανότητες:
α) Ρ(ΑΒ) β) Ρ(Α΄) γ) Ρ(Α΄Β΄)
δ) Ρ(Α΄Β΄) ε)Ρ(Α΄Β)
42. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β ισχύει
5
4
)ΒΑ(Ρ  ,
5
3
)΄Β(Ρ  και
5
1
)ΒΑ(Ρ  , τότε να βρεθούν τα:
α) Ρ(Β) β) Ρ(Α) γ) Ρ(ΑΒ΄)
43. Έστω δειγματικός χώρος Ω με 30 ισοπίθανα στοιχεία και Α, Β, Γ, Δ ενδε-
χόμενα του Ω, που ανά δύο είναι ξένα και η ένωσή τους είναι το Ω. Δίνε-
ται επιπλέον ότι:
2
4x
)A(N
2

 , 1x)Γ(N  και 1x)Δ(Ν 
και Ρ(Β) = 0,4.
Να βρεθούν:
α) Ρ(Α), Ρ(Γ), Ρ(Δ) β) Ρ[(ΑΒ)΄], Ρ(ΑΒ)
44. Σ’ έναν αγώνα η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Α είναι 25%, η πιθα-
νότητα να κερδίσει ο παίκτης Β είναι 15% και η πιθανότητα να κερδίσει ο
παίκτης Γ είναι 30%. Να βρείτε την πιθανότητα:
α) να κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Β,
β) να μην κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Γ.
45. Το 20% των ατόμων ενός πληθυσμού έχει διαβήτη, το 5% έχει καρδιακή
ασθένεια και το 3% έχει και τα δύο. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο του
πληθυσμού. Να βρείτε την πιθανότητα το άτομο να έχει:
α) τουλάχιστον μια ασθένεια,
β) μόνο μια ασθένεια
46. Από μία έρευνα προέκυψε ότι το 40% των μαθητών ενός λυκείου γνωρί-
ζει Αγγλικά ,το 20% γνωρίζει Γερμανικά αλλά όχι Αγγλικά και το 90%
δεν γνωρίζει ταυτόχρονα και τις δυο γλώσσες .Επιλέγουμε τυχαία έναν
μαθητή. Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων