Materi ukuran pusat dan letak

1. Ukuran Gejala Pusat dan Ukuran
Letak
Kania Evita Dewi

2. • Rata-rata hitung
• Rata-rata ukur
• Rata-rata harmonik
• Modus
Ukuran gejala pusat
 Median
 Kuartil
Ukuran Letak

3. • Data tunggal
Misal X1, X2, X3, …,Xn adalah hasil pengamatan
dari sampel, maka rata-rata hitung dari kumpulan
data tersebut adalah
Rata-rata Hitung 1
n
X
n
X
X
X
X
X
n
i
i
n







 1
3
2
1 ...
 Contoh
Bila nilai ujian statistika dari 5 mahasiswa dari suatu kelas
adalah 70, 75, 60, 65, dan 80. Maka rata-rata hitungnya
70
5
350
5
80
65
60
75
70







X

4. • Data berulang
Misal nilai data berulang dengan frekuensi
tertentu, X1 berulang f1, X2 berulang f2, X3
berulang f3, …,Xn berulang fn adalah hasil
pengamatan dari sampel, maka rata-rata
hitung dari kumpulan data tersebut adalah
Rata-rata Hitung 2













 n
i
i
n
i
i
i
n
n
n
f
X
f
f
f
f
f
X
f
X
f
X
f
X
f
X
1
1
3
2
1
3
3
2
2
1
1
...
...

5. Bila pada suatu ujian statistika, ada 3 mahasiswa
mendapat nilai 65, 3 mahasiswa mendapat nilai 70, 5
mahasiswa mendapat 80, ada 2 mahasiswa
mendapat 100. Maka nilai rata-rata hitungnya
Contoh RH berulang
        31
,
77
13
1005
2
5
3
3
100
2
80
5
70
3
65
3













X

6. • Data berbobot
Misal suatu data di mana masing-masing data
memiliki bobot tertentu, nilai X1 dengan bobot
B1, nilai X2 dengan bobot B2, nilai X3 dengan
bobot B3, …, dan nilai Xn dengan bobot Bn,
maka nilai rata-rata hitungnya adalah:
Rata-rata Hitung 3













 n
i
i
n
i
i
i
n
n
n
B
X
B
B
B
B
B
X
B
X
B
X
B
X
B
X
1
1
3
2
1
3
3
2
2
1
1
...
...

7. • Cara menghitung nilai akhir suatu mata kuliah
adalah
Seorang mahasiswa yang selalu hadir dikelas,
rata-rata tugasnya 80, UTSnya 70, dan UASnya
75, maka nilai akhir untuk mahasiswa tersebut
Contoh RH berbobot
UAS
%
40
UTS
%
30
tugas
%
20
absensi
%
10 



NA
        77
%
100
77
%
40
%
30
%
20
%
10
75
%
40
70
%
30
80
%
20
100
%
10













NA

8. • Data Kelompok
Rata-rata Hitung 4




 n
i
i
n
i
i
i
f
X
f
X
1
1
i
-
ke
kelas
tengah
Nilai
X
i
-
ke
kelas
frekuensi
f
:
dengan
i
i


Atau 

















n
i
i
n
i
i
i
f
c
f
p
X
X
1
1
0
kelas
panjang
p
i
-
ke
kelas
kode
c
i
-
ke
kelas
frekuensi
f
0
kode
dengan
kelas
tengah
Nilai
X
:
dengan
i
i
0





9. Contoh RH kelompok 1
Interval
Kelas
f Nilai
Tengah
fixi
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 - 100
2
3
5
14
24
20
12
35.5
45.5
55.5
65.5
75.5
85.5
95.5
jumlah




 n
i
i
n
i
i
i
f
X
f
X
1
1
71
136.5
277.5
917
1812
1710
1146
6070
875
.
75
80
6070



10. Contoh RH kelompok 2
Interval
Kelas
f Nilai
Tengah
ci fici
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 - 100
2
3
5
14
24
20
12
35.5
45.5
55.5
65.5
75.5
85.5
95.5
jumlah


















n
i
i
n
i
i
i
f
c
f
p
X
X
1
1
0
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
-8
-9
-10
-14
0
+20
+24
3
875
,
75
80
3
10
5
.
75










11. • Data tunggal
Misal X1, X2, X3, …, Xn adalah hasil
pengamatan dari sampel, maka rata-rata ukur
(U) dari kumpulan data tersebut adalah
Rata-rata Ukur 1
n
n
X
X
X
X
U 



 ...
3
2
1
Tetapi jika hasil pengamatan terlalu besar maka
n
X
U
n
i
i


 1
log
log

12. • Hitunglah rata-rata dari bilangan-bilangan 25,
102, 354, dan 1610!
Contoh RU tunggal
25
,
195
1610
354
102
25
4





