Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620 Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van Download luận án tiến sĩ ngành vật lí với đề tài: Mô hình Bose-Hubbard trong gần đúng tách liên kết của các nguyên tử siêu lạnh, cho các bạn làm luận án tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
Họ và tên: Hoàng Thị Xuân Diệu
TÊN ĐỀ TÀI: MÔ HÌNH BOSE – HUBBARD CỦA CÁC NGUYÊN
TỬ SIÊU LẠNH TRONG GẦN ĐÚNG TÁCH LIÊN KẾT
LUẬN VĂN THẠC SĨ: VẬT LÝ
Hà Nội, 04 - 2019

2. BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
Họ và tên: Hoàng Thị Xuân Diệu
TÊN ĐỀ TÀI: MÔ HÌNH BOSE – HUBBARD CỦA CÁC NGUYÊN
TỬ SIÊU LẠNH TRONG GẦN ĐÚNG TÁCH LIÊN KẾT
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 8440103
LUẬN VĂN THẠC SĨ : VẬT LÝ
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC : GS.TS. NGUYỄN TOÀN THẮNG
Hà Nội, 04 - 2019

3. Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và sự hƣớng dẫn
của giáo viên hƣớng dẫn. Luận văn không có sự sao chép tài liệu, công trình
nghiên cứu của ngƣời khác mà không chỉ rõ trong mục tài liệu tham khảo.
Những kết quả và các số liệu trong khóa luận chƣa đƣợc ai công bố dƣới bất
kỳ hình thức nào. Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trƣớc nhà trƣờng về sự cam
đoan này.
Hà Nội, 04- 2019
Học viên
Hoàng Thị Xuân Diệu

4. Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập và làm việc tại Viện Vật lý, dƣới sự hƣớng dẫn
của GS.TS. Nguyễn Toàn Thắng, tôi đã học hỏi đƣợc rất nhiều kiến thức Vật
lý, Toán học. Để hoàn thành đƣợc Luận văn Thạc sĩ này và để có thể trở
thành một ngƣời có khả năng độc lập nghiên cứu Khoa học, tôi xin gửi đến
ngƣời thầy hƣớng dẫn trực tiếp của tôi lời cảm ơn sâu sắc nhất với tất cả tình
cảm yêu quý cũng nhƣ lòng kính trọng của mình. Một lần nữa tôi xin cảm ơn
các thầy và GS.TS. Nguyễn Toàn Thắng đã giúp đỡ tôi hoàn thành nội dung
chính của luận văn Thạc sĩ.
Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi học tập và nghiên cứu tại Viện, phòng sau đại học đã hỗ trợ tôi hoàn thành
các thủ tục bảo vệ luận văn.
Cuối cùng, tôi xin đƣợc dành tất cả những thành quả trong học tập của
mình dâng tặng những ngƣời thân trong gia đình mà hằng ngày dõi theo từng
bƣớc chân tôi.
Hà Nội, 04- 2019
Học viên
Hoàng Thị Xuân Diệu

5. Danh mục các hình vẽ, đồ thị
Hình 1.1. Bức tranh năng lƣợng hai nút............................................................ 6
Hình 1.2: Do kể tới sự nhảy nút của điện tử (hình bên trái) mà mức năng
lƣợng nhòe đi trở thành vùng năng lƣợng với bề rộng tỉ lệ với tích phân nhảy
nút (hình bên phải) [14]..................................................................................... 7
Hình 1.3: Mật độ trạng thái điện tử dẫn với các giá trị khác nhau của U mô tả
chuyển pha kim loại điện môi Mott: trạng thái điện môi (a), trạng thái kim
loại (c) và chuyển pha kim loại- điện môi Mott (b) [15]. ................................. 7
Hình 1.4.: Động năng và thế năng trong mô hình Bose- Hubbard [5] ........... 15
Hình 1.5: Năng lƣợng hai nút không đổi khi nguyên tử nhảy từ j sang i nếu số
lấp đầy không nguyên ..................................................................................... 16
Hình 2.1: Giản đồ Feynman cho Hamiltonian HU=0........................................ 23
Hình 3.1: Giản đồ pha mô hình Bose- Einstein trong gần đúng nhiễu loạn bậc
2 [20] ............................................................................................................... 35

6. MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài......................................................................................................1
2. Đối tƣợng nghiên cứu..............................................................................................2
3. Mục đích và phƣơng pháp nghiên cứu....................................................................2
4. Cấu trúc luận văn. ...................................................................................................2
CHƢƠNG 1: MÔ HÌNH BOSE- HUBBARD ........................................................3
1.1. MÔ HÌNH HUBBARD CHO HỆ ĐIỆN TỬ TƢƠNG QUAN MẠNH..............3
1.1.1. Chuyển pha kim loại – điện môi Mott. .............................................................4
1.2. MÔ HÌNH BOSE- HUBBARD ...........................................................................8
1.2.1 Mạng quang học và mô hình Bose-Hubbard. ...................................................8
1.2.2. Ngƣng tụ Bose – Einstein, siêu chảy và pha tinh thể trong mạng quang học.11
1.2.3. Chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott trong mô hình Bose-Hubbard. ..........15
CHƢƠNG 2: LIÊN KẾT MẠNH TRONG LÍ THUYẾT NHIỄU LOẠN
“NGÂY THƠ” .........................................................................................................17
2.1. ĐỊNH LÝ WICK CHO HAMILTONIAN KHÔNG NHIỄU LOẠN BẬC 2
[22]. ...........................................................................................................................17
2.2: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN “ NGÂY THƠ” CHO MÔ HÌNH BOSE-
HUBBARD TRONG GẦN ĐÚNG LIÊN KẾT MẠNH..........................................20
CHƢƠNG 3: GẦN ĐÚNG TÁCH KẾT CẶP ÁP DỤNG CHO HỆ NGUYÊN
TỬ SIÊU LẠNH......................................................................................................29
3.1. GẦN ĐÚNG TÁCH KẾT CẶP.........................................................................29
3.2. LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA HIỆN TƢỢNG LUẬN LANDAU [2,5,11].....31
3.3. BỔ CHÍNH BẬC HAI THEO SỐ HẠNG TÁCH KẾT CẶP [5,20].................32
KẾT LUẬN..............................................................................................................37
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................38

7. 1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Trong thời gian gần đây, hệ các nguyên tử siêu lạnh đang trở thành một
hƣớng nghiên cứu nóng, thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trong
nhiều lĩnh vực, đặc biệt là các nhà vật lý [1,2,3,4,5]. Sự phát hiện bằng thực
nghiệm hiện tƣợng ngƣng tụ Bose-Einstein [6,7,8,9] năm 1995 của các nhà
khoa học E.A.Cornell, C.E.Wieman, và W.Keterle mà sau đó đƣợc giải
thƣởng Nobel vào năm 2001 đƣợc nhiều nhà khoa học coi nhƣ sự mở ra một
kỷ nguyên mới của vật lý lƣợng tử, với sự liên quan của nhiều hƣớng vật lý
khác nhau: vật lý nguyên tử, phân tử, quang học, quang lƣợng tử và vật lý các
hệ đông đặc [10]. Ngày nay hệ nguyên tử siêu lạnh đang trở thành một trong
những lĩnh vực tiên phong của vật lý lƣợng tử hiện đại cho phép hiểu sâu hơn
bản chất của vật lý hệ nhiều hạt. Về mặt thực tiễn, ngƣời ta tin rằng hệ nguyên
tử siêu lạnh có tiềm năng to lớn trong lĩnh vực thông tin lƣợng tử, đo đạc
lƣợng tử và mô hình hoá lƣợng tử. Về mặt vật lý, ngoài hiện tƣợng BEC trong
các bẫy, có nhiều hiệu ứng rất thú vị liên quan tới hệ nguyên tử trung hòa
trong mạng quang học, tức là trong hệ mà các nguyên tử có thể phân bổ ở các
nút mạng. Do cấu trúc tuần hoàn các nguyên tử vừa có thể nhảy từ nút nọ
sang nút kia nhƣ một giả hạt Bloch. Đồng thời do tƣơng tác trên một nút,
chúng có thể định xứ. Nhƣ vậy, hệ nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang học
có thể ở pha siêu chảy khi chúng là linh động, nhƣng cũng có thể ở pha định
xứ, tƣơng tự nhƣ electron có thể ở pha kim loại, có thể ở pha điện môi Mott
trong các vật liệu đất hiếm hay kim loại chuyển tiếp [11,12,13]. Hệ điện tử
nhƣ thế đƣợc gọi là hệ điện tử tƣơng quan mạnh và đƣợc mô tả bằng mô hình
Hubbard [11,12,14]. Trong mạng quang học, các nguyên tử trung hòa đƣợc
mô tả bằng Hamiltonian Bose-Hubbard và thay vì chuyển pha kim loại điện
môi-Mott [15] là chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott [16,17,18]. (Thực ra là
siêu chảy- định xứ, nhƣng để tƣơng ứng với electron ngƣời ta gọi là điện môi
Mott cho dù ở pha siêu chảy thì hệ nguyên tử trung hòa vẫn là điện môi). Với
mục đích tìm hiểu vấn đề lý thú này, tôi chọn đề tài luận văn là : Mô hình
Bose-Hubbard trong gần đúng tách liên kết của các nguyên tử siêu lạnh.

