Η Ασκηση της ημέρας

1. ___________________________________________________________________________
11η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
1ος τρόπος
 
 
 



Λ
Ο
Ο
2 2
ΑΔ' = ΑΔ
Δ'ΒΓ = 90
ΓΔ' = 20
90 - φ + 2ω = ω + φ ΕΔ' = ΕΒ = ΕΓ
ΑΒ 20 12 16 48
= ΑΒ =
2 2 5
64
ΑΓ = ΒΓ - ΑΒ =
5
ΒΓΔ'
ΕΒΓ = = 48τ.μ.
2
2ος τρόπος
Παίρνουμε τα μέσα  , των  , αντίστοιχα και βγαίνει ότι το τρίγωνο  είναι
ισοσκελές...
Λύνει ο Μιχάλης Νάννος

2. ___________________________________________________________________________
11η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
1ος τρόπος
Στο τρίγωνο  :    
x
συν φ + θ = x = 12συν φ + θ
12
Στο τρίγωνο  :    
x
ημ φ + θ = x = 16ημ φ + θ
16
Άρα
   12συν φ + θ = 16ημ φ + θ
και επειδή
   2 2
συν φ + θ + ημ φ + θ = 1
βρίσκουμε εύκολα ότι
   4 3
συν φ + θ = , ημ φ + θ =
5 5
Στο τρίγωνο  :    
x 3 x 48
ημ φ + θ = = x =
16 5 16 5
Νόμος Συνημιτόνων στο τρίγωνο BE :
 
 
 
4
συν φ+θ =
5
2 2 2
α = α + 16 - 32 α συν φ + θ α = 10
Στο τρίγωνο  :   
ΑΓ 64
συν φ + θ = ΑΓ =
16 5
Τέλος
           
1 1 3
ΒΕΓ = 16 α ημ φ + θ = 16 10 ΒΕΓ = 48
2 2 5
τ.μ.
Λύνει ο Παύλος Τρύφων

3. ___________________________________________________________________________
11η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
2ος τρόπος
Νόμος Ημιτόνων στο τρίγωνο  :
   
   
   
2 2
συν φ+θ +ημ φ+θ =1
12 16 4 3
= συν φ + θ = , ημ φ + θ =
ημ φ + θ ημ φ + θ 5 5
Νόμος Ημιτόνων στο τρίγωνο  :
 
 
16 α 16 α 48
= = x =
x 3συνθ συν φ + θ 5
α 5
Επίσης
   
Δ
A BΓ
4 ΑΓ 4 64
συν φ + θ = = ΑΓ =
5 16 5 5
Νόμος Συνημιτόνων στο τρίγωνο BE :
 
   

 
 
 
 


 
2 2 2
2
2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
16 = 2α + 2α ημθ
128 = α 1 + ημθ
α - x
128 = α 1 +
α
128 = α + α α - x
128 - α = α α - 92,16
128 = 12,8α α = 10
Άρα
      2 21 1 x 48
ΒΕΓ = α ημ 90 + θ = 10 συνθ = 50 = 50 = 48
2 2 α 50
τ.μ.

4. ___________________________________________________________________________
11η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Αφού το τρίγωνο
Δ
ΕΒΓ είναι ισοσκελές προκύπτει οτι

Γ = ΕΒΓ = φ
Επίσης από την υπόθεση γνωρίζουμε ότι
  
ΔΒΓ = ΕΒΑ = ω
Ακόμη, επειδή η γωνία

ΑΔΒ είναι εξωτερική στο τρίγωνο

ΔΒΓ έχω οτι:
      
   
 
ΑΔΒ = ω + Γ (ω = Β - φ = Β - Γ)
ΑΔΒ = Β - Γ + Γ
ΑΔΒ = Β
Άρα





 



ΑΓ
ημ Β =
16 ΑΓ ΑΒ 3ΑΓ
= ΑΒ =
16 12 4ΑΒ
ημ Β =
12
Εφαρμόζοντας Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο

Α ΒΓ έχω:
  
