Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Aalg sxol 2015-2016_papagrigorakis

13,429 views

Published on

Οι νέες σημειώσεις (σχ. έτος 2015-16) του Μίλτου Παπαγρηγοράκη για το lisari

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Aalg sxol 2015-2016_papagrigorakis

  1. 1. Α Λυκείου Άλγεβρα 4ο ΓΛΧ 2015-2016 Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα
  2. 2. Ταξη: Α Γενικού Λυκείου Άλγεβρα Έκδοση 15.07 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός MEd Χανιά 2015 Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr
  3. 3. Α Λυκείου – 0 ΚΕ Μαθηματ 0.01 Δι προτάσεων: Α) Υπ Β) Μ Γ) Υπ τετράγωνό τ Δ) Κά 0.02 Ν προτάσεις τ Α) Αν Β) Αν τότε είναι ισ Γ) Αν είναι ισοσκε 0.03 Δε 0.04 Ν αντιθετοαντ Α) Αν ο 2 x περιττός , Β) Αν ένα τε τότε αυτό δε 0.05 Ν Α)  p q  Γ)  p q  0.06 N κάθε μια απ A) α B) 2 α Γ) 2 α –Άλγεβρα ΕΦΑΛΑΙΟ τική Λογική ιατυπώστε τι : πάρχει τρίγω Μερικοί ακέρα πάρχει πραγ του είναι αρν άθε τετράπλε α διατυπώσε των προτάσεω ν α 3 τότε ν ένα τρίγων σοσκελές , ν ένα τρίγων ελές. είξτε ότι p  α διατυπώσε τίστροφες πρ είναι περιττ ετράπλευρο εν είναι ορθο α αποδείξετε  q p  q α χαρακτηρί πό τις παρακ 2 α 2   2 4 α 2   2 4 2    Ο 0 ή ις αρνήσεις τ ωνο που είνα αιοι είναι πρ γματικός αριθ νητικό , ευρο είναι τε ετε τις αντίστ ων: 2 α 9 , νο έχει δύο γ νο είναι ισόπ  q q   ετε τις ροτάσεις των τός τότε και ο έχει άνισες δ ογώνιο. ε ότι: Β)  p q Δ) p p ίσετε ως Σωσ κάτω συνεπαγ 2 , α 2 . ων αι ορθογώνιο ρώτοι , θμός που το ετράγωνο. τροφες γωνίες του ίσε πλευρο τότε p . ν προτάσεων: ο x είναι διαγωνίους, p , q . στή ή Λάθος γωγές: ο ες : Σ 0. στ  Β) Δ) σω 3 0. A B Ν 0. συ β) γ) 0. Β A 0. Ν 0. υπ χα απ Α Β) Γ) Δ) ύνολα .07 Α) Ν τοιχείων του 2 x 1  και ) Γράψτε το σ ) Για τα προη ωστές ή λάθο Γ , (0,2) .08 Δίνο A x R /(x  B y R /(y  Να βρείτε τα σ .09 Να β υνόλων: α) A ) A R 1,  )  A 3,  .10 Αν Ω  Β 3,4 τότε A B A    .11 Να σ Ν Ζ ...  , R .12 Έστω ποσύνολα εν αρακτηρίσετ πό τις παρακ Α) Αν A ) Αν B ) Αν A ) Είνα Να γράψετε μ το σύνολο: Β ι y R με 2x σύνολο Γ={2, ηγούμενα σύ ος τις προτάσ Β , 8Β ονται τα σύνο 2 x 4)(x 1)(x  2 y 2)(y 16)  σύνολα A  βρεθεί η ένωσ  A R 1, 2  2 και B 1 και Β   Ω 1,2,3,4, ε να αποδείξε B και A  συμπληρώσε Z ...  , R  ω ότι τα σύνο νός συνόλου ε αν είναι σω κάτω προτάσ A B τότε A B A τότε A A B Ω  κα αι A , γι  με αναγραφή Β={  x,y /x x y 1  }. 2,4,6,8} με περ ύνολα να χαρ σεις: , -1Γ , ολα: 3 x 64) 0  2 )(y 9) 0  B και A B ση και η τομ  και B R  1, , ,5 . ,5 , Α 2,3 ξετε ότι: B A B    ετε τις ισότητ Q ...  , R  ολα Α και Β αναφοράς Ω ωστή ή λάθος σεις: A B A  . A B B  . αι A B   τ ια κάθε A . 3 ή των ακέραιος με ριγραφή ρακτηρίσετε 0Γ και  B . μή των  1, 3 , 3 και B . τες N ...  Β είναι Ω . Να ς κάθε μια τότε A B  . 3 ε
  4. 4. 4 http://users.s 1 ΠΙΘ Ισοπίθανα 1.01 Έσ B ω Ω/  εκλέξουμε τ τις πιθανότη Β) στο Α κα Γ) στο Α κα Δ) σε ένα το 1.02 Ρί Να βρείτε τ και 5 στο ά 1.03 Ρί διαδοχικά δ ενδεχομένω Α) Το αποτέ μικρότερο α Β) Οι ενδείξ Γ) Το άθροι είναι μεγαλ 1.04 Έσ Εκλέγουμε τ πιθανότητα 2 λ 3λ 0  1.05 Σε είναι 54 . Α Λυκείου η π τάξης είναι τάξης είναι Α) το πλήθο Β) το πλήθο Γ) την πιθαν εκλέξαμε τυ sch.gr/mipap ΘΑΝΟΤΗΤ α Ενδεχόμ στω τα σύνολ /ω περιττός τυχαία ένα στ ητες να ανήκ αι στο Β ι όχι στο Β ο πολύ από τ ίχνουμε δύο ην πιθανότη άλλο. ίχνουμε ένα δύο φορές. Β ων έλεσμα της π από το αποτέ ξεις και στις δ ισμα των ενδ λύτερο του 9 στω το σύνολ τυχαία ένα λ α ο λ να είνα ε ένα Λύκειο Αν εκλέξουμε πιθανότητα ν 0,36 και η π 0,34 . Να βρ ος όλων των ος των μαθητ νότητα να εί υχαία μαθητή pagr ΤΕΣ μενα λα Ω 1,2,  Α ω Ω/  τοιχείο του Ω κει: Α) στο Α α Α και Β. αμερόληπτα ητα να φέρου αμερόληπτο ρείτε τις πιθα πρώτης ρίψης έλεσμα της δε δύο ρίψεις εί δείξεων στις δ . λο Ω 0,2,3 λ Ω . Να βρ αι ρίζα της εξ ο οι μαθητές τ τυχαία ένα μ να είναι μαθη πιθανότητα ν ρείτε: μαθητών του τών της Β τάξ ίναι ένας μαθ ής της Γ τάξη 3,4,5 /ω 4 . Αν Ω , να βρείτε Α ή στο Β, α ζάρια μαζί. υμε 6 στο ένα ζάρι ανότητες των ς είναι εύτερης ρίψη ίναι ίδιες. δύο ρίψεις 3,4 . ρείτε την ξίσωσης της Α τάξης μαθητή του ητής της Α να είναι της υ Λυκείου, ξης, θητής που ης. ε α ν ης. Β 1. κό σφ Α Β) Γ) 1. κό τυ κό πά κό κο 1. χώ P εν Γ: Δ 1. οι μπ πο μα Α Β) μπ Γ) το .06 Ένα όκκινες σφαί φαίρες. Να β Α) να είναι δύ ) να είναι η π ) να είναι κα .07 Ένα όκκινες και μ υχαία μία μπ όκκινη μπάλ άρουμε μαύρ όκκινες και π ουτί. .08 Έστω ώρου Ω τέτο   1 P A B 6   νδεχομένων. :«Πραγματοπ : «Δεν πραγμ .09 Από ι 20 ασχολο πάσκετ και κ οδόσφαιρο ή αθητή. Nα β Α) Να μην ασ ) Να ασχολεί πάσκετ, ) Να ασχολεί ο μπάσκετ. κουτί περιέχ ίρες. Βγάζουμ βρεθεί η πιθα ύο κόκκινες, πρώτη άσπρη ι οι δύο άσπ κουτί περιέχ μερικές μαύρ πάλα. Η πιθα λα είναι 1 2 κα ρη μπάλα είν πόσες μαύρες ω Α, Β ενδεχό οια, ώστε Ρ Α . Να βρεθούν ποιείται ένα ματοποιείται ό τους 50 μα ύνται με το π καθένας ασχο ή το μπάσκετ ρεθεί η πιθαν σχολείται με τ ίται με το πο ίται με το πο Π χει 2 άσπρες με διαδοχικά ανότητα: η και η δεύτε πρες. χει 12 άσπρ ρες μπάλες. Π ανότητα να π αι η πιθανότη ναι 1 3 . Να βρ ς μπάλες υπά όμενα ενός δ  1 Α 3  ,  Ρ Β ν οι πιθανότ μόνο από τα ι ούτε το A ο αθητές της A ποδόσφαιρο, ολείται με το τ. Επιλέγουμε νότητα: το ποδόσφαι οδόσφαιρο κα οδόσφαιρο αλ Πιθανότητες και 3 ά δύο ερη κόκκινη, ες, μερικές Παίρνουμε πάρουμε ητα να ρείτε πόσες άρχουν στο δειγματικού  1 4  και τητες των α A και B » ούτε το B ». τάξης ενός , οι 40 με το ο ε τυχαία ένα ιρο, αι με το λλά όχι με ς , ο α
  5. 5. Α Λυκείου – 1.10 Έσ δειγματικού πιθανότητα Να μην πρα Β είναι 1 4 , Nα πραγμα είναι 2 3 . Να βρείτε τ ένα το πολύ 1.11 Έσ χώρου με μη ισχύει  Ρ Α ότι το Α είν αδύνατο. 1.12 Έσ δειγματικού πιθανότητα να πραγματ να μην πρα πραγματοπ 1 6 Να βρείτε τ Α) έν Β) το Γ) κα Δ) μό Ε) μό ΣΤ) το –Άλγεβρα στω Α,Β δύο ύ χώρου Ω γ α αγματοποιείτ ατοποιείται μ ην πιθανότη ύ από τα Α κ στω Α,Β ενδ η μηδενικές π    Ρ Α Ρ Α  ναι βέβαιο εν στω Α,Β δύο ύ χώρου για α: τοποιείται το αγματοποιείτ ποιούνται συγ ην πιθανότη να τουλάχιστ ο πολύ ένα απ ανένα από τα όνο το Α , όνο ένα από ο Α ή να μην ο ενδεχόμενα για τα οποία ται κανένα α μόνο ένα από ητα να πραγμ και Β . δεχόμενα ενό πιθανότητες   2 Α Ρ Β  . Ν νδεχόμενο κ ο ενδεχόμενα τα οποία ισχ ο Α είναι 1 5 ται το Β είνα γχρόνως και ητα να πραγμ τον από τα Α πό τα Α και α Α και Β , τα Α και Β πραγματοπο α ενός ισχύει ότι η από τα Α κα ό τα Α και Β ματοποιείται ός δειγματικο , για τα οποί Να αποδείξε αι το Β α ενός χύει ότι η , αι 3 5 και να ι τα δύο είνα ματοποιείται Α και Β , Β, , οιείται το Β αι Β ι ού ία ετε ι ι: 1. μα το το πά «β Π 1. έχ τω τυ κι τη κι 1. κό σφ Α Β) κό Γ) 1. απ κό τη ίδ Α Α χρ Β Γ ήτ Β) Α .13 Σε μ αθητών μιας ο καλοκαίρι ο καλοκαίρι άει διακοπές βουνό» ενώ τ Πόσα άτομα έ .14 Σε έν χει κινητό τη ων μαθητών υχαία ένα μα ινητό και να ην πιθανότητ ινητό. .15 Ένα όκκινες σφαί φαίρες. Να β Α) να ε ) να ε όκκινη ) να ε .16 Μέσ πό τις οποίες όκκινες. Επιλ ην άλλη μέχρ διου χρώματο Α) Τις πιθανό Α: «Οι μπάλε ρώματος». Β: «Στο κουτί Γ: «Από τις μπ ταν περισσότ ) Τις πιθανότ Α Β, Β Γ,  μια έρευνα πο ς τάξης βρέθη διακοπές σε διακοπές σε ς το καλοκαίρ τρείς μαθητές έxει η τάξη; να σχολείο το λέφωνο ή δε έχει κινητό κ αθητή. Αν η π μην έχει Η/ τα να μην έχ κουτί περιέχ ίρες. Βγάζουμ βρεθεί η πιθα ίναι δύο κόκ ίναι η πρώτη ίναι και οι δ σα σε ένα κου ς οι 3 είναι ά λέγουμε την ρι να μείνουν ος. Να βρείτε τητες των εν ς που επιλέξα έμεινε μόνο πάλες που επ τερες από τις τητες των ενδ , Γ Α , Α ου έγινε μετα ηκε ότι το 50 «νησί», το 5 «βουνό», το ρι σε «νησί» ς δεν θα πάν το 50% των μ εν έχει Η/Υ κ και Η/Υ. Επι πιθανότητα ν /Υ είναι 1 5 , ν χει ούτε Η/Υ χει 3 άσπρες με διαδοχικά ανότητα: κκινες, η άσπρη και δύο άσπρες. υτί υπάρχουν άσπρες και ο μία μπάλα μ ν στο κουτί μ ε : νδεχομένων: ξαμε ήταν του ο μία μπάλα» πιλέξαμε οι κ ς άσπρες». δεχομένων : Β  . 5 αξύ των 0% θα πάει 50% θα πάει 10% θα και σε νε πουθενά. μαθητών και το 25% ιλέγουμε να έχει να βρείτε ούτε και 2 ά δύο η δεύτερη ν 5 μπάλες οι 2 μετά από μπάλες του υ ίδιου ». κόκκινες 5