8. 2
2. Đối tƣợng nghiên cứu.
Đối tƣợng nghiên cứu là hệ nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang học
đƣợc mô tả bằng mô hình Bose-Hubbard.
Nghiên cứu hiện tƣợng chuyển pha siêu chảy-điện môi Mott bằng lý
thuyết nhiễu loạn “ ngây thơ” và tách kết cặp trong gần đúng liên kết mạnh.
3. Mục đích và phƣơng pháp nghiên cứu.
Đề tài đặt ra những mục tiêu sau đây cho tôi:
Thu thập và lọc lựa tài liệu về mô hình Hubbard và chuyển pha kim
loại- điện môi Mott, chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott. Thực hiện một số
tính toán giải tích nghiên cứu chuyển pha kim loại điện môi Mott bằng
phƣơng pháp nhiễu loạn “ngây thơ” và phƣơng pháp tách kết cặp.
Phƣơng pháp tính toán là sử dụng phƣơng pháp lý thuyết trƣờng lƣợng
tử áp dụng cho hệ nhiều hạt.
Qua việc hoàn thành đề tài luận văn, tôi đƣợc rèn luyện kỹ năng tiếp cận
một vấn đề mới, mở rộng tầm hiểu biết về một vấn đề hiện đại, học một số
phƣơng pháp tiếp cận hiện đại của vật lý lý thuyết và áp dụng trong một bài
toán cụ thể.
4. Cấu trúc luận văn.
Ngoài phần Mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn nhƣ sau:
Chƣơng 1: Mô hình Bose- Hubbard.
Chƣơng 2: Liên kết mạnh trong lý thuyết nhiễu loạn “ngây thơ”.
Chƣơng 3: Gần đúng tách kết cặp áp dụng cho hệ nguyên tử siêu lạnh.

9. 3
CHƢƠNG 1: MÔ HÌNH BOSE- HUBBARD
1.1. MÔ HÌNH HUBBARD CHO HỆ ĐIỆN TỬ TƢƠNG QUAN MẠNH.
Trong một số vật liệu tƣơng tác Coulomb giữa các hạt tải nhỏ hơn nhiều so
với động năng của chúng và trong nhiều trƣờng hợp đƣợc coi là hệ các hạt tải
tự do với khối lƣợng đƣợc tái chuẩn hoá (khối lƣợng hiệu dụng). Trong các
vật liệu họ kim loại chuyển tiếp và kim loại đất hiếm thì thế năng của mỗi
điện tử có độ lớn cùng bậc với động năng của nó. Hệ điện tử nhƣ vậy đƣợc
gọi là hệ điện tử tƣơng quan mạnh. Mô hình đơn giản nhất mô tả hệ điện tử
tƣơng quan mạnh là mô hình Hubbard đƣợc đề xuất năm 1963 với
Hamiltonian có dạng sau [11,12,14]:
∑
〈 〉
∑ ∑ (1.1)
Trong đó là các toán tử sinh (huỷ) điện tử trên nút i (nút j).
: là toán tử số hạt trên nút i. Tƣơng tác Coulomb trên một nút ký hiệu là
U. Tích phân nhảy nút ký hiệu là t mô tả tính chất linh động của điện tử. Vì
độ lớn của tích phân nhảy nút phụ thuộc sự phủ nhau của hai hàm sóng
Wannier trên hai nút i, j nên tỷ lệ nghịch với khoảng cách giữa hai nút. Vì
vậy ngƣời ta thƣờng giới hạn trong gần đúng hai nút lân cận gần nhất <ịj>.
Nhƣ vậy số hạng đầu tiên mô tả động năng của hệ còn số hạng thứ hai liên
quan tới thế năng của hạt. Nếu đóng góp của hai số hạng này là cùng bậc thì
ta có Hamiltonian cho hệ điện tử tƣơng quan mạnh. Cần lƣu ý là giá trị cụ
thể của t và U là tính chất nội tại của vật liệu và khó thay đổi bằng các điều
kiện bên ngoài, thí dụ thƣờng bằng thay đổi áp xuất bên ngoài. Đây là điều
khác biệt lớn khi so sánh với mô hình Bose- Hubbard trong siêu mạng sẽ
trình bày ở dƣới đây khi t và U dễ dàng thay đổi bằng cƣờng độ chùm laser.
Ngoài tham số nhảy nút và tƣơng tác trên một nút, Hamiltonian Hubbard
còn đặc trƣng bởi số lấp đầy và cấu trúc mạng tinh thể. Số lấp đầy n là trung
bình của số hạt trên mỗi nút.

10. 4
∑ 〈 〉
Vì nguyên lý Pauli nên trên mỗi nút không thể có hơn hai electron. Trƣờng
hợp đặc biệt quan trọng là khi n=1, đƣợc gọi là lấp đầy một nửa.
Mô hình Hubbard tuy có dạng đơn giản nhƣng đƣợc áp dụng khá rộng rãi. Có
thể kể ra một số trƣờng hợp cụ thể áp dụng mô hình Hubbard nhƣ sau:
• Nghiên cứu tính chất điện từ của tinh thể với vùng năng lƣợng hẹp (kim loại
chuyển tiếp).
• Nghiên cứu tính chất từ do hạt tải linh động (band magnetism) (Fe, Co, Ni,
...).
• Siêu dẫn nhiệt độ cao và các vật liệu siêu dẫn mới.
• Nghiên cứu các phƣơng pháp tiếp cận và ý tƣởng mới trong vật lí thống kê.
Đặc biệt, mô hình Hubbard đƣợc sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu chuyển
pha kim loại- điện môi Mott mà ta sẽ xem xét chi tiết dƣới đây.
1.1.1. Chuyển pha kim loại – điện môi Mott.
Chuyển pha là sự thay đổi trạng thái của một hệ khi thay đổi nhiệt độ (chuyển
pha nhiệt động học) hoặc khi thay đổi một tham số nội tại của hệ ở nhiệt độ
T=0K(chuyển pha lƣợng tử)[15]. Thí dụ chuyển pha nhiệt động học nhƣ
chuyển pha khí-lỏng-rắn khi nhiệt độ giảm dần, chuyển pha lƣợng tử nhƣ:
chuyển pha kim loại- điện môi Mott. Để đặc trƣng cho tính dẫn điện của vật
liệu ngƣời ta xét tensor dẫn điện tĩnh ở gần đúng sóng dài ở giới hạn nhiệt độ
tiến tới không. Nếu tensor dẫn điện khác không thì đó là kim loại, còn nếu
tensor dẫn điện bằng không thì đó là điện môi. Ngƣời ta phân biệt các loại
điện môi sau:
- Điện môi vùng là do cấu trúc vùng năng lƣợng mà xuất hiện khe năng
lƣợng giữa vùng lấp đầy cao nhất của các hạt tải với vùng trống thấp nhất.
Nguyên nhân của sự tồn tại khe là do giải bài toán chuyển động của electron

11. 5
trong trƣờng thế của các ion, tức là điện môi vùng là do tƣơng tác của electron
với các ion.
- Điện môi Anderson là khi một hệ ban đầu là dẫn điện, nhƣng khi ta
tăng dần độ mất trật tự của hệ (thí dụ các khuyết tật) đến một mức độ nào đó
thì hệ trở thành không dẫn điện.
- Điện môi Peierls là do sự biến dạng của mạng tinh thể.
- Điện môi Mott là do sự tƣơng quan mạnh của electron, tức là do các
electron tƣơng tác với nhau qua thế Coulomb kết hợp với nguyên lý Pauli.
Ta có thể hiểu tại sao có chuyển pha kim loại- điện môi Mott bằng cách phân
tích bức tranh năng lƣợng trong mô hình Hubbard gồm hai nút i, j nhƣ sau
(xem hình 1.1). Trƣớc hết ta thấy rằng nếu lấp đầy bằng không thì không dẫn
điện vì không có hạt tải, còn nếu lấp đầy bằng 2 thì cũng vậy vì electron
không thể nhảy nút do nguyên lý cấm Pauli. Do số hạng động năng nên
electron có thể nhảy từ nút i sang nút j nếu tại i có ít nhất 1 electron, còn ở j
có ít hơn hai electron. Nếu ở j ban đầu không có electron nào thì sau khi nhảy
nút, năng lƣợng của hệ không đổi nếu ở i có một electron (lấp đầy dƣới một
nửa)- hệ dẫn điện. Còn nếu ở i ban đầu có hai electron thì năng lƣợng giảm đi.
Nhƣ vậy nếu hệ lấp đầy trên một nửa (nếu kể tới nút thứ ba có 2 electron) thì
cũng dẫn điện. Tóm lại khi hệ lấp đầy khác một nửa thì dẫn điện. Xét hệ có
một electron trên mỗi nút, sau khi nhảy nút thì năng lƣợng của hệ tăng lên
một đại lƣợng là U. Nhƣ vậy số hạng thế năng có xu hƣớng làm hạt định xứ.
Vậy là, hệ khi lấp đầy một nửa có dẫn điện đƣợc không là do so sánh về mặt
độ lớn giữa số hạng động năng (quyết định tính linh động) và số hạng thế
năng (quyết định tính định xứ). Từ phân tích này ta thấy vì sao mô hình
Hubbard lấp đầy một nửa có thể mô tả chuyển pha kim loại- điện môi Mott.

