The document provides solutions to exercises involving determining whether differential equations are exact, separable, homogeneous, or linear. It analyzes four equations: 1) Equation 4) (1 + x^2 + y^2 + x^2y^2)dy = y^2dx is separable. 2) Equation 9) (x + 1)dy/dx + (x + 2)y = 2xe^-x is linear. 3) Equation 13) dy/dx = -(x^3 + y^3)/3xy^2 is exact. 4) Equation 30) (x + y)dx + xdy = 0 is homogeneous.

1. PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN SISTEMA DE CALIDAD Y
AMBIENTE.
Matemática Aplicada.
Unidad I. parte II
Integrante:
Johelbys Campos C.I.: 24.156.988
Trayecto 3 Fase 2
Grupo-A
Febrero de 2021

2. Ejercicios propuestos 1.2:
Verifique si la ecuación diferencial es exacta, separable, homogénea o lineal.
𝟒) (𝟏 + 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝒙𝟐
𝒚𝟐)𝒅𝒚 = 𝒚𝟐
𝒅𝒙
Solución:
Verificamos si la ecuación diferencial es de variable separable si se cumple que:
𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ; 𝐻(𝑥, 𝑦)
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
(1 + 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑥2
𝑦2)𝑑𝑦 = 𝑦2
𝑑𝑥 ; despejando queda:
𝑑𝑦
𝑦2
=
𝑑𝑥
1 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2𝑦2
Por lo tanto (1 + 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑥2
𝑦2)𝑑𝑦 = 𝑦2
𝑑𝑥 es separable.
𝟗) (𝒙 + 𝟏)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ (𝒙 + 𝟐)𝒚 = 𝟐𝒙𝒆−𝒙
Solución:
Veamos si la ecuación diferencial (𝑥 + 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ (𝑥 + 2)𝑦 = 2𝑥𝑒−𝑥
se puede expresar
en la forma estándar.
Dividimos entre (𝑥 + 1) a ambos lados de la ecuación así obtenemos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
(𝑥 + 2)𝑦
(𝑥 + 1)
=
2𝑥𝑒−𝑥
(𝑥 + 1)
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)
Donde:
𝑝(𝑥) =
(𝑥+2)
(𝑥+1)
𝑦 𝑓(𝑥) =
2𝑥𝑒−𝑥
(𝑥+1)
Asi la ecuación (𝑥 + 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ (𝑥 + 2)𝑦 = 2𝑥𝑒−𝑥
es lineal

3. 𝟏𝟑)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −
(𝒙𝟑
+ 𝒚𝟑
)
𝟑𝒙𝒚𝟐
Solución:
𝐸𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
(𝑥3
+ 𝑦3
)
3𝑥𝑦2
Donde 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥3
+ 𝑦3
𝑌 𝑁(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦2
Derivando 𝑀 con respecto a 𝑦 y a 𝑁 con respecto a 𝑥, se tiene que:
𝜕
𝜕𝑦
𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥3
+ 𝑦3
= 3𝑦2
𝜕
𝜕𝑥
𝑁(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦2
= 3𝑦2
𝑐𝑜𝑚𝑜
𝜕
𝜕𝑦
𝑀(𝑥, 𝑦) =
𝜕
𝜕𝑥
𝑁(𝑥, 𝑦)
por lo tanto
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
(𝑥3
+ 𝑦3)
3𝑥𝑦2
𝒆𝒔 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂
𝟑𝟎) (𝒙 + 𝒚)𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒚 = 𝟎
Solución:
Sabemos que 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
Verifiquemos que 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 𝑌 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥
Son homogéneas del mismo grado.
𝑀(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥) + (𝑡𝑦) ; 𝑁(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥)
= 𝑡(𝑥 + 𝑦) = 𝑡𝑥
= 𝑡𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑡𝑁(𝑥, 𝑦)
𝑎1 = 1 𝑎2 = 1
Como 𝑎1 = 𝑎2 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑌 𝑁(𝑥, 𝑦) son homogéneas del mismo grado.
Por lo tanto (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 es homogénea.