U
Atau
290
.
2
4
16
,
9
4
1610
log
354
log
102
log
25
log
log 





U
25
,
195
10 290
.
2


U

13. • Data kelompok
Rata-rata Ukur 2
 




 n
i
i
n
i
i
i
f
x
f
U
1
1
log
log
i
-
ke
kelas
frekuensi
f
i
-
ke
kelas
tengah
nilai
x
:
dengan
i
i



14. Contoh RU kelompok
Interval Kelas f Nilai Tengah Log(xi) fi.log(xi)
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 - 100
2
3
5
14
24
20
12
35.5
45.5
55.5
65.5
75.5
85.5
95.5
jumlah
 




 n
i
i
n
i
i
i
f
x
f
U
1
1
log
log
1.55
1.66
1.74
1.82
1.88
1.93
1.98
3.10
4.97
8.72
25.43
45.07
38.64
23.76
149.69
33
,
74
87
.
1
80
69
.
149



 U

15. • Data tunggal
Misal X1, X2, X3, …, Xn adalah hasil pengamatan
dari sampel, maka rata-rata harmonik (H) dari
kumpulan data tersebut adalah
Rata-rata harmonik 1







 n
i i
n x
n
x
x
x
x
n
H
1
3
2
1
1
1
...
1
1
1

16. • Hitunglah rata-rata harmonis untuk kumpulan
data: 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12!
Contoh Rh 1
12
1
10
1
7
1
6
1
6
1
5
1
3
1
7







H
167
145
5


17. Rata-rata Harmonik 2












 n
i i
i
n
i
i
x
f
f
H
1
1
i
-
ke
kelas
frekuensi
f
i
-
ke
kelas
tengah
nilai
x
:
dengan
i
i



18. Contoh
Interval
Kelas
f Nilai
Tengah
Fi/xi
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 - 100
2
3
5
14
24
20
12
35.5
45.5
55.5
65.5
75.5
85.5
95.5
jumlah












 n
i i
i
n
i
i
x
f
f
H
1
1
0.06
0.07
0.09
0.21
0.32
0.23
0.13
1.10
49
.
72
10
.
1
80



19. • Data berikut merupakan daya tahan sampai mati, diukur
sampai sepersepuluh menit terdekat, dari sampel acak 60
lalat yang telah disemprot dengan bahan kimia baru dalam
suatu percobaan di laboratorium.
Latihan
2.4 1.6 3.2 4.6 0.4 1.8 2.7 1.7 5.3 1.2
0.7 2.9 3.5 0.9 2.1 2.4 0.4 3.9 6.3 2.5
3.9 2.6 1.8 3.4 2.3 1.3 2.8 1.1 0.2 2.1
2.8 3.7 3.1 1.5 2.3 2.6 3.5 5.9 2.0 1.2
2.8 3.7 3.1 1.5 2.3 2.6 3.5 5.9 2.0 1.2
1.3 2.1 0.3 2.5 4.3 1.8 1.4 2.0 1.9 1.7

20. Pertanyaan
1. Tentukan rata-rata hitung baik secara data
tunggal maupun data kelompok
2. Tentukan rata-rata ukur
3. Tentukan rata-rata harmonik

21. • Modus adalah bilangan yang frekuensi
terbesar
• Data tunggal
Contoh: 2, 8, 9, 11, 2, 6, 6, 7, 5, 2, 2, maka Mo
= 2
Modus

22. • Data Kelompok
Modus 2











2
1
1
b
b
b
p
b
Mo
sesudahnya
kelas
frekuensi
-
modal
kelas
frekuensi
b
sebelumnya
kelas
frekuensi
-
modal
kelas
frekuensi
b
kelas
panjang
p
terbesar)
(f
Modal
kelas
bawah
batas
b
:
dengan
2
1





23. Contoh Mo
Interval Kelas f
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 - 100
2
3
5
14
24
20
12
jumlah
14
10
b
10
p
70,5
b
:
diperoleh
disamping
n tabel
Berdasarka
2
1




b
67
,
74
14
10
10
10
5
,
70 









Mo

24. • Median adalah data tengah atau data yang
membagi barisan data menjadi 2 sama banyak
• Langkah-langkah menentukan median:
1. Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar.
2. Tentukan letak median :
3. Tentukan nilai median
a. jika jumlah data ganjil:
b. jika jumlah data genap :
Median
2
1


n
LMe
Me
L
X
Me 








1
2
1
2
1
2
1
n
n
X
X
Me

25. • Jika diketahu kumpulan data hasil pengamatan
5, 8, 10, 4, 10, 7, 12. Tentukan Median?
Contoh Me tunggal
12
,
10
,
10
,
8
,
7
,
5
,
4
:
Urutkan
4
2
1
7



