Dokumen tersebut membahas tentang homomorfisma dan isomorfisma grup. Ia mendefinisikan homomorfisma sebagai fungsi yang melestarikan operasi grup, dan isomorfisma sebagai homomorfisma yang bijektif dan surjektif. Dokumen tersebut memberikan contoh homomorfisma dan isomorfisma serta membahas sifat-sifatnya seperti kernel dan relasi ekivalensi antar grup.

1. HOMOMORFISMA
Yus Mochamad Cholily
Jurusan Pendidikan Matematika
Universitas Muhammadiyah Malang
email:ymcholily@gmail.com
May 19, 2013
1

2. Daftar Isi
1 Tujuan 3
2 Homomorfisma 3
3 Sifat-sifat Homomorfisma 5
4 Latihan 7
2

3. 1 Tujuan
Fungsi merupakan salah satu konsep yang sangat penting dalam mempelajari Matematika.
Salah satu fungsi penting yang menjadi kajian kali ini dikenal dengan nama homomor-
fisma. Dengan mempelajari materi pada modul ini diharapkan mahasiswa mampu:
1. menuliskan definisi homomorfisma,
2. menjelaskan pengertian homomorfisma,
3. memberikan contoh homomorfisma yang tidak sama dengan contoh di modul ini,
4. menuliskan definisi isomorfisma,
5. menjelaskan pengertian isomorfisma,
6. memberikan contoh isomorfisma yang tidak sama dengan contoh di modul ini,
7. menjelaskan pengertian kernel,
8. menentukan kernel suatu homomorfisma,
9. membuktikan teorema-teorema tentang homomorfisma.
2 Homomorfisma
Kajian dalam sub bab ini difokuskan pada pembahasan tentang homomorfisma yaitu
salah satu jenis fungsi yang mempunyai sifat mengawetkan operasi di dalam grupnya.
Definisi 1. Misal (G, ∗) dan (H, ◦) merupakan dua buah grup. Sebuah fungsi
φ : G → H
disebut homomorfisma jika berlaku
φ(x ∗ y) = φ(x) ◦ φ(y),
untuk semua x, y di G.
Sifat φ(x∗y) = φ(x)◦φ(y), dinamakan mengawetkan operasi artinya peta hasil operasi
x∗y ∈ G sama dengan hasil operasi peta-petanya di H yaitu φ(x)◦φ(y). Untuk mendalami
hal ini perhatikan kembali contoh-contoh berikut ini.
Contoh 1. Misal G adalah sebarang grup dan g ∈ G serta grup bilangan bulat (Z, +).
Didefinisikan suatu fungsi
φ : Z → G
3

4. dengan
φ(n) = gn
setiap n ∈ Z. Fungsi φ ini merupakan homomorfisma karena setiap m, n di Z berlaku:
φ(m + n) = gm+n
= gm
gn
= φ(m)φ(n).
Contoh 2. Misal G adalah himpunan matriks 2 × 2 dengan determinan tidak nol dan
R∗
himpunan bilangan riil tidak nol. Didefinisikan sebuah fungsi α : G → R∗
dengan
α(A) = |A| untuk setiap A ∈ G. Sifat determinan menunjukkan bahwa |AB| = |A||B|,
hal ini berarti fungsi α ini merupakan homomorfisma.
Contoh 3. Perhatikan grup pada (Z4, +) dan grup ( i , ·) dengan i = {1, −1, i, −i}
serta i2
= −1. Didefinisikan fungsi β : Z4 → i dengan β(n) = in
untuk setiap n ∈ Z4.
Dengan memperhatikan sifat β(m + n) = im+n
= im
· in
= β(m) · β(n) maka β merupakan
homomorfisma.
Jika dikaji lebih dalam Contoh 3 lebih spesifik dibanding Contoh 1 maupun Contoh
2 hal ini dikarenakan contoh yang ketiga mempunyai sifat satu-satu dan pada. Homo-
morfisma yang semacam ini dinamakan isomorfisma seperti diungkapkan dalam definisi
berikut ini.
Definisi 2. Misal (G, ∗) dan (H, ◦) dua buah grup. Sebuah fungsi φ : G → H disebut
isomorfisma jika dan hanya jika φ merupakan homomorfisma dan bersifat satu-satu
pada. Grup G dan H disebut isomorfik, dinotasikan dengan G ∼= H.
Selain Contoh 3 di atas perhatikan contoh-contoh berikut ini yang merupakan isomor-
fisma.
Contoh 4. Perhatikan grup (Z, +) dan fungsi τ : Z → Z dengan τ(n) = 2n. Selidiki
apakah fungsi τ merupakan isomorfisma atau bukan.
Ambil m, n di Z. Menurut definisi:
τ(m + n) = 2(m + n) = 2m + 2n = τ(m) + τ(n).
Dari sini dapat disimpulkan bahwa τ merupakan homomorfisma. Selanjutnya dapat di-
simpulkan juga bahwa τ merupakan fungsi satu-satu karena:
τ(m) = τ(n) berakibat m = n.
Pada sisi lain jika diambil 3 ∈ Z tidak n ∈ Z sehingga 2n = 3. Hal ini mengatakan bahwa
τ bukan fungsi pada. Dari ketiga hal tersebut dapat disimpulkan bahwa τ bukan suatu
isomorfisma.
4

