1. V3 merupakan subruang dari ruang vektor P3 karena telah memenuhi sifat-sifat dasar subruang seperti penutupan untuk operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar.
2. D dinyatakan bukan merupakan kombinasi linear dari A, B, dan C karena sistem persamaannya tidak konsisten setelah dilakukan operasi baris elementer.
3. Masalah kedua membuktikan apakah suatu matriks dapat ditulis
bab 6 ancaman terhadap negara dalam bingkai bhinneka tunggal ika
SubRuang Vektor
1. TUGAS ALJABAR LINEAR 1
SUB RUANG
NAMA = SRI RESKY FEBRIANTI
NIM = H121 13 019
SOAL LATIHAN
1 Misalkan P3 adalah polinom berderajat 3 , ruang vektor terhadap operasi pertambahan
dan perkalian skalar 2x2
+1 , periksa apakah himpunan polinom yang berbentuk
A0+A 2X+A 2X2
+A3X3
Merupakan Sub ruang dari P3?
2 Misalkan Matriks
A =
3 2
0 1
B =
0 2
−2 4
C =
1 1
−2 5
D =
4 5
−2 10
Apakah matriks D dapat ditulis sebagai Kombinasi Linear dari A , B , dan C ?
2. Penyelesaian :
1. Misalnya :
Diketahui : P3 adalah himpunan polynomial berderajat 3
V3 adalah subhimpunan dari ruang vector P3
Ditanyakan :
Pembuktian bahwa V3 adalah subruang dari P3?
Penyelesaian :
Definisi SubRuang :
Suatu himpunan bagian W dari suatu ruang vector V disebut suatu subruang
dari V jika W sendiri adalah suatu ruang vector dibawah penjumlahan dan
perkalian scalar yang didefinisikan pada V.
V3 dapat dikatakan subruang dari P3 jika telah memenuhi syarat berikut :
- Penjumlahan Vektor
Jika u dan v adalah vector vector dalam W , maka u + v ada dalam W.
- Perkalian Vektor
Jika k adalah sebarang scalar dan u adalah sebarang vector dalam W , maka ku
ada dalam W.
Pembuktian Syarat :
Misal ambil sebarang vector di V3
u dan w adalah vector-vektor pada V3 , menjadi:
- U(x) = (u0+u1x+u2x2
+u3x3
)
- W(x)= (w0+w1x+w2x2
+w3x3
)
Maka :
Syarat 1
(U+W)(x) = U(x) + W(x)
= (u0+u1x+u2x2
+u3x3
) + (w0+w1x+w2x2
+w3x3
)
= (u0+w0) + (u1+w1) + (u2+w2)x2
+ (u3+w3)x3
6. 2 Berikut ini akan dibuktikkan apakah matriks D dapat ditulis dan dinyatakan sebagai
Kombinasi Linear dari matriks A , B dan C atau tidak dapat dinyatakan sebagai Kombinasi
Linear dari matriks A , B dan C.
Penyelesaian :
Suatu vector D disebut Kombinasi Linear dari matriks-matriks A , B dan C jika dapat
dinyatakan dalam bentuk :
D2x2 = k1 . A2x2 + k2 . B2x2 + k3 . C2x2
Dimana ,
k1 , k2 dan k3 adalah scalar
D
4 5
−2 10
= k1
3 2
0 1
+ k2
0 2
−2 4
+ k3
1 1
−2 5
=
3𝑘1 2𝑘1
0 𝑘1
+
0 2𝑘2
−2𝑘2 4𝑘2
+
𝑘3 𝑘3
−2𝑘3 5𝑘3
=
3𝑘1 + 0 + 𝑘3 2𝑘1 + 2𝑘2 + 𝑘3
0 − 2𝑘2 − 2𝑘3 𝑘1 + 4𝑘2 + 5𝑘3
=
3𝑘1 + 𝑘3 = 4 2𝑘1 + 2𝑘2 + 𝑘3 = 5
−2𝑘2 − 2𝑘3 = −2 𝑘1 + 4𝑘2 + 5𝑘3 = 10
Dapat dinyatakan sebagai berikut :
[
3
2
0
1
0 1
2 1
−2 −2
4 5
]
𝑘1
𝑘2
𝑘3
= [
4
5
−2
10
]
8. B4 + 2 B2
1 4 5 10
0 1 3/2 5/2
0 0 4 4
0 0 1 3
B3 (1/4)
1 4 5 10
0 1 3/2 5/2
0 0 1 1
0 0 1 3
B4 + (-1)B3
1 4 5 10
0 1 3/2 5/2
0 0 1 1
0 0 0 2
Berdasarkan hasil dari Operasi Baris Elementer diatas dapat disimpulkan bahwa :
Sistem persamaan tidak konsisten , sehingga tidak terdapat scalar k1 , k2 dan k3
sebagai akibatnya matriks D 2x2 BUKAN MERUPAKAN KOMBINASI LINEAR dari
matriks A 2x2 , B 2x2 dan C 2x2 .