  6. 6. 6 http://users.s Λογισμός Π 1.17 Αν χώρου και ι   2 P B 3  , τό 1.18 Θε πειράματος  P A B  βρείτε τις P 1.19 Αν δειγματικού   P A P Β  1.20 Αν δειγματικού  P A B  1.21 Αν δειγματικού   1 P A 6  , P τις : Α) P Β) P Γ) P 1.22 Αν  P A και P sch.gr/mipap Πιθανοτήτων ν Α,Β ενδεχ ισχύουν P A ότε βρείτε τις εωρούμε τα ε ς τύχης, με πι 3 4 ,   2 P A 3    P A ,  P B , ν για δύο ενδ ύ χώρου Ω ι  11 Β 10   να β ν για δύο ενδ ύ χώρου Ω ι 5 6 να υπολο ν A,B είναι ύ χώρου Ω κ   1 P A 6  κα  P A ,  A Β ,  A Β . ν 3 2 Ρ(Α ) Ρ(Α    P A . pagr ν χόμενα ενός  1 A B 4   , P ς  P A B , ενδεχόμενα ιθανότητες τέ 2 3 ,  P A B  P A B . δεχόμενα A ισχύουν: P A ρείτε την P δεχόμενα A ισχύουν: P A ογίσετε την P ι ενδεχόμενα και ισχύουν ο ι  P A Β  2 25 Α) 6  να β δειγματικού   1 P A 3  ,  P A B . A,B ενός έτοιες ώστε: 1 4  . Να ,B ενός  2 A B 5   , A B . ,B ενός  1 A 2   ,  P Β Α . ενός οι ισότητες 2 15  , να βρείτ βρείτε τις ύ τε 1. δε 3 να 1. δε P υπ P 1. δε A οι 1. χώ P πι 1. δε P Ν πρ κα 1. δε Ρ πι απ .23 Αν γ ειγματικού χ  P A B 1  α υπολογίσετ .24 Αν γ ειγματικού χ    P A 2P Β πολογίσετε τ  P A B . .25 Εστω ειγματικού χ A B Ω  , Ρ ι:  P A B  .26 Αν A ώρου Ω και   P A B  ιθανότητα P .27 Δίνο ειγματικού χ 1 P(A B) 4   Να βρείτε την ραγματοποιη αι Β . .28 Έστω ειγματικού χ   1 Ρ Α Β 4   ιθανότητα να πό τα Α και για δύο ενδεχ χώρου Ω ισχ  3Ρ Α Β  τε την πιθανό για δύο ενδεχ χώρου Ω ισχ 1 και 2P ις πιθανότητ ω A, B ενδεχ χώρου για τα  Α α , και  P A B  A, B ενδεχό ισχύουν P A  1 A B 6   ,  P A B  . ονται δύο ενδ χώρου Ω για , P(A B)  ν πιθανότητα ηθεί μόνο έν ω Α,Β δύο ε χώρου Ω για και  Ρ Β  α μην πραγμ ι Β . Πραγματ χόμενα A,B χύει: νότητα  P Β χόμενα A,B χύει ότι: P A  A B 1  , ν τες  P Α Β χόμενα ενός α οποία ισχύο  Ρ Β β . Ν  P A B P όμενα ενός δε  2 A B 3   κ , να βρείτε τη δεχόμενα A α τα οποία ισ 1 20 και P B α του ενδεχομ να από τα ενδ ενδεχόμενα ε α τα οποία ισ 1 2 . Να βρείτ ματοποιείται τικοί Αριθμοί ενός . ενός   A 3P Α  , να ,  P Β Α , ουν Να βρεθούν  P A B . ειγματικού και ην και B ενός σχύουν:  1 B A 2   . μένου να δεχόμενα Α ενός σχύει ότι: τε την ι κανένα ί
  7. 7. Α Λυκείου – Παραμετρ 1.29 Αν πειράματος με  Ν Ω 3 A, B συμπλ οι πιθανότη 1.30 Αν δειγματικού   2 P B 7λ  1.31 Έν φτιαγμένο ώ είναι ανάλο βρείτε τη πι 1.32 Έσ χώρος ενός του Α= 1ω , Αν ισχύουν 4 1 κ P(ω ) 3κ   πιθανότητες Ανισότητες 1.33 Αν δειγματικού Α) 0 4P(A Β)  1 P(A 2  Γ) P(A B) Δ) 2P(A B –Άλγεβρα ρικές ν Ω δειγματ ς τύχης με ισο 30 και  Ν Α ληρωματικά ητες  P A κα ν A,B ασυμ ύ χώρου Ω μ 6λ 2  , να δ να μη αμερό ώστε η εμφάν ογη του  κ μ ιθανότητα εμ στω  1Ω ω , πειράματος 2 3,ω ,ω και ν :   1 Ρ Α κ  κ κ , να βρεθε ς 2P(ω ), P(ω ς ν Α,Β είναι ε ύ χώρου Ω , A)P(A ) 1  ,   2 2 ) P(A ) P(A)P(B)  B) P(A) P(  τικός χώρος ε οπίθανα απλ  2 x 4 2   , P ά ενδεχόμενα αι  P B . μβίβαστα ενδ με   2 P A λ δείξετε ότι 1 4 όληπτο ζάρι ε νιση κάθε αρ με κ 1,2,3 μφάνισης κάθ 2 3 4,ω ,ω ,ω τύχης και τα Β= 1 3ω ,ω . ,   2κ Ρ Β 2  εί ο κ R * κα 4ω ). ενδεχόμενα ε να αποδείξε 2 1 , P((A Β) )  , (B) 2P(A  ενός λά ενδεχόμεν   x B 6  , με α, να βρεθούν δεχόμενα ενό , 1 λ 2   . είναι έτσι ριθμού  κ ν ,...,6 . Να θε αριθμού. ο δειγματικό α ενδεχόμενά 1 κ  και αι οι ενός ετε ότι: , B). να ν ός να ός ά 1. δε Α εί Β) 1. P 1. χώ Ν 1. δε απ 1. κα P 1. δε Ν Α Β) Γ) .34 Έστω ειγματικού χ Α) Να αποδεί ίναι ασυμβίβ ) Να αποδείξ .35 Έστω P(B) 0,78 . Ν .36 Έστω ώρου με Ρ Α Να δείξετε ότι .37 Έστω ειγματικού χ ποδείξετε ότι .38 Αν A αι  2 25P A   P A και P B .39 Έστω ειγματικού χ Να αποδειχθε Α)   2Ρ Γ Ρ )  3Ρ Γ 2Ρ )  Ρ Α Β  ω A , B ενδεχ χώρου Ω με ξετε ότι τα εν βαστα. ξετε ότι: 1 P 6  ω A , B ενδεχ Να δείξετε ότ ω Α, Β ενδεχό  1 Α 3  , Ρ Α  ι   5 Ρ Β 12   ω A , B ενδεχ χώρου Ω με ι: 1 P(A B 6   A, B συμπλη  8 29P A  B . ω Α,Β,Γ ενδ χώρου Ω τέτο εί ότι:    Α Ρ Β ,   Α Β Ρ    Ρ Α Ρ Β  χόμενα ενός 1 P(A) 2  , P νδεχόμενα A 1 P(A B) 2   χόμενα με P τι: 0,1 P(A όμενα ενός δ  3 Β 4   3 4  . χόμενα ενός 1 P(A) 2  , P 1 B) 2  . ηρωματικά ε  P B , να β δεχόμενα ενό οια, ώστε Γ   Α Β 3Ρ  Γ . 7 2 (B) 3  . A και B δεν . P(A) 0,32 , B) 0,32  . δειγματικού 2 (B ) 3   . Να ενδεχόμενα βρεθούν οι ός Α Β  .  Α Β , 7
  8. 8. 8 http://users.s 2 ΠΡ Iδιότητες 2.01 Αν υπολογιστεί 2.02 Δε Α x 3y   2.03 Αν 2 β β 1  οι α και β 2.04 Αν παράσταση 2.05 Αν παράσταση x,y . 2.06 Αν x y και η τιμ 2.07 Αν ότι ο α  2.08 Ν τετραγώνων είναι άρτιος 2.09 Αν 2ν 2 αα x x         sch.gr/mipap ΡΑΓΜΑΤΙΚ ς των πράξ ν α 0,5  κ ί η 3 2α 3β είξτε ότι αν ε 4z και B y ν οι αριθμοί είναι αντίστ είναι αντίθε ν α 3β 1  ς α(α 1) 4  ν xy(2y x) 1 1 x 1 1 2y    ν x y 3 x y 2    , μή της παράσ ν ο α είναι π 2 1 2α 2   α αποδείξετε ν δύο διαδοχ ς. ν γβα x y ω   ν2 2 2 2 2 2 α β γ y ω      pagr ΚΟΙ ΑΡΙΘΜ ξεων και β 0,001 β 4 3α 2   είναι αντίθετ y x 2z  , τό 2 α α 1  τροφοι, να απ ετοι. να βρεθεί η 4β(2 α) β(α  0 , δείξτε ό 1 2y x  είναι αν y 0 να βρ στασης Α= x 2 περιττός ακέ είναι πολλα ε ότι το άθρο χικών περιττ να αποδειχ ν ν ν ν ν α β x y        ΜΟΙ να  2 α 2β 1   οι οι αριθμο ότε y z . και ποδείξετε ότι τιμή της α 8) . ότι η νεξάρτητη τω εθεί ο λόγος 2 2 2 x y 2xy x   . ραιος δείξτε απλάσιο του οισμα των ών αριθμών τεί ότι: 2ν ν γ ω    . . οί ι ων 4 . Δ 2. Α 2. Α Β) 2.    2. ( 2. μπ β) 2. α 2. 2. 2. {2 ω Δυνάμεις .10 Να α Α)       22 3 13 2 α β α β α   .11 Να υ Α) 5 x x ) 1 x  .12 Α) Ν 32 2 27 3 8          .13 Αν ν v v 1 1) ( 1)     .14 Ποιο πορούμε να ) τρία τριάρι .15 Για π κ 1 2κ α β  γρά .16 Να β .17 Δείξ .18 Να γ 101 171 2 :[(5 : 5 ς δύναμη με απλοποιήσετ   2 2 4 α β α β   , B) υπολογίσετε  2 32 x xy : y           23 1 11 3 3 x y y x y     Να απλοποιη 2 7 8     και  2 7 α α ν είναι φυσικ 1 v 2 ( 1) (    ος είναι ο μεγ φτιάξουμε μ ια, γ) τρία τ ποια τιμή του άφεται ως δύν βρεθεί ο ν  τε ότι αα β x x         γράψετε την 170 98 5 3) 2  βάση το 8 Πραγματ τε τις παραστ ) 2 1 2 3x y 4x x y    τις παραστά αν x 0,4 κ 2 αν 1 x 10  ηθούνοι παρα    3 2 2 2 β αβ β α β         κός με v 1 , v 3 ( 1) 0   . γαλύτερος α με: α) τρία δυ τεσσάρια; υ κ η παράσ ναμη με βάσ Z αν  3ν 6 2  β γβ β γ x x            ν παράσταση 105 3 4 2 : (2 ·2 ) τικοί Αριθμοί τάσεις: 3 x y . άσεις: και y 2,5  3 , 2 1 y 10   αστάσεις: 3 7   , δείξτε ότι: αριθμός που υάρια, σταση ση  αβ ;  2 ν 6 1   γ αγ α x 1 x         : 11 9 38 (2 ) ]}·2 ί