12. 6
n=0: không có hạt tải: điện môi
n= 2: Lấp đầy, không thể nhảy nút: điện môi
0<n<1: Nhảy nút lợi về năng lƣợng
1<n<2: Nhảy nút lợi về năng lƣợng
n=1: Nhảy nút không lợi về mặt năng lƣợng
Hình 1.1. Bức tranh năng lƣợng hai nút.
Bây giờ ta xét chuyển pha Mott từ bức tranh phân vùng năng lƣợng
Hubbard.
Xét trƣờng hợp U lớn, t nhỏ hơn coi là nhiễu loạn. Phổ năng lƣợng ở gần
đúng tƣơng quan mạnh gồm 2 mức εat và εat + U. Nếu kể thêm t, lúc đó do sự
nhảy nút thì các mức nhòe đi và trở thành vùng với bề rộng tỉ lệ với zt
(Hình1.2).
ji
i j k
i j k

13. 7
Hình 1.2: Do kể tới sự nhảy nút của điện tử (hình bên trái) mà mức
năng lƣợng nhòe đi trở thành vùng năng lƣợng với bề rộng tỉ lệ với tích phân
nhảy nút (hình bên phải) [14].
Các mức năng lƣợng đơn lẻ của nguyên tử trở thành vùng năng lƣợng khi xét
đến sự nhảy nút. Hai vùng này đƣợc gọi là các phân vùng (hay vùng con)
Hubbard.
Hình 1.3: Mật độ trạng thái điện tử dẫn với các giá trị khác nhau của U
mô tả chuyển pha kim loại- điện môi Mott: trạng thái điện môi (a), trạng thái
kim loại (c) và chuyển pha kim loại- điện môi Mott (b) [15].
Từ bức tranh các phân vùng Hubbard ta có thể mô tả chuyển pha kim loại-
điện môi Mott nhƣ Hình1.3. Khi U lớn, U > Uc thì hai phân vùng tách nhau
và ρ(εF) = 0 hay hệ ở trạng thái điện môi (Hình1.3a); trong trƣờng hợp ngƣợc
lại khi U < Uc thì ρ(εF) = 0 và hệ ở trạng thái kim loại (Hình1.3c) trong khi ở

14. 8
trƣờng hợp tới hạn U = Uc ~ zt, hai phân vùng chạm nhau, đây chính là hiện
tƣợng chuyển pha trạng thái kim loại- điện môi (Hình1.3b). Tất nhiên, để bức
tranh này có lý thì ta cần giả thiết phân vùng Hubbard vẫn tồn tại kể cả khi U
< Uc.
Bức tranh phân vùng Hubbard có vẻ tƣơng tự với trƣờng hợp bán dẫn hai
vùng, tuy nhiên có sự khác biệt cơ bản là mỗi vùng Hubbard chỉ chứa tối đa N
điện tử còn trong lý thuyết vùng tinh thể mỗi vùng có thể chứa tối đa 2N điện
tử, việc tách vùng dẫn và vùng hóa trị trong lý thuyết vùng là do tƣơng tác
điện tử- ion còn việc tách hai vùng Hubbard là do tƣơng quan điện tử- điện tử
và vƣợt qua khuôn khổ của lý thuyết vùng năng lƣợng.
Mô hình Hubbard sau này đã đƣợc mở rộng để nghiên cứu các vật liệu với
cấu trúc phức tạp hơn: nhảy nút giữa các nút xa hơn lân cận gần nhất, sự tồn
tại của nhiều quỹ đạo electron (mô hình Hubbard nhiều vùng), sự có mặt của
các số hạng tƣơng tác khác (tƣơng tác Coulomb giữa các nút, tƣơng tác với
momen từ của các ion…). Đặc biệt mô hình Hubbard đƣợc mở rộng cho các
hạt boson mà ta xét dƣới đây.
1.2. MÔ HÌNH BOSE- HUBBARD.
1.2.1 Mạng quang học và mô hình Bose-Hubbard.
Mạng quang học đƣợc tạo ra khi ngƣời ta bẫy các nguyên tử trung hoà trong
các bẫy quang học, tức là bẫy do các chùm tia laser. Nguyên lý của các bẫy
quang học nhƣ sau: Muốn khƣ trú một nguyên tử ở một vùng không gian nào
đó ta phải tác dụng một lực giữ nguyên tử hay nói một cách khác phải tạo ra
một hố thế năng giam cầm nguyên tử. Vì nguyên tử trung hoà về điện nên
tổng hợp lực Coulomb của trƣờng laser tác dụng trực tiếp lên nguyên tử bằng
không. Tuy nhiên, do nguyên tử hợp thành từ hạt nhân và đám mây điện tử
nên điện trƣờng do cảm ứng sẽ làm nguyên tử trở thành lƣỡng cực điện. Độ
lớn và hƣớng của lƣỡng cực điện phụ thuộc vào trƣờng điện từ của laser và
hàm phân cực của nguyên tử. Về phần mình lƣỡng cực điện cảm ứng lại tác
dụng với trƣờng điện từ của laser. Nhƣ vậy do thế lƣỡng cực của nguyên tử
trong trƣờng điện từ của laser mà nguyên tử bị giam cầm. Vị trí bị giam cầm

15. 9
phụ thuộc vào dáng điệu của chùm laser, vào sự điều chỉnh tần số laser (điều
chỉnh đỏ hay điều chỉnh xanh) [19]. Tuy nhiên do tƣơng tác lƣỡng cực điện
với điện trƣờng là nhỏ nên độ sâu của bẫy từ trƣờng nhỏ (quãng mK nếu quy
năng lƣợng ra thang nhiệt độ). Vì vậy để bẫy nguyên tử bằng phƣơng pháp
quang học thì lúc đầu ngƣời ta phải làm lạnh các nguyên tử đó rồi mới bẫy.
Muốn tạo thành mạng các nguyên tử thì ngƣời ta phải tạo ra các thế bẫy xếp
sắp một cách tuần hoàn. Điều này có thể làm đƣợc bằng cách dùng các chùm
laser kết hợp chiếu ngƣợc chiều vào nhau. Hai chùm sóng kết hợp chiếu vào
nhau sẽ tạo nên sóng đứng với các bụng sóng và nút sóng cố định trong không
gian. Khi ta đƣa vào các nguyên tử siêu lạnh thì những điểm nút sóng hay
bụng sóng là những điểm giam cầm nguyên tử tuỳ theo điều chỉnh sóng là
xanh hay đỏ. Nếu dùng hai cặp chùm sóng theo hai phƣơng vuông góc thì ta
có thể tạo nên mạng hai chiều, nếu dùng ba cặp chùm sóng thì ta có thể tạo
mạng ba chiều.
Các nguyên tử trên mạng quang học có thể đƣợc mô tả bằng mô hình Bose-
Hubbard có dạng nhƣ sau [20]:
̂ ∑ ̂
〈 〉
̂ ∑ ̂ ∑ ̂ ̂ (1.2)
trong đó t và U là hai tham số của mô hình, còn các toán tử là các toán tử
Boson:
{
̂ ̂ ̂
[̂ ̂ ]
[̂ ̂ ] [̂ ̂ ]
(1.3)
Dấu ngoặc nhọn trong tổng đầu tiên chỉ giới hạn trên các lân cận gần nhất. Số
hạng đầu tiên mô tả sự nhảy nút (hay còn gọi là số hạng chui ngầm). Tham số
nhảy nút là yếu tố ma trận sau:

16. 10
∫ ( ) ( ) (1.4)
ở đây là hàm Wannier một trạng thái. Số hạng thứ hai trong (1.2) chứa thế
hoá học, cố định số hạt trong tập hợp chính quy lớn. Số hạng thứ ba là tƣơng
tác giữa các boson trên cùng một nút mạng.
Có thể giải phƣơng trình Schrödinger của nguyên tử trong trƣờng laser có
chùm sáng dạng Gauss và tìm đƣợc [5,17]:
√
( ) { ( ) } (1.5)
Với là năng lƣợng giật, tức là động năng của một nguyên
tử ban đầu ở trạng thái nghỉ sau khi hấp thụ một photon đơn lẻ, và thƣờng
đƣợc sử dụng làm thang năng lƣợng trong các thí nghiệm với mạng quang,
còn λ là bƣớc sóng của ánh sáng laser.
Tham số tƣơng tác trên mỗi nút có thể tính đƣợc nếu dùng gần đúng tƣơng tác
điểm [1,2,3,4,5]:
(1.6)
trong đó a là bán kính tán xạ sóng s. Thay các hàm Wannier bằng hàm sóng
dao động điều hòa mô tả nguyên tử trong trƣờng laser dạng Gauss ta sẽ có:
√
(1.7)