2
2 2 2 2 2 29ΑΓ
16 = ΑΒ + ΑΓ 256 = ΑΓ + 256 16 = 16ΑΓ + 9ΑΓ
16
 
 
2
25ΑΓ 256 16 16 4 64
= ΑΓ = ΑΓ =
25 25 5 5
και 
192 48
ΑΒ = ΑΒ =
20 5
Επίσης φέρουμε την διάμεσο
ΒΓ
ΑΚ = = 8
2
Παρατηρούμε πως τα τρίγωνα

ΑΚΓ και

ΕΒΓ είναι όμοια αφού είναι ισοσκελή με τις
παρά την βάση γωνίες ίσες. Άρα θα ισχύουν οι αναλογίες:
 
ΕΒ ΒΓ ΕΒ 16 640
= = ΕΒ = = 10
64ΑΚ ΑΓ 8 64
5
Εφαρμόζοντας Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο

ΕΚ Β παίρνω:
 2 2 2
2 2 2
2
Κ = ΕΒ - ΒΚ
ΕΚ = 10 - 8
ΕΚ = 36 Û ΕΚ = 6
Συνεπώς        
1 1
ΕΒΓ = ΒΓ ΕΚ = 16 6 ΕΒΓ = 48 τ.μ.
2 2
Λύνει ο Μιχάλης και Παναγιώτης Βιώνης

5. ___________________________________________________________________________
11η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Ονομάζουμε:
       x = AB, y
Τότε ΑΕ = y - ζ
Επίσης αν Γ = ω τότε από το ισοσκελές
τρίγωνο ΒΕΓ είναι και
ΕΒΓ = ω δηλ. k + φ = ω ΑΒΔ = ω
 Από πυθαγόρειο στο ΑΒΓ προκύπτει:  2 2 2
x + y = 16 1
 Στο ορθογώνιο ΑΒΔ ισχύει:  x
συνΑΒΔ = συνω = 2
12
 Στο ορθογώνιο ΑΒΓ ισχύει:  
y
συνΑΓΒ = συνω = 3
16
Από τις σχέσεις ( 2 ) και ( 3 ) προκύπτει:  
yx 4
= y = x 4
12 16 3
 
    
   
 
24 2 x>0
2 2 24 9 ×16 3 16 96
1 x + x = 16 x = x = = = 9,6μ.μ.
3 25 5 10
οπότε από την σχέση (4)
έχουμε:  
4
y = 9,6 = 4 3,2 = 12,8μ.μ.
3
 Επίσης από πυθαγόρειο στο ορθογώνιο ΑΒΕ έχουμε:
        
22 2 2 2 2
x + y - ζ = ζ x + y = 2y ζ 2 12,8ζ = 16 ζ = 10μ.μ. ΑΕ = 2,8μ.μ.
         
1 1 1
ΒΕΓ = ΑΒΓ - ΑΒΕ = 9,6 12,8 - 9,6 2,8 = 9,6 12,8 - 2,8
2 2 2
  ΒΕΓ = 4,8 10 = 48τ.μ.
Λύνει ο Κωνσταντίνος Μόσιος

6. ___________________________________________________________________________
11η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Προεκτείνω την ΒΕ κατά τμήμα ΕΚ = ΑΕ.
Θέτω
 
ΕΒΓ = ΒΓΕ = φ και
 
ΑΒΕ = ΓΒΔ = ω.
Η γωνία

ΒΕΑ είναι εξωτερική στα ισοσκελή τρίγωνα ΒΕΓ και ΚΕΑ , άρα είναι ίση με 2φ .
Τότε

ΓΑΚ = φ και ΒΓ||ΑΚ λόγω των ίσων εντός εναλλάξ
 
ΒΓΕ ΓΑΚ.
Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΚΓ είναι ίσα επειδή έχουν την ΒΓ κοινή, ΑΓ = ΒΚ και
 
ΓΒΚ ΒΓΕ.
Άρα

0
ΓΚ = γ, ΒΚΓ = 90 και το τραπέζιο ΑΒΓΚ είναι ισοσκελές, δηλαδή

ΑΓΚ = ω.
Τα τρίγωνα ΒΔΓ ΑΓΚ , γιατί έχουν 2 γωνίες από φ,ω .
Άρα  
4γ16 12
= β = 1
β γ 3
.
Από ΠΘ έχω
 

