1. Trig Integrals with
Euler

2. Trig Integrals with
Euler
 sin 3 xdx

3. Trig Integrals with
Euler
sin xdx     e3ix  3eix  3e  ix  e3ix  dx
1

3
8i

4. Trig Integrals with
Euler
sin xdx     e3ix  3eix  3e  ix  e3ix  dx
1

3
8i
1  1 3ix 3ix 3 ix  ix 
    e  e    e  e   c
8i  3i i 

5. Trig Integrals with
Euler
sin xdx     e3ix  3eix  3e  ix  e3ix  dx
1

3
8i
1  1 3ix 3ix 3 ix  ix 
    e  e    e  e   c
8i  3i i 
1 3
 cos3 x  cos x  c
12 4

6. Trig Integrals with
Euler
sin xdx     e3ix  3eix  3e  ix  e3ix  dx
1

3
8i
1  1 3ix 3ix 3 ix  ix 
    e  e    e  e   c
8i  3i i 
1 3
 cos3 x  cos x  c
12 4
  4cos x  3cos x   cos x  c
1 3 3
12 4

7. Trig Integrals with
Euler
sin xdx     e3ix  3eix  3e  ix  e3ix  dx
1

3
8i
1  1 3ix 3ix 3 ix  ix 
    e  e    e  e   c
8i  3i i 
1 3
 cos3 x  cos x  c
12 4
  4cos x  3cos x   cos x  c
1 3 3
12 4
1 1 3
 cos x  cos x  cos x  c
3
3 4 4

8. Trig Integrals with
Euler
sin xdx     e3ix  3eix  3e  ix  e3ix  dx
1

3
8i
1  1 3ix 3ix 3 ix  ix 
    e  e    e  e   c
8i  3i i 
1 3
 cos3 x  cos x  c
12 4
  4cos x  3cos x   cos x  c
1 3 3
12 4
1 1 3
 cos x  cos x  cos x  c
3
3 4 4
1
 cos3 x  cos x  c
3

9.  sin 4 xdx

10.  sin 4 xdx 
1
16 
 e4ix  4e2ix  6  4e2ix  e4ix  dx

11. 
1
16 
sin 4 xdx   e4ix  4e2ix  6  4e2ix  e4ix  dx
1  1 4ix 4ix 2 2ix 2ix 
  e  e   e  e   6x  c
16  4i i 

12. 
1
16 
sin 4 xdx   e4ix  4e2ix  6  4e2ix  e4ix  dx
1  1 4ix 4ix 2 2ix 2ix 
  e  e   e  e   6x  c
16  4i i 
1 1 3
 sin 4 x  sin 2 x  x  c
32 4 8

13.  sin 4 xdx 
1
16 
 e4ix  4e2ix  6  4e2ix  e4ix  dx
1  1 4ix 4ix 2 2ix 2ix 
  e  e   e  e   6x  c
16  4i i 
1 1 3
 sin 4 x  sin 2 x  x  c
32 4 8
 sin 5 xdx

14. 
1
16 
sin 4 xdx   e4ix  4e2ix  6  4e2ix  e4ix  dx
1  1 4ix 4ix 2 2ix 2ix 
  e  e   e  e   6x  c
16  4i i 
1 1 3
 sin 4 x  sin 2 x  x  c
32 4 8
 e5ix  5e3ix  10eix  10e  ix  5e 3ix  e 5ix  dx
1
 sin xdx 
5
32i

15. 
1
16 
sin 4 xdx   e4ix  4e2ix  6  4e2ix  e4ix  dx
1  1 4ix 4ix 2 2ix 2ix 
  e  e   e  e   6x  c
16  4i i 
1 1 3
 sin 4 x  sin 2 x  x  c
32 4 8
 e5ix  5e3ix  10eix  10e  ix  5e 3ix  e 5ix  dx
1
 sin xdx 
5
32i
1  1 5ix 5ix 5 3ix 3ix 10 ix  ix 
  5i  e  e   3i  e  e   i  e  e    c
32i  

