Dokumen tersebut membahas tentang teori grup, meliputi definisi dan contoh dari grupoid, semigrup, monoid, dan grup. Juga dibahas sifat-sifat penting grup seperti tertutup, asosiatif, komutatif, unsur kesatuan, dan invers.
3. (ℕ, +) : Tertutup, asosiatif, komutatif, tidak
memiliki unsur kesatuan, dan tidak memiliki
invers
(ℕ, -) : Tidak Tertutup, asosiatif,
tidak komutatif, tidak memiliki
unsur kesatuan, dan tidak memiliki
invers
(ℤ, +) : Tertutup, asosiatif,
komutatif, memiliki unsur kesatuan,
dan memiliki invers
(ℤ, -) : Tertutup,
asosiatif, tidak
komutatif, memiliki
unsur kesatuan, dan
memiliki invers
(ℝ, ×) : Tertutup,
asosiatif, komutatif,
memiliki unsur
kesatuan, dan tidak
memiliki invers
4. Struktur Aljabar DEFINISI 1
OPERASI BINER
Andaikan A suatu himpunan dan ∗ suatu operasi
dalam A. Operasi ∗ disebut operasi biner dalam
A bila ∗∶ 𝐀 × 𝐀 → 𝐀 adalah suatu pemetaan (suatu
pemetaan dari 𝐀 × 𝐀 𝐤𝐞 𝐀, yaitu :
Himpunan Tak
kosong
OPERASI BINER
∀ a, b ∈ A × A ∗ a, b = a ∗ b
5. GRUPOID Sesuai dengan
konsep pemetaan,
pasangan terurut
(a,b) ϵ S x S
dikaitkan dengan
c dan ditulis
(a,b) c. Operasi
biner (*) ditulis
a * b = c.
Tertutup
Definisi 2
S suatu himpunan tidak
kosong. Suatu KOMPOSISI BINER
atau OPERASI TERTUTUP dalam S
adalah suatu pemetaan
S
SxS
:
Contoh
1.Z= himpunan semua bilangan bulat. Operasi * dalam Z
didefinisikan sebagai a*b = a+b- ab. Karena a+b ε Z, ab ε Z
maka a+b-ab ε Z
2.Operasi tambah dan operasi kali biasa dalam himpunan
bilangan juga merupakan suatu komposisi biner.
3.Penjumlahan dan perkalian matriks ordo m x n juga merupakan
suatu komposisi biner.
6. Definisi 3
Suatu himpunan tidak kosong dengan satu komposisi
biner atau lebih dinamakan SUATU STRUKTUR ALJABAR.
Definisi 4
Suatu struktur aljabar dengan satu komposisi biner
disebut GRUPOID.
Contoh
1.Dalam ℕ (himpunan semua bilangan asli) bila
didefinisikan operasi x * y = x + y + xy maka (ℕ,*)
adalah suatu grupoid.
2.Operasi ◦ dalam yang didefinisikan sebagai
x ◦ y = │ x – y │ untuk dan x ◦ y = 1 untuk x = y maka
(ℕ, ◦ ) juga merupakan grupoid.
3. Ambil suatu himpunan S dan didefinisikan x # y = y,
untuk setiap x,y ε S maka (S,#) adalah grupois
9. Unsur Kesatuan
Teorema 1
Jika suatu grupoid G memliliki unsur kesatuan kiri e dan suatu unsur kesatuan kanan f
maka e=f
10.
11.
12.
13. Monoid
1
,
3
2
1
2
1
,
3
2
1
2
1
3
2
1 w
i
w
i
w
A
5
× w1 w2 w3
w1 w2 w3 w1
w2 w1 w1 w2
w3 w1 w2 w3
i. Perkalian dua unsur A menghasilkan unsur didalam A
berarti (A,×) grupoid.
ii. Unsur A simetris pada diagonal utama maka (A,×)
asosiatif.Maka (A,×) semigrup.
iii. w3 adalah unkes di A karena setiap anggota A dikali
w3 baik dari kiri maupun dari kanan menghasilkan
dirinya sendiri. Dengan demikian (A,×) adalah
monoid.
iv. (A,×) memiliki invers?
Kesimpulannya, berdasarkan i, ii, iii, iv maka (A,×)
adalah sebuah grup.
14. Add your title
Periksa apakah A= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
Dengan operasi panambahan
merupakan grup?
6
Apakah (A.+) grupoid?
15. 7 Diberikan G = {1, -1, I, -i} dan G’ =
{1,-1} dengan operasi kali.
Periksa apakah G, G’ adalah grup.
i. Apakah (G,×) dan (G’,×)
grupoid?
ii. Apakah (G,×) dan (G’,×)
semigrup?
iii. Apakah (G,×) dan (G’,×)
memiliki unsur kesatuan?
iv. Apakah setiap unsur di (G,×)
dan (G’,×) memiliki invers?
16. 8
I/(3) adalah himpunan sisa modulo 3 dengan operasi penjumlahan dan perkalian
seperti pada tabel.
Apakah (I/(3) ,+) dan (I/(3) ,×) grup?
17. SIFAT-SIFAT GRUP
Pada bagian ini, mahasiswa diharapkan dapat memahami dan
membuktikan teorema-teorema terkait sifat-sifat grup
Solusi tunggal
Invers diperluas
Hukum Pencoretan
Invers
OFIRENTY
ELYADA
NUBATONIS,
M.Pd
18. Hukum Pencoretan Kiri dan Kanan
Teorema 2 : Dalam grup berlaku hukum pencoretan kiri maupun kanan.
Bukti
Misal G grup a,b,c ϵ G, yang memenuhi ab=ac
Bila kedua ruas persamaan di atas dioperasikan dengan a-1 ϵ G diperoleh
a-1 ab= a-1 ac
(a-1 a)b= (a-1 a)c
eb = ec
b = c
yang memenuhi hukum pencoretan kiri.
Untuk hukum pencoretan kanan dicoba sendiri.
19. TEOREMA 3
Teorema 3 : Dalam grup setiap persamaan kiri maupun kanan dapat
dipecahkan dan jawabnya tunggal. Teorema ini berarti jika a,b ϵ G maka
terdapat x,y ϵ G sedemikian hingga ax=b dan ya = b.
Hal ini mudah ditunjukkan dengan mengalikan kedua ruas persamaan di atas
masing-masing dari sebelah kiri dan dari sebelah kanan dengan a-1
20. TEOREMA 4 G
a
a
a
,
1
1
Bukti :
a-1 adalah invers dari a dan berlaku a-1a = e.
Bila kedua ruas persamaan *) dikalikan dengan (a-1)-1 dari sebelah
kiri diperoleh
(a-1)-1 (a-1a) =(a-1)-1 atau
[(a-1)-1 (a-1)]a =(a-1)-1 atau
ea =(a-1)-1 atau
a=(a-1)-1
21. TEOREMA 5 1
1
1
a
b
ab
Bukti :
Misal G grup, a,b ϵ G, dan (ab)-1(ab)= e
Bila kedua ruas persamaan di atas dikalikan dengan b-1 dari
sebelah kanan diperoleh (ab)-1(ab)b-1= e b-1 atau (ab)-1 a. = b-1 .
Lalu persamaan yang terakhir dikalikan dengan a-1 , yaitu, (ab)-1 a
a-1 = b-1 a-1 atau (ab)-1= b-1 a-1