1
2 2
β + γ = 256 γ = 9,6 και β = 12,8 .
Επίσης
9,6
ημφ =
16
,
12,8
συνφ =
16
και  
γ 9,6
ημ2φ = 2ημφ συνφ = 0,96 = = ΕΓ = 10
ΕΓ ΕΓ
.
Άρα  

 21
ΒΕΓ = 10 ημ ΒΕΓ = 48
2
.
Λύνει ο Κώστας Δεββές

7. ___________________________________________________________________________
11η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Φερνω ΕΖ = ΕΓ, οποτε τρ.ΖΒΓ ορθογωνιο (αφου ΒΕ = ΕΖ = ΕΓ)
Ζ = Α Γ = 2x + ω (οξειες με πλευρες καθετες)
Αρα το τριγωνο ΖΒΔ ισοσκελες και ΒΖ = ΒΔ = 12
Π.Θ. στο ΖΒΓ: ΖΓ= 2 2
12 + 16 = 144 + 256 = 20 και
ΕΖ = ΕΓ = 10


  
12 16
(ΒΖΓ) 10 ΑΒ2= = (ΒΖΕ) =
2 2 2
48
(ΕΒΓ) 48 ΑΒ =
5
Π.Θ. στο ΑΒΓ:
2304 4096
= 256 - = =
25 25
64
ΑΓ
5
Λύνει ο Τακης Τσακαλακος

8. ___________________________________________________________________________
11η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
ΑΒΔ = ΑΒΕ + ΕΒΔ = ΔΒΓ + ΕΒΔ = ΕΒΓ = Γ αφού ΕΒΓ ισοσκελές.
Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΒ έχουν μία οξεία γωνία
γωνία τους ίση και είναι όμοια.
Άρα  
ΑΒ ΒΔ ΑΒ 12 3 3
= = = ΑΒ = ΑΓ
ΑΓ ΒΓ ΑΓ 16 4 4
(1)
Από Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:
 
   
  
   
1
2 2 2 2 2 2 2
2 2
9
ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ ΑΓ + ΑΓ = 256 9ΑΓ + 16ΑΓ = 16 256
16
16 256 16 256 4 16 64
25ΑΓ = 16 256 ΑΓ = ΑΓ = ΑΓ = =
25 25 5 5
Η (1)  
3 64 48
ΑΒ = =
4 5 5
Είναι ο
Γ < 90 . Από γενίκευση στο τρίγωνο ΕΒΓ έχουμε:
     
   
ΕΒ=ΕΓ
2 2 2 2
ΕΒ = ΕΓ + ΒΓ - 2ΕΓ ΑΓ 2ΕΓ ΑΓ = ΒΓ 2ΕΓ ΑΓ = 256
64
ΕΓ ΑΓ = 128 ΕΓ = 128 ΕΓ = 10
5

 
   
 
1 1 48
ΕΒΓ = ΕΓ ΒΑ = 10 = 48
2 2 5
Λύνει ο Τρύφωνας Ζωϊτσάκος

9. ___________________________________________________________________________
11η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
1η λυση
Έστω ΑΒΕ = ΔΒΓ = φ και ΕΒΔ = ω .
Επειδή ΕΒΓ = ΕΓΒ = ΑΒΔ = ω + φ έχουμε ότι τα τρίγωνα
ΑΒΔ και ΑΒΓ είναι όμοια οπότε ισχύει:  
ΑΒ ΑΓ 4ΑΒ
= 3ΑΓ = 4ΑΒ ΑΓ =
12 16 3
Εφαρμόζω Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ΑΒΓ και έχουμε:
2 2
2 2 2 2 24ΑΒ 16ΑΒ 48
ΑΒ + ΑΓ = 16 ΑΒ + = 256 ΑΒ + = 256 ... ΑΒ = = 9,6
3 9 5
 
    
 