16. 
1
16 
sin 4 xdx   e4ix  4e2ix  6  4e2ix  e4ix  dx
1  1 4ix 4ix 2 2ix 2ix 
  e  e   e  e   6x  c
16  4i i 
1 1 3
 sin 4 x  sin 2 x  x  c
32 4 8
 e5ix  5e3ix  10eix  10e  ix  5e 3ix  e 5ix  dx
1
 sin xdx 
5
32i
1  1 5ix 5ix 5 3ix 3ix 10 ix  ix 
  5i  e  e   3i  e  e   i  e  e    c
32i  
1 5 5
  sin 5 x  cos3 x  cos x  c
80 48 8

17.  cos5 x sin 3 xdx

18.  cos x sin xdx   256i   e  e   e  e  dx
5 3 1 ix  ix 5 ix  ix 3

19.  cos x sin xdx   256i   e  e   e  e  dx
5 3 1 ix  ix 5 ix  ix 3
  e  e   e  e  dx
1  ix 2 2 ix 3
 ix 2 ix
256i

20.  cos x sin xdx   256i   e  e   e  e  dx
5 3 1 ix  ix 5 ix  ix 3
  e  e   e  e  dx
1  ix 2 2 ix 3
 ix 2 ix
256i

1
256i 
 e 2ix  2  e 2ix  e6ix  3e 2ix  3e 2ix  e 6ix  dx

21.  cos x sin xdx   256i   e  e   e  e  dx
5 3 1 ix  ix 5 ix  ix 3
  e  e   e  e  dx
1  ix 2 2 ix 3
 ix 2 ix
256i

1
256i 
 e 2ix  2  e 2ix  e6ix  3e 2ix  3e 2ix  e 6ix  dx
1
256i 
 (e8ix  3e 4ix  3  e 4ix  2e6ix  6e 2ix  6e 2ix  2e 6ix
 e 4ix  3  3e 4ix  e 8ix )dx

22.  cos x sin xdx   256i   e  e   e  e  dx
5 3 1 ix  ix 5 ix  ix 3
  e  e   e  e  dx
1  ix 2 2 ix 3
 ix 2 ix
256i

1
256i 
 e 2ix  2  e 2ix  e6ix  3e 2ix  3e 2ix  e 6ix  dx
1
256i 
 (e8ix  3e 4ix  3  e 4ix  2e6ix  6e 2ix  6e 2ix  2e 6ix
 e 4ix  3  3e 4ix  e 8ix )dx
1  1 8ix 8ix 1 4ix 4ix 3 2ix 2ix 
 8i  e  e   3i  e  e   2i  e  e   i  e  e  
1 6ix 6ix

256i  

23.  cos x sin xdx   256i   e  e   e  e  dx
5 3 1 ix  ix 5 ix  ix 3
  e  e   e  e  dx
1  ix 2 2 ix 3
 ix 2 ix
256i

1
256i 
 e 2ix  2  e 2ix  e6ix  3e 2ix  3e 2ix  e 6ix  dx
1
256i 
 (e8ix  3e 4ix  3  e 4ix  2e6ix  6e 2ix  6e 2ix  2e 6ix
 e 4ix  3  3e 4ix  e 8ix )dx
1  1 8ix 8ix 1 4ix 4ix 3 2ix 2ix 
 8i  e  e   3i  e  e   2i  e  e   i  e  e  
1 6ix 6ix

256i  
1 1 1 3
 cos8 x  cos 6 x  cos 4 x  cos 2 x  c
1024 384 256 128

24.  sin 6 x cos3 xdx

25.  sin x cos xdx   512   e  e   e  e  dx
6 3 1 ix  ix 3 ix  ix 6

26.  sin x cos xdx   512   e  e   e  e  dx
6 3 1 ix  ix 3 ix  ix 6
  e  e   e  e  dx
1  ix 3 2 ix 3
 ix 2 ix
512

27.  sin x cos xdx   512   e  e   e  e  dx
6 3 1 ix  ix 3 ix  ix 6
  e  e   e  e  dx
1  ix 3 2 ix 3
 ix 2 ix
512