Me
L
8
4 
 X
Me

26. • Data kelompok
Median 2















f
F
n
p
b
Me 2
median
kelas
frekuensi
f
median
kelas
sebelum
kumulatif
frekuensi
n
kelas
panjang
2
1
median
kelas
bawah
batas
b
:
dengan
1
1















F
f
p
f
k
i
i
k
i
i

27. Contoh Me
Interval Kelas f
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 - 100
2
3
5
14
24
20
12
jumlah
24
24
10
p
70,5
b
80
n
:
diperoleh
disamping
n tabel
Berdasarka





f
F
167
,
77
24
24
2
80
10
5
,
70 















Mo

28. • Kuartil adalah bilangan-bilangan yang
membagi barisan data terurut menjadi 4
bagian sama banyak.
• Langkah-langkah menentukan kuartil:
1. Urutkan data dari data yang terkecil hingga
terbesar.
2. Tentukan letak kuartil :
3. Tentukan nilai kuartil:
Kuartil
  b
a
n
i
LKi ,
2
1



 
a
a
a
i X
X
b
X
K 

 1
,
0

29. • Misalkan pada sebuah sampel didapat data:
78, 82, 66, 57, 97, 64, 56, 92, 94, 86, 52, 60,
70. Tentukan: a) K1 dan b)K3
Contoh kuartil
 Urutkan datanya:
52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 78, 82, 86, 92, 94, 97
  5
,
3
4
1
13
1
1 


LK     5
,
58
57
60
5
,
0
57
5
,
0 3
4
3
1 





 X
X
X
K
  5
,
10
4
1
13
3
3 


LK     89
86
92
5
,
0
86
5
,
0 10
11
10
1 





 X
X
X
K

30. • Data Kelompok
• Langkah menentukan kuartil dalam data
kelompok:
1. Tentukan letak kuartil:
2. Tentukan besar nilai kuartil :
Kuartil 2
 
2
1


n
i
LKi
















f
F
n
i
p
b
Ki
4







n
1
i
i
f
n
kuartil
kelas
frekuensi
f
kuartil
kelas
sebelum
kumulatif
frekuensi
F
kelas
panjang
p
kuartil
kelas
bawah
batas
b
:
dengan

31. Contoh Kuartil
Interval Kelas f
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 - 100
2
3
5
14
24
20
12
jumlah
20
48
10
p
80,5
b
:
diperoleh
disamping
n tabel
Berdasarka




f
F
5
,
86
20
48
4
80
3
10
5
,
80
3 
















K
  75
,
60
4
1
80
3
3 


LK

32. • Data berikut merupakan daya tahan sampai mati, diukur
sampai sepersepuluh menit terdekat, dari sampel acak 60
lalat yang telah disemprot dengan bahan kimia baru dalam
suatu percobaan di laboratorium.
Latihan
2.4 1.6 3.2 4.6 0.4 1.8 2.7 1.7 5.3 1.2
0.7 2.9 3.5 0.9 2.1 2.4 0.4 3.9 6.3 2.5
3.9 2.6 1.8 3.4 2.3 1.3 2.8 1.1 0.2 2.1
2.8 3.7 3.1 1.5 2.3 2.6 3.5 5.9 2.0 1.2
2.8 3.7 3.1 1.5 2.3 2.6 3.5 5.9 2.0 1.2
1.3 2.1 0.3 2.5 4.3 1.8 1.4 2.0 1.9 1.7

33. Pertanyaan
Baik dengan menggunakan data tunggal
maupun data kelompok, tentukan:
1. Modus
2. Median

34. Ukuran simpangan dan Ukuran
Dispersi
Kania Evita Dewi

35. • Rentang
• Rentang antar kuartil
• Simpangan antar kuartil
• Rata-rata simpangan
Ukuran simpangan
‣ Varians
‣ Simpangan Baku
‣ Bilangan Baku
‣ Koefisien Korelasi

36. • Rentang = Data Terbesar – Data Terkecil
Rentang
Contoh:
Jika data hasil pengamatan adalah:
9,3,2,4,5,2,6,2,9,10,14,13, dan 4
Data terbesar = 14
Data terkecil = 2
Rentang = 14 – 2 = 12

37. Rentang Antar Kuartil
1
3 K
K
RAK 

3
-
ke
kuartil
K
1
-
ke
kuartil
K
:
dengan
3
1



38. Contoh RAK
Interval Kelas F
0.2 – 1.2
1.3 - 2.3
2.4 – 3.4
3.5 – 4.5
4.6 – 5.6
5.7 – 6.7
10
21
16
8
2
3
  25
.
15
4
1
60
1
1 


