Luận văn thạc sĩ toán học - Một số lớp phương trình diophantine. Phương trình Diophantine là một trong những chủ đề sâu sắc và rất rộng của Lý thuyết số. Mục đích của chương này là nghiên cứu về phương trình Diophantine bậc nhất hai và nhiều ẩn. Như một minh họa cho lý thuyết, các ví dụ là các bài toán trích từ các đề thi sẽ được trình bày.
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành hình học và topo với đề tài: Về đa thức jones của nút, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Luận văn thạc sĩ toán học - Một số lớp phương trình diophantine. Phương trình Diophantine là một trong những chủ đề sâu sắc và rất rộng của Lý thuyết số. Mục đích của chương này là nghiên cứu về phương trình Diophantine bậc nhất hai và nhiều ẩn. Như một minh họa cho lý thuyết, các ví dụ là các bài toán trích từ các đề thi sẽ được trình bày.
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành hình học và topo với đề tài: Về đa thức jones của nút, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Luận văn thạc sĩ - Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi. Định nghĩa 1.2.1. Một đa thức d(x) chia hết hai đa thức f (x) và g(x) gọi là ước chung của f (x) và g(x). Nếu d(x) là một ước chung chia hết cho mọi ước chung khác của hai đa thức f (x) và g(x) đúng thì ta gọi d(x) là ước chung lớn nhất của f (x) và g(x) .
Các Chuyên đề Bồi dưỡng ôn thi vào lớp 6 môn Toán các trường chuyên. Mọi thông tin cần hỗ trợ về tài liệu, giáo viên giảng dạy bồi dưỡng Toán tiểu học, vui lòng liên hệ: 0936.128.126.
Tài liệu trọng tâm 11 chuyên đề Bồi dưỡng nâng cao Toán lớp 4 - Lớp 5 ôn thi ...Bồi dưỡng Toán tiểu học
Tài liệu trọng tâm 11 chuyên đề Bồi dưỡng nâng cao Toán lớp 4 - Lớp 5 ôn thi vào chuyên lớp 6. Mọi thông tin về tài liệu bồi dưỡng nâng cao phát triển môn Toán tiểu học, giáo viên giảng dạy, vui lòng liên hệ: 0936.128.126.
Sáng kiến kinh nghiệm đổi mới phương pháp giảng dạy Toán họcHọc Tập Long An
Toán học là một môn khoa học suy diễn. Các kết luận Toán học đều được chứng minh một cách chặt chẽ, toán học cũng đã phải tiến hành xét các trường hợp cụ thể, riêng biệt.Do vậy mời các bạn hãy đến với Sáng kiến kinh nghiệm đổi mới phương pháp giảng dạy Toán học nhằm giảng dạy và học tập tốt nhất.
Luận văn Ứng Dụng Hình Học Giải Tích Vào Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Và Hệ Phương Trình Đại Số, các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com
Tiểu Luận phân tích thực chất cuộc cách mạng triết học do mác - ăngghen thực hiện và ý nghĩa của nó. Triết học Mác đã khắc phục sự tách rời thế giới quan duy vật và phép biện chứng trong lịch sử phát triển của triết học. Mác và Ăngghen đã giải thoát chủ nghĩa duy vật khỏi tính hạn chế siêu hình, Mác đã làm cho chủ nghĩa duy vật trở nên hoàn bị và mở rộng học thuyết ấy từ chỗ nhận thức giới tự nhiên đến chỗ nhận thức xã hội loài người: “Chủ nghĩa duy vật lịch sử của Mác là thành tựu vĩ đại nhất của tư tưởng khoa học”. Cuộc cách mạng Mác-Anggen là cơ sở lý luận vững chắc giúp định hướng cho việc đấu tranh giải phóng giai cấp vô sản trên thế giới. Cũng là cơ sở cho các cuộc cách mạng đấu tranh giải phóng dân tộc áp bức trên thế, trong đó có Việt Nam ta.
Luận văn thạc sĩ - Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm Green đa cực. Chương 1: Trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết đa thế vị: hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford và Taylor, hàm Green đa phức.
Luận văn thạc sĩ - Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi. Định nghĩa 1.2.1. Một đa thức d(x) chia hết hai đa thức f (x) và g(x) gọi là ước chung của f (x) và g(x). Nếu d(x) là một ước chung chia hết cho mọi ước chung khác của hai đa thức f (x) và g(x) đúng thì ta gọi d(x) là ước chung lớn nhất của f (x) và g(x) .
Các Chuyên đề Bồi dưỡng ôn thi vào lớp 6 môn Toán các trường chuyên. Mọi thông tin cần hỗ trợ về tài liệu, giáo viên giảng dạy bồi dưỡng Toán tiểu học, vui lòng liên hệ: 0936.128.126.
Tài liệu trọng tâm 11 chuyên đề Bồi dưỡng nâng cao Toán lớp 4 - Lớp 5 ôn thi ...Bồi dưỡng Toán tiểu học
Tài liệu trọng tâm 11 chuyên đề Bồi dưỡng nâng cao Toán lớp 4 - Lớp 5 ôn thi vào chuyên lớp 6. Mọi thông tin về tài liệu bồi dưỡng nâng cao phát triển môn Toán tiểu học, giáo viên giảng dạy, vui lòng liên hệ: 0936.128.126.
Sáng kiến kinh nghiệm đổi mới phương pháp giảng dạy Toán họcHọc Tập Long An
Toán học là một môn khoa học suy diễn. Các kết luận Toán học đều được chứng minh một cách chặt chẽ, toán học cũng đã phải tiến hành xét các trường hợp cụ thể, riêng biệt.Do vậy mời các bạn hãy đến với Sáng kiến kinh nghiệm đổi mới phương pháp giảng dạy Toán học nhằm giảng dạy và học tập tốt nhất.
Luận văn Ứng Dụng Hình Học Giải Tích Vào Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Và Hệ Phương Trình Đại Số, các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com
Tiểu Luận phân tích thực chất cuộc cách mạng triết học do mác - ăngghen thực hiện và ý nghĩa của nó. Triết học Mác đã khắc phục sự tách rời thế giới quan duy vật và phép biện chứng trong lịch sử phát triển của triết học. Mác và Ăngghen đã giải thoát chủ nghĩa duy vật khỏi tính hạn chế siêu hình, Mác đã làm cho chủ nghĩa duy vật trở nên hoàn bị và mở rộng học thuyết ấy từ chỗ nhận thức giới tự nhiên đến chỗ nhận thức xã hội loài người: “Chủ nghĩa duy vật lịch sử của Mác là thành tựu vĩ đại nhất của tư tưởng khoa học”. Cuộc cách mạng Mác-Anggen là cơ sở lý luận vững chắc giúp định hướng cho việc đấu tranh giải phóng giai cấp vô sản trên thế giới. Cũng là cơ sở cho các cuộc cách mạng đấu tranh giải phóng dân tộc áp bức trên thế, trong đó có Việt Nam ta.
