Teks tersebut membahas tentang ontologi, epistemologi, dan aksiologi sebagai cabang-cabang filsafat. Ontologi membahas tentang hakikat keberadaan, epistemologi membahas tentang asal usul dan batasan pengetahuan, sedangkan aksiologi membahas tentang nilai penggunaan ilmu pengetahuan. Teks tersebut juga menjelaskan berbagai aliran dalam ontologi dan unsur-unsur penting dalam sarana berpikir ilmiah seperti bah

1. 1
ONTOLOGI PENGETAHUAN
Ontologi merupakan cabang teori hakikat yang membicarakan hakikat sesuatu yang ada
(wujud seperti karakteristik dasar dari seluruh realitas). Secara bahasa, kata ontologi berasal
dari perkataan Yunani, yaitu : Ontos berarti being, dan Logos berarti Logic. Jadi, dapat
dikatakan ontologi adalah the theory of being qua being (teori tentang keberadaan sebagai
keberadaan) atau bisa juga ilmu tentang yang ada (bakhtiar,2005:219).
Istilah ontologi pertama kali diperkenalkan oleh rudolf Goclenius pada tahun 1936 M,
untuk menamai hakekak yang ada bersifat metafisis. Dalam perkembangannya Christian
Wolf (1679-1754) dalam (bakhtiar,2005:219). membagi metafisika menjadi dua, yaitu
metafisika umum dan khusus.
Metafisika umum adalah istilah lain dari ontologi. Dengan demikian, metafiska atau
otologi adalah cabang filsafat yang membahas tentang prinsip yang paling dasar atau paling
dalam dari segala sesuatu yang ada. Sedangkan metafisika khusus masih terbagi menjadi
Kosmologi, Psikologi dan Teologi.
Masalah Ontologi
Dalam kajian ontologi ada beberapa masalah yang perlu dipahami dan dicermati, yaitu :
 Jumlah dan ragam
Ontologi membahas tentang yang ada, yang tidak terikat oleh satu perwujudan tertentu.
Ontologi membahas tentang yang ada yang universal, menampilkan pikiran semesta
universal. Ontologi berupaya mencari inti yang termuat dalam setiap kenyataan. Kenyataan
itu baik dari pengalaman pribadi maupun dari sejarah pemikiran muncul persoalan tentang
kesatuan dan kebanyakan, tentang ketunggalan dan kegandaan, tantang keekaan dan
keanekaan, tentang kesamaan dan keberlainan
 Pertentangan
Rasanya orang-orang harus memilih salah satu di antara dua kemungkinan tersebut (antara
kenyataan yang satu dan yang beragam), jikalau kenyataan itu bersatu, maka kiranya menjadi
satu, tunggal, esa dan tidak akan menjadi banyak, ganda dan aneka.
 Hampiran
Untuk menolak pemecahan persoalan awal ini, ontologi harus menolak dari kenyataan
konkret menurut apa adanya. Tidak akan diusahakan menjawab pertanyaan:”Karena apa ada
suatu kenyataan?” keniscayaan mengada atau tidaknya itu mustahil diuraikan secara apriori.

