Penyelesaian persamaan linier simultan melibatkan penentuan nilai variabel bebas yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. Metode yang dapat digunakan antara lain metode eliminasi Gauss, metode eliminasi Gauss-Jordan, dan metode iterasi Gauss-Seidel. Metode eliminasi Gauss mengubah matrik koefisien menjadi bentuk segitiga atas atau bawah dengan operasi baris elementer.
2. Persamaan Linier
Simultan
Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang
secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas
Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas
aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan
simultan
xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan
3. Persamaan Linier
Simultan
Penyelesaian persamaan linier simultan adalah
penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang
memenuhi semua persamaan yang diberikan.
AX = B
Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian.
Vektor x = vektor variabel
vektor B = vektor konstanta.
=
nnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
......
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
4. Persamaan Linier
Simultan
Persamaan Linier
Simultan atau Sistem
Persamaan Linier
mempunyai kemungkinan
solusi :
Tidak mempunyai solusi
Tepat satu solusi
Banyak solusi
5. Augmented Matrix
matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan
menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan
dituliskan:
Augmented (A) = [A B]
mmnmmm
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
...
..................
...
...
321
22232221
11131211
6. Contoh 1 :
Seorang pembuat boneka ingin membuat dua
macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua
boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua
macam bahan yaitu potongan kain dan kancing.
Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6
kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8
potongan kain dan 8 kancing.
Permasalahannya adalah berapa buah
boneka A dan boneka B yang dapat dibuat
dari 82 potongan kain dan 62 kancing ?
7. Contoh 1
Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan :
x = jumlah boneka A
y = jumlah boneka B
Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa:
Potongan kain
10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82
Kancing
6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62
Atau dapat dituliskan dengan :
10 x + 8 y = 82
6 x + 8 y = 62
Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang
memenuhi kedua persamaan di atas.
8. Contoh 2 :
Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar (zoom) sebagai
berikut :
Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis
lurus, sehingga tampak kasar.
Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva
yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial.
Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan
dengan lebih halus.
1
2
3
4
9. Contoh 2 :
4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini
dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :
Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas
akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut :
Titik 1 3 = 8 a + 4 b + 2 c + d
Titik 2 6 = 343 a + 49 b + 7 c + d
Titik 3 14 = 512 a + 64 b + 8 c + d
Titik 4 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d
Nilai a, b, c dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.
dcxbxaxy +++= 23
10. Contoh 2 :
Setelah nilai a, b, c dan d diperoleh maka persamaan
polinomialnya didapatkan dan dengan menggunakan step x
yang lebih kecil dapat digambarkan grafiknya dengan lebih
halus.
11. Theorema 4.1.
Suatu persamaan linier simultan mempunyai
penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-
syarat sebagai berikut.
Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar,
dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah
variable bebas.
Persamaan linier simultan non-homogen dimana
minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol
atau ada bn ≠ 0.
Determinan dari matrik koefisien persamaan linier
simultan tidak sama dengan nol.
13. Metode Numerik
Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Metode Iterasi Gauss-Seidel
14. Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang
dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu
menghilangkan atau mengurangi jumlah variable
sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable
bebas
matrik diubah menjadi augmented matrik :
nnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
...
...
............
...
...
2
1
2n1
22221
11211
15. Metode Eliminasi Gauss
ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau
segitiga bawah dengan menggunakan OBE
(Operasi Baris Elementer).
nnnnnn
n
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
...
..................
...
...
...
321
33333231
22232221
11131211
nnn
n
n
n
dc
dcc
dccc
dcccc
...000
..................
...00
...0
...
3333
222322
11131211
16. Operasi Baris Elementer
Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem
Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada
dengan sistem yang baru yang mempunyai himp
solusi yang sama dan lebih mudah untuk
diselesaikan
Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step
yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut
Operasi Baris Elementer
1. Multiply an equation through by an nonzero
constant.
2. Interchange two equation.
3. Add a multiple of one equation to another.
17. Metode Eliminasi Gauss
Sehingga penyelesaian dapat diperoleh
dengan:
( )
( )
( )nn
nn
nnnn
nn
n
nn
n
n
xcxcxcd
c
x
xcxcxcd
c
x
dxc
c
x
c
d
x
1132121
11
1
24243232
22
2
1,1
1,1
1
...3
1
...
1
.....................................
1
−−−−=
−−−−=
+−=
=
−−
−−
−
21. Echelon Forms
This matrix which have following properties is in reduced row-
echelon form (Example 1, 2).
1. If a row does not consist entirely of zeros, then the first nonzero
number in the row is a 1. We call this a leader 1.
2. If there are any rows that consist entirely of zeros, then they are
grouped together at the bottom of the matrix.