17. 11
Trong đó λ là bƣớc sóng của ánh sáng laser đƣợc sử dụng để tạo ra mạng
quang, và √ là độ dài đặc trƣng của dao động điều
hòa. Từ đây thấy rõ rằng cả tham số nhảy nút và năng lƣợng tƣơng tác có thể
điều chỉnh đƣợc bằng cách thay đổi các đặc trƣng của sóng laser.
Điều khác biệt cơ bản nhất của mô hình Bose-Hubbard so với mô hình
Hubbard cho các electron là tính thống kê của các hạt thể hiện ở tính chất giao
hoán của các toán tử. Một trong những hệ quả là các nguyên tử không bị cấm
bởi nguyên lý Pauli nên số nguyên tử trên mỗi nút có thể nhận giá trị nguyên
dƣơng bất kỳ.
1.2.2. Ngƣng tụ Bose – Einstein, siêu chảy và pha tinh thể trong
mạng quang học.
Ở nhiệt độ siêu thấp, các boson không bị cấm bởi nguyên lý Pauli nên có thể
tập trung một số lớn vĩ mô (cùng bậc với tổng số hạt trong hệ) ở trạng thái với
năng lƣợng thấp nhất. Hiện tƣợng này đƣợc gọi là ngƣng tụ Bose-Einstein
(BEC) và đƣợc Bose và Einstein tiên đoán từ năm 1924 [11,12,13].
Ta xét trƣờng hợp khí lý tƣởng. Gọi in là số hạt trung bình (số lấp đầy trung
bình của trạng thái i), ta có hàm phân bố cho các hạt boson là [11,12] :
 
1
ln exp ( ) 1i i
i
n Z   


       .
(1.8)
Do dạng của hàm phân bố boson nên  < o (mức năng lƣợng thấp nhất) để số
lấp đầy luôn lớn hơn không. Từ đó suy ra: ở T < TC thì mức năng lƣợng lấp
đầy vĩ mô: (>>1); cùng bậc với N; các mức khác lấp đầy cỡ đơn vị  1.
N = No + NT ; No  0 . (1.9)
Trạng thái o lấp đầy vĩ mô với No hạt gọi là trạng thái ngƣng tụ, còn số hạt ở
ngƣng tụ phụ thuộc nhiệt độ [1,2,3,4]:

18. 12

















2
3
1
C
o
T
T
NN
,
(1.10)
tức là: ở T > TC không có ngƣng tụ, khi T = 0K tất cả các hạt ở ngƣng tụ.
Nhiệt độ chuyển pha cho bosons tự do [1,2,3,4]:
3
2
2
3
.31.3
)1(
2 23
2
2
n
mg
n
m
Tk CB 


















.
(1.11)
Từ công thức trên TC đủ lớn để có thể hạ nhiệt độ của các nguyên tử xuống
tới mức quan sát đƣợc BEC nếu n lớn và hoặc m nhỏ. Nhƣng n quá lớn thì
boson không còn là lý tƣởng, thƣờng trong BEC: 1013
– 1015
cm-3
, và là 4
He vì
m nhỏ.
Trong các bẫy thì các kết quả trên phải điều chỉnh bởi hai lý do: Một là trong
thực tế các khí dù là loãng vẫn có tƣơng tác với nhau. Hai là trong các bẫy
phải tính đến ảnh hƣởng của thế giam cầm [18]. Cho tới năm 1995 thì hiện
tƣợng BEC mới đƣợc phát hiện bằng thực nghiệm cho các nguyên tử khí kim
loại kiềm [6,7,8,9].
Hiện tƣợng siêu chảy đƣợc Kapitsa phát hiện bằng thực nghiệm từ năm 1938
trên hệ hêli [1,2,3,4]. 4
He lỏng ở nhiệt độ không tuyệt đối T = 0K thì không
chuyển sang thể rắn ở áp suất khí quyển. Nó ở thể rắn khi áp suất cao (ở T =
0K thì cần áp xuất P = 25atm). Ở TC = 2.18K, gọi là điểm , chuyển pha bậc
hai sang pha siêu chảy. Siêu chảy là hiện tƣợng chất lỏng chảy trong một ống
nhỏ không có ma sát (độ nhớt bằng 0) khi vận tốc v < vC nào đó (vC gọi là vận
tốc tới hạn hay vận tốc siêu chảy). (Pha siêu chảy này đƣợc gọi là pha He II).
Ở dƣới nhiệt độ tới hạn TC
4
He không sôi, nghĩa là độ dẫn nhiệt là lớn vô
cùng. Ở một số điều kiện, độ nhớt không bằng không, tức là tồn tại hai chất
lỏng: một loại với mật độ số ρs là siêu chảy, còn loại kia với mật độ ρn là chất

19. 13
lỏng thông thƣờng. Vì sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung riêng có dạng chữ
 nên đôi khi chuyển pha này đƣợc gọi là chuyển pha .
Ngƣời ta cho rằng siêu chảy liên hệ trực tiếp tới BEC. Ban đầu ngƣời ta
thƣờng đồng nhất mật độ hạt siêu chảy với mật độ hạt ở BEC. Gần đây ngƣời
ta cũng đã phát hiện siêu chảy trong hệ khí nguyên tử siêu lạnh [16].
Ngoài hiện tƣợng BEC và siêu chảy nhƣ trong các bẫy nguyên tử, trong các
mạng quang học còn có thể tồn tại pha tinh thể. Theo định nghĩa trong vật lý
chất rắn, tinh thể là trạng thái vật rắn, khi các ion hay các nguyên tử sắp xếp
có trật tự tuần hoàn, đặc trƣng bằng các vecto cơ sở a

nào đó. Trong bẫy
quang học cũng có các nút mạng xếp sắp tuần hoàn. Nếu các nguyên tử phân
bố đều, định xứ trên các nút mạng thì sẽ là pha tinh thể. Tuy nhiên cho đến
nay chƣa phát hiện đƣợc bằng thực nghiệm pha tinh thể trong mạng quang
học.
Để mô tả các pha ngƣời ta đƣa ra khái niệm tham số trật tự. Gọi N là tổng số
nguyên tử trong mạng quang học, No là số nguyên tử ở pha ngƣng tụ thông
thƣờng. Sự xuất hiện BEC kéo theo hiện tƣợng siêu chảy. Ký hiệu Nsup là số
nguyên tử siêu chảy. Tuy vậy không có mối liên hệ giản đơn giữa No và Nsup
vì bản chất vật lý của hai hiện tƣợng này khác nhau. BEC là do tính kết hợp
(coherence) trong toàn hệ, còn siêu chảy là sự phản ứng không tầm thƣờng
của hệ khi đƣợc truyền một vận tốc. Các nguyên tử lại phân thành hai loại:
định xứ và linh động. Vì số nguyên tử là lớn nên tiện lợi hơn khi ta đƣa vào tỷ
phần nguyên tử. Tỷ phần nguyên tử của BEC là n0= No/N. Tỷ phần nguyên tử
của siêu chảy là nsup= Nsup/N. Tỷ phần nguyên tử trong pha tinh thể là nsol=
Nsol/N. Tỷ phần các nguyên tử ngoài ngƣng tụ là n1= N1/N. Các tỷ phần n0,
nsup, nsol đặc trƣng cho các pha của nguyên tử trong mạng quang học. Nếu
no>0 thì hệ ở pha BEC, hay còn gọi hệ ở pha kết hợp, khi no=0 là pha không
kết hợp (incoherent). Nếu nsup> 0 là pha siêu chảy còn khi nsup= 0 là chất lỏng
thông thƣờng. Nếu nsol> 0 là pha tinh thể, còn khi nsol= 0 là vô định hình.
Tổ hợp của 3 tham số trên cho phép phân loại 8 trạng thái khác nhau dƣới đây
của hệ nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang học [21]:

20. 14
1. Chất lỏng thông thƣờng không kết hợp:
no= 0 ; nsup= 0 ; nsol= 0 .
Thí dụ: các chất lỏng và khí cổ điển.
2. Chất lỏng thông thƣờng kết hợp:
no> 0 ; nsup= 0 ; nsol= 0 .
Tức là có BEC nhƣng không có siêu chảy, thí dụ: khi có một trật tự cao.
3. Siêu chảy không kết hợp:
no=0 ; nsup> 0 ; nsol= 0 .
Tức là có siêu chảy mà không có BEC. Thí dụ: trong các màng mỏng hai
chiều.
4. Siêu chảy kết hợp:
no> 0 ; nsup> 0 ; nsol= 0 .
Tức là đồng thời có BEC và siêu chảy. Thí dụ: 4
He siêu lạnh.
5. Tinh thể không kết hợp:
no= 0 ; nsup= 0 ; nsol> 0 .
Các nguyên tử phân bố đều trên các nút mạng, định xứ, không có BEC. Thí
dụ: đa số các tinh thể rắn.
6. Tinh thể thông thƣờng kết hợp:
no> 0 ; nsup= 0 ; nsol> 0 .
Thí dụ: Bose thủy tinh.
7. Tinh thể siêu chảy không kết hợp:
no= 0 ; nsup> 0 ; nsol> 0 .
Hiện nay còn chƣa thống nhất về khả năng tồn tại của tinh thể loại này.
8. Tinh thể siêu chảy kết hợp:
no> 0 ; nsup> 0 ; nsol> 0 .