5. Contoh 5. Perhatikan dua buah grup (R, +) dan (R+
, ·). Selanjutnya didefinisikan fungsi
ϕ : R → R+
dengan ϕ(x) = 2x
.
Untuk menunjukkan fungsi pada Contoh 3 suatu isomorfisma harus ditunjukkan tiga
hal yaitu i) homomorfisma, ii) bersifat satu-satu, dan iii) bersifat pada. Ambil x, y di R.
Dari definisi fungsi diperoleh hubungan
ϕ(x + y) = 2x+y
= 2x
· 2y
= ϕ(x) · ϕ(y).
Hal ini menunjukkan bahwa ϕ merupakan homomorfisma. Selanjutnya dimisalkan bahwa
ϕ(x) = ϕ(y) maka 2x
= 2y
yang berakibat x = y. Hal ini berarti ϕ merupakan fungsi
satu-satu. Tinggal membuktikan ϕ fungsi pada. Ambil y ∈ R+
dan pilih x = log2(y).
Dengan demikian ϕ(x) = 2x
= y dan ini berarti ϕ merupakan fungsi pada. Dari ketiga
hal tersebut dapat disimpulkan bahwa fungsi ϕ merupakan isomorfisma.
Definisi 3. Misal φ : G → H suatu homomorfisma. Kernel dari φ dinotasikan dengan
Ker(φ) adalah himpunan:
Ker(φ) = {x ∈ G : φ(x) = iH},
dengan iH merupakan identitas H.
Contoh 6. Perhatikan kembali Contoh 1-5, diperoleh kernel masing-masing fungsi adalah
Ker(φ) = {n ∈ Z : gn
= iG}, Ker(α) = {A ∈ G : |A| = 1}, Ker(β) = {[0]}, Ker(τ) = {0},
Ker(ϕ) = {0}.
3 Sifat-sifat Homomorfisma
Pada pokok bahasan ini akan dikaji tentang sifat-sifat berkenaan dengan homomor-
fisma/isomorfisma. Untuk pembahasan selanjutnya penulisan operasi pada masing-masing
grup sudah dianggap tahu dan tidak dituliskan lagi.
Teorema 1. Misal G, H dua buah grup dan φ : G → H sebuah homomorfisma. Hal
berikut ini benar.
a. Jika iG, iH masing-masing identitas di G dan H maka φ(iG) = iH,
b. Untuk sebarang g ∈ G maka φ(g−1
) = (φ(g))−1
,
c. Jika A subgrup dari G maka φ(A) subgrup dari H.
d. Jika B subgrup dari H maka φ−1
(B) merupakan subgrup dari G
e. Kernel dari φ merupakan subgrup dari G.
5

