1. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Υπενθυμίζουμε αρχικά δύο γνωστές ανισότητες:
(i)
1
x 2 για x > 0
x
(ii) 2 2 2
2(a b ) (a b) για πραγματικούς a,b
Είναι
1 π
f(x) b b b 2, αφού εφb > 0 γιατι b 0,
b 2
άρα f(x) ≥ 2
Επιπλέον είναι
2 2 2
( a a) 2( a b) 2
( 𝜂𝜇𝑎 + 𝜎𝜐𝜈𝑎)2
≤ 2( 𝜂𝜇2
𝑎 + 𝜎𝜐𝜈2
𝑏) = 2
άρα f(x) ≤ 2
Συνεπώς:
f(x) ≤ 2 και το ζητούμενο αποδείχθηκε.
β)
Αν αποδείξουμε ότι η ℎ είναι γνησίως φθίνουσα στο R τότε θα είναι και “1-1” άρα θα
είναι αντιστρέψιμη.
Eστω 1 2 1 2
x ,x με x x R
Αρκεί:
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
g x -g x
h x > h x ή g x -g x 2 x - x 0 ή x - x 2 0
x - x
που ισχύει αφού:
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x - x 0
g x -g x g x -g x
2 από υπόθεση
x - x x - x
Άρα
1 2
1 2
1 2
g x -g x
x - x 2 0
x - x
και το ζητούμενο εδείχθη.
Λύνει ο Χάρης Πλάτανος
2. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
0 ισχύει
1
2
άρα αφού 0 θα είναι
1
f x 2
(1) x R και 0,
2
.
Επίσης θα είναι f x 1 2 2 (2) x R και 0,
2
.
Από (1) και (2) ισχύει f x 2 .
β)
Αν 1 2
x x η δεδομένη ανισότητα γίνεται:
1 2 1 2 2 1 1 1 2 2
2 x x g x g x 2 x x 0 g x 2x g x 2x
1 2
h x h x h στο R άρα και 1-1.
Λύνει ο Κώστας Δεββές
3. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Θεωρούμε την συνάρτηση
2 2
2 2 2 2 2 2
παρ/μη στο 0, με
2
1 1
φ'
' 0
0 ή ημβ+συνβ=0 το οποίο απορρίπτεται αφού ημβ+συνβ>0 στο 0,
2
1
4
'
0 φ' 0
εφβ>1 εφβ<1
, β 0,
4 2 4
Άρα η φ παρουσιάζει ελάχιστο για
4
Δηλαδή
4
2
Ό f x
f x 2 1
Eπίσης, θεωρώ την παράσταση:
Λύνει ο Παναγιώτης Βιώνης
4. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
2
2 2
2
1 2
Όμως γνωρίζουμε οτι!
1 2 1
1 1 1 2 1 1
0 2
και επειδή f x προκύπτει οτι: f x 2 2
Από (1),(2) έχουμε το συμπέρασμα οτι f x 2
Δηλαδή οτι η f είναι σταθερή συνάρτηση.
β)
Εστω οτι η συνάρτηση h δεν είναι «1-1» , δηλαδή
1 2
x x τέτοια ώστε
1 2
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
h x h x
g x f x x g x f x x
g x g x 2 x 2 x αφού f x f x =2 από το α) ερώτημα
g x g x 2 x x
Το οποίο είναι άτοπο αφού από την υπόθεση γνωρίζουμε οτι:
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
g x g x f x x x
g x g x
f x
x x
g x g x
f x f x
x x
g x g x
2 2
x x
x x ό g x g x 2 x x
x x τότε g x g x 2 x x
Επομένως η συνάρτηση h είναι «1-1», οπότε και αντιστρέφεται.
5. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Έχουμε την συνάρτηση f : με την ιδιότητα
2
f(x) , x 1 , όπου , 0,
2
.
α)
Επειδή
2 2 2
1
2 1 2 1 1 2 , έπεται ότι:
f(x) 2, 2
Επίσης , επειδή
2 2
1 2
2
2
2,
2
διότι
1 2
0 0 2 0 2 1 1 2
2 2 2
προκύπτει ακόμη ότι: f(x) 2, 3
Έτσι τελικά έχουμε: 2 f(x) 2 f(x) 2, x
β)
Έχουμε: g : με την ιδιότητα 1 2 1 2
g(x ) g(x ) 2 x x 4
με 1 2 1 2
x ,x x x
ακόμη είναι h : με h(x) g(x) 2x
1 2 1 2
1 2 1 2
g(x ) g(x ) g(x ) g(x )
4 2 2 2 5
x x x x
Για την h έχουμε:
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
h(x ) h(x ) g(x ) 2x g(x ) 2x g(x ) g(x ) 2 x x
5
1 21 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 x xh(x ) h(x ) g(x ) g(x ) g(x ) g(x )
2 0
x x x x x x x x
,
οπότε η h είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση και άρα είναι 1-1 , οπότε αντιστρέφεται.
Λύνει ο Κωνσταντίνος Μόσιος
6. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α) Είναι:
0
2 2 2
x 0,
2
1
0 2 1 0 1 21 2 2
Επίσης:
2 2 2
22 1 2
διότι 1 12 2 2
Οπότε από την δοθείσα σχέση προκύπτει ότι:
2
f x 22
Επομένως: f x 2
β) Α΄ τρόπος
Από την υπόθεση έχουμε ότι:
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
g x
x
x g x f x x
g x g x g x g x
2
x
2 2
x x
Για κάθε 1 2
x ,x R με 1 2
x x έχουμε:
1 2
x x 0 και
1 2 1 2
1 2 1 2
g x g x g x g x
2 0
x x
2
x x
Πολλαπλασιάζοντας κατα μέλη έχουμε:
1 2
1 2 1 2 2
1 2
1 1 2 2 1 2
1
g x g x
2 x 0 g x g xx 2x 0
x
g x 2x
2x
x
h x hg xx 2x
Οπότε η h είναι γνησίως φθίνουσα στο R άρα και 1 – 1.
Β΄ τρόπος
Έστω ότι η h δεν είναι 1 – 1. Τότε θα υπάρχουν 1 2
x ,x R με 1 2
x x τέτοια ώστε:
1 2 1 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
2
h x h x g x 2x g x 2x
g x g x
g x g x
x
x 2 x 2
x
το οποίο είναι άτοπο διότι από την υπόθεση έχουμε ότι:
1 2
1 2
g x g x
2
x x
Λύνει ο Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης
8. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Ισχύει
1
2
αφού 0 για κάθε 0,
2
( το ίσον ισχύει για
4
)
( από εφαρμογή σχολικού έχουμε :
1
x 2
x
αν x 0 )
και
2
2 αφού
2 2 2
2 2 2 1 2 2 2 1
που ισχύει για κάθε 0,
2
, ( το ίσον ισχύει για
4
)
Άρα
2
2 f x 2 , άρα f x 2 για κάθε x .
β)
Η δεδομένη σχέση γίνεται :
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
g x g x 2 x x 2 x x g x g x 2 x x (1) ,
1 2
x ,x , με 1 2
x x και η συνάρτηση h h : έχει τύπο h x g x 2x .
Για οποιαδήποτε 1 2
x ,x με 1 2
x x έχουμε από την (1) :
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
2 x x g x g x g x 2x g x 2x h x h x , άρα η h είναι
γνησίως φθίνουσα στο , άρα και «1-1» , δηλ. αντιστρέφεται.
Λύνει ο Αθανάσιος Μπεληγιάννης