1. §3−2 和角公式
(甲)和角公式
(1) 公 式 一 ： cos(α −β )=cosα⋅ cosβ +sinα⋅ sinβ
證 明 ： 先 做 一 單 位 圓 ， 如 右 圖 其 中
A(cosα ， sinα) 、 B(cosβ ， sinβ) ， ， AOB=α−β ，
因 為 2 =(cosα−cosβ) 2 +(sinα−sinβ) 2 =2−2(cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ)......
2 2 2
利 用 餘 弦 定 理 ： AB = OA + OB − 2OA ⋅ OB cos(α − β )
y
所 以 2 =1 2 +1 2 −2⋅1⋅1⋅ cos(α −β)=2−2 cos(α −β)...............................
由 由 可 得 cos(α −β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
A(cosα,sinα)
B(cosβ,sinβ)
討論： x
O (1.0)
~3−2−1~

2. (a) 如 果 A,O,B 共 線 上 述 的 結 果 會 成 立 嗎 ？
(b)α−β >π 時 ， 上 述 的 結 果 會 成 立 嗎 ？
(2) 公 式 二 ： cos(α +β )=cosα⋅ cosβ− sinα⋅ sinβ
證 明 ：
(3) 公 式 三 ： sin(α +β )=sinα⋅ cosβ +cosα⋅ sinβ
證 明 ：
(4) 公 式 四 ： sin(α −β )=sinα⋅ cosβ− cosα⋅ sinβ
證 明 ：
(5) 公 式 五 ： tan(α +β )=
證 明 ：
(6) 公 式 六 ： tan(α −β )=
證 明 ：
[ 注 意 ] ：
和 角 公 式 的 精 神 ：
已知兩個角度的三角函數，即可得兩個角度的和或差的三角函數。
1. 試求 cos15°，sin105°，tan75°之值。
6+ 2 6+ 2
Ans：cos15°= ，sin105°= ，tan75°=2+
4 4
~3−2−2~

3. 2. 設<α<π<β<，且 cosα= ，sinβ= ，試求
(1)sin(α +β ) = ；(2)cos(α −β )= 。
1. 計 算 下 列 各 小 題 ：
(1)sin195 ° (2)cos75 ° (3)tan15 ° Ans：(1) (2) (3)2−
2. 試 化 簡 下 列 各 小 題 ：
(1) sin cos + cos sin
(2)sin68 ° cos23 ° −sin23 ° cos68 °
(3)cos44 ° sin164 ° −sin224 ° cos344 ° = ？
(4) 求 cos(α+)cos(α−)+sin(α+)sin(α−)= ？
6+ 2
Ans：(1)− (2) (3) (4)0
4
3. 設 <α<π ， ， <β< ， 且 sinα= ， cosβ = ， 則
(1)sin(α−β)= 。 (2)cos(α−β)= 。 (3)α−β 為 第 象限角。
Ans：(1) (2) (3)四
tan 83－tan 38 
3. (1) ＝_________。Ans：1
＋
1 tan 83 tan 38 
(2) 設 α＋β＝，則(1＋tanα)(1＋tanβ)＝______。Ans：2
~3−2−3~

4. 4. 試證：cot(α+β )= ，cot(α −β ) =
5. 若 tanα，tanβ為 x2+9x−4=0 之二根，
試求
(1)tan(α+β)=？
(2)sin2(α+β)+9sin(α+β)cos(α+β)−4cos2(α+β)= 。
Ans：(1) (2)−4
A
4. 如 右 圖 ， 如 且 =5 ， ， B+∠C=45 ° ，
若 > ， 則 = ？ Ans ：
[ 提 示 ： 令 BH=x ， HC=1 ，
B C
則 AH=(x+1)，再利用 tan(B+C)=tan45 ° =1，求 x 的值。]H
5. 設 tanα=1，tan(α −β )=，試求 tanβ之值。 Ans：2−
6. 設 tanα ， tanβ 為 2x 2 −4x+1=0 之 二 根 ， 試 求
(1)cos 2 (α +β )= 。
(2)2sin 2 (α +β)−4sin(α +β)cos(α +β)+4cos 2 (α +β)= 。
Ans：(1)(2)
~3−2−4~