2. 2
A. ALIRAN-ALIRAN DALAM FILSAFAT
Mempelajari pemahaman ontologi muncul beberapa pandangan-pandangan pokok
pemikiran dalam pertanyaan yang kemudian melahirkan aliran-aliran dalam filsafat. Dari
masing-masing pertanyaan menimbulkan beberapa sudut pandang mengenai ontologi.
Sehingga lahir lima filsafat, yaitu sebagai berikut :
1. Monoisme : Paham ini menganggap bahwa hakikat yang berasal dari kenyataan adalah
satu saja, tidak mungkin dua. Haruslah satu hakikat saja sebagai sumber yang asal, baik
berupa materi maupun rohani. Paham ini terbagi menjadi dua aliran :
a. Materialisme
Aliran ini menganggap bahwa sumber yang asal itu adalah materi, bukan rohani.
Aliran ini sering disebut naturalisme. Menurutnya bahwa zat mati merupakan
kenyataan dan satu-satunya fakta yang hanyalah materi, sedangkan jiwa atau ruh
tidaklah merupakan suatu kenyataan yang berdiri sendiri
b. Idealisme
Sebagai lawan dari materialisme yang dinamakan spriritualismee. Dealisme
berasal dari kata ”Ideal” yaitu suatu yang hadir dalam jiwa. Aliran ini beranggapan
bahwa hakikat kenyataan yang beraneka ragam itu semua berasal dari ruh (sukma)
atu sejenis denganntya, yaitu sesuatu yang tidak terbentuk dan menempati ruag.
Materi atau zat ini hanyalah suatu jenis dari penjelamaan ruhani
2. Dualisme, Aliran ini berpendapat bahwa benda terdiri dari dua macam hakikat sebagai
asal sumbernya, yaitu hakikat materi dan ruhani, benda dan ruh, jasad dan spirit. Materi
bukan muncul dari benda, sama-sama hakikat, kedua macam hakikat tersebut masing-
masing bebas dan berdiri sendiri, sama-sama azali dan abadi, hubungan keduanya
menciptakan kehidupan di alam ini. Tokoh paham ini adalah Descater (1596-1650 SM)
yang dianggap sebagai bapak Filosofi modern)
3. Pluralisme, paham ini beranggapan bahwa segenap macam bentuk merupakan
kenyataan. Pluralisme tertolak dari keseluruhan dan mengakui bahwa segenap macam
bentuk itu semuanya nyata, tokoh aliran ini pada masa Yunani kuno adalah Anaxagoras
dan Empedcoles, yang menyatakan bahwa substansi yang ada itu terbentuk dan terdiri
dari empat unsur, yaitu tanah, air, api dan udara
4. Nihilisme, berasal dari bahasa Yunani yang berati nothing atau tidak ada. Istilah
Nihilisme dikenal oleh Ivan Turgeniev dalam novelnya Fadhers an Children yang

3. 3
ditulisnya pada tahun 1862 di Rusia. Doktrin tentang Nihilisme sebenarnya sudah ada
sejak zaman Yunani kuno, yaitu pada pandangan Grogias (483-360 SM) yang
memberikan tiga proporsi tentang realitas
5. Agnostisime, berasal dari bahasa Grik Agnostos yang berarti unknow. A artinya not, Gno
artinya know. Paham ini mengingkari kesanggupan manusia untuk mengetahui hakikat
benda. Baik hakekat materi maupun hakekat ruhani. Timbulnya aliran ini dikarenakan
belum dapatnya orang mengenal dan mampu menerangkan secara konkret akan adanya
kenyataan yang berdiri sendiri dan dapat kita kenal. Jadi paham ini mengenai
pengingkaran tau penyangkalan terhada kemampuan manusia mengetahui hakekat benda
baik materi maupun ruhani. Aliran ini mirip dengan skeptisisme yang berpendapat bahwa
manusia diragukan kemampuannya mengetahui hakekatnya, namun tampaknya
agnotisisme lebih dari itu karena menyerah sama sekali.
EPISTEMOLOGI PENGETAHUAN
A. Pengertian Epistemologi
Epistemologi merupakan cabang filsafat yang menyelidiki asal, sifat, metode, dan
batasan pengetahuan manusia (a branch of philosophy that investigates the origin, nature,
methods, and limits of human knowledge).
Epistemologi jiga disebut teori pengetahuan ( theory of knowledge) berasal dari kata
Yunani episteme, yang berarti “pengetahuan”, “pengetahuan yang benar”, “ pengetahuan
ilmiah”, dan logos= teori. Epistemologi dapat didefinisikan sebagai cabang filsafat yang
mempelajari asal mula atau sumber, struktur, metode, dan sahnya (validitas) pengetahuan.
Dalam metafisika, pertanyaan pokoknya adalah “apakah ada itu?” sedangkan dalam
epistemology pertanyaan pokoknya adalah “apa yang dapat saya ketahui?”.
Dalam pembahasan filsafat ilmu, epistemologi dikenal sebagai sub sistem dari
filsafat. Epistemologi adalah teori pengetahuan, yaitu membahas tentang bagaimana cara
mendapatkan pengetahuan dari objek yang ingin dipikirkan.
B. Hubungan antara Epistemologi dengan Pedagogi Matematika
Epistemologi matematika adalah teori pengetahuan yang sasarannya adalah pengetahuan
matematika. Epistemologi merupakan pemikiran reflektif terhadap berbagai segi dari
pengetahuan seperti kemungkinan, asal mula, sifat-sifat alami, batas-batas, asumsi dan
landasan,validitas dan reliabilitas hingga kebenaran pengetahuan.
Kajian yang termasuk dalam epistemologi matematika antara lain : matematika termasuk
jenis pengetahuan apa (empirik ataupengetahuan pra- pengalaman) bagaimana ciri-ciri

