The document discusses different types of functions and their graphs, including polynomial, absolute value, square root, power, and rational functions. It provides examples of each type of function and shows the steps to graph them. Key aspects discussed include the relationship between the number/multiplicity of roots and the graph shape near those roots for polynomial functions, as well as the vertex and asymptotes for absolute value, square root, and rational functions.

1. Álgebra
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Docente: Jimmy Astupillo

2. Gráfica de
funciones II
Semana 23

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Gráfica de funciones II
Continuamos conociendo otras gráficas
notables, en esta ocasión se analiza la gráfica
de la función polinomial, valor absoluto, raíz
cuadrada, racional y potencial.
Si un cuerpo de masa 𝑚 se encuentra a una
altura 𝑥 sobre la superficie de la Tierra, la
aceleración producida por la fuerza
gravitatoria, que actúa sobre él es:
𝑔 𝑥 = 𝐺.
𝑀𝑇
(𝑅𝑇 + 𝑥)2
𝑅𝑇
𝑚
𝑅𝑇
𝑥
𝑥
𝑎
9,81

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
1. Función potencial
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
; 𝑛 ≥ 2; 𝑛 ∈ ℤ
Caso I: 𝑛: 𝑝𝑎𝑟
𝑋
𝑌
1
0
−1
1
𝒚 = 𝒙𝟒
𝒚 = 𝒙𝟐
Caso II: 𝑛: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑋
𝑌
𝑦 = 𝑥3
𝒚 = 𝒙𝟓
1
1
0
−1
−1

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
2. Función polinomial Forma: 𝑃 𝑥 = 𝑎 (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)… (𝑥 − 𝑥𝑛)
𝑋
𝑌
𝑎 > 0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥𝑛
𝑛: 𝑝𝑎𝑟
𝑋
𝑌
𝑎 > 0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥𝑛
𝑛: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑋
𝑌
𝑎 < 0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥𝑛
𝑛: 𝑝𝑎𝑟
𝑋
𝑌
𝑎 > 0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥𝑛
𝑛: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Ejemplo 1
C U R S O D E Á L G E B R A
Grafique 𝑓 𝑥 = 5 𝑥 + 2 𝑥 − 1
Sus raíces son: −2; 1
1 2
−2 −1 3
−3 0 𝑋
𝑌
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐:
Grafique 𝑓 𝑥 = 4 𝑥 + 1 𝑥 𝑥 − 2
Sus raíces son: −1; 0; 2
1 2
−2 −1 3
−3 0 𝑋
𝑌
Además: 𝒂 = 5 > 0
𝑎 > 0
Además: 𝒂 = 4 > 0
𝑎 > 0

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Forma de la gráfica de un polinomio cerca de una raíz de
cierta multiplicidad
Si 𝛼 es una raíz de
multiplicidad impar
𝛼 𝑋
𝛼 𝑋
Si 𝛼 es una raíz de
multiplicidad par
𝛼 𝑋
𝛼 𝑋
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟑:
Grafique 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 − 1 2
Sus raíces son: 1 (multiplicidad 2)
𝑋
𝑌
1
𝑎 = 3 > 0

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟒:
Grafique 𝑓 𝑥 = 7 𝑥 − 1 2
(𝑥 + 1)
Sus raíces son: 1 (multiplicidad 2)
−1 (raíz simple)
𝑋
𝑌
1
−1
Ejemplo 5: Grafique 𝑓𝑥 = −2 𝑥 + 2 3
𝑥 − 1 𝑥 − 3 2
Igualando a cero para encontrar sus raíces, se obtiene
Resolución:
• −2 es una raíz de multiplicidad 3
• 1 es una raíz simple ( “multiplicidad 1”)
• 3 es una raíz de multiplicidad 2
𝑌
𝑋
−2 1 3
𝑎 = −2 < 0
𝑎 = 7 > 0

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝐍𝐨𝐭𝐚:
C U R S O D E Á L G E B R A
3. Función valor absoluto
𝑓 𝑥 = 𝑥
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
𝑥 𝑦
−2 2
−1 1
0 0
1 1
2 2
1 2
−2 −1 3
−3 0 𝑋
𝑌
1
2
3
Tabulando
Su gráfica es:
vértice
Observación:
En general: 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ + 𝑘 ; 𝑎 ≠ 0
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
Coordenadas del vértice: ℎ; 𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
ℎ
ℎ
𝑘
𝑘
𝜽
𝜽
Si 𝑎 = ±1 → 𝜽 = 90°
La gráfica de 𝑓 𝑥 = − 𝑥
𝑋
𝑌
es
La gráfica se abre hacia abajo

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Grafique 𝑓 𝑥 = −2 𝑥 − 1 + 3
• Intersecciones con el eje 𝑌
Resolución:
Coordenadas del vértice: 1; 3
1 2
−1 3
0 𝑋
𝑌
1
2
3
: 𝒙 = 𝟎
= −2 𝟎 − 1 + 3
= 𝑦
𝑓 0
Como 𝑎 = −2, la gráfica se abre hacia abajo.
• Intersecciones con el eje 𝑋 : 𝒚 = 𝟎
−2 𝑥 − 1 + 3
𝟎 =
→ 𝑥 − 1 =
3
2
→ 𝑥 =
5
2
∨ 𝑥 = −
1
2
→ 𝑦 = 1
𝑉 1; 3
𝟓
𝟐
−
𝟏
𝟐