Οπότε και
4
ΑΓ = 9,6 = 12,8
3
Το εμβαδόν του τριγώνου ΕΒΓ βρίσκεται από τον τύπο :   
1
ΕΒΓ = ΕΓ ΑΒ
2
Θα βρούμε το ΕΓ.
Φέρνουμε το ύψος του ΒΕΓ το οποίο είναι και διάμεσος αφού το ΒΕΓ είναι ισοσκελές.
Τα τρίγωνα    είναι όμοια
(αφού o
Κ = Α = 90 , ΑΒΔ = Γ ) οπότε ισχύει:
  
ΒΔ ΑΒ 12 9,6
= = 9,6ΕΓ = 96 ΕΓ = 10
ΕΓ ΚΓ ΕΓ 8
Άρα (ΕΒΓ)=  
1
9,6 10 = 48τ.μ.
2
2η λυση
Λύνει ο Γιώργος Ασημακόπουλος

10. ___________________________________________________________________________
11η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Από το σημείο Β φέρνω κάθετη στην ΒΓ και έστω Ζ το σημείο τομής της με την
προέκταση της ΑΓ.
Έστω ΑΒΕ = ΔΒΓ = φ και ΕΒΔ = ω .
Αφού το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ισοσκελές, θα ισχύει: Γ = ω + φ = ΑΒΔ (1)
Ακόμη έχουμε:
o o
Ζ + Γ = 90 και ΒΔΑ + ΑΒΔ = 90
και απο (1) έχουμε ότι : ΒΔΑ = Ζ = ω + 2φ
άρα το τρίγωνο ΖΒΔ είναι ισοσκελές,
οπότε ΒΖ = ΒΔ = 12
Και από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΖΒΓ βρίσκουμε ΖΓ=20 και ΒΕ=10 ως
διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου.
Από τη σχέση
2
2
2 2 2
ΒΖ 144
ΒΖ = ΑΖ ΖΓ βρίσκουμε ΑΖ = = = 7,2
ΖΓ 20
και με Π.Θ. στο ΑΖΒ έχουμε ΑΒ = ΖΒ - ΑΖ = 144 - 51,84 = 92,16
άρα ΑΒ = 9,6

και ΑΓ=ΖΓ-ΖΑ=20-7,2=12,8
Το εμβαδόν του ΒΕΓ είναι:
 
 
1
ΒΕΓ = ΒΓ ΕΚ όπου ΕΚ είναι το ύψος του που ισούται
2
ΒΖ 12
με ΕΚ = = = 6
2 2
1
άρα ΒΕΓ = 16 6 = 48
2



11. ___________________________________________________________________________
11η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
1ος τρόπος
Έστω ΕΒΑ = ΔΒΓ = φ και ΕΒΔ = x.
Το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ισοσκελές ( ΒΕ=ΕΓ) , άρα Γ = ΕΒΓ = ω = φ + x
Τα τρίγωνα ΑΒΔ , ΑΒΓ είναι όμοια , άρα
ΑΒ ΑΔ 3
= =
ΑΓ ΑΒ 4
ή
3
ΑΒ = ΑΓ
4
.
Στο ΑΒΓ από πυθαγόρειο θεώρημα
2 2
2 2 2 2 2 23 5 64
ΑΒ + ΑΓ = 16 ΑΓ + ΑΓ = 16 ΑΓ = 16 ΑΓ =
4 4 5
   
     
   
,
3 64 48
ΑΒ = =
4 5 5
 και
3 36
ΑΔ = ΑΒ =
4 5
.
Αν Θ είναι το συμμετρικό του Δ ως προς το Α , το τρίγωνο ΘΒΔ είναι ισοσκελές με
ΘΒ=ΒΔ=12 , ΘΒΑ = ω , άρα η 0
ΘΒΓ = 90 και Θ = ΘΒΕ = ω + φ δηλ. ΘΕ=ΒΕ=ΕΓ .
Το πυθαγόρειο στο ΘΒΓ δίνει ΘΓ=20 , άρα ΕΓ=ΒΕ=10 , οπότε
    1 1 48
ΒΕΓ = ΕΓ ΑΒ = 10 = 48τ.μ.
2 2 5
  