4. 4
matematika (deduktif, abstrak, hipotetik,eksak, simbolik, universal, rasional dan
kemungkinan ciri lainnya) lingkup dan pembagianpengetahuan matematika (matematika
murni, matematika terapan serta cabang lainnya)kebenaran matematika (sifat alaminya dan
semacamnya). Epistemologi matematika mempengaruhi pembelajaran matematika. Kinerja
guru yang ditunjukkan dalam pemecahan masalah, serta pendekatan pengajaranmereka,
tergantung pada keyakinan mereka tentang matematika.
SARANA BERPIKIR ILMIAH
Sarana berpikir ilmiah ini sangat berkaitan dengan metode ilmiah. Sarana merupakan
alat yang membantu kita dalam mencapai suatu tujuan tertentu, sedangkan sarana berpikir
ilmiah merupakan alat bagi metode ilmiah dalam melakukan fungsinya secara baik, dengan
demikian fungsi sarana berpikir ilmiah adalah membantu proses metode ilmiah, bukan
merupakan ilmu itu sendiri.
Sarana bepikir ilmiah juga menyandarkan diri pada proses logika deduktif dan proses
logika induktif, sebagimana ilmu yang merupakan gabungan antara berpikir deduktif dan
induktif. Implikasi proses deduktif dan induktif menggunakan logika ilmiah. Menurut
Endraswara (2012: 228) bahwa logika ilmiah merupakan sarana berpikir ilmiah yang paling
penting.
Untuk dapat melakukan kegiatan berpikir ilmiah dengan baik maka diperlukan sarana
berupa bahasa, logika, matematika dan statistika. Salah satu langkah ke arah penguasaan itu
adalah mengetahui dengan benar peranan masing-masing sarana berpikir tersebut dalam
keseluruhan proses ilmiah (Suriasumantri, 2009: 167-169). Namun dalam makalah ini sarana
berpikir ilmiah akan dikelompokkan menjadi tiga yaitu bahasa, matematika dan statistika,
sedangkan pembahasan logika dimasukan ke dalam ketiga sarana tersebut.
BAHASA DAN PERANNYA DALAM SARANA BERFIKIR ILMIAH
Bahasa merupakan alat komunikasi verbal yang dipakai dalam seluruh proses berpikir
ilmiah dan alat komunikasi untuk menyampaikan jalan pikiran tersebut kepada orang lain
(Suriasumantri, 2009: 167). Pendapat lain menjelaskan, bahasa merupakan pernyataan pikiran
atau perasaan yang terdiri dari kata-kata atau istilah-istilah dan sintaksis. Kata atau istilah
merupakan simbol dari arti sesuatu, sedangkan sintaksis merupakan cara menyusun kata-kata
menjadi kalimat yang bermakna (Tim Dosen Filsafat Ilmu UGM, 2010: 98).

5. 5
Bahasa memegang peranan penting dalam suatu hal yang lazim dalam kehidupan
manusia. Kelaziman tersebut membuat manusia jarang memperhatikan bahasa dan
menganggapnya sebagai suatu hal yang biasa, seperti bernafas dan berjalan. Bloch & Trager
berpendapat bahwa bahasa adalah suatu sistem simbol-simbol bunyi yang arbitrer yang
dipergunakan oleh suatu kelompok sosial sebagai alat komunikasi. Peran bahasa disini adalah
sebagi alat komunikasi untuk menyampaikan jalan pikiran seluruh proses berfikir ilmiah dan
sebagai sarana komunikasi antar manusia.
Adapun ciri-ciri bahasa ilmiah yaitu :
1. Informatif yang berarti bahwa bahasa ilmiah mengungkapkan informasi atau
pengetahuan. Informasi atau pengetahuan ini dinyatakan secara eksplisit dan jelas untuk
menghindari kesalahpahaman informasi.
2. Reproduktif adalah bahwa pembicara atau penulis menyampaikan informasi yang sama
dengan informasi yang diterima oleh pendengar atau pembacanya.
3. Intersubjektif, yaitu ungkapan-ungkapan yang dipakai mengandung makna-makna yang
sama bagi para pemakainya.
4. Antiseptik berarti bahwa bahasa ilmiah itu objektif dan tidak memuat unsur emotif,
kendatipun pada kenyataan unsur emotif ini sulit dilepaskan dari unsur informatif.
AKSIOLOGI PENGETAHUAN
A. Definisi Aksiologi
Aksiologi berasal dari kata Yunani: axion (nilai) dan logos (teori), yang berarti teori
tentang nilai (Salam, 1997). Sumantri (1996) menyatakan aksiologi adalah teori nilai yang
berkaitan dengan kegunaan dan pengetahuan yang diperoleh. Menurut kamus bahasa
Indonesia, aksiologi adalah kegunaan ilmu pengetahuan bagi kehidupan manusia, kajian
tentang nilai-nilai khusunya etika.
Aksiologi merupakan cabang filsafat ilmu yang membicarakan tentang tujuan ilmu
pengetahuan itu sendiri dan bagaimana manusia menggunakan ilmu tersebut. Jadi hakikat
yang ingin dicapai aksiologi adalah hakikat manfaat yang terdapat dalam suatu pengetahuan.
Objek kajian aksiologi adalah menyangkut masalah nilai kegunaan ilmu karena ilmu harus
disesuaikan dengan nilai-nilai budaya dan moral sehingga nilai kegunaan ilmu itu dapat
dirasakan oleh masyarakat. Aksiologi disebut teori tentang nilai yang menaruh perhatian baik
dan buruk (good and bad), benar dan salah (right and wrong), serta tata cara dan tujuan
(mean and end).