5. 7. 試 求 下 列 各 值 ：
(1)tan12 ° +tan48 ° +tan12 ° tan48 ° = 。 [ 提 示 ： 考 慮 tan(12°+48°)]
tan 227  − tan 287 
(2) = 。
1 − tan 133 tan 107 
(3)⋅cot20 ° cot40 ° −cot20 ° −cot40 ° = 。 [ 提 示 ： 考 慮 cot(40°+20°)]
Ans：(1) (2)− (3)
8. 設 A 、 B 、 C 為 為 ABC 的 內 角 ，
請證明：cot+cot+cot = cot⋅cot⋅cot。
(乙)和角公式的應用
善 用 和 角 公 式 的 精 神 ：
已知兩個角度的三角函數，即可得兩個角度的和或差的三角函數。
6. ∆ABC 中，已知 cosB= ，cosC= ， =22，則
(1)sinA= ，(2)∆ABC 之外接圓半徑為 。
11 5
Ans：(1) (2)5
25
7. 右圖是一個直角三角形 ABC，其中，C=90°，，BAD=θ，
B
若==1，=3，則 tanθ=？
(A) (B) (C) (D) (E)。(92 北區指定考科模擬考)
D
Ans：(A)
C A
A
C
~3−2−5~ θ
~ 30°
P B

6. 9. 一 鐵 塔 AB 垂 直 於 地 面 ， 由 於 地 震 的 關 係 ，
向 東 傾 斜 30 ° ， 則 觀 測 者 在 西 方 對 塔 頂 之 仰 角 由
∠BPA 變 成 變 BPC ， 即 角 度 減 少 ， ，
若 已 知 PB=AB=60 公 尺 ， 求 (1)∠BPC= ？ (2)tanθ= ？
Ans：(1) (2)2−
10. 設 設 A,∠B,∠C 為 為 ABC 之 三 內 角 ， 其 對 邊 分 別 為 a,b,c ， 若
sinA=，cosB=， 則 a：b：c= 。 Ans：25：39：16
11. 已知四邊形 ABCD 中，=16，=25，=15，，ABC 及及BCD 皆為銳
角 ， 而 sin∠ABC= ， sin∠BCD= ， 求 (1)= ？ (2)= ？
B
Ans ： (1)20 (2)12
A
D C
12. ∆ABC 為 等 腰 直 角 三 角 形 ， 為 C= ， D,E 將 分 成 三 等 分 ， 試 求
tan∠DAE= 。 Ans ：
[提示將提DAE 分成兩個角的差，即 分DAE=∠CAE−∠CAD，已知
tan∠CAE=，tan∠CAD=，可得 tan∠DAE]
綜合練習
(1) 設 secα=，cotβ=，<α<2π，，<β<，求 sin(α+β)=？
(2) 化簡下列兩小題： y
(a)sin(θ+)cos(θ−)−cos(θ+)sin(θ−)=？ −3 4
P( , )
5 5
(b) + + =？ Q
(3) 如右圖：設 A(1,0)，Q(m,n)，P(,)均在單位圓上 O x
A(1.0)
，，QOP=，算出點 Q 的坐標。
~3−2−6~

7. － 2 － 2
(4) 設 sin84°＝a，cos63°＝b，則 (A) cos21°＝b 1 a ＋a 1 b
－ 2 － 2 － 2 － 2
(B) sin21°＝ab－ 1 a ． 1 b (C) sin147°＝ab＋ 1 a ． 1 b
(D) cos147°＝b 1 b －a 1－a 。
－ 2 2
(5) 令 sin84°=a，cos63°=b，試以 a,b 表示 sin147°及 cos21°。 C
a b
h
(6) 如圖，如ABC 的對邊分別為 a,b,c，
P 為 C 點的垂足，h 為高，BP=x，AP=y， B P c A
A
則下列那些選項必定為真？
(A)cosC= + (B)cosC= + (C)cosC=cos(A+B)
(D)cosC=(E)cosC= 。(91 學科)
(7) 如右圖，在如ABC 中，中於 D 點，
且：：=6：2：3，求，BAC=？。
(8) 坐標平面上設 A(2，4)，B(3，1)，O(0，0)，
B D C
則 tan∠AOB＝_______。 A
E F
D
(9) 矩形 ABCD，AB=1，AD=3，分割如圖，
令令AFB=θ ，，ADB=φ，求，+φ = 。 B H G C
(10) 半徑 14 的圓 O 上有一扇形 AOB；如圖所示，在弧上取一點 P，已知 P 對作
垂直線段，其長為 13；P 對作垂直線段，其長為 11。
則：(a)若此扇形 AOB 的圓心角 θ，則 θ 為________。
(b)斜線面積為_________。
(11) 如圖，設 AP=PQ=QR=RB=BC， C
求(a)tan∠1=？ (b)tan∠2=？ (c)tan∠3=？ 1
2
3
A P Q R B
~3−2−7~