1
512 
 e3ix  3eix  3eix  e3ix  e6ix  3e2ix  3e2ix  e6ix  dx

28.  sin x cos xdx   512   e  e   e  e  dx
6 3 1 ix  ix 3 ix  ix 6
  e  e   e  e  dx
1  ix 3 2 ix 3
 ix 2 ix
512

1
512 
 e3ix  3eix  3eix  e3ix  e6ix  3e2ix  3e2ix  e6ix  dx

512  
 e  e   3 e7ix  e7ix   8  e3ix  e3ix   6  eix  eix  dx
1  9ix 9ix


29.  sin x cos xdx   512   e  e   e  e  dx
6 3 1 ix  ix 3 ix  ix 6
  e  e   e  e  dx
1  ix 3 2 ix 3
 ix 2 ix
512

1
512 
 e3ix  3eix  3eix  e3ix  e6ix  3e2ix  3e2ix  e6ix  dx

512  
 e  e   3 e7ix  e7ix   8  e3ix  e3ix   6  eix  eix  dx
1  9ix 9ix

1  1 9ix 9ix 8 3ix 3ix 6 ix  ix 
 9i  e  e   7i  e  e   3i  e  e   i  e  e    c
3 7 ix 7 ix

512  

30.  sin x cos xdx   512   e  e   e  e  dx
6 3 1 ix  ix 3 ix  ix 6
  e  e   e  e  dx
1  ix 3 2 ix 3
 ix 2 ix
512

1
512 
 e3ix  3eix  3eix  e3ix  e6ix  3e2ix  3e2ix  e6ix  dx

512  
 e  e   3 e7ix  e7ix   8  e3ix  e3ix   6  eix  eix  dx
1  9ix 9ix

1  1 9ix 9ix 8 3ix 3ix 6 ix  ix 
 9i  e  e   7i  e  e   3i  e  e   i  e  e    c
3 7 ix 7 ix

512  
1 3 1 3
 sin 9 x  sin 7 x  sin 3x  sin x  c
2304 1792 96 128

31.  sin 2 x cos 2 xdx

32.  sin x cos xdx   16   e  e   e  e  dx
2 2 1 ix  ix 2 ix  ix 2

33.  sin x cos xdx   16   e  e   e  e  dx
2 2 1 ix  ix 2 ix  ix 2
    e  e  dx
1 2 ix 2 ix 2
16

34.  sin x cos xdx   16   e  e   e  e  dx
2 2 1 ix  ix 2 ix  ix 2
    e  e  dx
1 2 ix 2 ix 2
16
    e 4ix  2  e 4ix  dx
1
16

35.  sin x cos xdx   16   e  e   e  e  dx
2 2 1 ix  ix 2 ix  ix 2
    e  e  dx
1 2 ix 2 ix 2
16
    e 4ix  2  e 4ix  dx
1
16
1  1 4ix 4ix 
  4i 
16 
e  e   2x  c


36.  sin x cos xdx   16   e  e   e  e  dx
2 2 1 ix  ix 2 ix  ix 2
    e  e  dx
1 2 ix 2 ix 2
16
    e 4ix  2  e 4ix  dx
1
16
1  1 4ix 4ix 
  4i 
16 
e  e   2x  c

1 1
  sin 4 x  x  c
32 8

37. sin x
tan x 
cos x

38. sin x eix  e  ix
tan x  
cos x i  eix  e  ix 

39. sin x eix  e  ix
tan x  
cos x i  eix  e  ix 
 tan 3 xdx

40. sin x eix  e  ix
tan x  
cos x i  eix  e  ix 
3
1  e e 
ix  ix
 tan xdx   i   eix  eix  dx
3
 

41. sin x eix  e  ix
tan x  
cos x i  eix  e  ix 
3
1  e e 
ix  ix
 tan xdx   i   eix  eix  dx
3
 
TOO MUCH WORK INVOLVED COMPARED TO
PREVIOUS METHOD

42. sin x eix  e  ix
tan x  
cos x i  eix  e  ix 
3
1  e e 
ix  ix
 tan xdx   i   eix  eix  dx
3
 
TOO MUCH WORK INVOLVED COMPARED TO
PREVIOUS METHOD
IF USING EULER’S, STICK WITH FUNCTIONS
INVOLVING SINX OR COSX