Finite Grup & Subgrup

Finite Grup &
Subgrup

dj_wiwit@yahoo.com

Finite Grup
Definisi order dari grup
• Bilangan pada suatu anggota grup disebut dengan order.
Order dari grup G dinotasikan dengan |G|.

Dengan demikian, grup Z dari bilangan bulat terhadap
operasi penjumlahan mempunyai order yang tidak
terbatas. Sehingga disebut infinite grup.
• Grup U(10) = {1, 3, 7, 9} terhadap operasi perkalian modulo
10 mempunyai order 4. Sehingga disebut finite grup.

2
Free powerpoint template: www.brainybetty.com

Definisi order dari anggota grup
Order dari anggota g sebuah grup G merupakan bilangan
bulat terkecil positif n dengan

• gn = e (untuk grup terhadap operasi perkalian).
• Untuk grup terhadap operasi penjumlahan dinyatakan
dengan ng = 0. Jika tidak memenuhi definisi di atas, maka
disebut dengan infinite order.

• Order dari anggota g sebuah grup G dinotasikan dengan |g|.

3

Contoh
Diberikan U(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} terhadap operasi
perkalian modulo 15.
• Grup ini mempunyai order grup 8.
• Order masing-masing anggota grup dicari dengan menghitung
gn = e.
• Order dari 1 : 11 = 1, 12 = 1, …….. Jika diteruskan hasilnya
berulang 1.
• Order dari 2 : 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 1
• Order dari 4 : 41 = 4, 42 = 1
• Dengan perhitungan yang sama akan didapat :
• |7| = 4, |8| = 4, |11| = 2, |13| = 4, |14| = 2

4

Subgrup
Definisi :
• Suatu subhimpunan tak kosong H dalam grup G dinamakan
subgrup dari G, jika terhadap operasi yang sama di G,
subhimpunan H sendiri merupakan grup.
(Muhlisah, 2005:45)

Contoh :
• Apabila Z = himpunan bilangan bulat adalah grup terhadap
operasi penjumlahan. Sedangkan Z adalah subhimpunan dari
Q = himpunan bilangan rasional yang juga merupakan grup
terhadap penjumlahan, maka Z dinamakan subgrup dari
grup Q.

5

Lemma 1

A nonempty subset H of the group G is a subgroup of
G if and only if:

6

Bukti Lemma 1:

Jika H subgroup dari G, maka H
subhimpunan tidak kosong dari G.

Menurut definisi, H membentuk grup
dengan operasi yang sama dengan G.
Dengan demikian H memenuhi (a) dan (b).

7

Anggaplah syarat (a) dan (b) berlaku dalam H. Untuk
menunjukkan bahwa H membentuk grup dengan
operasi dalam G, maka harus dapat ditunjukkan
dua syarat lagi, yaitu:
1.dalam H berlaku sifat asosiatif.
Sifat asosiatif dipenuhi karena H merupakan
subhimpunan G.
1.adanya unsur identitas dalam H

Jadi H merupakan subgroup dari G.
8

Contoh

Misalkan G grup bilangan bulat terhadap operasi
penjumlahan, H subgrup dari G yaitu hmpunan
semua bilangan bulat kelipatan 3.
Buktikan bahwa H subgrup dari G.

9

Bukti:
Berdasarkan lemma 1, maka harus dibuktikan jika H
memenuhi sifat tertutup dan memiliki invers. Namun
perlu dibuktikan juga bahwa H tidak sama dengan
nol, dengan demikian:

1. H tidak kosong, karena ada 0 = 3(0) G, yang
berarti 0 di H.
2. Ambil sembarang a,b H, misalkan a = 3n1 dan b = 3n2,

untuk n1, n2 Z. Akan dibuktikan a + b anggota Z

10

Lanjutan Bukti:
a + b = 3n1 + 3n2
= (n1 + n1 + n1) + (n2 + n2 + n2)
= (n1 + n2) + (n1 + n2) + (n1 + n2)
= 3 (n1 + n2)

Karena n1, n2 Z maka n1 + n2 Z, dengan
demikian a + b Z

Sehingga H terhadap operasi
penjumlahan dalam G bersifat tertutup.
11

Lanjutan Bukti:
3.Ambil sembarang a = 3n1 di H, akan ditunjukkan bahwa
invers dari a yaitu –a juga di H.
Misalkan n1 G, maka ada – n1 di G

Akan dibuktikan jika 3(-n1) juga di H
-a = - (3n1)

= - (n1 + n1 + n1)

= (-n1) + (n1) + (-n1)

= 3(-n1)

Jadi, 3(-n1) anggota H atau -a anggota H
Berdasarkan penjelasan di atas dapat dibuktikan bahwa H
subgrup dari G.
12

Lemma 2

Bila H subhimpunan berhingga yang tak kosong
dalam G dan H tertutup terhadap perkalian,
maka H merupakan subgrup dalam G.

(Muhlisah, 2005:47)

13

Bukti Lemma 2
Dari lemma 2 ini, sudah diketahui bahwa H adalah
himpunan yang tidak kosong dan bersifat tertutup.
Dengan demikian, hanya perlu ditunjukkan bahwa
jika a H maka a-1 anggota H.

Ambil a H sembarang, karena H tertutup maka
a2 = a.a anggota H,
a3 = a.a2 anggota H ,….., am anggota H

14

Lanjutan Bukti Lemma 2

Tetapi, H himpunan berhingga, karena itu harus
terdapat r > s > 0 sedemikian hingga :
a r = as
ar . a-s = as . a-s
ar . a-s = e
ar-s = e

Karena r - s > 0, berarti ar-s = e H , sehingga H
memuat identitas
Selanjutnya r - s - 1 0, berarti ar-s-1 H dan a-1 = ar-s-1

15

Lanjutan Bukti Lemma 2
Karena r - s > 0, berarti ar-s = e H , sehingga H
memuat identitas
Selanjutnya r - s - 1 0, berarti ar-s-1 H dan a-1 = ar-s-1

Dari: a-1 = ar-s-1
a.a-1 = ar-s-1 a
e = ar-s

maka a-1 anggota H

16

Teorema

Let G be a group and H a nonempty subset of G.
If ab-1 is in H whenever a and b are in H, then
H is a subgroup of G.
(Gallian, 2010:59)

Contoh 6:
• Misalkan G grup komutatif dan H = {x G | x2 = e}
merupakan subhimpunan dalam G. Buktikan H
subgrup dari G.


Bukti :
• Pertama kali tunjukkan bahwa H tidak kosong.
• Karena e G berarti e.e = e2 = e H jadi H tak kosong. Misalkan
a,b sembarang unsur H, berarti a2 = e dan b2 = e
• Akan ditunjukkan bahwa ab-1 H
(ab-1)2 = (ab-1) (ab-1)
= a2 (b-1)2
= a2 (b2)-1
= e e-1
=e
Dari uraian tersebut didapat : (ab-1) = e, karena e H maka
terbukti ab-1 H

Sehingga dapat disimpulkan bahwa H subgrup G.

1

Finite Grup & Subgrup

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (16)

Viewers also liked

Viewers also liked (7)

More from trisnawatidjuwita

More from trisnawatidjuwita (6)

Finite Grup & Subgrup