  9. 9. Α Λυκείου – Ταυτότητ 2.19 Ν α) 16 8x  2.20 Αν 2 2 α β 4α  2.21 Απ βρείτε τις τι A) 2 x x x 1    Γ) 2 2 x 3x x x    2.22 Αν της παράστ x1 1 : x y       2.23 N Α) Αν 2 Β) Αν  2.24 Γι 2 2 2 α β γ  2.25 Γι αν x y ω  2.26 Αν τριγώνου κα αποδείξετε ό 2.27 Αν   2 α β α  –Άλγεβρα τες – Παραγ α συμπληρώ  2 ...   ν α β 2  ν α 2αβ 4β   πλοποιήστε τ ιμές του x για 2 3 1 x 1 x 1    2 2 2 x 2x x x 2      ν x 0,5, y  ασης 2 2 y 1 1 2 x y    α αποδείξετε   2 2 2 α β α   1 1 α β α β     ια κάθε α,β,γ 2 αβ βγ γ   ια κάθε x,y,ω  2 2 ω 3 x  ν α,β,γ είνα αι ισχύει ότι ότι το τρίγων ν β α 1  να 2 4 4 β α β  γοντοποίη ώσετε τα παρα β) 9 4 2 να αποδείξετε 3 1   . τις παραστά α τις οποίες ο Β) 1 x x    2 Δ) 2 (x x  y=-2 να βρεί  2 2 xy x y     . ε ότι: 2 α β τότε 4    , αβ 0 γ R , δείξτε γα τότεα β ω R , να απ 2 2 y ω τότ αι τα μήκη π 2 α βγ 2α β γ    νο είναι ισόπ α αποδείξετε  4 8 8 α β  ηση ακάτω κενά:  2 ... ...  . ε ότι άσεις, αφού ορίζονται: 2 3 2 3 1 x x x (x 1)    2 x) 2x 2 x 1    ίτε την τιμή α β . 0 τότε α β ε ότι: αν β γ . ποδείξετε ότι τε x y ω  . πλευρών α β γ 2   , να πλευρο. ε ότι:  16 16 α β . , . : 2. να 2. 2. x 2. α 2. α α 2. ισ 2. β 2. Α Β) 2. ότ 2. αν .28 Αν  α αποδείξετε .29 Αν α .30 Αν x 2 2 y , 3 x y .31 Aν x 2 2 α β 1  να .32 Αν α α β γ 0   , ν 2 2 α β 2βγ α β    .33 Αν γ σχύει ότι 3 x 3  .34 Ανα 4 3 3 α β γ 3αβγ  .35 Για κ Α) Ο αρ ) Ο αρ .36 Αν α τι: α αβ α 1  .37 Να α ν 1 1 1 α β γ      2 x α y   ότι x α κα 1 α 5 α   βρε x y 2  και 3 y , 1 1 x y  , x 3 x 4α 3α  , α αποδείξετε α β 0  , β  να αποδείξετ 2 2 β γ 2α β γ     για τους θετικ 3 2 ωxy y ω 27 3          α β γ 0   ,α 4 3 3 β γ γ α 3    κάθε φυσικό ριθμός 2 987  ριθμός 24 δι αβγ 1 και β 1 βγ β 1    αποδείξετε ότ 0 τότε 2 βγ α   2 β 4 αx  αι y β . είτε τα 2 α α  ι xy 1 υπολ 2 2 x y xy , 2 1 x , 3 y 4β 3β  ότι 2 2 x y  γ 0  , γ α τε ότι: 2 2 αγ γ α α    κούς ακέραι ω δείξτε ότι x αβγ 0 δείξ 3 3αβγ α   ν, δείξτε ότι 2 985 είναι ιαιρεί τον 2 5 βγ β 1 0   γ γα γ 1     ότι 2 2 γα αβ 3 β γ    9 βy τότε 3 2 3 1 1 , α α α  . λογίστε τα 2 1 y  . β και 1 . α 0 και 2αβ 0. γ   ους x,y,ω x y ω  . ξτε ότι 4 3 γ β 3αβγ   ι άρτιος. 2ν 1 . 0 αποδείξτε 1 . 3 . 9
  10. 10. 10 http://users.s Διάταξη – Α 2.38 Αν τιμές που μπ x y , 1 y , 2 2.39 Αν ποιών τιμών 1 2 x  , 1 1  2.40 Δε . 2.41 Ν Α) Aν 3α  Β) Αν α 1 Γ) Αν x y 2.42 Ν Α) α,β είνα Β) α,β είνα Γ) α 0 τότ 2.43 Αν α+β αβ γ 2    αποδείξετε ό 2.44 Δε . 2.45 Αν ώστε 3α 4β 30 α β   sch.gr/mipap Ανισότητες ν 2 x 4   πορεί να πάρ 3 2x y  , 2 x , y ν είναι 2 x ν βρίσκοντα 1 1 x , 2x 3 x  είξτε ότι x  α αποδείξετε β τότε α α  τότε 3 α α τότε x 7  α αποδείξετε αι ομόσημοι αι ετερόσημοι τε 2 2α 1 α 1   ν για τους α β+γ γ βγ 2      ότι α β γ  είξτε ότι 1 2  ν α,β θετικο β 120 , να α 40 . pagr και 3 y 7  ρουν οι παρα 2 y , 2 2 x y . x 8 να βρείτ ι οι παραστά , 2 x 1 y xy  ε ότι: α β β 4 3   . 2 α 1  . y 5 . ε ότι αν: τότε βα β α   ι τότε βα β α  . α,β,γ 0 ισχ γ+ -α γα 2       . 1 1 1001 1002  οί ακέραιοι α αποδειχτεί ότ 7 να βρείτε τ αστάσεις τε μεταξύ άσεις y x y 1    2 . 2  χύει ότι α -β 0    να 1 ... 2000    αριθμοί τέτοι τι τις 0 α 1 ιοι 2. 2. A B) 2. Α Β) 2. Α 2. ισ ότ 2. ότ 2.    2. 2. Α Β) 2. απ .46 Συγκ .47 Αν α A) 2 2 α β 2  )  2 2 α 1 β .48 Αν α Α) 2 2 α αβ β  ) 2 2 2 α β γ  .49 Αν α Α) αβ α α β 4    .50 Αν α σχύει ότι 2 α  τι το τρίγωνο .51 Για τ τι: α β γ 1 α β      .52 Για κ 2 γβα β γ α      .53 Δείξ .54 Για κ Α) α  ) 1 .55 Αν ε ποδείξετε ότι κρίνετε τους α, β, γ R ν 2αβ ,  2 1 γ 1  α,β R αριθ 2 0 , αβ βγ γ   α, β θετικοί, β , Β) α β 2  α, β, γ είναι 2 β 2γ α   ο είναι ισόπλ τους θετικούς γ α γ 1 α 1     κάθε α,β,γ  γ βα 3 γ β α      τε ότι βα β γ    κάθε α,β R  2 2 β 2 α   22 3 α α α  είναι x,y 0 ι 4 3 x y 51  Πραγματ αριθμούς 2 να αποδείξετ 8αβγ . θμοί να δείξε γα . , να αποδείξε 2 αβ 1 α    ι πλευρές τρι β γ  , να α λευρο. ς α,β,γ , να γβ 1 β 1 γ    . * R , να απο β α    . 2 γβ α 3 γ α γ        R να δείξετε ό 2 β ,  2 4 1 α α   0 και 3 2 x y 12 . τικοί Αριθμοί 51 2 και 34 3 . ε ότι: ετε ότι: ετε ότι 1 β ιγώνου και αποδείξετε αποδείξετε δείξετε ότι: γ βα γ β α      ότι 4 6 α α . 64 να ί
  11. 11. Α Λυκείου – Απόλυτη 2.56 N 7 ...,  2 α ...,  2 x 4x 4   2.57 Αν σύμβολο τη Α 3 α β  2.58 Αν απόλυτες τι Α 2 x 3  Γ 2x 6   2.59 Αν παραστάσει Β 6 2x   2.60 Αν παράσταση 2.61 Γρ A x 8 2   2.62 N παραστάσει Ε 2 x 3   2.63 Ν Α) α Β) α Γ) α α 2.64 Απ –Άλγεβρα Τιμή α βρείτε τις α 2 1 ..., 3  2 x π ...,   ... , 0 ημ38  ν α β γ  ν ης απόλυτης τ 2 γ α 3   ν 3 x 2   ιμές τις παρα 6 x 2 x    ν 1 x 2   ις: Α x 1  3 3 4x 9   ν 1 α<β<  : α β 2α+  ράψτε χωρίς 2x , Β  α γράψτε χω ις: Δ 2x   2 x 1   α αποδείξετε 2 α β α β   2 α 2β 3   αα α α  , α  ποδείξτε ότι απόλυτες τιμ 3 π ...,  , 2 1 ..  1 ...  να γράψετε χ τιμής την πα β γ . γράψτε χωρ αστάσεις: 1 B  Δ  να απλοποιή x 2 x    2 να απλοπο +3 3β 7  απόλυτα τις 2x 6  , Γ  ωρίς τις απόλ x 4 2x 4   , ΣΤ 2  ε τις ισότητες 2 2 2 α β  2 2β α 3  0 2 x 2 x  μές: 2 2 ...  . χωρίς το αράσταση ρίς τις x 8 4x  , 2 x x 4    ήσετε τις 2 x 3   οιήσετε την ς παραστάσει x 4 3x   λυτες τιμές τι 4 , 2 x x 4  . ς: 2 β . 2x 6 14   4 ις ις 4 2. Α Β) Γ) 2. απ 2. Α 2. Α 2. |2 2. x 2. Α Β) Γ) 2. με α 2. d d .65 Να α Α) x y ) (x  )  x  .66 Αν x ποδείξετε ότι .67 Nα α Αν x 1 και .68 Nα α Αν x 1 και .69 Εάν 2x y| 7  . .70 Βρεί x 2011 x   .71 Να α Α) x y  ) x  ) 2x 5x   .72 Αν εταξύ ποιων α β . .73 Να β  d x,3 7 ,  d x,2 3 αποδείξετε ότ 2 2 y x y   x )(x x ) 0   y x y  κ x |y| |κ|   ι |x| |m| 1  αποδείξετε ότ ι 1 y 2  τότε αποδείξετε ότ ι y 2 τότε |x| 2 , |y ίτε τις τιμές τ 1 2α x α   αποδείξετε ότ y 2 x   , αν x 1 1 x x x   α 5y x 1 2y y     α 1 5  και τιμών μεταβ βρεθεί το x ό d(x,3) d x, 1 ότι: 4xy 0 2 2 x y  y , m |κ|   1 . ότι: ε 3x 2y 2  ότι: 2x 3y 1   y| 3 να δείξ των 1 2α , α , . 9... x α    ότι: x,y 0 . αν x 0 . x 1 y  . ι β 2 3  να βάλλεται η π όταν: 2 , 1 2 . 11 |y| να 7 9 ξετε ότι: 9.., α αν 0 . α βρείτε αράσταση 1
  12. 12. 12 http://users.s Ρίζες 2.74 ΕΡ Α) Ισ Β) Γι Γ) Γι Δ) Αν Ε) Ισ 2.75 Γι παραστάσει 2.76 Αν παράσταση 2.77 Ν 2 x 4 x x 2     2.78 Ν Α)  Β)  Γ) 1 2.79 Ν και να απλο 3 20 14 2  2.80 Ν 2 3 2  2.81 Ν 5 2 5    sch.gr/mipap ΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ σχύει ότι 2 2 x ια κάθε x 0 ια κάθε x είν ν x,y>0 τότε σχύει πάντα ό ια κάθε x 0 ις: 6 18 x , 3 x ν 3 x 2   , Α=   2 x 2 α απλοποιηθ 2 4 x 4 x 2     α απλοποιήσ  12 27  18 8 2  1 1 2 2    α υπολογίσε οποιήσετε τη 3 2 20 14   α αποδείξετε 2 2 3   α υπολογίσε 5 2 3 1    pagr ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑ 5 5 x για κ 0 ισχύει: 2 x x ναι 2 ( x)  x y  ότι 2 α β να απλοποιη 6 , 2 x x , (2 , να απλοποι 2 2 x 6x   θεί η παράστ x 4 , αν x 2  σετε τις παρα 75 48   20 50  1 3 3 4   ετε τα 2 2 ν παράστασ 2 . ε ότι 2 2 3  ετε τον αριθμ 2 2 . ΑΘΟΥΣ: κάθε x R . 2 1 . x . x y . 2 β α β  . ηθούν οι 2 2x) . ιήσετε την 9 ταση x 2 . αστάσεις: 108 , 45 125 , 4 .  3 2 ,   3 2 2 η: 1 . μό , 3 2. Α 2. ισ A Γ 2. Α Β) Γ) 2. Α 2. 2. 2. 2. 2. Α Β) 2. A .82 Αν α Α) α 1 α  .83 Να μ σοδύναμες με 2 3 3 2 A 2 3 3 2    1 2 3    .84 Να α Α) 3 5 ) 75 ) 2 .85 Να α Α) 4 2 3 , .86 Να δ .87 Συγκ .88 Λύσ .89 Να α 1001 2001 .90 Να α Α)   2 1 7 3 ) 7 3 5   .91 Να β A 1 1999  α 0 να δείξ α α Β μετατραπούν ε ρητό παρον 2 2 , B 1   5 3 Δ 5  απλοποιήσετ 5 25 25 5  31 21   2 5 3  απλοποιήσετ Β) 9 3 δείξετε ότι: κρίνετε το τε την εξίσωσ αποδειχθεί ό 1 1001 2   αποδείξετε ότ   1 7 3   3 2 5 7 3   βρεθεί η τιμή 1 2000 4 Πραγματ ξετε ότι: Β) α 1  ν οι παραστά νομαστή: 2 2 x 1 x  , 1 5 1 . τε τις παραστ 5 . 15 1  . 5 3  . τε τις παραστ 32 , Γ) 5  10 2 15  2 με το 1 ση  24 x 6x ότι ο αριθμός 2001 είναι φ ότι:  2 Q , 2 5 3 7 . ή της παράστ 2000 1 2  τικοί Αριθμοί α α . άσεις σε τάσεις: τάσεις: 2 6 . 5 3 . 10 2  2 9 3 x   ς φυσικός. τασης 2003·2005 . ί