Luận văn thạc sĩ - Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm Green đa cực. Chương 1: Trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết đa thế vị: hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford và Taylor, hàm Green đa phức.
Similar to Ứng Dụng Số Phức Trong Các Bài Toán Sơ Cấp.doc (20)
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Môn Khoa Học Tự Nhiên Theo Chuẩn Kiến Thức Và Kỹ Năng Ở Các Trường Thcs Trên Địa Bàn Quận Liên Chiểu, Thành Phố Đà Nẵng, các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com
Quản Lý Thu Thuế Giá Trị Gia Tăng Đối Với Doanh Nghiệp Ngoài Quốc Doanh Trên Địa Bàn Thành Phố Quy Nhơn, Tỉnh Bình Định, các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com
Thu Hút Nguồn Nhân Lực Trình Độ Cao Vào Các Cơ Quan Hành Chính Nhà Nước Tỉnh Quảng Bình, các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thương Mại Cổ Phần Ngoại Thương Việt Nam, các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com
Vaporisation Of Single And Binary Component Droplets In Heated Flowing Gas Stream And On Solid Sphere, các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Trường Thpt Trên Địa Bàn Huyện Sơn Hà Tỉnh Quảng Ngãi Đáp Ứng Yêu Cầu Đổi Mới Giáo Dục Trong Giai Đoạn Hiện Nay, các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Ngắn Hạn Tại Ngân Hàng Công Thƣơng Chi Nhánh Đắk Lắk, các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com
Quản Lý Hoạt Động Giáo Dục Ngoài Giờ Lên Lớp Ở Các Trường Thcs Huyện Chư Păh Tỉnh Gia Lai Theo Hướng Tổ Chức Hoạt Động Trải Nghiệm Sáng Tạo, các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Ngoại Ngữ Tại Các Trung Tâm Ngoại Ngữ - Tin Học Trên Địa Bàn Thành Phố Pleiku Tỉnh Gia Lai, các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thƣơng Mại Cổ Phần Bản Việt – Chi Nhánh Đà Nẵng, các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Trung Và Dài Hạn Tại Ngân Hàng Thương Mại Cổ Phần Bản Việt - Chi Nhánh Đăklăk., các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com
GIAO TRINH TRIET HOC MAC - LENIN (Quoc gia).pdfLngHu10
Chương 1
KHÁI LUẬN VỀ TRIẾT HỌC VÀ TRIẾT HỌC MÁC - LÊNIN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức: Trang bị cho sinh viên những tri thức cơ bản về triết học nói chung,
những điều kiện ra đời của triết học Mác - Lênin. Đồng thời, giúp sinh viên nhận thức được
thực chất cuộc cách mạng trong triết học do
C. Mác và Ph. Ăngghen thực hiện và các giai đoạn hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin;
vai trò của triết học Mác - Lênin trong đời sống xã hội và trong thời đại ngày nay.
2. Về kỹ năng: Giúp sinh viên biết vận dụng tri thức đã học làm cơ sở cho việc nhận
thức những nguyên lý cơ bản của triết học Mác - Lênin; biết đấu tranh chống lại những luận
điểm sai trái phủ nhận sự hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin.
3. Về tư tưởng: Giúp sinh viên củng cố niềm tin vào bản chất khoa học và cách mạng
của chủ nghĩa Mác - Lênin nói chung và triết học Mác - Lênin nói riêng.
B. NỘI DUNG
I- TRIẾT HỌC VÀ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TRIẾT HỌC
1. Khái lược về triết học
a) Nguồn gốc của triết học
Là một loại hình nhận thức đặc thù của con người, triết học ra đời ở cả phương Đông và
phương Tây gần như cùng một thời gian (khoảng từ thế kỷ VIII đến thế kỷ VI trước Công
nguyên) tại các trung tâm văn minh lớn của nhân loại thời cổ đại. Ý thức triết học xuất hiện
không ngẫu nhiên, mà có nguồn gốc thực tế từ tồn tại xã hội với một trình độ nhất định của
sự phát triển văn minh, văn hóa và khoa học. Con người, với kỳ vọng được đáp ứng nhu
cầu về nhận thức và hoạt động thực tiễn của mình đã sáng tạo ra những luận thuyết chung
nhất, có tính hệ thống, phản ánh thế giới xung quanh và thế giới của chính con người. Triết
học là dạng tri thức lý luận xuất hiện sớm nhất trong lịch sử các loại hình lý luận của nhân
loại.
Với tư cách là một hình thái ý thức xã hội, triết học có nguồn gốc nhận thức và nguồn
gốc xã hội.
* Nguồn gốc nhận thức
Nhận thức thế giới là một nhu cầu tự nhiên, khách quan của con người. Về mặt lịch
sử, tư duy huyền thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là loại hình triết lý đầu tiên mà con
người dùng để giải thích thế giới bí ẩn xung quanh. Người nguyên thủy kết nối những hiểu
biết rời rạc, mơ hồ, phi lôgích... của mình trong các quan niệm đầy xúc cảm và hoang
tưởng thành những huyền thoại để giải thích mọi hiện tượng. Đỉnh cao của tư duy huyền
thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là kho tàng những câu chuyện thần thoại và những tôn
9
giáo sơ khai như Tô tem giáo, Bái vật giáo, Saman giáo. Thời kỳ triết học ra đời cũng là
thời kỳ suy giảm và thu hẹp phạm vi của các loại hình tư duy huyền thoại và tôn giáo
nguyên thủy. Triết học chính là hình thức tư duy lý luận đầu tiên trong lịch sử tư tưởng
nhân loại thay thế được cho tư duy huyền thoại và tôn giáo.
Trong quá trình sống và cải biến thế giới, từng bước con người có kinh nghiệm và có
tri thức về thế giới. Ban đầu là những tri thức cụ thể, riêng lẻ, cảm tính. Cùng với sự tiến
bộ của sản xuất và đời sống, nhận thức của con người dần dần đạt đến trình độ cao hơn
trong việc giải thích thế giới một cách hệ thống
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
:
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
CÁC BIỆN PHÁP KỸ THUẬT AN TOÀN KHI XÃY RA HỎA HOẠN TRONG.pptxCNGTRC3
Cháy, nổ trong công nghiệp không chỉ gây ra thiệt hại về kinh tế, con người mà còn gây ra bất ổn, mất an ninh quốc gia và trật tự xã hội. Vì vậy phòng chông cháy nổ không chỉ là nhiệm vụ mà còn là trách nhiệm của cơ sở sản xuất, của mổi công dân và của toàn thể xã hội. Để hạn chế các vụ tai nạn do cháy, nổ xảy ra thì chúng ta cần phải đi tìm hiểu nguyên nhân gây ra các vụ cháy nố là như thế nào cũng như phải hiểu rõ các kiến thức cơ bản về nó từ đó chúng ta mới đi tìm ra được các biện pháp hữu hiệu nhất để phòng chống và sử lý sự cố cháy nổ.
