Vektor random adalah perluasan dari variabel random dimana bila satu variabel terukur menghasilkan satu variabel random, namun bila menghasilkan beberapa variabel terukur maka hasilnya adalah vektor random. Statistik matematika yang dibahas meliputi distribusi, ekspektasi, variansi, kovariansi, dan korelasi untuk vektor random.

1. Vektor Random Dan Statistik Matematika
Vektor random merupakan perluasan variabel Bila vektor random x ~ Nm(µ, Ω), maka setiap
random. Bila suatu unit eksperimen mengha-
xi ~ N(µi, σ ), i = 1, 2, … , m; tetapi
2
i
silkan hanya satu variabel terukur, maka varia-
bel tersebut dinamai variabel random; tetapi sebaliknya belum tentu berlaku.
bila menghasilkan beberapa variabel terukur, Mean vektor x, dinotasikan µ,
misal m variabel, maka hasil pengukuran terse-
µ = (µ1, µ2, ... µm)T
but dinamai vektor random, dengan m kompo-
= E(x)
nen. Jadi komponen atau elemen vektor random
= E(x1, x2, ... , xm)T
adalah variabel random.
= [E(x1), E(x2), ... E(xm)]T
Statistik matematika yang dimaksud di sini ha- Kovariansi antara xi dengan xj , dinotasikan
nya sebatas : distribusi, ekspektasi, variansi, ko- cov(xi,xj), atau σij , didefinisikan sbb :
variansi, dan korelasi, masing-masing ditujukan σ = cov(xi,xj) = E[(xi − µi)(xj − µj)]
ij
kepada vektor random.
= E(xi,xj) − µiµj
Barisan variabel random x1, x2, … , xm yang
saling berhubungan dimodelkan oleh fungsi Pada kondisi xi dan xj saling bebas, maka :
probabilitas multivariat, yaitu px(t) bila diskrit; E(xi,xj) = E(xi) E(xj) = µiµj,
atau fungsi densitas multivariat, yaitu fx(t) bila sehingga :
kontinyu. Pada uraian ini hanya sebatas fungsi σ = µiµj − µiµj = 0
ij
kontinyu, khususnya fungsi densitas
multivariat normal. Bila i = j maka σ = σ = σ2 , ini dinamai
ij ii i
variansi xi, dinotasikan var(xi).
Fungsi densitas normal (PDF normal ) :
1 Diketahui α1, α2, β1, dan β2 masing-masing
f(x) = exp( − 1 ( x − µ ) 2 ) / σ 2 )
2
σ 2π skalar, maka berlaku :
atau,
 x−µ 
2 cov(α1 + β1xi , α2 + β2xj) = β1β2 cov(xi,xj)
1 −1
2
σ 

f(x) = e 
σ 2π Matrik variansi kovariansi vektor x, atau matrik
kovariansi vektor x, dinotasikan Ω,
Fungsi densitas normal standar (PDF normal
standar) : x1 x2 x3
1 x1  σ 11 σ 12 L σ 1m 
exp(− 1 ( z ) 2 ))
x2 σ 21 σ 22 σ 2m 
f(z) = 2
2π  L 
Ω=
atau, M  M M O M 
1 − 1 ( z) 2  
f(z) = e 2 xm σ m1 σ m 2
 L σ mm 

2π
Ω = var(x) = E[(x − µ)( x − µ)T]
Fungsi densitas multivariat normal standar = E(x xT) − µµ T
(PDF multivariate normal standart) :
− 1 ( zT z )
m
1 − 1 ( zi ) 2 1 Ekspektasi Fungsi Vektor Random
f(z) = ∏ e 2 = e 2 ,
i =1 2π (2π ) m/2
y = α Tx,
dinotasikan pula z ~ Nm(0, Im). Ini berarti : se-
tiap zi ~ N(0,1), i = 1, 2, … , m, dan antar zi sa- E(y) = E(α T x) = ...
ling independen. = α Tµ
Fungsi densitas multivariat normal (PDF mul- w = β Tx
tivariate normal) : cov(y,w) = cov(α Tx, β Tx) = ...
1 (
− 1 ( x − µ )T Ω -1 ( x − µ ) ) = αT Ω β
f(x) = e 2
,
(2π ) m / 2 | Ω |1/ 2
var(y) = cov(y,y) = α T Ω α
dinotasikan x ~ Nm(µ, Ω).
var(w) = cov(w,w) = β T Ω β