  13. 13. Α Λυκείου – 3 ΕΞΙ 3.01 Ν Α) 1 x 2 x   3.02 Ν Α) λ Γ) 2 λ 3.03 Ν Α)  x α Β) α x   3.04 Απ 0 1 S v t α 2   3.05 Έν των 2 ευρώ κιλά κρασί τ κάθε βαρέλι βάζουμε αυ αυτή που αφ ανακάτεμα βαρελιών έχ μεταφέρθηκ 3.06 Έν το Α και το τελειώνουν μέρες. Φέτος το Α σταμάτ συνέχισε να απόδοσης τ συνολικά θα –Άλγεβρα ΙΣΩΣΕΙΣ α λύσετε τις 2 x x 4 Β) α λυθούν για  2 λ 1 x λ    2 x 3 λx  α λύσετε τις  2 2 x β     2 2 α x α  πό τις ισότητ 2 αt , να δείξετ να βαρέλι Α το κιλό και έ των 1,5 ευρώ ι την ίδια πο υτή που αφαι φαιρέσαμε α των κρασιών χει την ίδια α καν από το έν να ελαιουργε Β. Όταν δου όλες τις ελιέ ς ξεκίνησαν τησε οριστικ α δουλεύει. Τ ου Α . Να βρ α τελειώσουν εξισώσεις: 2 2 x 1 x 1 x     α κάθε λ R 1 Β) 2 λ x  3 Δ) 2 λ x εξισώσεις:  2α α β  , α 2 2 4x α     τες 0v v α  τε ότι v S   περιέχει 524 ένα βαρέλι Β ώ το κιλό. Αφ οσότητα κρασ ιρέσαμε από από το Β στο ν, το περιεχό αξία, να βρεί να βαρέλι στ είο έχει δύο σ υλεύουν και τ ς μίας περιοχ μαζί και μετ κά λόγω βλάβ Το Β έχει τα 2 3 ρείτε σε πόσε ν οι ελιές της 2 0 2x 1    . οι εξισώσεις:  1 λ x 1   x 3 3x λ   . α,β R . α , α R αt και 0v t 2  . 4 κιλά κρασί Β περιέχει 456 φαιρούμε από σιού και το Α στο Β κ Α. Αν μετά τ όμενο των δύ ίτε πόσα κιλά το άλλο. συγκροτήμα τα δύο μαζί χής σε 12 ά από 2 μέρε βης ενώ το Β 2 3 της ες μέρες ς περιοχής : . 6 ό και το ύο ά ατα ες Ε 3. A Γ) 3. Α Β) 3. A Γ) 3. Α Γ) 3. Α Γ) 3. Β) 3. Β) έχ Γ) (1 Εξισώσεις μ .07 Να λ A) x 3 2x  ) 2x 4   .08 Να λ Α) x  ) 2 1 .09 Να λ A) x 1 x   ) 2 2 x 9 x  .10 Να λ Α) 4 x  ) x 2 3  .11 Να λ Α) 4 x x  ) 6 2 5x 3x  .12 Α) Δ ) Λύστε την .13 Α) Ν ) Αν η χουν κοινή λ ) Αν η 1) έχουν κοιν με Απόλυτα λύσετε τις εξι x , B x 5 , Δ λύσετε τις εξι 1 3 2 2x 2 6    2x 1 1 1 4    λύσετε τις εξι 5 20 5x 6 0   λύσετε τις εξι x 3 3 1 λύσετε τις εξι 0 Δείξτε ότι:    ν εξίσωση λ Να λυθεί η εξ η εξίσωση: 4α ύση να βρείτ η εξίσωση (β νή λύση να β τα ισώσεις: B) 7x 3  Δ) 2x 5  ισώσεις x x 11 2 6    6x 1 2x 8    ισώσεις: B) x  Δ) x  ισώσεις: Β) x Δ) x ισώσεις Β) 4 x  Δ) 1 2x x 1 x x x     2x λ λ x λ x    ξίσωση 3 x 8 4 2 α x 1 0  τε το α . 5 10 +1) x 32 βρείτε το β . 13 9x 5  , 2x 5 . 1 , 3 2 8  . 1 2 1   2 2 x 1   x 4  2 3  . x 0  10 3 x 0   0 , x 0 . 1 , λ R . 8 0 (1) . και η (1) 0 και η 3
  14. 14. 14 http://users.s Δευτεροβ 3.14 Ν Α) 2 x 4x  Γ) 2 2x x  Ε) 2 x 6x  3.15 Ν προς x για Α) αβ Β) α Γ) 2 β 3.16 Αν ως ρίζα τον 3.17 Ν εξίσωση  2 λ να έχει δύο 3.18 Έσ Α) Για π Β) Για π Γ) Αν ρ υπολογίσετε πραγματικό 3.19 Λύ όπου Δ είν 3.20 Ν  2 λ 3λ 2  Α) να Β) να 3.21 Αν τις τιμές του sch.gr/mipap βάθμια Εξίσ α λύσετε τις 0 15 0  7 0  α λύσετε τις κάθε τιμή τω 2 βx αγ β   2 βx α β  2 2 2 x 2αβ x  ν η εξίσωση αριθμό α β α βρεθούν ο 2 2 3λ 2 x  ρίζες πραγμ στω η εξίσωσ ποιες τιμές το ποιες τιμές το ρ είναι η διπ ε την παράστ ό αριθμό x . ύστε την εξίσ ναι η διακρίν α βρεθεί ο λ   2 x λ 2 x  α έχει μία μό α έχει διπλή ρ ν 2 x xy 1  υ x y pagr σωση παρακάτω ε Β) 2 3x  Δ) 2 4x  ΣΤ) 2 3x  παρακάτω ε ων παραμέτρ β x γ 0  , α x 1 0 , α  2 2 α β 1 0   2 x 2x 2 α  β , αποδείξετ ι τιμές του λ  2 λ 2 x   ματικές. ση 2 λx x 5  ου λ έχει μία ου λ έχει δι πλή ρίζα της ε ταση (x ρ σωση 2 x Δ  νουσά της λ R ώστε η x 3 0  : όνο ρίζα, ρίζα. 2 2y με x,y ξισώσεις: 4x 1 0 x 0 ξισώσεις ως ρων τους αβ 0 . β 0  . 0 , β 0 αβ 1 0  έχ τε ότι α β  λ R ώστε η 1 0  5 0, λ R  . α μόνο ρίζα; ιπλή ρίζα; εξίσωσης, να 2 ρ) για κάθε  11 Δ 6   εξίσωση R * να βρεί χει 1 α x ίτε 3. λ να 3. 3 έχ 3. 2 έχ α 3. εί x 3. x 3. ρί εξ 3. 3. μι ρί γ 3. α γ α .22 Η εξ λ R έχει ρίζ α δείξετε ότι .23 Να α 2 x 2 α β   χει μια διπλή .24 Να α  2 2α β x 4  χει διπλή ρίζ 2 2 2 α β x  .25 Αν η ίναι αδύνατη 2 3βx 5γ   .26 Για π 2 αx 1 0   .27 Αν η ίζα, δείξτε ότ ξίσωση: 1 κ    .28 Λύσ .29 Αν α ια τουλάχιστ ίζες πραγματ 2 γx 2αx β   .30 Αν 2 α β 2αγ   2 γ α 2αγ   α β γ  ξίσωση 2 2 λ x  ζα το 1 . Να το 1 είναι αποδείξετε ότ  γ x αβ α   ή ρίζα, αν κα αποδείξετε ότ αx 4β 0  , α, τότε η εξίσ  2x 3 α β  η εξίσωση 2 x η στο R , να δ 0 δεν έχει ρ ποιες τιμές το και 2 x x  η εξίσωση 2 x τι το ίδιο θα σ 2 2μ κ+ x μ 2    τε την εξίσωσ α,β,γ 0,  τον από τις π τικές , 2 αx  0 , 2 βx 2γ α,β,γ R * 29 και β γ 25 , να υπολ  5λ 2 x   α βρείτε το λ διπλή ρίζα. ότι η εξίσωση αγ βγ 0  , αι μόνον αν α ότι αν η εξίσω  α,β R 0  σωση  0 έχει ρίζε 2 2βx 2γ   δείξετε ότι η ρίζες στο R . ου α R οι ε α 0  έχουν 2 μx κ 0   συμβαίνει κα   μ 1+κ x+κ κ ση  2 x 1 x   να αποδ παρακάτω εξ 2βx γ 0   , γx α 0  και ισχύει: 2 γ 2αβ 18  λογιστεί η τιμ Εξισώσεις λ 2 0  , και μετά α,β,γ R α β γ  . ωση  ες άνισες. 0 , β,γ R , εξίσωση εξισώσεις ν κοινή ρίζα; έχει διπλή αι για την  2 μ κ-1 + 0 2   22 x 0  δείξετε ότι ισώσεις έχει , 8 και μή του ς
  15. 15. Α Λυκείου – Άθροισμα 3.31 Δί ρίζες 1 2x ,x 2 2 1 2x x , 3 1x 3.32 Έσ , α,β R με Α) Ν ρίζες για οπ Β) Αν αποδείξετε ό Γ) Αν αριθμός  3.33 Έν 2 x αx β   βρήκε δύο ρ ρίζα της (1) της άλλης ρ πραγματικο 3.34 Ν 2 x αx β   3.35 Έσ 1 2ρ , ρ οι ρί A) Να βρεθ 3 3 1 2ρ ρ , ρ ρ 3.36 Έσ Α) Αν 1x , x γράψετε συ παραστάσει Β) Να αποδ διακρίνουσ –Άλγεβρα α – Γινόμεν ίνεται η εξίσω . Βρείτε τις τ 3 3 2x , 1 2 x x 1 στω η εξίσωσ ε α 0 . α αποδείξετε ποιεσδήποτε ν 1 2x , x οι δύ ότι 1 2x x  ν μία ρίζα τη α με α 1 ,ν νας μαθητής 0 (1), έλυσε ρίζες. Από αυ και η δεύτερ ρίζας της (1). οί αριθμοί α α βρεθούν ο 0 είναι ίσες στω η εξίσωσ ίζες της. θούν οι τιμές 2 2 1 2 2 1 ρ ρ ρ ρ  , ρ στω η εξίσωσ 2x οι δύο ρίζ ναρτήσει τω ις 1 2x x , 1x δείξετε ότι: d σα της εξίσωσ νο Ριζών ωση 2 x 3x  ιμές των παρ 2 1 x 1 x 1   κα ση 2 αx  ε ότι η εξίσωσ τιμές των α, ύο ρίζες της 1 2x x 1  . ης εξίσωσης ε να αποδείξετ ς αντί της εξίσ ε την 2 x βx υτές η μία ήτ ρη ήταν μικρ Να βρεθούν και β . ι α,β R αν ς με α και β ση 2 2x 4x των παραστ 1 2ρ ρ , 1ρ ση 2 x βx γ  ζες της εξίσωσ ν αριθμών β 1 2x , 2 2 1 2x x  1 2x ,x Δ σης. 1 0  με ραστάσεων αι 1 1x (x 3) . α β x β   ση έχει δύο β . εξίσωσης να είναι ο τε ότι β α σωσης x α 0  και ταν ίση με μί ρότερη κατά ν οι ν οι ρίζες της . 1 0  και άσεων: 1 2ρ γ 0 , γ 0 σης να β,γ τις . Δ , όπου Δ η 0 α 3 ς η 3. x ώ 3. α τη ότ ρ 3. α ρί κ πα 3. οπ Α Β) Γ) 3. Α εξ Β) 3. να A Β) 3. 2 Β) .37 Αν x 2 2 λ 1    στε να ισχύε .38 Αν x 2 αx βx γ   ης  1 2x x x τι, αν οι 1x , 1 2, ρ είναι ετ .39 Αν ρ 2 αx βx γ   ίζες της εξίσω κ, λ,μ R, κ  αραστάσεις .40 Να β ποίες η εξίσω Α) δύο ρίζες ε ) δύο ρίζες θε ) δύο ρίζες αν .41 Έστω Α) Να λυθεί η ξίσωση έχει μ ) Να βρεθεί ο .42 Αν x α βρεθεί εξίσ A) 1 1ρ 2x 1  ) 1 1 2ρ x x  .43 Α) Ν 2 x 7x 2   ) Να υπολογ 1 2x x B 1 2x , x είναι ο 0 να βρεθεί ι: 2 1 13x 8x x 1 2x , x είναι ο 0 με α,β,γ  2 2 1x x x  2x είναι ετερ τερόσημες. 1 2ρ , ρ είναι ο 0 , α,β,γ R ωσης 2 κx λx 0 να βρείτε 1 1 2 2x ρ x ρ κ βρεθούν οι τι ωση 2 x 2x  τερόσημες , ετικές και άν ντίστροφες. ω η εξίσωση ανίσωση d( μία διπλή ρίζ ο λ R ώστε 1 2x ,x είναι ρί σωση που να 1, 2 2ρ 2x  2 και 2 1ρ x Να αποδείξετ 0 έχει δύο θε γίσετε τις τιμέ 4 4 1 2B x x  οι ρίζες της ε ί ο πραγματι 2 2 2 1 2x 8x x 3  οι ρίζες της ε  R 0  και 2 1 0 , να α ρόσημες, τότε οι ρίζες της ε R, α 0 και x μ 0  , ε εξίσωση με και 1 2 2x ρ x τιμές του λ   λ 2 0  έχ νισες ,  2 x λ 1 x  (x, λ) 5-λ ότ ζα. ε να έχει ρίζε ίζες της 2 x  έχει ρίζες τις 1 , 1 2x . τε ότι η εξίσω ετικές ρίζες ές των παρασ 2 . 15 εξίσωσης ικός λ , έτσι 3 23x 192 . εξίσωσης 1 2ρ , ρ ρίζες ποδειχθεί ε και οι εξίσωσης 1 2x , x οι ρίζες τις 2 1ρ . R για τις χει: x λ 0  ταν η ες αντίθετες 5x 7 0  , ς: ωση 1 2x , x στάσεων Α= 5 ς