Mục tiêu:
- Nêu rõ các nguy cơ xảy ra cháy, nổ trong công nghiệp và đời sống; nguyên nhân và các biện pháp đề phòng phòng;
- Sử dụng được vật liệu và phương tiện vào việc phòng cháy, chữa cháy;
- Thực hiện được việc cấp cứa khẩn cấp khi tai nạn xảy ra;
- Rèn luyện tính kỷ luật, kiên trì, cẩn thận, nghiêm túc, chủ động và tích cực sáng tạo trong học tập.
GIÁO TRÌNH 2-TÀI LIỆU SỬA CHỮA BOARD MONO TỦ LẠNH MÁY GIẶT ĐIỀU HÒA.pdf
https://dienlanhbachkhoa.net.vn
Hotline/Zalo: 0338580000
Địa chỉ: Số 108 Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội
GIÁO TRÌNH 2-TÀI LIỆU SỬA CHỮA BOARD MONO TỦ LẠNH MÁY GIẶT ĐIỀU HÒA.pdf
Ứng Dụng Số Phức Trong Các Bài Toán Sơ Cấp.doc
1. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
____________________
NGUYỄN MINH HOÀNG
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC
BÀI TOÁN SƠ CẤP
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng – Năm 2016
2. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hoàng Trí
Phản biện 1: TS. Nguyên Duy Thái Sơn
Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến
Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc
sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016.
Có thể tìm hiểu luận văn tại :
Trung tâm Thông tin- Học liệu, Đại học Đà Nẵng
Thư viện trường Đại học Sư phạm , Đại học Đà Nẵng
3. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong các ngành của toán học thì số phức xuất hiện khá muộn kể từ thế kỷ XVI
khi các nhà toán học nghiên cứu về các phương trình đại số. Mặc dù sinh sau nhưng số
phức có rất nhiều đóng góp trong các ngành toán học như đại số, giải tích , lượng giác,
hình học…
Ở trường phổ thông thì học sinh chỉ được tiếp xúc với số phức khi học đến lớp
12. Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh chỉ mới
biết được những kiến thức cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số
phức còn khá hạn chế, đặc biệt là khai thác số phức để giải quyết các bài toán sơ cấp
khó.
Nhằm mục đích đào sâu tìm hiểu về số phức, các ứng dụng của số phức trong việc
giải các bài toán sơ cấp và đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề tài phù hợp mà
sau này có thể phục vụ cho việc giảng dạy của mình ở trường trung học phổ thông nên
tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng số phức trong các bài toán sơ cấp”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm nghiên cứu các ứng dụng của số phức trong việc giải một số dạng toán
thường gặp trong các đề thi cao đẳng, đại học cũng như thi học sinh giỏi. Phân tích
cách giải có sử dụng số phức và so sánh với những cách giải không sử dụng số phức
để rút ra ưu, nhược điểm trong từng cách giải.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu: Các ứng dụng của số phức trong các bài toán sơ cấp
phổ thông : đại số, giải tích, lượng giác, hình học.
3.2. Phạm vi nghiên cứu: Từ các nguồn tài liệu, giáo trình của các thầy, cô có
nhiều kinh nghiệm trên cùng lĩnh vực, các tài liệu trên mạng và các tài liệu ôn thi cao
đẳng, đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi, các tạp chí toán học…
4. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
2
4. Phương pháp nghiên cứu
- Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài liệu trên
internet có liên quan đến đề tài của luận văn) để thu thập thông tin và tập hợp các bài
toán phục vụ cho yêu cầu của đề tài.
- Trao đổi, thảo luận với Thầy hướng dẫn khoa học.
5. Ý nghĩa khoa học
Xây dựng được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi
toán ở bậc trung học phổ thông. Góp phần thiết thực cho việc dạy và học toán ở nhà
trường, đem lại niềm say mê, hứng thú, sáng tạo cho giáo viên và học sinh.
6. Cấu trúc luận văn
Dự kiến cấu trúc của luận văn gồm:
Chương 1: Số phức và các khái niệm cơ bản
Chương 2: Ứng dụng của số phức trong lượng giác, đại số
Chương 3: Ứng dụng của số phức trong hình học
Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành luận văn. Tuy nhiên do thời gian và trình độ có
hạn, chắc chắn luận văn sẽ không thể tránh khỏi các thiếu sót, tác giả rất mong nhận
được sự chỉ bảo tận tình của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân
thành cảm ơn!
5. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
3
CHƯƠNG 1
SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
Tương truyền vào những năm đầu thế kỉ XVI, có lẽ trên thế giới chưa ai biết cách
giải phương trình bậc 3. Có nguồn tin nói rằng một giáo sư toán trường ĐH Bologne
(Ý) tên là Scipione del Ferro ( 1465-1526) đã biết cách giải phương trình x 3
px q ,
nhưng ông không hề công bố, người ra nghĩ rằng cách giải của ông chưa hoàn chỉnh.
Mãi đến khi ông sắp qua đời, ông mới truyền lại cách giải (chưa hoàn chỉnh) cho học
trò ông là một nhà toán học ít tên tuổi là Antonio Mario Fior.
Nhưng dù có nguồn tin như vậy, Tartaglia vẫn tìm ra cách giải một độc lập.
Nhưng Fior không tin, tìm cách giảm uy tín của Tartaglia bèn thách thức Tartaglia giả
30 phương trình bậc 3 trong 2h. Ngược lại , Fior cũng nhận thách thức sẽ giải 30
phương trình bậc 3 do Tartaglia đặt ra.
Thời bấy giờ, việc giải các phương trình bậc 3 nói trên đều được làm một cách mò
mẫm. Trong đêm 12 sáng ngày 13 tháng hai năm 1535 là hạn cuối cùng cuộc thi giữa
Tartaglia và Fior thì Tartaglia đã tìm ra cách giải tổng quát 30 phương trình mà Fior
đã ra cho ông trong khi đó thì Fior đang bí và chỉ giải được một phương trình mà thôi
vì vậy chi sau vài giờ là Tartaglia đã giải xong toàn bộ để lãnh thưởng là 30 bữa tiệc
liên tiếp. Ông giữ kín phương pháp giải, hy vọng còn dự thi lần nữa để lấy thưởng.