2ος τρόπος
(α) Το τρίγωνο ΘΒΓ είναι ορθογώνιο με ΘΒ=ΒΔ=12 ,
ΘΓ = 20 ΘΑ + ΑΓ = 20 ΑΔ + ΑΓ = 20  (1).
Στο τρίγωνο ΑΒΓ : 2 2 2
ΑΒ + ΑΓ = 16 , ενώ στο ΑΒΔ : 2 2 2
ΑΒ + ΑΔ = 12 ,
άρα
  2 2 28
ΑΓ - ΑΔ = 112 ΑΓ + ΑΔ ΑΓ - ΑΔ = 112 ΑΓ - ΑΔ =
5
  (2)
Από (1) , (2) :
64
ΑΓ =
5
,
48
ΑB =
5
,
36
ΑΔ =
5
και
28
ΔΓ =
5
.
Λύνει Αθανάσιος Μπεληγιάννης

12. ___________________________________________________________________________
11η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Από το νόμο συνημιτόνων στο ΒΔΓ έχουμε :
24
συνφ =
25
,
οπότε στο ορθογώνιο ΑΒΕ
ΑΒ
συνφ = ΒΕ = 10
ΒΕ
 και ΕΓ=10 ,
άρα
    1 1 48
ΒΕΓ = ΕΓ ΑΒ = 10 = 48τ.μ.
2 2 5
  

13. ___________________________________________________________________________
11η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Έστω 1 2 3, ,     . Από δεδομένα έχουμε ότι 1 3    
και έστω 2   οπότε 2 3        και 1 2       
Από δεδομένα το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ισοσκελές οπότε     
δηλαδή       
1ος τρόπος Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι όμοια γιατί :
0
90  κοινή και      
Από την αναλογία των πλευρών έχουμε :
  
 
  
δηλαδή
16 4
12 3
 
      
 
σχέση (1)
Εφαρμόζοντας Πυθαγόρειο θεώρημα στο ΑΒΓ έχουμε :
2 2 2
     (2) και με την βοήθεια της σχέσης (1) μπορούμε να γράψουμε
2
2 24
16
3
 
   
 
. Λύνοντας την εξίσωση παίρνουμε ότι :
48
ΑΒ =
5
οπότε από την σχέση (1) βρίσκουμε ότι :
64
5
 
Έστω ΕΓ =x οπότε BΕ =x και
64
x
5
  
Με τη βοήθεια του Π.Θ στο τρίγωνο ΑΒΕ έχουμε :
2 2 2
     οπότε
2 2
2 64 48
x x .................... x=10
5 5
   
       
   
οπότε 10    Για το εμβαδόν του τριγώνου ΕΒΓ μπορούμε να γράψουμε :
  1 1 48
10 48
2 2 5
         
Λύνει ο Γιώργος Κουρεμπανάς

14. ___________________________________________________________________________
11η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
2ος τρόπος Χρησιμοποιούμε τριγωνομετρία
ΑΒΓ ορθογώνιο :      
2
2
ημ = ημ φ+ω ημ φ+ω 1
16 256
  
    

ΑΒΔ ορθογώνιο :      
2
2
συνΑ Δ= συν φ+ω συν φ+ω 2
12 144
  
    

Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουμε ότι :
   
2 2
2 2
ημ φ+ω συν φ+ω
256 144
 
   δηλαδή
2 2
48
1 .....
256 144 5
 
     
Εφαρμόζοντας Πυθαγόρειο θεώρημα στο ΑΒΓ έχουμε :
64
5
 
Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ότι :
48
35εφ
64 4
5

   

Φέρνουμε το ύψος ΕΖ του τριγώνου ΒΕΓ και επειδή ΒΕΓ ισοσκελές ΒΖ=ΖΓ=8
Στο τρίγωνο ΒΕΖ έχουμε ότι :
3
εφ 6
4 8
 
      

Άρα   1 1
16 6 48
2 2
         