  16. 16. 16 http://users.s 3.44 Έσ  λ 1 3 x  Α) Βρ διπλή ρίζα τ Β) Βρ εξίσωση έχε 3.45 Δί οποία έχει ρ το πρόσημο 3.46 Δί 2 x 2λ 1  πραγματικέ ότι: 10 x  3.47 Δί ισχύει η σχέ Α) Ν ρίζες πραγμ Β) Ν Γ) Αν S 4 , να λύ 3.48 Δί πραγματικο Η εξίσωση τους 1 2x , x Η εξίσωση τους 2 3x , x Η εξίσωση τους 1 3x , x Να προσδιο sch.gr/mipap στω η εξίσωσ 2 x 2λx λ   ρείτε το λ ώσ την οποία κα ρείτε τις τιμέ ει δύο ρίζες ετ ίνεται η εξίσω ρίζες τους αρ ο του 20 1 2x x ίδεται η εξίσω  2 x 2λ λ   ές ρίζες, έστω 2x 2  και 0 ίνεται η εξίσω έση 2 3β 16 α αποδείξετε ματικές και ο α αποδείξετε ν για το άθρ ύσετε την αν ίνονται οι δι οί αριθμοί 1x 2 x 3x α   2 x 5x β   2 x 4x γ   ορίσετε τους pagr ση 1 3 0   στε η εξίσωση αι να υπολογ ς του λ για τερόσημες. ωση 2 x 10x ριθμούς 1x κ 005 ωση 0 η οποία έ ω 1 2x , x . Να 2 2 1 20 x x 2   ωση 2 x βx  6γ . ε ότι η εξίσωσ ομόσημες, τις ε ότι 1 2ρ 3ρ οισμα S των νίσωση βx 1 ιαφορετικοί α 1 2 3, x , x . Αν 0 , (α IR)  0 , (β IR)  0 , (γ IR)  α,β,γ R η να έχει μια γίσετε. τις οποίες η x 20 0  η αι 2x . Βρείτε έχει δύο αποδείξετε 2 . γ 0  και ση έχει δύο ς 1ρ και 2ρ . 2 ν ριζών ισχύε 1 γ 0  . ανά δυο ν δίνεται ότι ) έχει ρίζες έχει ρίζες έχει ρίζες α ε ει ι: Τρ 3. x x 3. γ μή πρ 3. αν επ eu 3. Βγ τη τη πα κρ αρ 3. έκ κα πα γρ το 10 τε Τριώνυμο – .49 Να α 2 2 2 2 x αx 6α x 5αx 6α     .50 Να α 2 2 2 γ x γ α  ήκη πλευρών ραγματικές ρ .51 Ένα ντί 21 euro πί τοις εκατό uro έχασε (2 .52 Ένα γάζουμε μια ην ίδια ποσό ην ίδια ποσό αραμένει ένα ρασί. Να βρε ρχικά. .53 Σε μ κτακτη ενίσχ αταστροφής, αραγωγό αν ραφτεί κατά ον έσβησαν κ 00 euro περι ελικά οι δικα – Παραγον απλοποιηθού 2 και   2 2 x α x 4   αποδείξετε ότ 2 2 2 β x β  ν ενός τριγών ρίζες. ς επενδυτής και υπολόγισ όσο την αγό λύσεις). βαρέλι περι ποσότητα κρ τητα νερού. τητα από το α μείγμα που είτε πόσα λίτ μια γεωργική υση, εξ΄ αιτία , το ποσό των αλογεί το ίδι λάθος ένας π και οι υπόλοι ισσότερα. Να αιούχοι. ντοποίηση- ύν τα κλάσμ   2 α β x 2α 4α β x 3α     ότι το τριώνυ 2 όπου τα α, νου δεν έχει πούλησε μια ισε ότι ζημιώ όρασε. Να βρ ιέχει 54 lt κρ ρασί και προ Μετά ξαναβ μείγμα. Στο υ περιέχει 24 τρα κρασί βγ ή περιοχή ανα ας φυσικής ν 3000 euro. ιο ποσό. Επε παραγωγός π ιποι πήραν, α βρείτε πόσ (Απ: 5) Εξισώσεις - μορφές ατα : 2 2 2αβ 3αβ   . μο β,γ είναι α μετοχή θηκε τόσο ρείτε πόσα ρασί. οσθέτουμε βγάζουμε βαρέλι 4 lt καθαρό γάλαμε αλογεί ως . Σε κάθε ειδή είχε παραπάνω, ο καθένας οι ήταν ς
  17. 17. Α Λυκείου – 4 ΑΝ Ανισώσει 4.01 Ν A) (1 4.02 Ν ανισώσεων: x 2 12 3 2    x 4 x 4 3 5    4.03 N ανισώσεων 4.04 N ανισώσεων. και 3x 6 3   4.05 Ν 4.06 N Α) 2x 2 3    4.07 N Α) 2 Β) 5 4.08 Γι αριθμού λ ν Α) λ –Άλγεβρα ΝΙΣΩΣΕΙΣ ις Πρώτου α λύσετε την 1 2x)(x 3) 2   α βρείτε τις κ x 5x 36 4    4 3x 1 2 15    α βρεθούν ο x x 1 1 2 4 2    α βρεθούν ο  3 x 1 2x  6 7 3   α λύσετε το ( α λύσετε τα σ 1 4   Β) α λύσετε τα σ x 1 2 x 2     1 x 5 1 2     ια τις διάφορ να λύσετε τις   2 x 1 λ  Βαθμού ν ανίσωση: 2x x 1    κοινές λύσεις 1 και ι κοινές λύσε 1 2 και x 1 2 3  ι κοινές λύσε x x 1  , 2 (Σ): 2x 4 x 7 2       συστήματα ) 2x 2 3     συστήματα: 4 1  ρες τιμές του ανισώσεις Β) λx  2 1 ς των εις των x 1 6   εις των x 3 x 2   x 1 x 8 3     1 1    πραγματικο x 2  ού Α 4. Α Β) Γ) Δ) Ν Α Β) Γ) Δ) Ν A B) Γ) Δ) 4. Α Β) Γ) Δ) 4. Α Β) 4. Α Β) Γ) Δ) Ανισώσεις μ .09 Να λ Α) x 1 ) 5 x ) 2x  ) 1 2 Να λύσετε τις α ) 2x  ) x 4 1 3 ) x 6 Να λύσετε τις α ) 2  ) 2 x 2x  ) x 5 .10 Nα λ Α) 3 1 ) 3 |x ) 1 |2 ) |2x  .11 Να λ Α) |5x ) |x  .12 Να λ Α) 3  ) x  ) 1 ) 1 με απόλυτ λύσετε τις αν 1 5 x 6 0  1 1   2x 4  ανισώσεις: 3 6  4 0 3x 2 3  6 0 ανισώσεις: x 5  x 5  1 2x 1   5 1 λύσετε τις αν 1 2x 5  x| 8 2x 3| 9  1| 4  λύσετε τις αν 3| 2 6   3| 1 2  λύσετε τις αν 2x 1 2  1 4 3  x 1 1 x   1 x 1  τα νισώσεις: νισώσεις: νισώσεις: νισώσεις: 2 177
  18. 18. 18 http://users.s 4.13 Αν παράσταση παράσταση 4.14 Ν Α) 1 Β) 1 Γ) 0 Δ) x 4.15 Ν ανισώσεων: 4.16 Ν Α) 2 Β) 2 Γ) 2 4.17 Βρ  x 2 2 x 4.18 Α τιμή της πα 4.19 Ν κάθε μια απ Α) B) Γ) Δ) Ε) Στ) sch.gr/mipap ν x 1 , γρά A 2 x 3   : Β 2 x   α λύσετε τις x 1 6   1 2x 5 4   x 2 1    1 x 4 4   στο α βρεθούν ο 15x 23   α λύσετε τις 2006 x x 3    3 x 1 3 3    x 3 x 1   ρείτε τις τιμέ 30 0  κα Αν α 1 , όπ ράστασης: A α βρείτε για πό τις παρασ |x| 1 2 x 6 |x 3| 2  4 |x| 1 x 2  2 x 6 pagr άψτε χωρίς α 6 x 2 x    1 2 x 1   ανισώσεις στο * R 4 στο R 3 , στο R Z ι κοινές λύσε 7 και 4 3x  ανισώσεις: 2006 2   x 3 x 3     5x 2 ς του x ώστε αι x 5 7  που α Z , να 2005 A α 3  ποιες τιμές τ στάσεις: απόλυτα την 1 και την εις των 1 2 3  8 1   ε να ισχύουν α βρεθεί η του x ορίζετ ν: ται 4. κά Α Β) 4. πα Α Β Γ Δ .20 Να β άθε μια από Α) Α  ) Β  .21 Να β αρακάτω συν Α f(x) g(x) k(x) m(x βρείτε για πο τις παρακάτ 5 1 x   1 2 1 2x  βρεθούν τα π ναρτήσεων x 2   3 2 x x 6 x     1 ) x 6 x    x) 6 x   οιες τιμές του τω παραστάσ x 2 1  πεδία ορισμο  2 x 4 x  4 x 1 4 x Ανισώσεις υ x ορίζεται σεις: ού των 3 ς
  19. 19. Α Λυκείου – Ανισώσει 4.22 Ν Α) 4 3x 4.23 Ν Α) x 4.24 Ν Α) x Β) x 4.25 Ν Α) x Β) x 4.26 Ν Α) - Γ) (x 4.27 Ν Α) x + 1 2 7 - x  Β) 2 2 2x - 4x x + 2 4.28 Ν Α) 2 5 x  4.29 Ν Α) |x B) x Γ) |x –Άλγεβρα ις Δευτέρο α λύσετε τις 2 x 0  2 x 5x 2 0   α λύσετε τις 2 x x 1 0   α λύσετε τις 2 x 7x 12   2 x 3x 2  α λύσετε τις  2 2 x 2 2x   2 x 5 x 1  α λυθούν οι 2 2 x + 5x + 6 x + x - 6  2 2 2 x 8x 7)(x x 4    α λυθούν οι 2 , + 5 1 2  α λύσετε τα σ 14x 50 26  α λύσετε τις 2 2 x 1 x ||x   2 x 6x 8 4   2 x 3x 3||   ου Βαθμού ανισώσεις: Β) 0 ανισώσεις: Β) 2 x ανισώσεις: 2 2 3x x x   2 2x 5x 1  ανισώσεις:  6 5x 3 x     x 2 x 3  ανισώσεις: 0 , Β) x 2 3x 9) 0 4    ανισώσεις: Β) 2 2 x x x x     Δ) 2 4x 3x - x συστήματα α 6 Β) 2  ανισώσεις 2 3x 4|  4 x 2 x 7x 13|  x 1 0   2x 6 0   , 2 x x 0   . 2 0 ,  0 . 2 x - 4x + 3 0 x - 2  0 . 1 2 2    , 1 2  . ανισώσεων: 2 2x - 1 1 x - 3x + 2  0 , 1 4. ρι 4. Α Β) 4. 3 3 4. συ Β) 4. το αν Α Γ 4. ώ Α Β) 4. Α αν Β) f 4. αν αδ .30 Για κ ιζών της εξίσ .31 Να λ Α) 3 x  ) 2 x .32 Να σ 3x + 5 0 3x - 7  κ .33 Βρεί υναρτήσεων ) f(x) .34 Το τ ους αριθμούς νισότητες είν Α f 0, f 19 .35 Να β στε η εξίσωσ Α) Να έ ) Να ε .36 Έστω Α) Να β νίσωση f(x)  ) Αν λ  x 8x 1   .37 Να β νίσωση: λ-1 δύνατη για κ κάθε κ R ν σωσης: 2 x κ λύσετε τις αν 2 1 x x    x 4 2(x   συναληθεύσε και 2 x 10x x - 2  ίτε τα πεδία ο Α) 2 4x 4x   ριώνυμο f x ς 1 και 6 . ναι σωστή; 1999 0 999 0 βρεθεί ο πρα η  2 λ 3λ 2  έχει μία μόνο είναι αδύνατ ω  f x (λ  βρεθούν οι τι 0 να αληθεύ λ 4  να λύ 18 βρείτε τις τιμ   2 1 x λ+1 x κάθε x R . να βρείτε το κx 2κ 3 0   νισώσεις: 1 . x 1) ετε τις ανισώ 16 0 2   ; ορισμού των 2 f(x) 3x  2 x 3 3 x    2 x x 5x   Ποια από τι B. f 0 Δ. f  αγματικός αρ   2 2 x λ 2  ο ρίζα τη. 2 2)x 2λx   τιμές του λ ώ ύει για κάθε ύσετε την εξίσ μές του λ R x λ+1>0 να 19 πλήθος των 0 ώσεις ν 4x 1  2 2x 6 έχει ρίζες ις παρακάτω ,1999 0 1999 0  ριθμός λ x 3 0  3λ , λ 2  ώστε η x R σωση R ώστε η α είναι 9 ω