Cardano (1501-1576) lúc này cũng chưa tìm ra cách giải phương trình bậc 3 trong
trường hợp tổng quát. Khi nghe tin Tartaglia thắng Fior , Cardano muốn gặp ngay
Tartaglia. Tháng 3 năm 1539 nhân gặp Tartaglia ở Milan, Cardano bèn chớp cơ hội
nhơ Tartaglia bày cho mình cách giải tổng quát phương trình bậc 3. Cardano phải thề
thốt rằng sẽ không bao giờ truyền cho ai “bí mật” này hoặc công bố trên sách, báo chí.
Nhưng sau đó nghe loáng thoáng rằng giáo sư Scipione del Ferro đã tìm ra cách giải
trước Tartaglia nên Cardano đã không giữ lời hứa với Tartaglia bèn cho công bố trong
tác phẩm của ông là Ars magna vào năm 1545.
6. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
4
Tartaglia vô cùng tức giận, bèn quyết tâm vạch mặt Cardano trong quyển sách
của mình nhan đề “New Problems and inventions”. Từ đó xảy ra cuộc cải vã giữa hai
người này, và cuộc cải vã này sẽ không có hồi kết thúc nếu như không có sự xuất hiện
công trình nghiên cứu của Bombelli về số ảo. Vì khi đi giải phương trình bậc 3 cả
Tartaglia và Cardano đều chưa biết số phức là gì cho nên nếu gặp phải căn bậc 2 của
số âm thì cả hai đều cho là vô lý.
Nhân nói về Cardano thì ông là một nhà bác học người Ý. Ông sinh năm 1501, đạt
học vị tiến sĩ y khoa năm 1526, nhưng không được hành nghề y, mà trở thành thầy
giáo dạy toán. Ông có trên 200 công trình về các lĩnh vực Toán học, Y học, Triết học,
Thiên văn học, Âm nhạc và Thần học. Năm 1545 ông xuất bản quyển sách “Nghệ
thuật lớn giải các phương trình đại số”. Trong cuốn sách này ông trình bày cách giải
phương trình bậc 3, bậc 4 và đề cập tới căn bậc hai của số âm. Có thể nói sự nghiên
cứu số phức khởi nguồn từ công trình này.
Còn đối với R.Bombelli (1526-1573), người ta xem ông là một kỹ sư đồng thời là
nhà toán học, nhưng ít ai biết lai lịch của ông. Sự đóng góp của nhà khoa học người
Ý này chủ yếu là hệ thống hóa kiến thức về các phép tính số phức. Năm 1560
R.Bombelli viết tác phẩm Đại số trong đó có điều thú vị là ông xét phương trình bậc
3: x 3
m x n và ông chỉ ra rằng phương trình trên có 3 nghiệm thực nếu
n m
là âm.
2 3
Trong trường hợp này công thức của Tartaglia-Cardano không dùng được vì trong
trường hợp này ta gặp phải căn bậc 2 của số âm, là một trở ngại vào thời đó chưa ai
vượt qua nổi. Với sự sáng tạo của mình , Bombelli vẫn dùng công thức trên nhưng tìm
cách vượt qua trở ngại đó. Ví dụ với phương trình x3
15x 4 , ông làm việc với các số có
dạng a b 1 như đối với số thực, ông nhận xét rằng 2 1 là căn bậc 3 của 2 121 và
công thức Cardano-Tartaglia đã cho ông kết quả x 4 là một nghiệm của phương trình x3
15x 4 , còn các nghiệm khác có được là nhờ ba căn bậc 3 của 2 121 . Điều này đưa ông đến
chỗ tìm được các qui tắc tính toán đối với số phức.
Đời sau đánh giá Bombelli là người có công đầu tiên trong việc tìm hiểu số phức.
7. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
5
Đến thế kỷ XVIII bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lượng ảo không
được hình dung một cách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại
rằng I.Newton đã không thừa nhận các đại lượng ảo và không xem các đại lượng ảo
thuộc vào các khái niệm số, còn G.Leibniz thì thốt lên rằng: “Các đại lượng ảo- đó là
nơi ẩn náy đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường như một
giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đấy giữa cái có thật và không có thật”. Thuật
ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gauss( năm 1831) . Vào thế kỷ XVII-XVIII
nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại lượng ảo (số phức!)
và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn L.Euler mở rộng khái niệm logarit
cho số phức bất kì (1738) , còn Moa-vrơ nghiên cứ và giải bài toán căn
bậc tự nhiên đối với số phức (1736).
Sự nghi ngờ đối với số ảo ( số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người Nauy là
C.Wessel đưa sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng trong
công trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh họa số phức cũng được
gọi là “sơ đồ Argand” để ghi nhận công lao của nhà toán học Thụy Sỹ R.Argand-
người thu được kết quả như của Wessel một cách độc lập.
Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có
thứ tự (a ; b ), a R , b R được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là W.Hamilton(1837).
Ở đây đơn vị “ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1) , tức là đơn
vị “ảo” được lí giả một cách hiện thực.
Cho đến thế kỷ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững
chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh chính
xác đầu tiên đối với Định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức C
mọi phương trình đa thức đều có nghiệm.
1.2. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC
Xét tập R 2
R * R {(x , y ) | x , y R}
Hai phần tử (x1, y1) và (x2, y2) bằng nhau khi và chỉ khi :
x
1
x
2
8. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
6
Ta xây dựng các phép toán trên R2
như sau: z1 ( x1 ; y1 ), z 2 ( x2 ; y 2 )
R2
Phép cộng : z1 z 2 (x1 x 2 , y1 y2 )
Phép nhân: z1 . z 2 (x1 x 2 y1 y 2 , x1 y 2 x 2 y1 )
Định nghĩa 1.2.
Tập R2
cùng với hai phép toán cộng và nhân được định nghĩa như trên gọi là tập
số phức C, phần tử ( x , y ) C là một số phức.
Kí hiệu C*
để chỉ tập hợp C{(0;0)}.
Định lý 1.2.2.
(C,+,.) là một trường ( nghĩa là trên C với các phép toán đã định nghĩa có các tính
chất tương tự trên R với các phép toán cộng nhân thông thường)
1.3. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
1.3.1. Xây dựng số i
f : R R {0}
Xét tương ứng
Dễ thấy f là ánh xạ và hơn nữa là một song ánh.
Ngoài ra ta cũng có: (x ,0) ( y ,0) (x y ,0); (x ,0)( y ,0) (xy,0)
Vì là song ánh nên ta có thể đồng nhất (x ,0) x
Đặt i (0,1) thì i2
(0,1)(0,1) ( 1,0) 1
và z (x , y ) (x ,0) (0, y ) ( x ,0) ( y ,0)(0,1) x yi
Từ đó ta có kết quả sau:
Định lí 1.3.1.