3. In any two successive rows that do not consist entirely of zeros,
the leader 1 in the lower row occurs farther to the right than the
leader 1 in the higher row.
4. Each column that contains a leader 1 has zeros everywhere
else.
A matrix that has the first three properties is said to be in row-
echelon form (Example 1, 2).
A matrix in reduced row-echelon form is of necessity in row-
echelon form, but not conversely.
23. Example 2
More on Row-Echelon and Reduced
Row-Echelon form
All matrices of the following types are in row-echelon
form ( any real numbers substituted for the *’s. ) :
*100000000
*0**100000
*0**010000
*0**001000
*0**000*10
,
0000
0000
**10
**01
,
0000
*100
*010
*001
,
1000
0100
0010
0001
*100000000
****100000
*****10000
******1000
********10
,
0000
0000
**10
***1
,
0000
*100
**10
***1
,
1000
*100
**10
***1
All matrices of the following types are in reduced row-
echelon form ( any real numbers substituted for the *’s. ) :
24. Contoh
Solusi dari Sistem Pers Linier
−
4100
2010
5001
(a)
4
2-
5
=
=
=
z
y
x
Solution (a)
Anggaplah ini adalah matrik dari Sistem Persamaan
Linier yang telah direduksi dengan bentuk row echelon.
25. Example 3
Solutions of Four Linear Systems (b1)
−
23100
62010
14001
(b)
Solution (b)
23
62
1-4
43
42
41
=+
=+
=+
xx
xx
xx
leading
variables
free
variables
26. Example 3
Solutions of Four Linear Systems (b2)
43
42
41
3-2
2-6
4-1-
xx
xx
xx
=
=
=
tx
tx
tx
tx
,32
,26
,41
4
3
2
1
=
−=
−=
−−=
Free variabel kita misalkan dengan t.
Sehingga selanjutnya dapat kita tentukan
leading variabelnya.
Sistem Persamaan Linier
menghasilkan banyak solusi
27. Example 3
Solutions of Four Linear Systems
(c1)
−
000000
251000
130100
240061
(c)
25
13
2-46
54
53
521
=+
=+
=++
xx
xx
xxx
Solution (c)
1. Pada baris ke-4 semuanya
nol sehingga persamaan ini
dapat diabaikan
28. Example 3
Solutions of Four Linear Systems
(c2)
Solution (c)
2. Selesaikan leading variabel
dengan free variabel
3. Free variabel kita misalkan
dengan t (sembarang value).
Sehingga Sistem Persamaan
Linier menghasilkan banyak
solusi
54
53
521
5-2
3-1
4-6-2-
xx
xx
xxx
=
=
=
tx
tx
tx
sx
tsx
=
=
=
=
=
5
4
3
2
1
,5-2
3-1
,4-6-2-
29. Example 3
Solutions of Four Linear Systems (d)
1000
0210
0001
(d)
Solution (d):
Persamaan terakhir pada Sistem Persamaan
Linier
Karena persamaan ini tidak konsisten, maka
Sistem ini tidak mempunyai solusi
1000 321 =++ xxx
30. Example 3
Solutions of Four Linear Systems (d)
1000
0210
0001
(d)
Solution (d):
the last equation in the corresponding system of
equation is
Since this equation cannot be satisfied, there is
no solution to the system.
1000 321 =++ xxx
31. Elimination Methods (1/7)
We shall give a step-by-step elimination
procedure that can be used to reduce any
matrix to reduced row-echelon form.
−−−
−
−
156542
281261042
1270200
32. Elimination Methods (2/7)
Step1. Locate the leftmost column that does not consist
entirely of zeros.
Step2. Interchange the top row with another row, to bring
a nonzero entry to top of the column found in Step1.
−−−
−
−
156542
281261042
1270200
Leftmost nonzero column
−−−
−
−
156542
1270200
281261042
The 1th and 2th rows in the
preceding matrix were
interchanged.
33. Elimination Methods (3/7)
Step3. If the entry that is now at the top of the column
found in Step1 is a, multiply the first row by 1/a in order to
introduce a leading 1.
Step4. Add suitable multiples of the top row to the rows
below so that all entires below the leading 1 become zeros.
−−−
−
−
156542
1270200
1463521
The 1st row of the preceding
matrix was multiplied by 1/2.
−−
−
−
29170500
1270200
1463521
-2 times the 1st row of the
preceding matrix was added to
the 3rd row.
34. Elimination Methods (4/7)
Step5. Now cover the top row in the matrix and begin
again with Step1 applied to the submatrix that
remains. Continue in this way until the entire matrix is
in row-echelon form.
−−−
−
−
29170500
1270200
1463521
The 1st row in the submatrix
was multiplied by -1/2 to
introduce a leading 1.