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
4. Función raíz cuadrada
𝑓 𝑥 = 𝑥
𝑥 𝑦
0 0
1 1
2 2
1 2 3
0 𝑋
𝑌
1
2
Tabulando
Su gráfica es:
vértice
4
2
3 3
4 2
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
Observación:
La gráfica de 𝑓 𝑥 = − 𝑥
𝑋
𝑌
En general: 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ + 𝑘 ; 𝑎 ≠ 0
Coordenadas del vértice: ℎ; 𝑘
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑉 ℎ; 𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
ℎ
ℎ
𝑘
𝑘
(Derecha y arriba) (Derecha y abajo)

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Grafique 𝑓 𝑥 = − 𝑥 + 2 + 1
Resolución:
Coordenadas del vértice: −2; 1
Como 𝑎 = −1, la gráfica se abre hacia la
derecha y abajo.
𝑋
𝑌
−2
1
• Intersecciones con el eje 𝑌 : 𝒙 = 𝟎
= − 𝟎 + 2 + 1
= 𝑦
𝑓 0
• Intersecciones con el eje 𝑋 : 𝒚 = 𝟎
− 𝑥 + 2 + 1
𝟎 =
→ 𝑥 + 2 = 1
→ 𝑥 = −1
→ 𝑦 = 1 − 2
1 − 2
−1

14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Observación
𝑓 𝑥 = −𝑥
𝑥 𝑦
0 0
−1 1
−2 2
−1
−2
−3 0 𝑋
𝑌
1
2
Tabulando
Su gráfica es:
vértice
−4
2
−3 3
−4 2
Analizando la regla de correspondencia:
NOTA:
La gráfica de 𝑓 𝑥 = − −𝑥 𝑋
𝑌
En general: 𝑓 𝑥 = 𝑎 −𝑥 + ℎ + 𝑘 ; 𝑎 ≠ 0
Coordenadas del vértice: ℎ; 𝑘
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑉 ℎ; 𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
ℎ
ℎ
𝑘
𝑘
(Izquierda y arriba) (Izquierda y abajo)

15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Grafique 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 1 − 2
Resolución:
Coordenadas del vértice: 1; −2
Como 𝑎 = 1, la gráfica se abre hacia la
izquierda y arriba.
𝑋
𝑌
1
−2
−1
−3
• Intersecciones con el eje 𝑌 : 𝒙 = 𝟎
= 𝟎 + 1 − 2
= 𝑦
𝑓 0
• Intersecciones con el eje 𝑋 : 𝒚 = 𝟎
−𝑥 + 1 − 2
𝟎 =
→ −𝑥 + 1 = 2
→ 𝑥 = −3
→ 𝑦 = −1

16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
5. Función inverso multiplicativo
𝑓 𝑥 =
1
𝑥
Tabulando
Su gráfica es:
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
; 𝑥 ≠ 0
𝑥 𝑦
𝑋
𝑌
1 1 1
1
2 1/2
2
3 1/3
3
1/2 2
2
1/3 3
3
𝐍𝐎𝐓𝐀:
• La gráfica es una hipérbola equilátera.
• Los eje X e Y,son rectas asíntotas.
Se deducen las siguientes gráficas:
𝑓 𝑥 = −
1
𝑥
𝑋
𝑌
𝑔 𝑥 =
1
𝑥2
𝑋
𝑌
ℎ 𝑥 = −
1
𝑥2
𝑋
𝑌

17. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
6. Función racional
𝑓 𝑥 =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
Son aquellas funciones cuya regla
de correspondencia es:
Donde: 𝑐 ≠ 0 ; 𝑎𝑑 ≠ 𝑏𝑐
Su gráfica tiene 2 asíntotas.
• Asíntota vertical (AV):
𝑥 = −
𝑑
𝑐
• Asíntota horizontal (AH):
𝑦 =
𝑎
𝑐
Tiene 2 posibles gráficas
𝑋
𝑌
AV: 𝑥 = −
𝑑
𝑐
−
𝒅
𝒄
AH: 𝑦 =
𝑎
𝑐
𝒂
𝒄
𝑋
𝑌
AV: 𝑥 = −
𝑑
𝑐
−
𝒅
𝒄
AH: 𝑦 =
𝑎
𝑐
𝒂
𝒄
S𝑖: 𝑎𝑑 < 𝑏𝑐 S𝑖: 𝑎𝑑 > 𝑏𝑐

18. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Grafique 𝑓 𝑥 =
2𝑥 − 4
𝑥 + 1
Resolución:
Su gráfica tiene 2 asíntotas.
• Asíntota vertical (AV):
𝑥 = −1
• Asíntota horizontal (AH):
𝑦 = 2
𝑋
𝑌
AV: 𝑥 = −1
−𝟏
AH: 𝑦 = 2
𝟐
Como: 𝑎𝑑 > 𝑏𝑐; su gráfica es: • Intersecciones con el eje 𝑌 : 𝒙 = 𝟎
=
2(𝟎) − 4
(𝟎) + 1
= 𝑦
𝑓 0
• Intersecciones con el eje 𝑋 : 𝒚 = 𝟎
2𝑥 − 4
𝑥 + 1
𝟎 =
→ 2𝑥 − 4 = 0
→ 𝑥 = 2
→ 𝑦 = −4
−4
2
(Denominador igual a cero)
(División de coeficientes de x)

19. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e