Mỗi số phức z ( x , y ) R2
có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng z x
yi , x , y R trong đó i2
1.
Biểu thức x yi được gọi là dạng đại số của số phức z (x ; y)
Kí hiệu : x Re(z) gọi là phần thực của số phức z
y Im(z) gọi là phần ảo của số phức z
Chú ý
Số phức z a 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là
a 0i a R C
9. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
7
Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo ( còn gọi là số thuần ảo) :
z 0 bi bi ( b R ); i 0 1i 1i
Số 0 0 0i 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
Hai số phức z a bi ( a , b R ), z ' a ' b ' i ( a ', b ' R) gọi là bằng nhau nếu a a ', b
b ' . Khi đó ta viết z z '
1.3.2. Biểu diễn hình học của số phức
Xét mặt phẳng Oxy . Mỗi số phức z ax bi ( a , b R) được biểu diễn bởi điểm M có tọa
độ (a;b). Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức
z ax bi ( a , b R) . Ta còn viết M ( a bi) hay M ( z) .
Vì thế mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức còn gọi là mặt phẳng phức.
Gốc tọa độ O biểu diễn số 0.
Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, nên gọi là trục thực.
Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn số ảo nên gọi là trục ảo.
1.3.3. Phép cộng và phép trừ số phức
a. Tổng của hai số phức
Định nghĩa 1.3.3.
Tổng của hai số phức z a bi ( a , b R ), z ' a ' b ' i ( a ', b ' R) là số phức z z ' a
a ' ( b b ')i
Tinh chất của phép cộng số phức:
Tính chất kết hợp:
(z z ') z '' z ( z ' z "), z , z ', z " C
Tính chất giao hoán:
z z ' z ' z , z , z ' C
Cộng với 0:
z 0 0 z z , z C
Với mỗi số phức z a bi ( a , b R) , nếu kí hiệu số phức a bi là z thì ta có:
z ( z ) ( z ) z 0
Số z được gọi là số đối của số phức z.
10. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
8
b. Phép trừ hai số phức
Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z với –z’ tức là:
z z ' z ( z ')
Nếu z a bi ( a , b R ), z ' a ' b ' i ( a ', b 'R) thì:
z z ' a a ' ( b b ')i
Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ
Trong mặt phẳng phức , ta coi điểm M có tọa độ (a;b) biểu diễn số phức z a bi
. Ta cũng coi mỗi vecto u có tọa độ (a;b) biểu diễn số phức
Khi đó, nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là vecto
phức đó.
Dễ thấy rằng, nếu u , u ' theo thứ tự biểu diễn các số phức z , z ' thì
OM biểu diễn số
z a bi
11. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
u u ' biểu diễn số phức z z '
u u ' biểu diễn số phức z z ' .
1.3.4. Phép nhân số phức
a. Tích của hai số phức
Cho hai số phức z a bi ( a , b R ), z ' a ' b ' i ( a ', b ' R) . Thực hiện phép nhân một cách
hình thức biểu thức a bi với biểu thức a ' b ' i rồi thay i2
1, ta được
(a bi )(a ' b ' i ) aa ' bb ' i 2
( ab " a ' b )i aa ' bb ' ( ab ' a ' b )i
Định nghĩa 1.3.4
12. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Tích của hai số phức z a bi ( a , b R ), z ' a ' b ' i ( a ', b ' R) là số phức zz ' aa '
bb ' ( ab ' a ' b )i
Nhận xét 1.3.4.
Với mọi số thực k và mọi số phức a bi ( a , b R) thì:
k ( a bi ) (k 0i )(a bi ) k a kbi
Đặc biệt : 0z 0, z C
b. Tính chất của phép nhân số phức
Tính chất giao hoán:
zz ' z ' z , z , z ' C
13. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
9
Tính chất kết hợp:
(z z ')z '' z ( z ' z "), z , z ', z " C
Nhân với 1:
1. z z.1 z , z C
Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
z ( z ' z ") zz' zz ", z , z ', z " C
1.3.5. Số phức liên hợp và môđun của số phức
a. Số phức liên hợp
Định nghĩa
Số phức liên hợp của số phức z a bi ( a , b R) là z a bi
Nhận xét
z z
Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng với
nhau qua trục thực Ox.
Định lý
1. z z , z R
2. z. z R
3. z1 z 2 z1 z2
4. z1 z 2 z1 z 2 , z1 , z 2 C
5. z 1
( z ) 1
, z C
6.
z
1
z
1
, z1 , z 2 C
z2
z
2
7. Re(z )
z z
, Im(z)
z z
2 2i
b. Môđun của số phức
Định nghĩa
Môđun của số phức z a bi ( a , b R) là số thực không âm a 2
b2
và được kí
hiệu là | z |
14. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
10
Định lý
Cho số phức z thì
1.| z | Re(z ) | z | và | z | Im(z ) | z |
2.| z | 0
3.| z | | z | | z |
4.| z1 . z 2 | | z1 || z2 |
5. | z1 | | z 2 | | z1 z 2 | | z1 | | z2 |
6.| z 1
| | z | 1
7.
z1
z
2
| z1 | , z2 0
| z2 |
1.3.6. Phép chia cho số phức khác 0
Định nghĩa 1.3.6.
Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là z 1 1
.
z
2
| z |
Thương
z '
của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số
z
phức nghịch đảo của z, tức là
z '
z ' .z 1
z
1.3.7. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
a. Căn bậc hai của số phức
Định nghĩa
Cho số phức w a bi ( a , b R) . Mỗi số phức z x yi ( x , y R) gọi là một căn bậc
hai của w khi và chỉ khi :
2 x 2
y 2
a
z
w
2xy b
b. Phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai có dạng: Az 2
Bz C 0( A 0) . Trong đó A, B, C là các số
phức
Cách giải:
Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép
15. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
11
B
z z
1 2 2A
Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
z B , z B
2
1
2A 2A
trong đó là một căn bậc hai của
1.4. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
1.4.1. Acgumen của số phức z 0
Định nghĩa 1.4.1.
Cho số phức z 0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số đo
(rađian) của một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đươc gọi là một acgumen của
z.
Nhận xét 1.4.1.
Nếu là một agumen của z thì mọi acgumen của z có dạng k 2 , k Z
Hai số phức z và lz ( với z 0 là l là số thực dương) có acgumen sai khác k2 ,vì các
điểm biểu diễn của chúng cùng thuộc một tia gốc O.
1.4.2. Dạng lượng giác của số phức
Xét số phức z a bi 0(a , b R)
Kí hiệu r là môđun của z và là một acgumen của z thì dễ thấy:
a rc os , b r sin . Từ đây ta có
Định nghĩa 1.4.2.