  20. 20. 20 http://users.s 4.38 Γι λ , βρείτε το  2 λ 3λ 2  4.39 Δί  3 2 λ λ x  Α) Βρ εξίσωση έχε Β) Υπ εξίσωση άπε 4.40 Ν   2 λ 1 x 4  Α) στ Β) αρ 4.41 Ν R για τις   2 λ 2 x 2  πραγματικέ 4.42 Ν ανίσωση λx αληθής για 4.43 Αν 2 x 2λ   λ R ώστε 4.44 Έσ 2 x 2λx λ  ισχύει 1 1 x  4.45 Ν σχέση 3  πραγματικό sch.gr/mipap ια τις διάφορ ο πλήθος των   2 x λ 2 x  ίνεται η εξίσω λx λ 1 λ   ρείτε για ποι ει 2 ρίζες άνι πάρχει τιμή τ ειρες ρίζες; α βρείτε το λ 4x λ 2  να ταθερό πρόση ρνητικό πρόσ α βρεθούν α οποίες η ανί 2λx 3λ 0  ές τιμές του x α προσδιορι  2 x λ 1 x   κάθε x R . ν 1 2x , x είνα  2 1 x λ λ   2 2 1 2 1x x 3x  στω 1 2x , x ρ 2 λ 1 0  λ  2 1 1 x  . α βρεθούν ο 2 2 x x 2 x x 1       ό x . pagr ρες πραγματι ν ριζών της ε x 3 0  . ωση  λ 1 λ 0  ες τιμές του ισες του λ ώστε ν λ ώστε το τριώ έχει: ημο για κάθε σημο για κάθ αν υπάρχουν ίσωση να αληθεύει x . ιστεί ο * λ R  λ 1 0   ν αι οι ρίζες τη 1 0  , λ R 2x 0 . ρίζες της εξίσ R . Να βρεθ ι τιμές του  2 να ισχύει γ ικές τιμές του εξίσωσης λ R η να έχει η ώνυμο ε x R , θε x R . οι τιμές του ι για όλες τις * ώστε η να είναι ης εξίσωης R να βρεθεί ο ωσης θεί ο λ ώστε ν R  ώστε η για κάθε υ λ ς ο να 4. f( Α οπ Β βρ 4. x Β) ότ 4. τι 4. α κα Α Β 4. γ A να B) Γ) απ Δ) εξ .46 Δίνε 2 (x) x λ   Α Να β ποίες το τριώ Αν x ρείτε: α) για ποιες β) για ποιες .47 Α) Ν  2 - λ 1 x 2  ) Βρεί τι 1 2d(x ,x )  .48 Έστω ις α,β . Αποδ .49 Δίνε α,β R . Αν αι ισχύει f Α Να δ Να λ .50 Αν γ  γ α β γ   A) Η εξ α έχει ρίζες τ ) Η αx ) Αν x ποδείξετε ότι ) Να α ξίσωσης θα ε εται το τριών 4 x λ 6   , βρείτε τις τιμ ώνυμο έχει ρί 1 2x , x R εί ς τιμές του λ ς τιμές του λ Να λυθεί στο 2 2λ 2λ 0  ίτε για ποιες 2 όπου 1x , ω η εξίσωση δείξτε ότι β    εται το τριών 1 2x , x R εί  1 2x x 5   δείξετε ότι α λυθεί η ανίσω για τους αριθ 0 , α 0 ,να ξίσωση 2 αx  τους αριθμού 2 x βx γ 0   1 2x ,x οι ρίζε ι:  1 2x x 1 αποδείξετε ότ είναι στο διά νυμο x R , λ  μές του λ R ίζες πραγματ ίναι ρίζες του λ R ισχύει λ R ισχύει R, η εξίσωση (1), λ R τιμές του λ  2x R οι ρί 2 x 3x 1   2 βα β 1 α      νυμο f(x) x ίναι οι ρίζες 2 2 1 2 1 2x x x x  α 6, β 5   ωση f x 3 θμούς α,β,γ αποδείξετε ό βx γ 0   δε ύς 0 και 1. 0 έχει δύο ρίζ ες της εξίσωσ  1 2x 1 x  τι μία μόνο ρ άστημα  0,1 Ανισώσεις R R για τις τικές υ  f x 2 2 1 2x x 20  1 2x x 2  η R ισχύει ίζες της (1) 0 με ρίζες 2 β 1 18     2 x αx β  με του  f x 2 2 30 0  5 4 0  ισχύει ότι: εν μπορεί ζες άνισες. σης, να 0 . ρίζα της ς ε
  21. 21. Α Λυκείου – 4.51 Δί 2 f(x) x   Α) Αν αριθμό να α Β) Ν 4.52 Δί με x IR κ Α Αν x IR να α Β Αν αποδείξετε ό πραγματικέ 4.53 Αν (x )(x   4.54 Ν πραγματικο 2 3( 1)   4.55 Ν πραγματικο έχει τουλάχ 4.56 Αν οι ρίζες 1x , ικανοποιού 4.57 Γι ακριβώς ρίζ ανήκει στο δ 4.58 Ν μορφής 2 x  ως λύσεις το –Άλγεβρα ίνεται το τριώ x 2011  με ν f(x) 0 γι αποδείξετε ότ α αποδείξετε ίδεται η συνά αι 0  . ν ισχύει η σχ αποδείξετε ότ ν ισχύει η σχ ότι η εξίσωση ές και άνισες ν για κάθε x ) 0  να δεί α αποδείξετε ούς αριθμούς 1 3   α βρείτε την ού  ώστε η χιστον μια πρ ν 1  και 2x της εξίσω ύν τη σχέση: ια ποιες τιμές ζα της εξίσωσ διάστημα (0 α βρεθεί δευ x 0    , ους αριθμούς ώνυμο ε , R   κα ια κάθε x πρα τι λ>0 ε ότι  2 f 2011 άρτηση f(x) χέση f(x) 0 τι f(100) 0 χέση 2   η f(x) 0 έχε ς. x IR ισχύει ίξετε ότι:   ε ότι για οπο ς α, β ισχύει ν μεγαλύτερη εξίσωση 2 x  ραγματική ρί 2   , να α ωσης 2 x x  1 2 1 1 2 x x   ς της παραμέ σης 2 x 2(   0,2) ; υτεροβάθμια όπου , R   ς 1  και  αι 0  αγματικό 2011 0 2 x x 2    για κάθε 2 να ει δύο ρίζες :   οιουσδήποτε η τιμή του 2x 0    ν ίζα. αποδείξετε ότ 0   , 2 . έτρου  , μία 2 1)x 0    εξίσωση της R που να έχε 1  2 να τι α ει 4.  να Ν μπ 4. x δι 4 4. έχ πα B 4. Ν A B)  4. λ Β) πο .59 Έστω 0  ) , τέτοιο α έχουν το ίδ Να αποδείξετε πορεί να έχει .60 Να ο 2 x 1    ιαφοράς των και μικρότε .61 Έστω χει ώς ρίζες τ αραστάσεων 3 2 2 1B x 4x   .62 Έστω Να αποδείξετε A) Αν  P x 0 ) Αν είναι  2 x x 200   .63 Έστω  1. Α) Για π ) Αν 1 2x , x ε οιες τιμές του ω , ,   πρ οι ώστε οι αρ διο πρόσημο. ε ότι η εξίσωσ ι δύο ρίζες στ ορισθεί το μ 0 ούτως, ώ ν ριζών της ν ερο του 16 ω η εξίσωση ους 1 2x ,x Βρ ν 3 2 1 2A x 4x  19 ω   2 P x x  ε ότι: 0 για κάθε x 2001   , τ 1 0 έχει ρίζ ω η εξίσωση ποια λ η εξίσ είναι οι δύο ρ υ λ είναι 1 2 x x αγματικοί α ριθμοί:  , 4 . ση : 2 x x  στο διάστημα στην εξίσωση ώστε το τετρά να είναι μεγα 2 x x 3 0   ρείτε τις τιμέ 2 2 19 και 2 x 2001   R τότε P 20 τότε η εξίσωσ ίζες πραγματ   2 1 x    σωση έχει ρίζε ρίζες της εξίσ 2 1 1 x λ x x x    21 ριθμοί ( 3 2     x 0   , δε α (1,2) η: άγωνο της αλύτερο του 0 η οποία ές των με 0  . 004 0 . ση τικές. x 2 0   , ες στο R; σωσης για 2 λ x 1
  22. 22. 22 http://users.s 5 ΠΡ Αριθμητικ 5.01 Ν το άθροισμα 5.02 Ν οποία είναι 5.03 Γι 3 2 x 2x x  είναι διαδοχ 5.04 Ν αριθμητικής γινόμενο 44 5.05 Αν διαδοχικοί οι 2 α βγ , όροι αριθμη των διαφορ 5.06 Αν αριθμητικής 1 2 1 α α   5.07 Αν διαδοχικοί ότι 1 2 1 αα  5.08 Σε 7 17α α 3  άθροισμα τω του 8α και sch.gr/mipap ΡΟΟΔΟΙ κή Πρόοδο α βρείτε την α των 20S 1 α βρείτε την ι 20S 610 κα ια ποια τιμή 1 , 4 3 x 2x χικοί αριθμ. α βρείτε τρει ς προόδου α 40 . ν οι αριθμοί όροι αριθμη 2 2 β γα, γ  ητικής προόδ ρών των δυο ν 1 2 vα ,α ,...α ς προόδου ν 2 3 1 ... α α    ν 1 2α ,α ,...,α όροι αριθμη 2 3 3 4 1 1 α αα α  ε μία αριθμη 30 και 9α α ων όρων της 25α . pagr ος αριθμητική 1030 και 10 αριθμητική αι 12S 222 του ακεραίο 3 2 x 3x 5   προόδου; ις διαδοχικού αν έχουν άθρ α,β,γ R ε τικής προόδ αβ είναι δ δου. Ποιος εί προόδων αυ v είναι διαδο α δείξετε ότι v 1 v 1 α α   vα είναι -μη μ τικής προόδ 4 v 1 1 . α .. α    ητική πρόοδο 20α 40 . Να ς που βρίσκον πρόοδο όταν 0 3 35   . πρόοδο στην . υ x οι αριθμ 5 , 2 x 2x 9  ύς όρους οισμα 33 κα είναι ου, δείξτε ότ διαδοχικοί ίναι ο λόγος υτών; οχικοί όροι : ν 1 ν 1 α α   μηδενικοί- ου, να δείξετ v 1 v v 1 α α   . ο ισχύει βρείτε το νται μεταξύ ν ν μοί αι τι τε 5. α αρ όρ 5. οπ πρ 5. πα απ αρ πα το 5. 1, 1 Ν οσ 5. το πρ 2ο τέ Α Β. το ν Γ. αρ Δ .09 Ο ν- να 4ν 5  , ν ριθμητική πρ ρων της που .10 Να α ποία ισχύει ό ρόοδος. .11 Πόσ αρεμβάλλου ποτελούν όλ ριθμητικής π αρεμβαλλόμ ον δεύτερό το .12 Δίνε ,2,3,4,5,... και 1 , 2,3,4 , Να υπολογιστ στής ομάδας .13 Έχου οποθετούμε α ρώτο κιβώτιο ο τις μπάλες έταρτο τις 7 Α. Πόσες μπάλ . Να δειχτεί ό ον μικρότερο ν·(ν 1) 1 2   . . Σε ποιο κιβώ ριθμό 100 ; . Αν v 50 , -οστός όρος μ Ν*. Να δει ρόοδος. Να β είναι μεταξύ αποδείξετε ότ ότι 2 vS 3v  σους αριθμού με μεταξύ το οι μαζί διαδο προόδου και μενους όρους ους; εται η αριθμη ι παίρνουμε  3,4,5,6,7 , τεί το άθροισ . υμε ν κιβώτ αριθμημένες ο τη μπάλα μ  2,3 στο 3ο 7,8,9,10 κ.ο λες έχει το ν ότι στο ν -στ ο αριθμό είνα ώτιο βρίσκετ πόσες μπάλε μιας ακολουθ ιχθεί ότι η (α βρείτε το άθρ ύ των 17 και ότι η ακολουθ v είναι αρ ύς πρέπει να ου 5 και του οχικούς όρο ο τελευταίος ς να είναι 3-π ητική πρόοδο ομάδες όρων , 4,5,6,7,8, σμα των όρων τια μέσα στα μπάλες ως ε με τον αριθμ ο τις  4,5,6 ο.κ. ν -οστό κιβώτ τό κιβώτιο η αι αυτή με το ται η μπάλα ες έχουμε συ Πρόοδοι θίας είναι να ) είναι ροισμα των ι 99 . θία για την ριθμητική 50 ώστε να υς ς από τους πλάσιος από ος ν ως εξής: ,9,10 ... ν της ν- οποία ξής: Στο ό  1 στο στο τιο; μπάλα με ον αριθμό με τον νολικά; ι α