21. 15
t
Nhiều giả thiết cho rằng có thể tồn tại pha này trong 4
He, trong nguyên tử siêu
lạnh trong mạng quang học và đƣợc gọi là pha siêu tinh thể.
Sự tồn tại của các trạng thái trên dựa vào tƣơng quan tinh tế gữa tính linh
động với tính định xứ với những giá trị lấp đầy thích hợp của hệ nguyên tử
siêu lạnh. Điều đáng chú ý là các tham số nhảy nút (tính linh động) và tƣơng
tác trên một nút (tính định xứ) có thể thay đổi đƣợc trong các thí nghiệm.
Điều này mở ra triển vọng nghiên cứu những hiệu ứng vật lý đa dạng và thú
vị trong hệ nhiều hạt tƣơng quan mạnh.
1.2.3. Chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott trong mô hình Bose-
Hubbard.
Tƣơng tự nhƣ trong trƣờng hợp mô hình Hubbard cho electron thì từ (1.2) ta
thấy rằng Hamiltonian gồm hai số hạng, số hạng đầu tiên mô tả tính linh động
của nguyên tử phụ thuộc thế tƣơng tác U. Nhƣ vậy mô hình Bose- Hubbard có
thể đƣợc mô tả trên hình (1.4).
Hình 1.4.: Động năng và thế năng trong mô hình Bose- Hubbard [5].
Trên hình (1.4) ta thấy hai boson trên một nút sẽ có thế năng tƣơng tác là U,
còn động năng tỉ lệ với xác suất nhảy nút (hay xác xuất chui ngầm) t. Thế
giam cầm trên mỗi nút đƣợc coi gần đúng nhƣ một hố thế dao động tử điều
hòa với năng lƣợng giữa các mức là .

22. 16
Ở giá trị U nhỏ thì hệ có tính chất linh động, tuy nhiên khác biệt với trƣờng
hợp fermion, hệ nguyên tử siêu lạnh vì là boson có thể ở trạng thái BEC và
siêu chảy. Nghĩa là tính chất linh động ở đây là sự chuyển động không ma sát
của hệ (tính siêu chảy), Khi U rất lớn, các nguyên tử có thể ở trạng thái định
xứ, phụ thuộc vào số lấp đầy n: Trong mô hình Hubbard cho electron ta thấy
rằng số lấp đầy tối đa bằng 2, nếu n= 0 hoặc n= 2 thì hệ định xứ, tức là hệ ở
pha điện môi. Nếu 0<n<1 hoặc 1<n<2 thì hệ ở pha dẫn điện. Riêng n=1 thì
xảy ra chuyển pha kim loại- điện môi Mott tùy thuộc vào độ lớn của U/t.
Trong mô hình Hubbard, từ bức tranh năng lƣợng ta thấy ngay, nếu số lấp đầy
không là nguyên dƣơng, nghĩa là số nguyên tử trung hòa trên các nút khác
nhau thì khi nhảy nút năng lƣợng của hệ không đổi.(hình 1.5)
i j i j
Hình 1.5: Năng lƣợng hai nút không đổi khi nguyên tử nhảy từ j sang i nếu số
lấp đầy không nguyên.
Tuy nhiên khi n là số nguyên, tức là số nguyên tử trên mỗi nút bằng nhau thì
sự nhảy nút có thể không có lợi về mặt năng lƣợng, vì vậy có thể hệ sẽ ở pha
định xứ. Vì lý do tƣơng đồng với chuyển pha kim loại- điện môi Mott trong
hệ điện tử nên pha định xứ trong mô hình Bose- Hubbard cũng đƣợc gọi là
điện môi Mott, cho dù ngay cả khi các nguyên tử linh động thì hệ nguyên tử
trung hòa vẫn là điện môi.
Giống nhƣ trong trƣờng hợp fermion, mô hình Bose- Hubbard cũng rất khó
nghiên cứu về mặt lý thuyết do số hạng tƣơng tác ở vùng chuyển pha là lớn
nên không áp dụng đƣợc lý thuyết nhiễu loạn thông thƣờng. Ngoài ra, trên
mỗi trạng thái có thể có nhiều hơn một nguyên tử nên tính toán có thể phức
tạp hơn.

23. 17
CHƢƠNG 2: LIÊN KẾT MẠNH TRONG LÍ THUYẾT NHIỄU LOẠN
“NGÂY THƠ”
Hệ nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang học nhƣ trên đã trình bày
đƣợc mô tả bằng mô hình Bose-Hubbard. Trong giới hạn tƣơng tác yếu, số
hạng thế năng có thể coi là nhiễu loạn và có thể áp dụng lí thuyết nhiễu loạn
thông thƣờng. Ngƣợc lại, khi động năng nhỏ hơn thế năng thì số hạng thế
năng đƣợc coi là Hamiltonian bậc không, còn số hạng động năng là nhiễu
loạn thông thƣờng, lí thuyết nhiễu loạn dựa trên định lí Wick. Định lí Wick
phát biểu là: T-tích (tích thứ tự thời gian) của các toán tử trƣờng có thể phân
tích thành các N-tích (tích chuẩn) của tất cả các kết cặp khả dĩ. Trong lí thuyết
trƣờng về hạt cơ bản, trung bình các toán tử đƣợc lấy theo trạng thái chân
không nên trung bình các N-tích không cho đóng góp và trung bình các T-tích
đƣợc đƣa về tổng của tất cả các kết cặp khả dĩ . Trong phần 2.1 dƣới đây ta sẽ
chứng minh định lí Wick trong vật lý thống kê lƣợng tử để thấy rằng khi xét
mô hình Hubbard không thể dùng lí thuyết nhiễu loạn thông thƣờng. Trong
phần 2.2 ta sẽ xét trƣờng hợp áp dụng định lí Wick một cách “ngây thơ” khi
coi số hạng động năng là nhiễu loạn.
2.1. ĐỊNH LÝ WICK CHO HAMILTONIAN KHÔNG NHIỄU LOẠN BẬC
2 [22].
Ta xét Hamiltonian không nhiễu loạn dạng bậc 2 của các toán tử boson:
∑ (2.1)
trong đó k: là bộ số lƣợng tử mô tả các véc tơ trạng thái của H.
Trung bình của toán tử Â bất kì đƣợc định nghĩa là:
〈 〉 ( ̂ ̂) (2.2)

24. 18
trong đó ̂ là toán tử mật độ:
̂ (2.3)
với tổng thống kê:
(2.4)
Định lí Wick phát biểu nhƣ sau: Hàm tƣơng quan của tích các toán tử là bằng
tổng các tích các hàm tƣơng quan cặp đôi các toán tử
〈 〉 〈 〉〈 〉 〈 〉〈 〉 〈 〉〈 〉 (2.5)
Ta chứng minh nhƣ sau:
[ ] nên ta có:
(2.6)
Áp dụng lên tổng (n-1) lần ak lên hai vế của (2.6) ta có:
(2.7)
Áp dụng công thức (2.7) ta thu đƣợc:
(2.8)
Tƣơng tự nhƣ vậy ta cũng có:

25. 19
(2.9)
Từ (2.3) và (2.8) ta suy ra:
̂ ̂ (2.10)
Từ (2.3) và (2.9) ta suy ra:
̂̂ (2.11)
trong đó: là số hạt ở trạng thái k.
Sử dụng định nghĩa trung bình một toán tử và các công thức (2.10) và
(2.11) ta suy ra các công thức sau cho toán tử Â bất kì bằng cách nhân hai vế
của (2.10) và (2.11) với toán tử Â bất kỳ và lấy vết:
{
〈 ̂ 〉 〈 ̂〉
〈 ̂ 〉 〈 ̂〉
(2.12)
Từ (2.12) ta có:
{
〈 ̂〉 〈[ ]〉
〈 ̂〉 〈[ ]〉
(2.13)
Bây giờ ta thay toán tử Â bằng tích ba toán tử và sử dụng công thức:
[ ] [ ] [ ] [ ] (2.14)

26. 20
Từ (2.13) và (2.14) ta có:
〈 〉 〈 〉〈 〉 〈 〉〈 〉 〈 〉〈 〉 (2.15)
Tƣơng tự khi ta thay ak bằng và sử dụng biểu thức thứ 2 trong (2.13). Theo
chứng minh ở trên là bất kì toán tử Boson nào nên định lý Wick cho
Hamiltonian dạng bậc 2 đã đƣợc chứng minh.
Tƣơng tự ta có định lý Wick cho trƣờng hợp các fecmion nhƣng cần
chú ý mỗi lần đổi chỗ các toán tử để đƣa chúng về cạnh nhau để tính hàm
tƣơng quan thì phải nhân thêm một dấu trừ.
Từ chứng minh trên ta thấy rằng định lý Wick không áp dụng đƣợc khi
lấy trung bình theo Hamiltonian không có dạng bình phƣơng. Đây chính là
nguyên nhân không áp dụng đƣợc lí thuyết nhiễu loạn cho mô hình Hubbard
cho các điện tử cũng nhƣ cho các nguyên tử trung hòa trong trƣờng hợp liên
kết mạnh.
2.2: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN “ NGÂY THƠ” CHO MÔ HÌNH BOSE-
HUBBARD TRONG GẦN ĐÚNG LIÊN KẾT MẠNH
Đôi khi dù định lý Wick không còn đúng, nhƣng do tính toán đơn giản,
ngƣời ta vẫn áp dụng các kĩ thuật nhiễu loạn thông thƣờng, thí dụ: vẫn áp
dụng các quy tắc cộng giản đồ Feynman thông thƣờng và thu đƣợc các kết
quả có ý nghĩa để đánh giá thô. Trong phần này ta sẽ đánh giá chuyển pha
siêu chảy- điện môi trong lý thuyết nhiễu loạn “ngây thơ” do F.S Noguiera đề
xuất[23]. Noguiera nhận xét rằng khi U=0 thì Hamiltonian của mô hình Bose-
Hubbard có thể viết dƣới dạng:
̂ ̂ ̂ . (2.16)
Trong đó