6. f. Sebarang x ∈ Ker(φ) dan g ∈ G maka gxg−1
∈ Ker(φ).
Bukti. Pembuktian akan diberikan untuk bagian [a.] dan [b.] saja dan yang lainnya
ditinggalkan sebagai latihan.
a. Ingat kembali sifat identitas yaitu iG = iGiG. Karena φ homomorfisma maka φ(iG) =
φ(iG)φ(iG). Hal ini hanya bisa terjadi untuk φ(iG) = iH.
b. Telah diketahui bahwa iG = gg−1
. Karena φ homomorfisma maka φ(iG) = φ(g)φ(g−1
).
Dari bagian [a.] didapat iH = φ(g)φ(g−1
). Dari persamaan terakhir ini diperoleh
φ(g−1
) = (φ(g))−1
.
Teorema 2. Misal G, H dua buah grup dan φ : G → H suatu isomorfisma. Pernyataan
berikut bernilai benar:
a. φ−1
: H → G merupakan sebuah isomorfisma.
b. |G| = |H|.
c. Jika G grup abelian maka H juga grup abelian.
d. Jika G grup siklis maka H juga grup siklis.
e. Jika G memiliki subgrup beroder n maka H juga memiliki subgrup yang berorder n
juga.
Bukti. Pernyataan [a.] dan [b.] bernilai benar sebagai konsekuensi logis dari φ isomor-
fisma (homomorfisma yang satu-satu dan pada).
Untuk membuktian bagian [c.] ambil h1, h2 di H. Karena φ bersifat onto maka ada g1, g2
di G sehingga φ(g1) = h1 dan φ(g2) = h2. Dari hubungan ini
h1h2 = φ(g1)φ(g2) = φ(g1g2) = φ(g2g1) = φ(g2)φ(g1) = h2h1.
Untuk membuktikan bagian [d.] perlu diingat kembali bahwa G = g suatu g ∈ G. Se-
lanjutnya tunjukkan bahwa H = φ(g) . Selanjutnya dimanfaatkan sifat isomorfismanya.
Bagian [e.] dilakukan dengan cara yang hampir sama dengan [d.]. Pembuktian yang yang
lengkap ditinggalkan sebagai latihan.
Salah satu ciri grup siklis adalah adanya unsur pembangkit. Berikut ini diberikan
beberapa sifat berkenaan dengan grup siklis.
Teorema 3. Grup siklis berorder takhingga isomorfik dengan Z.
6

7. Bukti. Misal G = g dengan g ∈ G. Ide dasar dari pembuktian ini adalah dibentuknya
fungsi φ : Z → G dengan φ(n) = gn
. Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa φ merupakan
isomorfisma. Ditinggalkan untuk latihan
Untuk grup yang unsurnya berhingga, isomorfismanya disampaikan dalam teorema
berikut ini.
Teorema 4. Jika G grup siklis beroder n maka G isomorfik dengan Zn
Ide bukti Teorema 4 yaitu dengan membentuk fungsi dengan domain Zn dan kodomain
G selanjutnya tunjukkan fungsi yang dibentuk tersebut merupakan isomorfisma. Lebih
spesifik jika grup berhingga dengan ordernya merupakan bilangan prima dinyatakan dalam
teorema akibat berikut ini.
Teorema akibat 1. Jika G grup beroder p dengan p merupakan bilangan prima maka G
isomorfik dengan Zp.
Untuk membuktikan Teorema Akibat 1 gunakan sifat sebarang unsur g ∈ G yang
bukan identitas merupakan pembangkit dari G. Selanjutnya gunakan Teorema 4.
Teorema 5. Isomorfisma grup merupakan relasi ekivalen pada kelas semua grup.
Perlu diingat kembali bahwa suatu relasi dikatakan relasi ekivalen jika bersifat refleksif,
simetris dan transitif. Dengan menunjukkan ketiga sifat tersebut pada isomorfisma grup
berarti telah membuktikan Teorema 5.
4 Latihan
1. Selidiki apakah untuk Z isomorfik dengan 3Z.
2. Untuk n = 0 selidiki apakah Z isomorfik dengan nZ.
3. Didefinisikan himpunan G = R − {−1} dengan operasinya a ∗ b = a + b + ab.
Tunjukkan apakah (G, ∗) merupakan grup apa bukan. Selanjutnya, jika merupakan
grup selidiki apakah isomorfik dengan grup bilangan riil yang tidak nol dengan
operasi perkalian.
4. Didefinisikan fungsi α : R∗
→ M∗
2(R) dengan α(a) =
1 0
0 a
, Selidiki apakah
fungsi α tersebut merupakan isomorfisma atau bukan. Jika ya tentukan kernel-nya.
7