1. 3. ZADATAK

2. 3.
ZADATAK

Riješiti problem linearnoga programiranja grafičkom i
simpleks metodom, ako je zadano:
 max
Z = x+y
x+y≤1
 x - y ≥ -2
x≤1
y-1≤0
 x,y ≥ 0

3. 3. ZADATAK - SREĐIVANJE
OGRANIČENJA
max Z = x+y
x+y≤ 1
 x - y ≥ -2
/*(-1) = -x + y ≤ 2
x≤1
 y - 1 ≤ 0 => y ≤ 1
 x,y ≥ 0


4. 3. ZADATAK - PRETVORBA U KANONSKI
OBLIK
max Z = x+y
x+y≤ 1
 -x + y ≤ 2
x≤1
y≤1
 x,y ≥ 0







Z-x-y=0
x + y + k1 = 1
-x + y + k2 = 2
x + k3 = 1
y + k4 = 1
x,y,k1,k2,k3,k4 ≥ 0

5. 3. ZADATAK - GRAFIČKA METODA
max Z = x+y
x+y≤ 1
 -x + y ≤ 2
x≤1
y≤1
 x,y ≥ 0

x
y
0
0
1
-1
x
y
0
1
1
0
x
y
0
2
1
-1

6. 3. ZADATAK - GRAFIČKA METODA

7. 3. ZADATAK - GRAFIČKA METODA

8. 3. ZADATAK - GRAFIČKA METODA

9. 3. ZADATAK - GRAFIČKA METODA
SMR

10. 3. ZADATAK - GRAFIČKA METODA

Iz grafa je vidljivo da je pravac funkcije
cilja paralelan sa pravcem x+y=1
ograničenja x+y≤1

Tražimo maksimum za Z te iz toga slijedi da
se rješenja nalaze na pravcu x+y=1 između
točaka A(1,0) i B(0,1)

11. 3. ZADATAK - SIMPLEKS METODA
Z-x-y=0
 x + y + k1 = 1
 -x + y + k2 = 2
 x + k3 = 1
 y + k4 = 1
 x,y,k1,k2,k3,k4 ≥ 0

Red
Z
x
y
k1
k2
k3
k4
C
0
1
-1
-1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
2
0
-1
1
0
1
0
0
2
3
0
1
0
0
0
1
0
1
4
0
0
1
0
0
0
1
1
Z=0
 x=0
 y=0


12. 3. ZADATAK - SIMPLEKS METODA

Nalazimo se u
ishodištu
grafa
 Z=0
 x=0
 y=0

13. 3. ZADATAK - SIMPLEKS METODA
Red
Z
x
y
k1
k2
k3
k4
C
0
1
-1
-1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
2
0
-1
1
0
1
0
0
2
3
0
1
0
0
0
1
0
1
4
0
0
1
0
0
0
1
1
U 0. redu negativni su x i y te stoga je
izbor proizvoljan
 U 1. i 3. redu imamo 1 za x stupac i C
je 1 za oba te je izbor opet proizvoljan


14. 3. ZADATAK - SIMPLEKS METODA
Red
Z
x
y
k1
k2
k3
k4
C
0
1
-1
-1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
2
0
-1
1
0
1
0
0
2
3
0
1
0
0
0
1
0
1
4
0
0
1
0
0
0
1
1
4. red prepišemo jer imamo 0 u x
stupcu
 0. redu pribrojimo 1.
 2. redu pribrojimo 1.
 3. redu oduzmemo 1.


15. 3. ZADATAK - SIMPLEKS METODA
Red
Z
x
y
k1
k2
k3
k4
C
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
2
0
0
2
1
1
0
0
3
3
0
0
-1
-1
0
1
0
0
4
0
0
1
0
0
0
1
1
Z=1
 x=1
 y=0


16. 3. ZADATAK - SIMPLEKS METODA
Z=1
 x=1
 y=0


Iz ishodišta
smo se
premjestili u
točku (1,0)

17. 3. ZADATAK - SIMPLEKS METODA
Red
Z
x
y
k1
k2
k3
k4
C
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
2
0
0
2
1
1
0
0
3
3
0
0
-1
-1
0
1
0
0
4
0
0
1
0
0
0
1
1




Z=1
 x=1
 y=0

U 0. redu nema negativnih vrijednosti te znamo da se
Z ne može poboljšati
Pokušat ćemo pronaći drugu točku u kojoj je Z=1
Imamo da je y=0 te stoga biramo stupac y
Biramo 1 u 1. ili 4. redu jer u oba slučaja imamo C/y=1

18. 3. ZADATAK - SIMPLEKS METODA
Red
Z
x
y
k1
k2
k3
k4
C
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
2
0
0
2
1
1
0
0
3
3
0
0
-1
-1
0
1
0
0
4
0
0
1
0
0
0
1
1
Z=1
 x=1
 y=0

0. red prepišemo
 1. red pomnožimo sa (-2) i oduzmemo ga od 2.
 3. redu pribrojimo 1.
 Od 4. reda oduzmemo 1.


19. 3. ZADATAK - SIMPLEKS METODA
Red
Z
x
y
k1
k2
k3
k4
C
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
2
0
-2
0
-1
1
0
0
1
3
0
1
0
0
0
1
0
1
4
0
-1
0
-1
0
0
1
0

Z=1
 x=0
 y=1

Došlo je do promijene vrijednosti x i y ali je Z
ostao nepromijenjen

20. 3. ZADATAK - SIMPLEKS METODA
Z=1
 x=0
 y=1


Iz (1,0) smo
se premjestili
u točku (0,1)

21. 3. ZADATAK RJEŠENJE

Grafičkom i simpleks metodom došli smo do rješenja:
max Z = λ
1
0
0
+ (1- λ) 1