27. 21
̂ ∑ ̂ (2.17)
Còn
̂ ∑ ̂
〈 〉
̂
(2.18)
Khi xét chuyển pha lƣợng tử (xảy ra ở T=0K) ta có thể làm việc với
hàm Green thời gian thực thay vì hàm Green thời gian ảo. Lúc đó hàm Green
hai toán tử Boson định nghĩa nhƣ sau [11,12]:
〈 { }〉 (2.19)
trong đó T là toán tử trật tự thời gian
{ } (2.20)
Với là toán tử Heaviside. Dấu <….> có nghĩa là lấy trung bình
theo các trạng thái riêng của toán tử Hamiltonian mà ta đang quan tâm.
Chuyển sang biểu diễn Fourier theo tọa độ:
{
√
∑
⃗ ⃗⃗⃗⃗
̂
√
∑
⃗ ⃗⃗⃗
(2.21)
NS: là số nút mạng.

28. 22
Áp dụng công thức:
∑ (⃗ ⃗ )
⃗ ⃗⃗⃗⃗ (2.22)
Ta thu đƣợc:
̂ ∑ , (2.23)
{
∑
⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
∑
⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
(2.24)
với z là số lân cận gần nhất của nút i, còn ⃗⃗⃗ là véc tơ nối nút l với các lân cận
gần nhất đó. Hàm Green trong biểu diễn fourier theo cả tọa độ và thời gian
đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
̃(⃗ ) ∫ ∑
⃗
(2.25)
Với hàm Hamiltonian ở các công thức và (2.24) ta có ngay công thức
[11,12]:
(2.26)
Noguiera nhận xét rằng biểu thức (2.26) có thể nhận đƣợc bằng cách áp dụng
lý thuyết nhiễu loạn với H0 đƣợc cho bới (2.17) còn nhiễu loạn đƣợc cho bới
(2.18).

29. 23
Nếu kí hiệu là hàm Green của Hamiltonian HU=0 và đƣợc mô tả bằng
đoạn thẳng ij hai nét, là hàm Green của Hamiltonian H0 và đƣợc mô
tả bằng đoạn thẳng ij đơn nét, kí hiêu tij là đoạn thẳng ij đứt nét:
i..................j : tij
i j:
i j:
Ta có phƣơng trình sau:
= +
i j i j i l k j
+ + ...
i l k m n j
Hình 2.1: Giản đồ Feynman cho Hamiltonian HU=0
Tƣơng ứng ta có phƣơng trình:
(2.27)
Vì H0 có dạng của hạt tự do với năng lƣợng – không phụ thuộc vào chỉ số
nút mạng nên:
(2.28)
Nếu chú ý tới (2.28) thì (2.27) trở thành:

30. 24
∑ (2.29)
Khi chuyển sang biểu diễn Fourier theo tọa độ ta thu lai đƣợc công thức
(2.26).
Bây giờ ta xét thêm số hạng thế năng ghép vào H0:
{
̂ ∑ ̂
̂ ̂ ̂ ̂
(2.30)
Vì ̂ chứa số hạng tích bốn toán tử nên không áp dụng định lý Wick coi H1 là
nhiễu loạn đƣợc. Ta sẽ theo đề xuất của Noguiera và áp dụng lý thuyết nhiễu
loạn “ngây thơ”, ta vẫn sử dụng chuỗi giản đồ Feynman (chỉ đúng khi có định
lý Wick) nhƣng thay vì tƣơng ứng với H0 ta dùng tƣơng ứng
vơi hàm Green của (2.30) (lúc này định lý Wick không còn đúng nữa), muốn
vậy trƣớc hết ta tính . Vì (2.30) có dạng tổng theo các nút nên:
(2.31)
Từ (2.30) ta thấy ngay, vec tơ riêng của (2.30) phụ thuộc vào số hạng trên một
nút n và có thể biểu diễn trong không gian Fock nhƣ sau:
| ⟩
√
| ⟩ (2.32)
với trị riêng:

31. 25
(2.33)
Ta tìm hàm Green từ công thức:
〈 [̂ ̂ ]〉
* [̂ ̂ ] [̂ ̂ ]+
(2.34)
trong đó ̂ là trong biểu diễn Heisenberg
̂ ̂
Còn trung bình<...> lấy theo trạng thái cơ bản (2.32). Giả sử trạng thái cơ bản
ứng với thì:
〈̂ ̂ 〉 ⟨ ̂ ̂ ⟩
⟨ ̂ ⟩ √ (2.35)
̂ ⟩ √ ⟩
Tƣơng tự:
〈̂ ̂ 〉 (2.36)
Thay (2.35), (2.36) vào (2.34) ta đƣợc:
[ ] (2.37)

32. 26
Sử dụng biểu diễn của hàm Heaviside:
∫ ∫ (2.38)
∫ ∫
Đặt ,
,
∫ [ ]
(2.39)
Thay (2.33) vào (2.39)
(2.40)
Vì đây là hệ các nút đơn lẻ nên đƣơng nhiên là định xứ vì không có sự nhảy
nút.
Phƣơng trình hàm Green của mô hình Bose- Hubbard trong lý thuyết nhiễu
loạn “ngây thơ” có dạng:
̃(⃗ ) ̃(⃗ )
̃(⃗ ) (2.41)

33. 27
Phổ năng lƣợng của hệ đƣợc cho bởi cực của hàm Green ̃(⃗ ):
.
Thay (2,40) vào (2.42), bỏ i0 (vì ta không quan tâm đến sự nhòe đi của các
mức năng lƣợng) ta đƣợc:
[
]
(2.43)
Khi đó ta thu đƣợc phƣơng trình bậc hai theo , để tìm năng lƣợng của hệ, ta
giải phƣơng trình theo và thu đƣợc:
[ ] √
(2.44)
Khoảng cách năng lƣợng giữa :
√ .
Bây giờ ta lí luận tƣơng tự nhƣ khi xét mô hình Hubbard điện tử. Ta sẽ không
xét tham số trật tự pha siêu chảy mà ta suy luận là khi có khe năng lƣợng khác
không, hệ sẽ là điện môi (nghĩa là các nguyên tử sẽ định xứ), còn khi khe
năng lƣợng bằng không thì hệ là siêu chảy (ta mặc định rằng khi hệ boson
linh động thì ở T= 0K nó sẽ là siêu chảy. Điều mặc định này thực ra không
chặt chẽ lắm vì muốn chính xác ta phải xét tham số trât tự pha siêu chảy).
Nhƣ vậy chuyển pha (Uc, dt) đƣợc cho bởi phƣơng trình:

34. 28
(2.46)
Hay
(2.47)
Xét mạng lập phƣơng d chiều, khi Uc lớn thì đạt giá trị cực tiểu khi:
(2.48)
Thay (2. 48) vào (2. 47) ta có:
[ √ ] (2.49)
Cả hai nghiệm đều là dƣơng nên ta phải chọn một. Muốn vậy ta so sánh các lý
thuyết khác và kết quả (2.49) là từ lý thuyết “ngây thơ” nên phải định hƣớng
theo các lý thuyết chính xác hơn. So sánh với lý thuyết nghiêm túc đơn giản
nhất là lý thuyết trƣờng trung bình [24] ngƣời ta đã chọn [25]. Vì vậy:
[ √ ] (2.50)
Ta tính cho trƣờng hợp mạng lập phƣơng d=3 với hệ số lấp đầy n=1 ( một
nguyên tử trên mỗi nút):
( √ ) (2.51)
So sánh với kết quả bằng mô phỏng Monte Carlo [25] là
Ta thấy rằng phƣơng pháp nhiễu loạn “ngây thơ” cho kết quả không quá kém,
nhất là một kết quả giải tích thu đƣợc với các tính toán không phức tạp.

35. 29
CHƢƠNG 3: GẦN ĐÚNG TÁCH KẾT CẶP ÁP DỤNG CHO HỆ
NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH
Ở chƣơng 2, ta đã dùng lý thuyết nhiễu loạn “ngây thơ” theo tham số
nhảy nút t để khảo sát chuyển pha siêu chảy điện môi Mott. Trong chƣơng
này ta xét một trong những phƣơng án của lý thuyết trƣờng trung bình, đó là
gần đúng tách kết cặp để xét chuyển pha này [20].
3.1. GẦN ĐÚNG TÁCH KẾT CẶP
Ta xét lại Hamiltonian trong mô hình Bose- Hubbard:
̂ ̂ ∑ ̂ ̂
〈 〉
(3.1)
Trong đó H0 là tƣơng tác trên một nút
̂ ∑ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (3.2)
Ta đƣa vào tham số trật tự siêu chảy (giả thiết là thực)
√ 〈̂ 〉 〈̂ 〉 . (3.3)
Nội dung của gần đúng tách kết cặp là tách tích hai toán tử trong số hạng
nhảy nút theo kiểu gần đúng Hartree (Trong lý thuyết trƣờng trung bình có
thể đồng nhất mật độ hạt siêu chảy với mật độ hạt trong ngƣng tụ [5,21] ).
̂ ̂ 〈̂ 〉̂ 〈̂ 〉̂ 〈̂ 〉〈̂ 〉 (̂ ̂ ) (3.4)
Thay (3.4) vào (3.1) ta thu đƣợc Hamiltonian trƣờng trung bình tự phù hợp.