Dạng z r ( cos i sin ) trong đó r 0 được gọi dạng lượng giác của số phức z 0
1.4.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Định lí 1.4.3.
Nếu z r ( cos i sin )
z ' r '(cos ' i sin ') (r,r' 0)
thì zz ' rr '[cos(') isin(')]
z r [ cos(') i sin(')] ( khi r 0 )
z ' r '
16. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
12
1.4.4. Công thức Moa-vrơ
Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng
suy ra rằng với mọi số nguyên dương n[r ( c os isin )]n
r n
(cos n i sin n )
Đặc biệt: khi r 1thì: (c os i sin ) n
cos n i sin n
1.4.5. Căn bậc n của số phức dưới dạng lượng giác
Định nghĩa 1.4.5.
Ta gọi số phức z là căn bậc n của số phức w nếu
zn
w ( n là số nguyên cho trước, n 1 )
Định lí 1.4.5.
Khi w 0 , ta viết w dưới dạng lượng giác w R ( c os i sin ), R 0 . Khi đó căn bậc n của
w là số phức z n
R [(cos(
k 2
) i sin(
k2
)] . Lấy k 0,1,..., n 1 ta
n n n n
được n căn bậc n phân biệt của w.
17. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
13
CHƯƠNG 2
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG
ĐẠI SỐ, LƯỢNG GIÁC
2.1. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
Trong phần này ta xét các bài toán lượng giác hay gặp như tính giá trị lượng giác
của một biểu thức, chứng minh đẳng thức lượng giác, giải phương trình lượng giác,...
Đôi khi có những bài toán khá khó khăn để giải thuần túy bằng lượng giác. Việc áp
dụng các kiến thức về số phức, công thức Moa-vrơ, khai triển nhị thức Newton sẽ giúp
ta giải quyết các bài toán nhẹ nhàng, tự nhiên hơn.
Bài toán 2.1.1.
Tính giá trị biểu thức : A sin
2
?
5
Bài toán 2.1.2.
Tính giá trị biểu thức B cos c os
2
cos
3
( IMO lần 5)
7 7 7
Bài toán 2.1.3.
Tính giá trị biểu thức: C c os c os
3
cos
5
cos
7
cos
9
?
11 11 11 11 11
Bài toán 2.1.4.
Tính giá trị biểu thức:
D c os c os
2
cos
3
... cos
2016
3 3 3 3
Bài toán 2.1.5.
Tính giá trị biểu thức với n Z*, a 2 k , k Z :
E c osx c os(x a ) c os(x 2a) ... c os(x na) ?
Bài toán 2.1.6.
Tính tích F cos .cos
2
.cos
4
9 9 9
18. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
14
Bài toán 2.1.7.
Cho x , y , z R ,sin x sin y sin z 0,cos x cos y cos z 0 . Chứng minh:
sin 2x sin 2 y sin 2z 0 và cos 2x cos 2 y cos 2z 0
Bài toán 2.1.8.
Chứng minh cos 2
cos 2 5 cos2 7 3
18 2
18 18
Bài toán 2.1.9.
Chứng minh: c os3x 4 c os 3
x 3c osx; sin 3x 3sin x 4 sin3
x
Bài toán 2.1.10.
Chứng minh
sin 5x 5cos4
x sin x 10cos2
x sin3
x sin5
x
cos5x cos5
x 10cos4
x sin2
x 5cos x . sin4
x
Bài toán 2.1.11.
Biểu diễn cos nx;sin nx theo các lũy thừa của c osx;sin x
Bài toán 2.1.12.
Chứng minh :
cos 4
x 1 ( cos4 x 4 cos 2 x 3), sin 4
x 1 (cos 4 x 2 cos 2 x 3)
8 8
cos 5
x 1 (cos 5 x 5cos 3 x 10 cos x );sin 5
x 1 (sin 5 x 5sin 3 x 10 sin x)
16 16
Bài toán 2.1.13.
Biểu diễn c os n
x , sinn
x theo các hàmsin x , cos x
Bài toán 2.1.14.
Giải phương trình : cos x cos 2 x cos 3 x 1
2.2. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ
2.2.1. Ứng dụng số phức giải hệ phương trình
Xét hai số phức z a bi , z ' a ' b ' i .
Ta có : z z ' a bi
a a '
. Như vậy 2 số phức bằng nhau dẫn tới 1
a ' b ' i
b b '
hệ phương trình. Điều này giúp ta có ý tưởng ngược lại là sử dụng số phức để giải hệ
phương trình.
19. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
15
Cụ thể khi gặp các hệ có dạng đẳng cấp, đối xứng,... ta nhân hai vế của một
phương trình với ki và cộng với phương trình còn lại. Đưa về giải phương trình theo số
phức. Khi biến đổi ta chú ý hay sử dụng các hằng đẳng thức số phức sau :
z 2
(x yi ) 2
x 2
y2
2xyi
z 3
(x yi ) 3
x 3
3xy2
(3x2
y y 3
)i
z 4
x 4
6x2
y 2
y 4
(4x3
y 4xy 3
)i
Sau đây ta xét các bài toán minh họa cho cách làm trên
3
3xy
2
0 (1)
Bài toán 2.2.1. Giải hệ :
x
3x2
y y3
1 (2)
3 3xy 2 1 (1)
Bài toán 2.2.2. Giải hệ:
x
y 3
3x2
y 3 (2)
x 4
6x2
y 2
y4
(1)
3
Bài toán 2.2.3. Giải hệ 1
x 3
y y 3
x (2)
4
Bài toán 2.2.4. Giải hệ :
xy 2x 5y 2 0
(1)
x 2
y 2
10x 4 y 21 0 (2)
3x y
x
3 (1)
x2
y 2
(Tạp chí Kvant)
Bài toán 2.2.5. Giải hệ :
x 3y
y 0 (2)
x
2
y
2
1
3x(1 ) 2
x y
Bài toán 2.2.6. Giải hệ :
(1 1 ) 4
7 y 2
x y
3 2 2 2
Bài toán 2.2.7. Giải hệ :
x xy 7x 7 y 5x 7 5y 0
y 3
x 2
y 7 5x 5y 0
20. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
16
2.2.2. Ứng dụng số phức chứng minh bất đẳng thức
Xét hai số phức z1 x1 y1i ; z 2 x 2 y 2 i thì | z1 z 2 | | z1 | | z2 |
x2 tx1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (t 0)
Chứng minh:
| z1 z 2 | | z1 | | z2 |
(x1 x 2 )2
( y1 y 2 )2
x1
2
y1
2
x 2
2
y2
2
(x1 x 2 )2
( y1 y 2 )2
x1
2
y1
2
x 2
2
y 2
2
2 (x1
2
y1
2
)(x 2
2
y2
2
) x1 x 2 y1
y 2 (x1
2
y1
2
)(x 2
2
y2
2
)
Mà x1 x 2 y1 y 2 | x1 x 2 y1 y 2 | ( x1
2
y1
2
)( x 2
2
y2
2
) (Đúng theo BĐT Bunhiacopxki)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
x1 x2 y1 y2 0
x1
y2
x2
y1
Đặt
x2 kx1 y2 ky1
kx12 ky12 0 k 0
Vậy BĐT cần chứng minh đúng
Mở rộng :
| z1 z 2 ... z n | | z1 | | z 2 | ... | zn |
xi k1 x1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (k 0)
( Dễ dàng chứng minh BĐT trên bằng qui nạp )
Bài toán 2.2.8.