2. y=Ax Matrik P bersifat definit tak negatif.
Contoh :
Matrik A berukuran p×m, maka :
E(y) = E(Ax) = A E(x) = A µ Data berikut ini diambil dari populasi yang
berdistribusi multivariate normal.
var(y) = E[{y − E(y)}{y − E(y)}T]
= E[{Ax − E(Ax)}{ Ax − E(Ax)}T] x1 x2 x3 x4
= ...
7 26 6 60
= A Ω AT
1 29 15 52
Bila v dan w masing-masing adalah vektor 11 56 8 20
11 31 8 47
random, maka berlaku :
7 52 6 33
cov(v,w) = E(v wT) − E(v) E(w)T 11 55 9 22
3 71 17 6
Selanjutnya, bila v = A x dan w = B x, maka : 1 31 22 44
cov(v,w) = A cov(x, x) B 2 54 18 22
= ... 21 47 4 26
= A Ω BT 1 40 23 34
11 66 9 12
10 68 8 12
Matrik Korelasi vektor x , dinotasikan P,
Hitunglah penaksir-penaksir :
x1 x2 x3
- vektor mean, µ
x1  ρ11 ρ12  ρ1m 
- matrik kovariansi, Ω
x2  ρ21
 ρ22  ρ11 
, - matrik korelasi, P
P=
       −
- matrik diagonal, DΩ1/ 2
 
xm ρm1 ρm 2  ρmm  dan tuliskan PDF multivariate vektor x .
cov( xi , x j ) σij Kemudian dilakukan transformasi sebagai berikut :
dengan ρij = var( x ) var( x ) = σ σ , ziu = ( xiu − xi ) / simpangan baku xi ,
i j ii jj
dengan i = 1, 2, 3, 4, dan u = 1, 2, … , 13.
ini merupakan hubungan antara korelasi dengan Dengan demikian, vektor random x = (x1,x2,x3,x4)T
kovarian. berubah menjadi vektor random z = (z1,z2,z3,z4)T.
Bila i = j, maka ρii =1 , sehingga elemen dia- Hitunglah penaksir-penaksir (untuk vektor z ):
gonal utama matrik korelasi, yaitu P selalu ber- - vektor mean, µ
nilai 1. - matrik kovariansi, Ω
- matrik korelasi, P
Hubungan antara matrik korelasi, P, dengan −
matrik kovariansi, Ω, dapat di turunkan sbb; - matrik diagonal, DΩ1/ 2
didefinisikan suatu matrik diagonal, dinotasi- dan tuliskan PDF multivariate vektor z .
−
kan DΩ1/ 2 , yang setiap elemennya bernilai satu Pilihlah dua variabel random diantara x1, x2, x3, x4.
per simpangan baku setiap variabel random Hitunglah penaksir-penaksir :
yang membentuk matrik random, yaitu ( σ ii ) , - vektor mean, µ
−1/ 2
- matrik kovariansi, Ω
i = 1, 2, … , m,
- matrik korelasi, P
−
- matrik diagonal, DΩ1/ 2 ,
DΩ1/ 2 = diag ( σ 11 , σ 22 , ... , σ mm )
− −1/ 2 −1/ 2 −1/ 2
tuliskan PDF bivariate (xi , xj), dan gambarlah kurva
PDF tersebut.
σ 111/ 2
−
0  0 
  Diketahui : vektor α = (10,11,12,13)T,
−1/ 2  σ 221/ 2 
−
0 
DΩ = vektor β = (21,22,23,24)T,
  0 
 −1/  1 11 23 31

 σ mm 2 
  
matrik A =  2 13 21 33
selanjutnya, hubungan antara matrik korelasi  3 12 22 32 
 
dan matrik kovarian dapat dinyatakan sbb, Hitunglah : Ekspektasi : αx, αz, βx, βz, Ax dan Az,
− −
Variansi : αx, αz, βx, βz, Ax dan Az,
P = DΩ1/ 2 Ω DΩ1/ 2 . Kovariansi : (αx, βx) , (αz, βz) , (Ax, Bx) , (Az, Bz)

3. (Tentukan lebih dulu matrik B dengan elemen anda
tentukan sendiri, yang penting ukurannya sesuai)