36. 30
̂ ∑ ̂ ̂ ∑ ̂ ̂ ̂ ̂ ∑ ̂ ̂ (3.5)
Tự phù hợp có nghĩa là trung bình các toán tử phải lấy theo Hamiltonian, Heff
(3.5), Hamiltonian tự phù hợp này là chéo theo chỉ số nút mạng i, vì vậy ta chỉ
cần xét Hamiltonian trên một nút và bỏ qua chỉ số i, để tiện tính toán ta đƣa
vào các tham số không đơn vị:
̅ ̅
Ta có:
̂ ̅ ̂ ̂ ̅ ̂ ̂ ̂ (3.6)
Từ công thức (3.6) có thể khảo sát chuyển pha siêu chảy điện môi Mott bằng
cách tính số nhƣ sau [15,23,24].
Tính yếu tố ma trận 〈 〉 trong hệ các véc tơ cơ sở trong không
gian Fock của số nguyên tử ở nút i{ ⟩} với nmax chọn trƣớc nào đó.
Chỉ có ba loại yếu tố ma trận khác không là:
〈 〉 ; 〈 〉 ; 〈 | | 〉
Chéo hóa ma trận 〈 〉 với nmax đã chọn và tìm năng lƣợng trạng thái
cơ bản Eg. Tăng dần nmax đến khi Eg hội tụ với một độ chính xác đã chọn.
Cực tiểu hóa Eg theo với các giá trị khác nhau để tìm giản đồ
pha, ở đâu là ở đó pha điện môi, ở đâu là ở đó pha siêu chảy.
Các tính toán số nhƣ vậy đã đƣợc nhiều tác giả thực hiện [23,24].

37. 31
Kết quả tính số cho thấy nếu số lấp đầy là không nguyên thì luôn là
siêu chảy, còn nếu hệ số lấp đầy là nguyên thì có chuyển pha siêu chảy- điện
môi Mott. Giá trị chuyển pha Uc là giá trị U nhỏ nhất ứng với mỗi số lấp đầy.
Dƣới đây ta sẽ khảo sát chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott bằng cách kết
hợp lý thuyết hiện tƣợng luận Landau và lý thuyết nhiễu loạn.
3.2. LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA HIỆN TƢỢNG LUẬN LANDAU
[2,5,11].
Chuyển pha là khi một hệ nhiều hạt đột nhiên thay đổi trạng thái của hệ
do sự thay đổi của một hay một vài đại lƣợng gắn liền với hệ. Nếu đại lƣợng
gây ra chuyển pha là nhiệt độ thì chuyển pha đó gọi là chuyển pha nhiệt động
học, thí dụ: chuyển pha khí- lỏng- rắn; sắt từ- thuận từ; kim loại- siêu dẫn.
Nếu chuyển pha xảy ra ở một nhiệt độ 0K do sự thay đổi của một tham số nội
tại nào đó của hệ gọi là chuyển pha lƣợng tử, thí dụ: chuyển pha kim loại-
điện môi Mott trong vật liệu đất hiếm; siêu dẫn- điện môi trong các vật liệu
siêu dẫn hạt, siêu chảy- điện môi Mott trong hệ nguyên tử siêu lạnh trong
mạng quang học. Chuyển pha thƣờng đƣợc gắn với một đại lƣợng gọi là tham
số trật tự, ở một pha, tham số trật tự khác không, còn khi chuyển sang pha kia
thì tham số trật tự bằng không, thí dụ: trong chuyển pha từ thì tham số trật tự
là độ từ hóa. Nếu tại điểm chuyển pha tham số trật tự thay đổi gián đoạn thì
chuyển pha đó đƣợc gọi là chuyển pha gián đoạn hay chuyển pha bậc 1, còn
nếu sự thay đổi của tham số trật tự là liên tục thì chuyển pha là liên tục hay
chuyển pha bậc hai. Landau đề xuất là trong chuyển pha nhiệt động lực học
phiếm hàm năng lƣợng tự do Landau FL[m] là một đa thức của tham số trật tự
m [5]
[ ̅] (3.7)
Nếu hệ bất biến với đối xứng nghịch đảo tọa độ thì không có số hạng lũy thừa
bậc lẻ, ta sẽ chỉ xét trƣờng hợp này. Trạng thái cân bằng của hệ là khi FL[m]
đạt cực tiểu theo m. Trƣớc hết ta xét các trƣờng hợp hệ số khai triển cao hơn
bậc 2 đều dƣơng. Lúc đó nếu ) cũng dƣơng thì cực tiểu của FL[m] ở tại

38. 32
m= 0, nhƣng nếu ) trở thành âm thì cực tiểu sẽ dịch chuyển một cách liên
tục về phía m hữu hạn, tƣơng ứng với chuyển pha loại hai. Nhƣ vậy, lân cận
nhiệt độ chuyển pha, hệ số trƣớc số hạng loại 2 đổi dấu
(3.8)
Để xét chuyển pha loại 1, ngƣời ta xét tới số hạng bậc 6, nhƣng ở đây chúng
ta không quan tâm trƣờng hợp này.
Điều quan trọng là theo (3.8) nhiệt độ chuyển pha có thể tìm đƣợc khi giải
phƣơng trình ) = 0. Ý tƣởng này đƣợc một số tác giả [15,20] mở rộng cho
chuyển pha lƣợng tử. Gọi biến số điều khiển chuyển pha lƣợng tử là t, thì giá
trị tới hạn tc sẽ đƣợc tìm từ phƣơng trình )= 0. Ngoài ra, chuyển pha lƣợng
tử xảy ra ở T= 0K nên thay vì tính năng lƣợng tự do ta chỉ cần tính năng
lƣợng của hệ qua bậc hai của tham số trật tự bằng lý thuyết nhiễu loạn.
3.3. BỔ CHÍNH BẬC HAI THEO SỐ HẠNG TÁCH KẾT CẶP [5,20].
Ta viết lại (3.6):
̂ ̂ ̂ (3.9)
Trong đó:
{
̂ ̅ ̂ ̂ ̅ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
(3.10)
̂ có lời giải chính xác là số nguyên tử n trên nút mạng với năng lƣợng:
̅ ̅ (3.11)

39. 33
Nếu trên mỗi nút có chính xác n hạt, ta lƣu ý là số hạt n lại đƣợc điều chỉnh
bằng thế hóa học ̅, vì vậy tùy theo ̅ mà ta tìm đƣợc mức năng lƣợng thấp
nhất gọi là năng lƣợng trạng thái cơ bản, kí hiệu là Eg(0)
.
So sánh hai mức liên tiếp: En
(0)
và En+1
(0)
ta suy ra: số nguyên tử trên mỗi nút
để năng lƣợng là thấp nhất sẽ là các số nguyên (
̅
̅
) xác định nhƣ sau:
(
̅
̅
)
{
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
(3.12)
Tƣơng ứng ta có năng lƣợng trạng thái cơ bản:
{
̅
̅ ̅ ̅ ̅ ̅
(3.13)
Sau khi có năng lƣợng trạng thái cơ bản (3.13), bổ chính bậc hai theo ̂ đƣợc
cho bởi công thức:
∑
|⟨ | ̂| ⟩|
(3.14)
Vì: {
̂ ⟩ √ ⟩
̂ ⟩ √ ⟩
(3.15)
nên trong tổng của chỉ còn các số hạng n= g+1 hoặc n= g-1 và tính
tƣờng minh đƣợc theo (3.15) nhƣ sau:

40. 34
[
̅ ̅ ̅ ̅
] (3.16)
Nhƣ vậy, năng lƣợng trạng thái cơ bản tính đến bậc hai theo tham số trật tự
là:
̅ ̅ ̅ ̅ (3.17)
trong đó: ̅ ̅ đƣợc cho bởi (3.13).
Còn: ̅ ̅ (3.18)
Cực tiểu hóa theo ta thấy rằng:
khi ̅ ̅ ,
̅ ̅ .
Điều đó có nghĩa là: ̅ ̅ sẽ cho ta đƣờng biên ̅ ̅ phân cách
giữa hai pha siêu chảy và điện môi Mott . Dạng của đƣờng
biên là lời giải của phƣơng trình sau:
̅ ̅ ̅ ̅ (3.19)
Giải (3.19) ta có 2 nghiệm:
̅ ̅ √̅ ̅ (3.20)

