The document discusses expressions with radicals (irrational expressions) in algebra. It covers resolving equations and inequalities with radicals, finding the set of admissible values, and three methods for solving irrational equations - using powering and checking solutions, changing variables, and using conjugates. It also discusses the key steps for solving irrational inequalities: finding the set of admissible values, giving logical meaning, eliminating radicals, and finding the solution set by intersecting the results of the previous steps.

1. ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual UNI
Docente: Jimmy Astupillo

2. EXPRESIONES
IRRACIONALES
Semana 19

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟
𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟
𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜
𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐗𝐏𝐑𝐄𝐒𝐈𝐎𝐍𝐄𝐒
IRRACIONALES
En este tema, se hará un estudio sobre las
expresiones irracionales o con radicales, para
ello se requiere de varios conocimientos
previos, como la resolución de ecuaciones
e inecuaciones.
Su uso se encuentra en el cálculo de distancias,
aplicada en la geometría analítica, en la teoría
de funciones, en tendidos de cables eléctricos,
línea de visión, etcétera.
El movimiento de los planetas se describe por
modelos matemáticos, en este caso se describe
una hipocicloide alargada.

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
EXPRESIONES IRRACIONALES
𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊ó𝒏: Es toda expresión, donde su variable
está afectada por algún radical
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐𝒔:
𝑎) 𝑃 𝑥 = 𝑥 + 3 +
𝑥 − 2
𝑥 + 1
𝑏) 𝑄 𝑥 = 5 − 𝑥 +
1
𝑥
𝐂𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐞 𝐕𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐀𝐝𝐦𝐢𝐬𝐢𝐛𝐥𝐞𝐬 (𝐂. 𝐕. 𝐀):
Es el conjunto de valores que toma la variable de la
expresión, donde queda bien definida en ℝ.
𝑀(𝑥)
𝑁(𝑥)
∈ ℝ
𝑝𝑎𝑟
𝑁(𝑥) ∈ ℝ
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
→ 𝑁(𝑥)
→ 𝑁 𝑥
≠ 0
≥ 0
𝑃 𝑥 = 𝑥 + 3 +
3
𝑥 − 2
𝑥 − 1
Luego:
∗ 𝑥 − 1 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 1
∗ 𝑥 + 3 ≥ 0 → 𝑥 ≥ −3
… (I)
… (II)
De I y II tenemos:
+∞
−∞ −3 1
𝐶. 𝑉. 𝐴 = ሾ−3; ۧ
+∞ − 1

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐢𝐫𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥𝐞𝐬
Son aquellas ecuaciones en el cual se
encuentra una expresión irracional.
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐𝒔:
𝑥 − 1 = 3𝑥 − 1
∗
∗ 2𝑥 + 1 = 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2
¿ 𝑪ó𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓𝒍𝒐𝒔?
𝑷𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒎é𝒕𝒐𝒅𝒐:
Usando potenciación y comprobando
sus soluciones.
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
Resolver 3𝑥 − 2 = 2(𝑥 − 1)
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
Elevando al cuadrado 3𝑥 − 2 = 2(𝑥 − 1)
2 2
→ 3𝑥 − 2 = 4 𝑥2
− 2x + 1
→ 3𝑥 − 2 = 4𝑥2
−8𝑥 +4
→ 0 = 4𝑥2 −11𝑥 +6
4𝑥
𝑥
−3
−2
→ 0 = (4𝑥 − 3)(𝑥 − 2) → 𝑥 =
3
4
∨ 𝑥 = 2
… (⋆)
Comprobando en ⋆ , se tiene que 𝑥 = 2
𝐶. 𝑆 = 2

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑺𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒎é𝒕𝒐𝒅𝒐: Utilizando cambio de variable
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
Resolver 𝑥 + 2 +
3
𝑥 + 1 = 5
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
Tenemos 𝑥 + 2 +
3
𝑥 + 1 = 5
Sea 3
𝑥 + 1 = 𝑡 → 𝑥 = 𝑡3 − 1
→ 𝑥 + 2 = 𝑡3 + 1
Luego:
𝑥 + 2 +
3
𝑥 + 1 = 5
൝
𝑡3 + 1
൝
𝑡
+ = 5
Nos queda: 𝑡3 + 1 𝑡
+ = 5
→ 𝑡3 + 1 = 5 − 𝑡
( )2
( )2
→ 𝑡3
+ 1 = 𝑡2
−10𝑡 + 25
→ 𝑡3
− 𝑡2
+ 10𝑡 − 24 = 0
1 −1 10 −24
0
2
1
2
1
2
12
24
(𝑡 − 2) 𝑡2 + 𝑡 + 12 = 0
൞
∆< 0
→ 𝑡 = 2
Como 𝑥 = 𝑡3 − 1 → 𝑥 = 7

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑻𝒆𝒓𝒄𝒆𝒓 𝒎é𝒕𝒐𝒅𝒐: Utilizando la conjugada
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
Resolver 𝑥 + 3 + 𝑥 − 4 = 7
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
Como
𝑥 + 3 + 𝑥 − 4 𝑥 + 3 − 𝑥 − 4 = 𝑥 + 3
2
− 𝑥 − 4
2
𝑥 + 3 + 𝑥 − 4 𝑥 + 3 − 𝑥 − 4 = 𝑥 + 3 − (𝑥 − 4)
𝑥 + 3 + 𝑥 − 4 𝑥 + 3 − 𝑥 − 4 = 7
7 1
Tenemos:
𝑥 + 3 + 𝑥 − 4 = 7
𝑥 + 3 − 𝑥 − 4 = 1
Sumando:
2 𝑥 + 3 = 8
𝑥 + 3 = 4
→
Elevando al cuadrado:
𝑥 + 3 = 4
2 2
→ 𝑥 + 3 = 16
→ 𝑥 = 13
𝐶. 𝑆 = 13

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐈𝐧𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐢𝐫𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥𝐞𝐬
Son aquellas inecuaciones en el cual se
encuentra una expresión irracional.
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐𝒔:
∗ 𝑥 + 2 ≤ 2𝑥 − 1
∗ 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 > 1
¿ 𝑪ó𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓𝒍𝒐𝒔?
1) Encuentra el CVA.
2) Dar sentido lógico.
3) Eliminar las raíces.
4) El C. S se encuentra intersecando.
los pasos 1), 2) y 3).
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
Resolver: 𝑥 + 6 < 𝑥
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
1) Encuentra el CVA.
𝑥 + 6 ≥ 0 → 𝑥 ≥ −6 …(I)
2) Dar sentido lógico.
𝑥 + 6 < 𝑥
0 ≤ → 𝑥 > 0 …(II)
3) Eliminar las raíces.
𝑥 + 6 < 𝑥
2 2
→ 𝑥 + 6 < 𝑥2
→ 0 < 𝑥2
−𝑥 − 6
𝑥
𝑥
−3
+2
→ (𝑥 − 3) (𝑥 + 2) > 0
+∞
−∞ −2 3
+
−
+
𝑥 ∈ −∞; −2 ∪ 3; +∞ …(III)
4) Hallando el C. S.
𝐶. 𝑆 = 𝐼 ∩ (𝐼𝐼) ∩ (𝐼𝐼𝐼)
+∞
−∞ −6
(𝐼)
0
(𝐼𝐼)
−2 3
→ 𝐶. 𝑆 = 3; +∞
(𝐼𝐼𝐼)

10. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e