−−
−−
−
29170500
60100
1463521
2
7
Leftmost nonzero
column in the submatrix
35. Elimination Methods (5/7)
Step5 (cont.)
−−
−
210000
60100
1463521
2
7
-5 times the 1st row of the
submatrix was added to the 2nd
row of the submatrix to introduce
a zero below the leading 1.
−−
−
10000
60100
1463521
2
1
2
7
−−
−
10000
60100
1463521
2
1
2
7
The top row in the submatrix was
covered, and we returned again
Step1.
The first (and only) row in the
new submetrix was multiplied
by 2 to introduce a leading 1.
Leftmost nonzero column
in the new submatrix
The entire matrix is now in row-echelon form.
36. Elimination Methods (6/7)
Step6. Beginning with las nonzero row and working upward, add
suitable multiples of each row to the rows above to introduce
zeros above the leading 1’s.
210000
100100
703021
7/2 times the 3rd row of the
preceding matrix was added to
the 2nd row.
−
210000
100100
1463521
−
210000
100100
203521
-6 times the 3rd row was
added to the 1st row.
The last matrix is in reduced row-echelon form.
5 times the 2nd row was
added to the 1st row.
37. Elimination Methods (7/7)
Step1~Step5: the above procedure produces a
row-echelon form and is called Gaussian
elimination.
Step1~Step6: the above procedure produces a
reduced row-echelon form and is called Gaussian-
Jordan elimination.
Every matrix has a unique reduced row-
echelon form but a row-echelon form of a given
matrix is not unique.
39. Metode Eliminasi Gauss
Jordan
Metode ini merupakan pengembangan metode
eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada
sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal
Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai
d1,d2,d3,…,dn dan atau:
nnnnnn
n
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
...
..................
...
...
...
321
33333231
22232221
11131211
nd
d
d
d
1...000
..................
0...100
0...010
0...001
3
2
1
nn dxdxdxdx ==== ,....,,, 332211
47. Metode Iterasi Gauss-
Seidel
Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang
menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang
berubah.
Bila diketahui persamaan linier simultan
nnnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
=++++
=++++
=++++
=++++
...
.............................................
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
48. Metode Iterasi Gauss-
Seidel
Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n)
kemudian persamaan linier simultan diatas
dituliskan menjadi:
( )
( )
( )112211
23231212
22
2
13132121
11
1
....
1
...............................................................
....
1
....
1
−−−−−−=
−−−−=
−−−−=
nnnnnn
nn
n
nn
nn
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
49. Metode Iterasi Gauss-
Seidel
Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n)
menggunakan persamaan-persamaan di atas secara
terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi(i=1 s/d n)
sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya
maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier
simultan tersebut.
Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila
selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi
sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang
ditentukan.
Untuk mengecek kekonvergenan
50. Catatan
Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier
ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini.
Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi
pada semua persamaan di diagonal utama (aii).
Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk
setiap xi pada diagonal utama.
Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus
benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang
salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen
dan tidak diperoleh hasil yang benar.
51.
52. Contoh
Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0
Susun persamaan menjadi:
1442
5
21
21
=+
=+
xx
xx
( )12
21
214
4
1
5
xx
xx
−=
−=
(5,1)
(4,3/2)
(7/2,7/4)
60. Contoh Penyelesaian
Permasalahan Persamaan Linier
Simultan
Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan
10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok
B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila
tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2.
Model Sistem Persamaan Linier :
Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap:
x1 adalah jumlah boneka A
x2 adalah jumlah boneka B
Perhatikan dari pemakaian bahan :
B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80
B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36
Diperoleh model sistem persamaan linier
10 x1 + 5 x2 = 80
2 x1 + 6 x2 = 36
61. Contoh 1 :
metode eliminasi Gauss-Jordan
Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat dibuat
6 boneka A dan 4 boneka B.
62. Contoh 2 :Penghalusan Kurva
Dengan Fungsi Pendekatan
Polinomial
Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis
lurus, sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan
pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi
pendekatan polinomial. Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva
dapat digambarkan dengan lebih halus.
1
2
3
4
63. Contoh 2 :
Misalkan pada contoh diatas, 4 titik yang ditunjuk
adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat
didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :
Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam
persamaan di atas akan diperoleh model persamaan
simultan sebagai berikut :
Titik 1 3 = 8 a + 4 b + 2 c + d
Titik 2 6 = 343 a + 49 b + 7 c + d
Titik 3 14 = 512 a + 64 b + 8 c + d
Titik 4 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d
64. Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan
a = -0,303
b = 6,39
c = -36,59
d = 53,04
y = -0,303 x3 + 6,39
x2 – 36,59 x + 53,04