Chứng minh : x 2
4x 7 x 2
4x 7 28( x R)
Bài toán 2.2.9.
Chứng minh : x 2
4 y 2
2x 1 x 2
4 y 2
6x 12 y 18 5( x R)
Bài toán 2.2.10.
Chứng minh rằng: x 2
xy y 2
x 2
x z z 2
y 2
yz z2
x , y , z R
Bài toán 2.2.11.
Chứng minh rằng x , y , z R :
4sin2
x sin2
y sin2
(x y ) 4 cos2
x cos2
y sin2
(x y) 2
21. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
17
Bài toán 2.2.12.
Chứng minh rằng a , b, c 0 :
a 2
ab b 2
b 2
bc c 2
c 2
ca a 2
3( a b c)
(Đại học quan hệ quốc tế năm 1997)
Bài toán 2.2.13.
Cho a , b, c 0
a b c 1
Chứng minh a 2 1
b 2 1
c2 1
82
a 2
b 2
c2
Dấu “=” xảy ra khi nào ?
22. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
18
CHƯƠNG 3
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC
3.1. KIẾN THỨC SỬ DỤNG
Ta biết rằng mỗi số phức z x yi được biểu diễn bởi một điểm M(x;y) trong mặt
phẳng phức Oxy. Do đó cũng như phương pháp tọa độ, khi đồng nhất mỗi điểm trong
mặt phẳng phức bởi một số phức thì bài toán trong hình học trở thành bài toán với số
phức. Do đó ta có thể sử dụng số phức để giải các bài toán hình học.
3.1.1. Khoảng cách giữa hai điểm
Giả sử các số phức z1, z2 có biểu diễn hình học là các điểm M1, M2 khi đó khoảng
cách giữa hai điểm M1 và M2 được cho bởi công thức
3.1.2. Điều kiện để điểm nằm giữa hai điểm
Cho A(a), B(b) là hai điểm phân biệt trong mặt phẳng phức. Khi đó điểm M(m)
nằm giữa A và B nếu thỏa mãn hệ thức sau :
m a , m b
| a m | | m b | | a b |
3.1.3. Chia đoạn thẳng theo một tỉ số
Cho hai điểm A(a), B(b) phân biệt. Một điểm M(z) nằm trên đường thẳng AB chia
đoạn AB theo tỉ số k R {1} khi hệ thức vecto sau thỏa mãn:
MA k MB
a z k ( b z)
a kb 1 k
z a b
k
Nhận xét: Nếu đặt t thì M, A, B thẳng hàng z (1 t ) a tb .
3.1.4. Góc định hướng, góc giữa hai đường thẳng
Một tam giác được định hướng nếu như các đỉnh của nó được chỉ rõ thứ tự. Tam
giác có hướng dương nếu hướng các đỉnh ngược chiều kim đồng hồ, hướng âm nếu
ngược chiều kim đồng hồ. Lấy M1(z1) và M2(z2) là hai điểm phân biệt khác gốc tọa độ
trong mặt phẳng phức Oxy. Góc M1OM2 được gọi là góc định hướng nếu các điểm
M1, M2 có thứ tự thuận chiều kim đồng hồ.
M 1 M 2 | z 2 z1 |
23. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
19
z2
Khi đó M 1OM2 arg z1
Cho bốn điểm Mk(zk), k 1, 2, 3, 4 thì góc định hướng tạo bởi đường thẳng M1M3
z z
với M2M4 bằng arg 4 2
3.1.5. Hai tam giác đồng dạng
Hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng cùng hướng khi và chỉ khi :
c a c ' a '
b a b ' a '
Và hai tam giác ABC, A’B’C’ đồng dạng ngược hướng khi và chỉ khi :
c a c ' a '
b a b ' a '
3.1.6. Tích vô hướng của hai số phức
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M1(z1), M2(z2).Khi đó:
Nếu zk có môđun bằng rk và có argument bằng ak thì
OM 1 .OM
OM1OM2 2 . cos M 1OM2
r1 . r2 .c os(a 2 a1 ) r1 r2 (cos a1 c osa2 sin a1 sin a2 )
Nên tích vô hướng của hai số phức z1,z2 là :
z ; z 1( z . . z ) z ; z R
z z z ; z
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Tính chất 3.1.6.
z , z zz | z |2
z , ww, z
z1 z 2 , wz1 , wz2 , w>
<kz, w k z , w>, k R
z , kw k z , w , k R
Nhận xét 3.1.6.
Nếu A(a), B(b), C(c), D(d) là bốn điểm phân biệt của mặt phẳng phức Oxy thì
AB CD b a ; d c 0 Re(
b a
) 0
d c
24. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
20
3.1.7. Phép quay
Phép quay tâm M0(z0) góc quay là phép biến hình biến M(z) thành điểm M’(z’)
mà M 0 M M 0 M '; ( M 0 M ; M 0 M ') . Khi đó ta có công thức:
z ' z0 e i
( z z0 )
3.1.8. Định lí( điều kiện để 3 điểm thẳng hàng)
Ba điểm M1(z1) , M2(z2), M3(z3) thẳng hàng khi và chỉ khi
z
3
z
1 R Im(
z
3
z
1 ) 0
z 2 z1 z 2 z1
3.1.9. Tam giác đều
Cho 3 điểm M1(z1), M2(z2), M3(z3) là đỉnh của tam giác đều định hướng khi và
chỉ khi M 1 M 2 M 1 M3 và góc định hướng quay M1M2 quanh M1 đến vị trí M1M3 là
nghĩa là
z 3 z1 w(z 2 z1 ) z 3 z1 w(z 2 z1 ) ; với w c os600
isin 600 1
i
3
2
2
3.1.10. Phương trình đường thẳng
Đường thẳng d đi qua M1(z1), M2(z2) trong mặt phẳng phức có phương trình là :
z z 2 z z2 ( )z ( z z ) ( z z ) 0
z z z z z
1 2 1 2 1 2 1 2
z1 z2 z1 z2
3.1.11. Đường tròn
Bốn điểm phân biệt M1(z1), M2(z2),M3(z3), M4(z4) cùng nằm trên một đường
thẳng hoặc đường tròn khi k
z3 z 2
: z 3 z4
R
z1 z 2 z1 z4
Số k được gọi là tỉ số kép của bốn điểm M1(z1), M2(z2),M3(z3), M4(z4)
3.1.12. Định lí
Trong mặt phẳng phức cho tam giác ABC với các tọa vị a, b, c. Gọi G, H lần lượt
là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC với các tọa vị g, h tương ứng. Khi đó:
(i) g
a b c
3
(ii) Nếu tam giác ABC nội tiếp đường tròn đơn vị thì h a b c
600
,
25. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
21
3.2. BÀI TẬP
Bài toán 3.2.1.