8. (12) 設設ABC 為一直角三角形，BCDE 為
以為一邊向外作出的正方形，若=5，=4，=3， D
試求 cos∠ACD= ，，ACD 的面積= 。
C
(13) 設 A,B,C 為為ABC 三內角的度量， E
且 tanA,tanB,tanC 均有意義，
試證：tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC
A B
(14) 設 A，B，C 均為正銳角，tanA＝2，tanB＝4，tanC＝13，
則(a)tan(A＋B)＝__________；(b)A＋B＋C＝__________。
(15) 設設+β+γ=π，證明：cotαcotβ+cotβcotγ+ cotγcotα=1
進階問題
(16) 設 cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，試求 cos(α−β)= 。
(17) 請證明：(a)sin(x+y)sin(x−y)=sin2x−sin2y。
(b)cos(x+y)cos(x−y)=cos2x−sin2y。
(18) α ,β ,γ ,δ 均為正銳角，tanα=，tanβ= ，tanγ =，tanδ =，
求求 +β +γ +δ = 。
(19) 設 cosx+cosy=a，sinx+siny=b，試以 a,b 表示 cos(x−y)=？
(20) 設 tanα、tanβ為 x2+px+q=0 之二根(p2−4q≥0)，試以 p,q 表示
(a)tan(α+β)=？ (b)sin2(α+β)+psin(α+β)cos(α+β)+qcos2(α+β)=？
(21) 設 A,B,C 為銳角為ABC 三內角的度量，且 tanA,tanB,tanC 均有意義，
試求 tanA⋅tanB⋅tanC 之最小值。
(22) 設 x2−px+q=0 的二根為 tanα，tanβ，且 tanα+tanβ≠0，
cos(α − β )
試求 sin(α + β ) = 。
綜合練習解答
~3−2−8~

9. 1.
2. (a) (b)0
−3+ 4 3 4+3 3
3. Q( , )[ 提 示 ： 設 提 AOP=α ， 即 得
10 10
cosα= ， sinα= ， 因 為 ， QOP= 所 以
所AOQ=α−，，m=cos(α−)，n=sin(α−)]
4. (A)(B)(C)
5. ab+，b⋅
6. (E)
7.
8. 1
9. (Hint：利用 tanθ與 tanφ的值求 tan(θ+φ))
10. (a) (b)−47
11. (a) (b) (c)
12. ，8
13. [ 提 示 ： 利 用 A+B+C=180 ° ， A+B=180 ° −C
⇒tan(A+B)=tan(180 ° −C) ，再利用和角公式展開化簡即可
得 tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC]
14. Ans：(a)(b)
15. 證法與(13)相同
16. ( Hint ： 將 cosα+cosβ=−cosγ ， sinα+sinβ=−sinγ 兩 式 平 方
相加)
17. 利用和角公式直接計算，即可得證.
18. [ 提 示 ： 可 以 先 計 算 tan(α+β) 、 tan(γ+δ) ， 再 計 算
tan(α+β+γ+δ )的值]
19. (a 2 +b 2 −2)
20. (a) (b)q
a+b+c 3
21. 3 (Hint：利用不等式 ≥ abc ，其中 a,b,c 為正數與
3
例題 13)
22.
~3−2−9~

10. ~3−2−10~