LK
51
.
1
21
10
4
60
1
1
.
1
25
.
1
1 
















K
  75
.
45
4
1
60
3
3 


LK
31
.
3
16
31
4
60
3
1
.
1
35
.
2
3 
















K
80
.
1
1
3 

 K
K
RAK

39. Simpangan Antar Kuartil
  RAK
K
K
SK
2
1
2
1
1
3 


Contoh:
Dengan RAK =1.80
Maka SK = 0.90

40. • Data tunggal
Rata-rata Simpangan
n
x
x
RS
n
i
i



 1
data
jumlah
n
hitung
rata
-
rata
x
i
-
ke
data
x
:
dengan
i



Contoh:
Jika diperoleh hasil pengamatan 8,7,10,11. Tentukan
rata-rata simpangannya!
9
4
11
10
7
8





x
4
6
4
9
11
9
10
9
7
9
8









RS

41. RS 2
• Data kelompok
n
x
x
f
RS
n
i
i
i



 1






n
1
i
i
i
i
f
n
hitung
rata
-
rata
x
i
-
ke
kelas
tengah
nilai
x
i
-
ke
kelas
frekuensi
f
:
dengan

42. Contoh RS
Interval Kelas F xi
0.2 – 1.2
1.3 - 2.3
2.4 – 3.4
3.5 – 4.5
4.6 – 5.6
5.7 – 6.7
10
21
16
8
2
3
x
xi  x
x
f i
i 
n
x
x
f
RS
n
i
i
i



 1
0.7
1.8
2.9
4.0
5.1
6.2
15
38
60
152


x
1.83
0.73
0.37
1.47
2.57
3.67
18.33
15.4 5.87
11.73
5.13
11
67.47
12
.
1
60
47
.
67



43. • Untuk sampel berukuran n dan rata-ratanya maka variansnya
Varians
x
Data tunggal
 
1
1
2
2





n
x
x
s
n
i
i
data
jumlah
n
hitung
rata
-
rata
x
i
-
ke
data
x
:
dengan
i



atau
 
1
2
1
1
2
2










 

n
n
x
x
n
s
n
i
i
n
i
i

44. • Contoh:
• Berapakah varians dari 5, 7, 2, 2, 4?
Contoh varians 1
4
5
4
2
2
7
5






x
         
5
.
4
1
5
4
4
4
2
4
2
4
7
4
5
2
2
2
2
2
2












s

45. • Untuk sampel berukuran n dan rata-ratanya maka variansnya
Varians
x
Data kelompok
 
1
1
2
2





n
x
x
f
s
n
i
i
i





n
1
i
i
i
f
n
hitung
rata
-
rata
x
i
-
ke
tengah
nilai
x
:
dengan
atau
 
1
2
1
1
2
2










 

n
n
x
f
x
f
n
s
n
i
i
i
n
i
i
i
 
























 

1
2
1
1
2
2
2
n
n
c
f
c
f
n
p
s
n
i
i
i
n
i
i
i

46. Contoh
Interval Kelas F ci fici fici2
0.2 – 1.2
1.3 - 2.3
2.4 – 3.4
3.5 – 4.5
4.6 – 5.6
5.7 – 6.7
10
21
16
8
2
3
 
























 

1
2
1
1
2
2
2
n
n
c
f
c
f
n
p
s
n
i
i
i
n
i
i
i
-1
0
1
2
3
4
-10
0
16
16
6
12
40
10
0
16
32
18
48
124
   
 
996
,
1
59
60
40
124
60
1
,
1
2
2








 


47. Simpangan Baku
Akar positif dari varians
Data Tunggal
 
1
1
2





n
x
x
s
n
i
i
Data Kelompok
 
1
1
2





n
x
x
f
s
n
i
i
i

48. Angka Baku
s
x
x
z i
i


Contoh:
A mendapat nilai 86 pada ujian akhir Matematika, di mana rata-rata dan
simpangan baku kelompok masing-masing 78 dan 10. Pada ujian akhir Statistika
di mana rata-rata kelompok 84, dan simpangan baku kelompok 18, A mendapat
nilai 92. Dalam mata ujian manakah A mencapai kedudukan yang lebih baik?

49. • Definisi: Jika dari sebuah sampel dihitung dan
s, maka koefisien variasi didefinisikan sebagai
formula berikut:
Koefisien Variasi
x
%
100


x
s
KV

50. Kategori (%) Interpretasi KV
45 atau lebih
40 – 44
30 – 39
25 – 29
Kurang dari 25
Sangat heterogen
Heterogen
Normal
Homogen
Sangat homogen
Interpretasi KV

51. • Menurut sensus pendapatan perbulan di
Malaysia setara dengan Rp. 5000000,00
dengan simpangan baku Rp. 3000000,00. Di
Indonesia rata-rata Rp. 4000000,00 dengan
simpangan baku Rp. 2000000,00.
Tunjukkanlah secara statistik negara mana
yang lebih merata pendapatannya.
Contoh KV