  23. 23. Α Λυκείου – Γεωμετρικ 5.14 Ν κάθε μια απ A) Αν 4S  B) Αν 3S 2 5.15 Π καθέναν απ γίνουν τρεις προόδου; 5.16 Ν αποτελούν α άθροισμά το άκρων όρων 5.17 Ν γεωμετρική άθροισμα μ 5.18 Αν πρόοδοι εξε σχηματίζετα 2 3  , 5.19 Α) γενικό όρο 5.20 Σε 1 4 2α α α  5.21 Ν για τους οπ α) οι τρεις π γεωμετρική β) οι τρεις τ αριθμητικής γ) το άθροισ μεσαίων 12 –Άλγεβρα κή Πρόοδο α βρείτε τη γ πό τις περιπτ 30 και 5α  26 και 4α α οιον αριθμό πό τους αριθμ ς διαδοχικοί Να βρεθούν τ αύξουσα γεω ους είναι 65 ν τους είναι Να βρεθούν τ ς προόδου α μεσαίων όρων ν ν ν(α ), (β ) ετάστε σε πο αι γεωμετρικ 2 3    , ) Να αποδειχ ν να 3 2  εί ε μια γεωμετ 2 3α . Να βρ α βρείτε τέσσ οίους ισχύου πρώτοι είναι ς προόδου, τελευταίοι είν ς προόδου κ σμα των άκρ . ος γεωμετρική π τώσεις: 6 7 8α α α  1α 52 . πρέπει να π μούς 2 , 16 , ί όροι γεωμετ τρεις αριθμοί ωμετρική πρό και η διαφο 40 . τέσσερις διαδ αν έχουν γινό ν 5 . ) είναι δυο γ ια περίπτωσ κή πρόοδος:  2  , χτεί ότι η ακ ίναι γεωμετρ ρική πρόοδο ρεθεί ο λόγος σερις ακέραι υν τα εξής: διαδοχικοί ό ναι διαδοχικ αι ρων όρων είν πρόοδο σε 480 . ροσθέσουμε 58 για να τρικής ί που όοδο, αν το ορά των δοχικοί όροι όμενο 16 κα γεωμετρικές η    ολουθία με ρική πρόοδος ο έχουμε ς της. ιους αριθμού όροι κοί όροι ναι 14 και τω σε αι ς . ύς ων 5. εί έχ πρ θα 5. αρ αρ όρ 5. οπ πρ Β) έχ 5. δύ το 5. απ πρ αυ εί 5. (α Α εξ απ Β) εξ ώ πρ Γ) α τρ .22 Βρεί ίναι διαδοχικ χουν άθροισμ ροσθέσουμε α γίνουν δια .23 Αν α ριθμητικής π ριθμοί β, γ, ρους γεωμετρ .24 Α) Ν ποία ισχύει ό ρόοδος. ) Πόσους όρο χουμε άθροισ .25 Να α ύο θετικών α ου γεωμετρικ .26 Να β ποτελούν δια ροόδου, έχου υξηθεί κατά ίναι διαδοχικ .27 Αν α 3 2 α 1)x (α 5α   Α) Δείξτε ότι γ ξίσωση έχει τ ποτελούν γεω ) Αν είναι 2x ξαρτάται από στε οι ρίζες x ρόοδο. ) Να αποδείξ που βρήκατ ρεις ίσες ρίζε ίτε τρεις αριθ κοί όροι αριθ μα 15 και αν τους αριθμού δοχικοί γεωμ 2 2 αβ, β , γ εί προόδου, να 2β α αποτ ρικής προόδο Να δειχθεί ότ ότι  v vS 2 3 ους της πρέπ σμα 484 ; αποδείξετε ότ αριθμών είνα κού μέσου το βρεθούν τρει αδοχικούς όρ υν άθροισμα 2 τότε οι αρ κοί όροι αριθ α R { 1}   , δί 2 2 α 5)x (α 5   για τις τιμές τ ρεις πραγμα ωμετρική πρ 2 η ρίζα της ε ό την παράμ 1 2 3x ,x ,x να α ξετε ότι για τ ε στην Β) ερώ ς. θμούς οι οπο θμητικής προ ν σε αυτούς ύς 1, 4, 19 αν μετρικής προ ίναι διαδοχικ αποδείξετε ό τελούν διαδο ου. τι η ακολουθί v 1 είναι γ πει να πάρου ότι ο Αριθμητ αι μεγαλύτερ ους ις αριθμοί x, ρους γεωμετρ α 28 και αν ο ριθμοί που πρ θμητικής προ ίνεται η εξίσ 5α 5)x (α 1)   του α για τις ατικές ρίζες α ρόοδο εξίσωσης που μετρο α , βρε αποτελούν αρ τις τιμές της π ώτηση η εξίσ 23 ίοι: οόδου, ντίστοιχα οόδου. κοί όροι ότι οι οχικούς ία για την γεωμετρική υμε, για να τικός μέσος ος ή ίσος , y, ω αν ρικής ο μεσαίος ροκύπτουν οόδου. σωση 0 . οποίες η αυτές υ δεν είτε ε το α ριθμητική παραμέτρου σωση έχει 3
  24. 24. 24 http://users.s 6 ΒΑ Η έννοια 6.01 Απ   2 x f x       τιμή της πα 6.02 Έσ 2 x , f(x) 2x ,     τα f( 1), f(0 6.03 Αν , R  ώσ 6.04 Γι ισχύουν f 1 6.05 Έσ βρεθεί το πε βρεθούν τα 6.06 Αν τιμή του   6.07 Αν A) f B) f 6.08 Αν να υπολογίσ  f x 3 , f sch.gr/mipap ΑΣΙΚΕΣ ΕΝ της Συνάρ πλοποιείστε 2 4x 4 α x 2 3 α    ράστασης: f στω οι συναρ x 1 x 1   , g(x 0), f( 3), f(3 ν  f x 2x  στε να ισχύει: ια την συνάρ  2  και f 2 στω ότι f(x)  εδίο ορισμού , R  ώστ ν f(x)= 2x 5x    R ισχύει  ν  f x 3x ,   1 f        ν  f x 2x  σετε τις παρα  2 f 1 x , f pagr ΝΝΟΙΕΣ ΤΩ ρτησης τον τύπο τη ν x 2 ν x 2   και    1 f 0 2  ρτήσεις f κα -x 1 x) x     3/4), g(0) . 6 , να βρεθο  f α 8 κα ρτηση  f x  2 20 . Βρεί αx 4 , x αx 2β ,x     ύ της συνάρτη τε f(-1)=f(2). x 3 1 x 5   βρ   2f 1 λf   να δείξετε ότ  2 f 3      f f    1 για κάθε αστάσεις:  f 2x f(0) , ΩΝ ΣΥΝΑΡ ης συνάρτηση ι να βρείτε τη  2f 2  αι g με x 0 x 0   Βρείτε ούν οι αι  f 8 β . 3 αx 2βx ίτε το  f 3 1 x 1   . Να ησης f και ν ρείτε για ποια 10 157 . τι:   3f 18      f   . x R ,  f x f(x) ΡΤΗΣΕΩΝ ης ην ε να α 8 . . 6. ισ 6. α 6. f Π 6. Α Γ) 6. f m 6. Α Γ) 6. f( Ν .09 Αν f σχύει  f x f .10 Αν f α,β R ισχύει .11 Αν f   x 1 2f x  Πεδίο Ορισ .12 Να β Α)   2x f x 9 x   )   2 x h x x   .13 Να β   3 x x 2     m x x  .14 Να β Α)   2 f x x   )   3 4 f x x    .15 Για π x) = 2 3x - 1 x α ο   2 2 1 f x x x   1 0 x       .   2 f x x , x  ι    f α f β   2 f x x x     x 3f 0 f  σμού βρείτε τα πεδ 2 x x Β 2 x +4 4x 3  Δ βρείτε τα πεδ 1 2 x 1| βρείτε τα πεδ 1 Β)  f x x x Δ)  f x ποιες τιμές το ορίζεται στο 2 1 τότε να δε R ,δείξτε ότ α β 2f 2        να λύσετε τη  1 . δία ορισμού Β)   x f x  Δ)  f x x  δία ορισμού   1 g x |x| x    k x 2 |  δία ορισμού x 1 x |x| 2     x 1 |x| 2     ου α  R η σ R; Συναρτήσεις είξετε ότι ι για κάθε ην εξίσωση των: x 1 4-x x-3   2 2x x 1 των: 2 x x 3| των: x 4 x 4 2  υνάρτηση ς
  25. 25. Α Λυκείου – Γεωμετρικ 6.16 Ν κορυφές τα ορθογώνιο κ 6.17 Δί βρεθεί η απ  1,f( 1)  . 6.18 Ν τέτοιο ώστε ίσες πλευρές 6.19 Δί Να βρείτε σ τρίγωνο ΑΜ τις ΜΑ και Συμμετρικ 6.20 Δί  B 3, 2 , Γ  Ζ 2δ, 1 . Ν α, β, γ, δ α συμμετρικά συμμετρικά στον x x κα 6.21 Ν Α)  2 Α λ , λ συμμετρικά Β)  2 A λ ,4λ προς την ευ Γ)  A 4,3 προς τον άξ –Άλγεβρα κές–Απόστ α αποδείξετε σημεία A 1 και ισοσκελέ ίνεται η συνά όσταση των α βρεθεί σημ το τρίγωνο Α ς τις ΑΓ, ΒΓ, ίνονται τα ση σημείο Μ της ΜΒ να είναι ι ΜΒ. κά Σημεία ίνονται τα ση  4,2β 6 , Δ Να βρείτε το αν γνωρίζετε ά ως προς τον ά ως προς το αι το σημείο α βρεθεί η τι 2 2 , B 3, ά ως προς το σ λ ,  2 Β λ 3, λ υθεία y x . ,  2 B 4, λ 1  ξονα x x . ταση Σημε ε ότι το τρίγω ,2 ,  B 0,1 ές. άρτηση f(x)= σημείων Α 1 μείο Γ του άξ ΑΒΓ να είνα όπου  A 1,1 ημεία A 1,  ς ευθείας y=x ισοσκελές με ημεία Α 3,4  Δ 3γ 1,4 , ους πραγματ ότι: Τα Α κα ν x x , τα Ε κ  0,0 , το Γ Δ βρίσκεται ιμή του λ ώσ 4 5λ να εί σημείο Ο 0, λ να είναι σ 1 να είναι σ ίων ωνο με ,  Γ 2,1 είνα = 2x . Να 1,f(1) και Β ονα xx ι ισοσκελές μ  ,  B 4,2 . 1 ,  B 2,4 . x ώστε το ίσες πλευρές 4α 2 ,  Ε 1,1 , και ικούς αι Β είναι και Ζ είναι βρίσκεται ι στον y y . στε τα σημεία ίναι ,0 . συμμετρικά ω συμμετρικά ω αι Β με ς α: ως ως Γρ 6. βρ ση 6. βρ τη y 6. f το απ 6. γρ Α Β) 6. τω στ υπ πε 6. συ 6. γρ ραφική Πα .22 Δίνε ρεθεί το α R ημείο M 4,2 .23 Δίνε ρείτε τα σημε ης f με τους y 1  . .24 Δίνε    x 3μ 1  ο fC να τέμν πέχουν απόσ .25 Να β ραφικών παρ Α)  f x x 1  )   3 f x x  .26 Να κ ων συναρτήσ το ίδιο σύστη πολογίσετε τ ερικλείεται α .27 Nα κ υνάρτησης f( .28 Εξηγ ραφική παρά αράσταση εται η συνάρτ R ώστε η fC 2 . εται η συνάρτ εία τομής της άξονες y y , εται η συνάρτ x 2 με μ<0 νει τους άξον σταση ίση με βρείτε τα σημ ραστάσεων τ 1 και  g x  x και  g x  κάνετε τις γρ σεων: f(x)=x+ ημα συντεταγ ο εμβαδόν τη από αυτές. κάνετε τη γρ (x)= x 4 0 x 3      γήστε γιατί ο άσταση συνά τηση  f x α f να διέρχετα τηση  f x  ς γραφικής π x x και την τηση: 0. Να βρεθεί νες σε σημεία ε 5 . μεία τομής τω των συναρτή x 1  . 2 x 1  . ραφικές παρα +2 , g(x)=-x+3 γμένων και ν ης περιοχής ραφική παρά ,x 1 , 1 x 2 ,x 2       . ο κύκλος δεν άρτησης. 25 α x 3 . Nα αι από το 2x 1 x 2   . Να παράστασης ν ευθεία το μ ώστε α που ων σεων: αστάσεις 3, h(x)=2x+1 να που σταση της είναι 5