41. 35
Hình 3.1: Giản đồ pha mô hình Bose- Hubbard trong gần đúng nhiễu loạn bậc
2 [20]. Bên trong các nửa hình oval là pha điện môi định xứ ứng với số lấp
đầy g= 1,2,3. Bên ngoài các nửa hình oval là pha siêu chảy. Đƣờng chấm
chấm là gần đúng bậc 0 (luôn là siêu chảy).
Nếu vẽ đồ thị ̅ ̅ trên mặt phẳng ̅ ̅ (hình 3.1) ta sẽ thấy ̅ giao
nhau tại U0 xác định bởi:
̅ ̅ ̅ ̅ (3.21)
Suy ra
̅ √ (3.22)
Khi tăng ̅ ̅ thì càng ngày hai đƣờng càng tách ra. Khảo sát hàm
̅ ̅ với mỗi g nguyên dƣơng xác định ta thấy bên trong hình giới hạn
bởi ̅ ̅ thì ̅ ̅ tức là ở đó là vùng điện môi Mott,
50
40
30
20
10
0
5 100 15
g =3
g =2
g =1
𝜇̅
𝑈̅

42. 36
còn ở ngoài hình vẽ thì ̅ ̅ , tức là vùng siêu chảy. Nhƣ vậy U0
chính là giá trị nhỏ nhất của tƣơng tác trên mỗi nút mạng để bắt đầu có thể có
pha điện môi Mott. Ta suy ra thế năng tới hạn Uc=U0
̅ √ (3.23)
Thay vào g=1 từ (3.23) ta có trƣờng hợp lấp đầy một hạt:
. (3.24)
Cho trƣờng hợp ba chiều z=2d=6 ta thu đƣợc:
. (3.25)
Đáng ngạc nhiên là kết quả của phƣơng pháp gần đúng tách kết cặp với
lý thuyết nhiễu loạn bậc hai không cho kết quả tốt hơn lý thuyết nhiễu loạn
“ngây thơ” trình bày ở chƣơng 2. Vì vậy một số tác giả đã tính tiếp đến số
hạng nhiễu loạn bậc 4 [20]. Trong luận văn này không nhắc lại các kết quả đó.
Phƣơng pháp tính kết cặp sau đó đã đƣợc nhiều nhóm tác giả phát triển một
cách hệ thống hơn bằng phƣơng pháp tích phân phiếm hàm. Khác với trƣờng
hợp các fermion hay trƣờng hợp các hệ spin là dùng biến đổi Hubbard-
Stratonovich để biến số hạng cặp 4 thành số hạng cặp đôi thì trong lý thuyết
tách kết cặp hệ Bose-Hubbard ngƣời ta lại dùng biến đổi Hubbard-
Stratonovich để đƣa số hạng nhảy nút về các số hạng tuyến tính. Bằng cách
này, ngƣời ta đã xây dựng đƣợc các quy tắc giản đồ Feynman để tính nhiễu
loạn theo tham số nhảy nút [5]. Phƣơng pháp tích phân phiếm hàm này cho
phép tính một cách có hệ thống ảnh hƣởng của thăng giáng [5].

43. 37
KẾT LUẬN
Trong luận văn đã hoàn thành các công việc sau đây:
Tôi đã đọc và tổng quan các tài liệu về mô hình Bose- Hubbard và một
số phƣơng pháp áp dụng cho hệ nguyên tử siêu lạnh và chuyển pha siêu chảy-
điện môi Mott . Tôi tập trung vào hai phƣơng pháp chủ yếu là: Lý thuyết
nhiễu loạn “ngây thơ” và gần đúng tách kết cặp cho hệ nguyên tử siêu lạnh.
Thực hiện các tính toán và thu đƣợc kết quả giải tích (cho tỷ số Uc/t)
khi nghiên cứu hệ nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang học đƣợc mô tả
bằng mô hình Bose- Hubbard bằng lý thuyết nhiễu loạn “ ngây thơ”. Từ đó so
sánh kết quả thu đƣợc với các phƣơng pháp lý thuyết khác.
Thực hiện các tính toán và thu đƣợc kết quả giải tích khi tính năng
lƣợng trạng thái cơ bản (tính đến bậc hai của tham số trật tự) của hệ nguyên tử
siêu lạnh trong mạng quang học đƣợc mô tả bằng mô hình Bose- Hubbard
bằng phƣơng pháp tách kết cặp trong gần đúng liên kết mạnh. Từ đó so sánh
với kết quả thu đƣợc bằng phƣơng pháp lý thuyết nhiễu loạn “ ngây thơ”.
Vì trình độ và thời gian của tôi còn hạn chế nên tôi chƣa áp dụng đƣợc
hai phƣơng pháp gần đúng học đƣợc cho một bài toán cụ thể.
Vấn đề có thể tìm hiểu thêm:
Các thầy ở Viện Vật lý và ở trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội đã nghiên
cứu và thu đƣợc nhiều kết quả có giá trị khoa học cho hệ điện tử tƣơng quan
mạnh đƣợc mô tả bằng mô hình Hubbard giản lƣợc (mô hình Falikov-Kimbal)
hoặc mô hình Hubbard mở rộng và phát triển các phƣơng pháp tính toán mới.
Với sự quan tâm giúp đỡ của các thầy, có thể áp dụng những công cụ này và
những mở rộng của mô hình Hubbard cho electron sang các bài toán cho mô
hình Bose-Hubbard để nghiên cứu chuyển pha siêu chảy-điện môi Mott, pha
siêu tinh thể…

44. 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. A. Griffin, D. Snoke, S. Stringari, S. (eds.) (1995), Bose-Einstein
Condensation, pp. 355–392. Cambridge University.
2. L.P. Pitaevskii, S. Stringari (2016), Bose Einstein Condensation and
superfluidity, Oxford Science.
3. C.J. Pethick and H. Smith, (2001), Bose– Einstein Condensation in
Dilute Gases. Cambridge University Press.
4. A.J. Leggett (2006), Quantum Liquids: Bose Condensation and Cooper
Pairing in Condensed Matter Systems. Oxford University Press.
5. Henk T.C. Stoof , Koos B. Gubbels , Dennis B.M. Dickerscheid
(2009),Ultracold Quantum Fields, Springer.
6. M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E. Wieman,
and E. A. Cornell (1995), Observation of Bose-Einstein Condensation in a
Dilute Atomic Vapor, Science 269, 198.
7. M. R. Andrews, M.-O. Mewes, N. J. van Druten, D. S. Durfee, D.
M. Kurn, and W. Ketterle, (1996), Direct Nondestructive Observation of a
Bose Condensate, Science 273, 84.
8. C. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tollett, and R. G. Hulet (1995),
Evidence of Bose-Einstein Condensation in an Atomic Gas with Attractive
Interactions, Phys. Rev. Lett. 75, 1687.
9. K. B. Davis, M.-O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D.
S. Durfee, D. M. Kurn, and W. Ketterle (1995), Bose-Einstein Condensation
in a Gas of Sodium Atoms, Phys. Rev. Lett. 75, 3969 .
10. M. Lewenstein, A. Sanpera, and V. Ahufinger (2012), Ultracold Atoms
in Optical Lattices: Simulating Quantum Many-body Systems, Oxford
University Press.
11. Lê Đức Ánh, Hoàng Anh Tuấn, Nguyễn Toàn Thắng, Giáo trình Vật lý
hệ nhiều hạt I và II (bản thảo).

45. 39
12. Trần Minh Tiến, 2017, “Cơ sở vật lý hệ nhiều hạt”, NXB Khoa học và
Công nghệ, VHLKH&CN Việt Nam.
13. Nguyễn Toàn Thắng, Bài giảng “ Vật lý hệ các nguyên tử siêu lạnh”.
14. F. Gebhard (1997), The Mott Metal-insulator Transition: Models and
Methods, Springer.
15. S. Sachdev (1999), Quantum Phase Transitions, Cambridge University
Press.
16. M. Greiner, O. Mandel, T. Esslinger, T. W. Hansch, and I. Bloch
(2002)
Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in a gas
of ultracold atoms, Nature 415, 39 .
17. W. Zwerger (2003) Mott-Hubbard transition of cold atoms in optical
lattices. J Opt B Quantum Semiclass 5, 9
18. D. Jaksch, C. Bruder, J. Cirac, C. Gardiner and P. Zoller (1998),
Cold bosonic atoms in optical lattices Phys. Rev. Lett 81, 3108.
19. R. Grimm, M. Weidemu ller, and Y. B. Ovchinnikov (2000), Optical
dipole traps for neutral atoms. Molecular and Optical Physics, 42, 95.
20. D. van Oosten, P. van der Stratenand H. Stoof, Quantum phases in an
optical lattice, Phys. Rev. A 63, 53601 (2001).
21. V.I. Yukalov (2009), Cold bosons in Optical Lattices
Laser Phys. 19, 1.
22. V.I. Yukalov (2013), Theory of cold atoms: Basics of quantum
statistics, Laser Phys. 23, 062001.
23. K. Sengupta and N. Dupuis (2005), Mott insulator to superfluid
transition in the Bose-Hubbard model: a strong coupling approach, Phys.
Rev. A71, 033629.
24. K. Sheshadri et al. (1993), Superfluid and insulating phases in an

46. 40
interacting-boson model: mean field theory and the RPA, Europhys. Lett. 22,
257.
25. F.S. Nogueira (2010), Introduction to the field theory of classical and
quan tum phase transitions, Lecture notes.