Μαθηματικά Προσανατολισμού Β' Λυκείου

1. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ2Θ(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 2
ΤΑΞΗ: Β΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚ Ν ΣΠΟΥ∆ Ν
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016
∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. ∆ίνονται τα διανύσµατα 1 1 2 2( , ) και β ( )a x y x y= = µε συντελεστές διεύθυνσης
λ1 και λ2 αντίστοιχα. ∆είξτε ότι 1 2/ /βa λ λ⇔ = .
(15 µονάδες)
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό
σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η
πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασµένη.
α) Η εξίσωση 0x yΑ + Β + Γ = µε Α≠ 0 ή 0Β ≠ παριστάνει πάντοτε ευθεία µε
συντελεστή διεύθυνσης λ
Β
=
Α
.
β) Αν β β 0a a+ = τότε βa ↑↓ .
γ) Ισχύει β
β προβ.a a a⋅ = ⋅ , 0β ≠ .
δ) Αν η γωνία της ευθείας ε µε τον άξονα x x′ είναι 90ο
τότε ο συντελεστής
διεύθυνσης της ευθείας είναι 0.
ε) Για τα µη µηδενικά διανύσµατα και βa , που σχηµατίζουν γωνία θ ισχύει
β
β
a
a
συνθ
⋅
= .
(10 µονάδες)
ΘΕΜΑ Β
∆ίνονται τα σηµεία Α(1,2), Κ(-1,4) και το διάνυσµα (4,3)ΑΓ = .
Β1. Βρείτε το συµµετρικό Β, του σηµείου Α ως προς το Κ.
Β2. Βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου Γ και του Β∆ , που είναι η ΒΑ
προβ ΒΓ.
Β3. Υπολογίστε το µέτρο 2ΑΚ − ΚΓ .
(7-10-8 µονάδες)

2. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ2Θ(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 2
ΘΕΜΑ Γ
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Γ(5, 4).
Η πλευρά ΑΒ έχει εξίσωση 2 4 0x y− + = , ενώ το
ύψος Β∆ έχει εξίσωση 11 5 .y x= −
Γ1. Βρείτε τις συντεταγµένες της κορυφής Β.
Γ2. Βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ.
Γ3. Αν Β(1, 6) τότε βρείτε την εξίσωση της
µεσοκαθέτου της πλευράς ΒΓ και το σηµείο
τοµής Z, της µεσοκαθέτου µε το ύψος Β∆.
(7,8,10 µονάδες)
ΘΕΜΑ ∆
∆1. ∆ίνονται τα σηµεία Α(κ, 5) και Β(4, κ+4), κ ∈ℝ .
Βρείτε το γεωµετρικό τόπο του µέσου Μ του ΑΒ.
∆2. Αν η ευθεία (ε), που διέρχεται από τα Α(κ,5) και Β(4, κ+4) είναι παράλληλη
στην ευθεία 1ε : 2 5 0y x− + = , τότε να βρείτε τον κ ∈ℝ και να δείξετε ότι η
ευθεία (ε) έχει εξίσωση: 2 1 0.x y− − =
∆3. Έστω τα διανύσµατα 2 3 και 2u a v aβ β= + = − , όπου ,a β διανύσµατα µε
2
2, 1 και ,
3
a a
π
β β
∧
 
= = = 
 
.
α) Βρείτε το γινόµενο u v⋅ και το µέτρο v .
β) Βρείτε το σηµείο Γ της ευθείας (ε) του ερωτήµατος ∆2 και τον µ ∈ℝ ώστε:
( ) ( )2
2 (4, 1).uv v µΒΓ + − ΑΒ = +
(6,7,6,6 µονάδες)

3. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ2Θ(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 4
ΤΑΞΗ: Β΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚ Ν ΣΠΟΥ∆ Ν
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016
∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Σχολικό βιβλίο σελ. 38.
Α2. α) Λάθος (γιατί
A
B
λ = − )
β) Σωστό
γ) Λάθος ( β
β β προβ.a a⋅ = ⋅ )
δ) Λάθος (γιατί δεν ορίζεται ο λ)
ε) Σωστό
ΘΕΜΑ Β
Β1. α΄ τρόπος
Έστω Β(x,y) τότε θα είναι:
2 1 3
( 1 1,4 2) ( 1, 4)
2 4 6
x x
x y
y y
− = + = −   
ΑΚ = ΚΒ ⇔ − − − = + − ⇔ ⇔   
= − =   
δηλαδή
Β(-3,6).
β΄ τρόπος
κ
1
1 2 1 3
2 2
x x x
x xΑ Β Β
Β
+ +
= ⇔ − = ⇔ = − − = −
και κ
2
4 8 2 6
2 2
A B B
B
y y y
y y
+ +
= ⇔ = ⇔ = − = δηλαδή Β(-3,6).

4. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ2Θ(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 4
Β2. ( )Γ
1 4 5
(4,3) 1, y -2 (4,3)
- 2 3 5
x x
x
y y
Γ Γ
Γ
Γ Γ
− = =   
ΑΓ = ⇔ − = ⇔ ⇔   
= =   
∆ηλαδή Γ(5,5) οπότε (5 3, 5-6) (8,-1)ΒΓ = + = .
Η προβολή του ΒΓ πάνω στο ΒΑ είναι το Β∆ και
αφού
/ / (1 3,2 6) (4, 4) (4 , 4 )λ λ λ λ λΒ∆ ΒΑ ⇔ Β∆ = ⋅ΒΑ = + − = − = −
Θα είναι
(8, 1)(4, 4) (4, 4)(4 , 4 )λ λΒΓ⋅ΒΑ = ΒΑ⋅Β∆ ⇔ − − = − − ⇔
36 9
32 4 16 16 36 32
32 8
λ λ λ λ⇔ + = + ⇔ = ⇔ = =
οπότε
9 9
,
2 2
 
Β∆ = − 
 
.
Β3. 2 ( 1 1,4 2) 2(5 1,5 4) ( 2,2) ( 12, 2) ( 14,0)ΑΚ − ΚΓ = − − − − + − = − + − − = −
Οπότε 2 2
2 ( 14) 0 196 14ΑΚ − ΚΓ = − + = =
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Το Β είναι το σηµείο τοµής των ΑΒ και Β∆.
Λύνω το (Σ) των εξισώσεων τους.
2 4 0 2 11 5 4 0 7 7 1
11 5 11 5 11 5 6
x y x x x x
y x y x y x y
− + = − + + = = =       
⇔ ⇔ ⇔       
= − = − = − =       
δηλαδή Β(1,6).
Γ2. Η πλευρά ΑΓ είναι κάθετη στο ύψος Β∆, οπότε
1
1 ( 5) 1
5
λ λ λ λΑΓ Β∆ ΑΓ ΑΓ⋅ = − ⇔ ⋅ − = − ⇔ = .
Άρα
1
: 4 ( 5) 5 20 5 5 15 0
5
y x y x x yΑΓ − = − ⇔ − = − ⇔ − + = .
Γ3. Το µέσο Μ της ΒΓ είναι
1 5 4 6
, (3,5)
2 2
+ + 
Μ = 
 
.
Ο συντελεστής της ΒΓ είναι
4 6 2 1
5 1 4 2
λΒΓ
− −
= = = −
−
.

5. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ2Θ(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 4
Αφού η µεσοκάθετη ε ⊥ ΒΓ θα έχει λε=2 και η εξίσωσή της θα είναι:
5 2( 3) 5 2 6 2 1 0y x y x x y− = − ⇔ − = − ⇔ − − = .
Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων των Β∆ και (ε):
60 17
11
: 11 5 11 5 11 5 7 7
: 2 1 0 2 11 5 1 0 7 12 12
7
y
y x y x y x
x y x x x
x
ε
 
= − = Β∆ = − = − = −    
⇔ ⇔ ⇔      
− − = − + − = =       = 
 
δηλαδή τέµνονται στο
12 17
,
7 7
Z
 
 
 
.
ΘΕΜΑ ∆
∆1. Είναι A B
M
x x 4
x
2 2
κ+ +
= =
και A B
M
y y 5 4 9
2 2 2
y
κ κ+ + + +
= = = .
Άρα M2x 4 και κ 2 -9Myκ = − = οπότε M M2x 4 2 -9 2x 2 5 0M My y− = ⇔ − + =
δηλαδή το Μ κινείται στην ευθεία 2 2 5 0.x y− + =
∆2. Είναι AB (4 , 4 5) (4 , 1)κ κ κ κ= − + − = − − και 1 1/ / (1,2)ε δ = .
Αν 1 1
4 κ -1
/ / / / 0 8 2 1 0
1 2
κ
ε δ κ κ
−
ΑΒ ⇔ ΑΒ ⇔ = ⇔ − − + = ⇔
9 3 3κ κ⇔ = ⇔ = οπότε Α(3, 5) και Β(4, 7).
Άρα : 5 2( 3) 5 2 6 2 1 0y x y x x yε − = − ⇔ − = − ⇔ − − = .
∆3. α) ( )( ) 2 2
2 3 2 2 4 3 6u v a a a a aβ β β β β⋅ = + − = − + − =
22 2 22
2 6 2 2 6.1
3
a a a
π
β β β συν= − − = ⋅ − ⋅ − =
1
2 4 2 1 6 8 1 6 3
2
 
= ⋅ − ⋅ ⋅ − − = + − = 
 
( )
22 2 2 2
και 2 4 4v v a a aβ β β= = − = − + =
22 2 1
4 4 4 4 2 1 4 1 12 12 2 3
3 2
a a v
π
β συν β
 
− ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ − + ⋅ = ⇒ = = 
 

6. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ2Θ(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 4 ΑΠΟ 4
β) Αφού ( ) : 2 1y xεΓ∈ = − θα είναι Γ(xΓ, 2xΓ-1)
Έχουµε:
( ) ( )2
ΒΓ 2 (4, 1)u v v µ⋅ + − ΑΒ = + ⇔
3 (12 2) (4, 1)µ⇔ ΒΓ + − ΑΒ = + ⇔
( )3 4, 2 1 7 10(4 3,7 5) (4, 1)x x µΓ Γ⇔ − − − + − − = + ⇔
( )3 12, 6 24 (10,20) (4, 1)x x µΓ Γ⇔ − − + = + ⇔
( )3 12, 6 24 (4, 1) (10,20) ( 6, 19)x x µ µΓ Γ⇔ − − = + − = − −
12 6
3 12 6 2
3
6 24 19 7
6 24 19
x
x
x
χχ
µ µ
µ
Γ ΓΓ
Γ
Γ
− 
− = − ==    ⇔ ⇔ ⇔    − = − =     = − + 
. Άρα Γ(2,3)