  26. 26. 26 http://users Ευθεία 6.29 Ν ευθεία y= 3 6.30 Δί . Να προσδι Α) πα Β) πα Γ) κά Δ) να 6.31 Αν 2ε : y 2λx ευθείες 3ε : y είναι κάθετε 6.32 Γι βρείτε: Α) Τι παράλληλη Β) Τι να ανήκει σ ε. Γ) Τι παράλληλη Δ) Τα 6.33 Έσ όπου κ R . Α) Ν Β) Αν Γ) Αν εξίσωση y  s.sch.gr/mipap α βρεθεί η γω 3 x+3 με τον ίνεται η ευθε ιοριστεί ο λ ώ αράλληλη στ αράλληλη στ άθετη στην ευ α διέρχεται α ν οι ευθείες ε είναι παράλ 2 λ 3 y x 4    ες. ια την ευθεία ις τιμές του λ προς την ευ ις τιμές του λ στην γραφική ις τιμές του λ προς τον άξ α σημεία τομ στω τα σημεί . α αποδείξετε ν  AB 5 ν κ 0 να α 2x 2   διέρ pagr ωνία που σχη άξονα xx΄. εία λ ε : y λ   ώστε η ε να ε την ευθεία y= την ευθεία x υθεία 2y=-8x από το σημείο 1ε : y λ 1  λληλες να δε 1, 4ε : y λ α λ 4 ε: y λ-1   λ ώστε η ευθε υθεία δ: y 6 λ ώστε το σημ ή παράσταση λ ώστε η ευθε ξονα xx . μής της με του ία  A κ,2 κ ε ότι  AB  να βρείτε τι αποδείξετε ότ ρχεται από τ ηματίζει η 3 2 λ2 x λ λ   είναι: =-2 , y 5  , x+1, ο (3,-1)  2 1 x λ και ίξετε ότι οι  1 x 8  x 5 , να ία ε να είναι 6x 1 . μείο A(2, 3) ης της ευθεία ία ε να είναι υς άξονες. αι  Β 1,2κ , 5 κ 1 . ις τιμές του κ τι η ευθεία με τα Α και Β. λ ι ας ι κ . ε 6. Ν Α πα Β) σχ το Γ) πα 6. Α Β) απ Γ) Δ) οπ άξ Ε) συ Στ πε συ Θ ισ 6. ε M Α Β) ε Γ) ε. Δ) με .34 Έστω Να βρείτε: Α) Τα σ αράστασης μ ) Το ε χηματίζεται ους άξονες. ) Την αραπάνω τρ .35 Δίνε Α) Να ε ) Να γ πόλυτη τιμή. ) Να γ ) Να β ποία η γραφ ξονες. ) Να β υνάρτησης μ τ) Να β ερικλείεται α υνάρτησης κ Θ) Να δ σοσκελές. .36 Δίνε : αx y 4  η M( 1, 6) . Α) Να β ) Να β με τους άξον ) Να β ) Να β ε την παραβ ω η συνάρτη σημεία τομής με τους άξονε μβαδόν του από τη γραφ τιμή του λ ώ ιγώνου να εί εται η συνάρτ εξετάσετε αν γραφτεί ο τύ . γίνει η γραφ βρείτε –αν υπ ική παράστα βρείτε τα σημ με την ευθεία βρείτε το εμβ από την γραφ και την ευθεία δείξετε ότι το εται η ευθεία η οποία διέρχ βρεθεί η τιμή βρεθούν τα κ νες. βρεθεί ο συντ βρείτε τα κοι βολή 2 y x  ση  f x λx ς της γραφική ες. τριγώνου πο φική παράστα ώστε το εμβαδ ίναι 2 τμ τηση  f x  ν είναι άρτια ύπος της χωρί φική της παρά πάρχουν- τα αση της f τέμν μεία τομής τη α y 3 . βαδόν του τρ φική παράστ α y 3 ο τρίγωνο αυ (ε) με εξίσωσ χεται από το ή του α. κοινά σημεία τελεστής διεύ ινά σημεία τη 13 17 x 4 4   . Συναρτήσεις 2, λ 0  ής της ου αση και δόν του x 2 1  . ή περιττή. ίς την άσταση. α σημεία στα νει τους ης ριγώνου που ταση της υτό είναι ση ο σημείο α της ευθείας ύθυνσης της ης ευθείας ε ς
  27. 27. Α Λυκείου – ΣΥΝΑΡΤΗ 6.37 Αν Α) Να Β) Να Γ) Να [1,+) Δ) Να 6.38 Να 2x 4 0  ,  6.39 Στ παράσταση το R . A) Να B) Να Γ) Να Δ) Να 6.40 Να συνάρτηση f τότε και η συ παρουσιάζει -15 -10 -5 0 5 10 -2 –Άλγεβρα ΗΣΕΙΣ - ΘΕ ν   2 x f x 2x      α λυθεί η εξίσ α εξετάσετε α α μελετήσετε α γίνει η γρα α επιλυθούν 2x 4 0, x   ο παρακάτω μιας συνάρτ α βρείτε το f α λύσετε την α λύσετε την α λύσετε την α προσδιορισ f(x)=(3κ 1)x υνάρτηση g(x ι για την ίδια 0 ΕΜΑΤΑ ΕΞ 2 x 1 1 x 1     τό σωση  f x 2 αν είναι άρτι τη μονοτονί αφική της πα γραφικά οι α x 2 και x ω σχήμα δίνετ τησης f με π (0) και f(1) . εξίσωση: f(x ανίσωση: f( ανίσωση: f( στεί ο κ ώστε 2 x παρουσιά x)=(3 |κ 2  α τιμή του x μ 2 4 ΞΕΤΑΣΕΩ ότε:  2f 2 0 . α ή περιττή. ία της στο ράσταση. ανισώσεις: 2. ται η γραφικ εδίο ορισμού x) 0 . x) 0 . x) 0 . όταν η άζει ελάχιστο 2 2|)x να μέγιστο. 4 6 ΩΝ κή ύ ο, 6. x x το 6. οπ πα πα Α Β) τη Γ) πα Δ) Ε) g Στ Ζ) Η 6 .41 Δίνο 0 0   και g x ομής των fC .42 Έστω ποίας η γραφ αρακάτω σχή αράσταση να Α) Ποιό ) Να γ ης g. ) Να β αρουσιάζει α ) Να ε ) Να β g(2) g( 2)   τ) Είνα ) Για π Η) Για π ονται οι συνα x x 2  . Nα , g C καθώς κ ω μια συνάρτ φική παράστ ήμα. Παρατη α απαντήσετ ό είναι το πεδ γράψετε τα δ βρείτε για πο ακρότατα, κα ελέγξετε αν η βρεθεί η τιμή g( 3)  . αι σωστό ότι g ποιες τιμές το ποιες τιμές το αρτήσεις: f(x α βρεθούν τα και η απόστα τηση y g x ταση φαίνετα ηρώντας την τε στα ερωτήμ δίο ορισμού διαστήματα μ οιες τιμές του αι ποια είναι η g άρτια ή π ή της παράστ g(0)>g(3); (γ ου x ισχύει ό ου x ισχύει ό 27 )= 2 x 1 2x     , , α σημεία ασή τους. x της αι στο ν γραφική ματα της g; μονοτονίας υ x ,η g ι αυτά. περιττή. τασης: γιατί;) ότι g(x)=1; ότι g(x)>1; 7
  28. 28. 28 http://users.s 6.43 Δίν Α) Να Β) Να Γ) Να γραφικής π Δ) Να της f τέμνε 6.44 Έσ f(x) κ x+1 A) Να Α(3,8) να αν Για την τιμή Β.1) Να Α(3 , 8) και Β Β.2) Να περιττή. 6.45 Αν ανίσωση: x 6.46 Δίν   1ε : y λ   2ε : y 1 Α) Να και  2ε να Β) Για α) οι  1ε και β) η  1ε τέμν αντίστοιχα, sch.gr/mipap νεται η συνά α βρεθεί το π α αποδειχτεί α βρεθούν τα αράστασης τ α εξετάσετε α ει τον άξονα στω η συνάρτ 1 , x 1 ,  α βρεθεί η τιμ νήκει στη γρα ή του κ που β α βρεθεί η απ Β(8 , f(8)) . α εξετάσετε α ν 2x f(x) 2x      f 2 3 f 4    νονται οι ευθ λ 4 x 11  κ 11 2λ x 2  α βρείτε την τ είναι παράλ α λ 5 : Να γράψετε  2ε . Αν A και Β νει τον x x κ να βρείτε τη pagr άρτηση f(x)  πεδίο ορισμού ότι είναι άρ α σημεία τομή της f με τον αν η γραφική α y y . τηση f με κ R . μή του κ ώστ αφική παράσ βρήκατε στο Α πόσταση των αν η f είναι ά 2 3 , x 2 x ,x 2    , ν  f 1 . θείες: και με λ R . τιμή του λ ώ λληλες. ε τη μορφή π Β είναι τα σημ αι η  2ε τον ην απόσταση x 1  . ύ της. τια. ής της άξονα x x . ή παράσταση τε το σημείο σταση της f. Α ερώτημα: ν σημείων άρτια ή α λυθεί η ώστε οι  1ε που παίρνουν μείο στα οπο ν y y η  AB . η ν οία 6. f( Α Β) A πα 6. Α Β. τη Γ. f 6. Α απ Β) Γ) 6. Α Β) πα .47 Δίνε 1 x (x) x 6λ      Α) Να β ) Αν λ α) Ν  A 3,f(3) και β) Ν αράστασης .48 Έστω Α. Να β . Να ε ης f τέμνει τ . Να β    f 1 3f 7  .49 Δίνε Α) Να β πλοποιήσετε ) Να α ) Να λ .50 Έστω Α) Να β ) Να α αράσταση έχ εται η συνάρτ 2 x αν x λ αν x    βρείτε το λ ώ λ 3 τότε: Να βρείτε την ι  B 5,f( 5)  Να υπολογίσ    2 f 1 4 ω η συνάρτη βρεθεί το πεδ εξετάσετε αν τους άξονες κ βρεθεί η τιμή   9 2f 12 8     εται η συνάρτ βρείτε το πεδ τον τύπο τη αποδείξετε ότ λύσετε την αν ω η συνάρτη βρείτε το πεδ αποδείξετε ότ χει κέντρο συ Σ τηση : 0 0   με λ R ώστε  f 0 f ν απόσταση . σετε την τιμή   2 f 9  ση |x f(x)  δίο ορισμού ν η γραφική π και σε ποια σ ή της παράστ  f 5     . τηση  f x  δίο ορισμού τ ης. ότι η f είναι ανίσωση  f x ηση   1 f x x  δίο ορισμού τ ότι η γραφική υμμετρίας το Συναρτήσεις R .  f 8 . των σημείων της  2 4 . x 1| 2 x 4    . της f . παράσταση σημεία ; τασης 2 1 x x x 1   της και να περιττή.  1 . 3 1 x x x   . της. ή της  O 0,0 . ν
  29. 29. Α Λυκείου –Ά 6.51 Έσ Α) Να Β) Να παράστασης 6.52 Δίν 1 f(x) x 6λ       Α) Να Β) Αν α) παράστασης β)   3,f 3  6.53 Έσ Α) Να Β) Να fx Α Γ) Να 6.54 Έσ Α) Να Β) Να Γ) Υπ f(2008) f(  Άλγεβρα στω η συνάρτ α αποδείξετε α υπολογίσετ ς  f(2) 1 νεται η συνά 2 x αν x λ λ αν x    α βρεθεί ο λ ν λ 3 τότε: Να υπολογί ς  33 f 18 Να βρείτε τη και   0,f 0 στω η συνάρτ α βρείτε το π α δείξετε ότι f α λύσετε την στω η συνάρτ α βρεθεί το π α αποδείξετε πολογίστε την 2008) . τηση  f x x  ότι είναι περ τε την τιμή τη  2 f( 2)   άρτηση : 0 0   με λ R ώστε f(0) f ίσετε την τιμή . ην απόσταση . τηση   1 f x  εδίο ορισμού  f x |x|  , εξίσωση 2x x  τηση f(x)  πεδίο ορισμού ότι η f είναι ν τιμή της πα 1 x 4 x ριττή. ης 2 1 . R  f 8 ή της η των σημείω 2 10x 2 x 2 10 x   ύ fΑ της f , για κάθε 9 2   =f(x) 2 |x| 3 x 9   ύ της f . άρτια. αράστασης ων 6. ε Α η Β) ε Γ) η 6. f( Α Β) κά Γ) συ f( Δ) .55 Για κ 1ε :  2 y λ  Α) Να β  1ε να διέ ) Να β 2ε να είναι ) Αν λ  2ε τέμνει .56 Δίνε 2 2 x x (x) x 6     Α) Να β ) Να α άθε πραγματ ) Να α υνάρτησης f x 1 (x) x 4    , x ) Να λ κάθε λ R , 6 x 5  και βρείτε –αν υπ έρχεται από τ βρείτε το λ ώ παράλληλες λ 3 να βρε τους άξονες. εται η συνάρτ 2 4 6x 8    . βρείτε το πεδ αποδείξετε ότ τικό αριθμό αποδείξετε ότ απλοποιείτ x A . λύσετε την αν δίνονται οι ε ι  2ε : y 5λ πάρχει- τιμή το σημείο 2 ώστε οι ευθεί ς. είτε τα σημεία . τηση δίο ορισμού A ότι: 2 x x 2   x . ότι ο τύπος τη ται στη μορφ ανίσωση x f( 29 ευθείες λx 8 . ή του λ ώστε 2,4 . ίες  1ε και α στα οποία Af της f . 2 0 , για ης φή f(5) x) 2   ε

×