Cho tứ giác ABCD, trên các cạnh AB,BC, CD, DA ta lần lượt dựng về phía ngoài
của tứ giác các hình vuông có tâm O1, O2, O3, O4. Chứng minh rằng
O1O3 O2O4 ;O1O3 O2O4
Bài toán 3.2.2.
Về phía ngoài của tam giác ABC, lần lượt dựng các tam giác ABR, BCP sao cho
:
0
PBC CAQ 45
0
BCP QCA 30
0
ABR RAB 15
0
(IMO 17th,1975)
Chứng minh: QRP 90 , RQ RP
Bài toán 3.2.3.
Dựng về phía ngoài tam giác ABC ba tam giác đều có hướng dương AC’B, BA’C,
CB’A. Chứng minh rằng các trọng tâm của ba tam giác là đỉnh của một tam giác đều
(Bài toán Napoleon)
Bài toán 3.2.4.
Cho lục giác đều ABCDEF, K là trung điểm của BD, M là trung điểm của EF.
Chứng minh AMK là tam giác đều?
Bài toán 3.2.5.
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng : AB.CD AD. BC AC . BD . Dấu đẳng thức
xảy ra khi và chỉ khi A, B, C, D theo thứ tự tạo thành 4 đỉnh của một tứ giác lồi nội
tiếp đường tròn. (BĐT Ptolemy)
Bài toán 3.2.6.
Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC ta dựng các tam giác đồng dạng
cùng hướng ADB, BEC, CFA. Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác DEF có
cùng trọng tâm
26. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
22
Bài toán 3.2.7.
Cho tam giác ABO đều với tâm S, tam giác đều khác A’B’O có cùng hướng với
tam giác ABO và S A ', S B ' .Gọi M, N lần lượt là trung điểm A’B và AB’. Chứng
minh rằng tam giác SB’M và SA’N đồng dạng (IMO 30th
)
Bài toán 3.2.8.
Trên các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC lấy các điểm E và D tương ứng sao
AD BE 1 0
cho .Chứng minh rằng, nếu P là giao điểm của BD, CE thì APC 90
DC EA 2
Bài toán 3.2.9.
Về phía ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác cân MAB, NAC và PCB theo thứ tự
nhận các điểm M, N,P làm đỉnh góc vuông. Chứng minh rằng: AP MN , AP MN
Bài toán 3.2.10.
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB và
CD, E và F là giao lần lượt của các đường thẳng AD và BC với MN. Chứng minh nếu
AD BC thì
Bài toán 3.2.11.
Gọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng
AB và E là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng CD và OE vuông góc khi
và chỉ khi
Bài toán 3.2.12.
Cho tam giác A1A2A3.Lấy các điểm B1, B2, B3 lần lượt trên các đường thẳng
A2A3, A3A1, A1A2 sao cho A2 B1 k1 B1 A3 ; A3 B2 k2 B2 A1 ; A1 B3 k 3 B3 A2 . Chứng minh rằng
những đường thẳng A1B1, A2B2, A3B3 đồng quy tại 1 điểm khi và chỉ khi k1 k 2 k3 1
(định lí CéVa)
Bài toán 3.2.13.
Cho tam giác A1A2A3.Lấy các điểm B1, B2, B3 lần lượt trên các đường thẳng
A2A3, A3A1, A1A2 sao cho A2 B1 k1 B1 A3 ; A3 B2 k 2 B2 A1 ; A1 B3 k 3 B3 A2 . Chứng minh rằng
ba điểm B1, B2, B3 nằm trên cùng đường thẳng khi và chỉ khi k1 k1 k3 1
(Định lí Menelaus)
AB AC
AEM BFM
27. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
23
Bài toán 3.2.14.
Cho đa giác đều A1A2A3...An nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Chứng minh
rằng với mọi điểm M thì:
( MA1 . MA2 . MA3 ... MAn ) 2
(OM 2
R2
)n
Bài toán 3.2.15.
Cho tam giác đều ABC cạnh t và một điểm M bất kì. Chứng minh rằng:
MA. MB MB. MC MC . MA t2
Bài toán 3.2.16.
Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng :
MB.MC MC.MA MA.MB 1
AB. AC BC. BA CA.CB
Dấu “=” xảy ra khi nào ?
Bài toán 3.2.17.
Cho G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm bất kỳ. Chứng minh
MA2
MB 2
MC 2
GA2
GB 2
GC2
. Từ đó xác định vị trí điểm M sao cho
MA2
MB 2
MC2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 3.2.18.
Cho tam giác ABC có R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh
rằng
Bài toán 3.2.19.
Gọi G, H , O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC. Gọi A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Gọi A2, B2, C2 là chân
đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. Gọi A3, B3, C3 là trung điểm các đoạn thẳng AH,
BH, CH. Chứng minh 9 điểm A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3 nằm trên cùng một
đường tròn ? (đường tròn euler)
Bài toán 3.2.20.
Cho tam giác ABC có trực tâm H và BD là đường cao. Gọi K là trung điểm của
đường cao này. Chứng minh rằng
0
AKC 90 biết BH 3HD .
AB2
BC2
CA2
9R2
28. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 – Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
24
KẾT LUẬN
Qua luận văn này tác giả đã trình bày lịch sử phát triển của số phức và ứng dụng
số phức như một cách khác để giải các bài toán sơ cấp. Cụ thể như sau:
Sử dụng số phức để giải các bài toán lượng giác, đại số.
Sử dụng số phức để giải các bài toán hình học sơ cấp.
Hi vọng rằng công cụ số phức sẽ đem đến những điều thú vị, mới mẻ cho các em
học sinh khá, giỏi cũng như bồi dưỡng năng lực giải toán của các em.
Luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp của các thầy (cô) và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện
tốt hơn.