6. 6
B. Nilai dalam Aksiologi
Dalam aksiologi ada dua komponen yang mendasar, yakni Etika dan Estetika.
1. Etika
Istilah etika berasal dari bahasa yunani “ethos” yang berarti adat kebiasaan. Dalam
istilah lain dinamakan moral yang berasal dari bahasa latin “mores”, kata jamak dari mos
yang berarti adat kebiasaan. Etika adalah cabang filsafat aksiologi yang membahas masalah-
masalah moral. Kajian etika lebih fokus pada perilaku, norma, dan adat istiadat yang berlaku
pada komunitas tertentu.
2. Estetika
Estetika merupakan bidang studi manusia yang mempersoalkan tentang nilai
keindahan. Keindahan mengandung arti bahwa didalam diri segala sesuatu terdapat unsur-
unsur yang tertata secara tertib dan harmonis dalam suatu hubungan yang utuh menyeluruh.
Maksudnya adalah suatu objek yang indah bukan semata-mata bersifat selaras serta berpola
baik melainkan harus juga mempunyai kepribadian.
C. Kegunaan Aksiologi terhadap Tujuan Ilmu Pengetahuan
Berkenaan dengan nilai guna ilmu, baik itu ilmu umum maupun ilmu agama, tak
dapat dibantah lagi bahwa kedua ilmu itu sangat bermanfaat bagi seluruh umat manusia,
dengan ilmu sesorang dapat mengubah wajah dunia. Berkaitan dengan hal ini, menurut
Francis Bacon seperti yang dikutip oleh Jujun.S.Suriasumatri yaitu bahwa “pengetahuan
adalah kekuasaan” apakah kekuasaan itu merupakan berkat atau justru malapetaka bagi umat
manusia. Memang kalaupun terjadi malapetaka yang disebabkan oleh ilmu, bahwa kita tidak
bisa mengatakan bahwa itu merupakan kesalahan ilmu, karena ilmu itu sendiri merupakan
alat bagi manusia untuk mencapai kebahagiaan hidupnya, lagi pula ilmu memiliki sifat netral,
ilmu tidak mengenal baik ataupun buruk melainkan tergantung pada pemilik dalam
menggunakannya.
D. Hubungan antara Ontologi, Epistimologi, dan Aksiologi
Dari yang telah dipelajari sebelumnya tentang filsafat ilmu pendidikan, maka dapat
dibedakan antara ontologi, epistimologi, dan aksiologi, yaitu:
1. Ontologi : dasar untuk mengklasifikasi pengetahuan dan sekaligus bidang-bidang ilmu.
2. Epistimologi : cara/teknik/sarana yang membantu kita dalam mendapatkan pengetahuan
yang berupa ilmu.
3. Aksiologi : tujuan dari pengetahuan yang berupa ilmu itu dipergunakan.

7. 7
ILMU DAN BUDAYA
A. Ilmu
Menurut Depdiknas (2003) kata ilmu berasal dari bahasa Arab yaitu alima yang berarti
pengetahuan. Dalam bahasa Inggris ilmu disebut science dan bahasa latin yaitu scientia scio,
scire, yang juga berarti pengetahuan (Tirtarahardja, 2008).
.Beberapa pakar ahli berpendapat seperti Asley Montagu (Fitri, 2012) menyatakan
bahwa ilmu adalah pengetahuan yang disusun dalam satu sistem yang berasal dari
pengamatan, studi dan percobaan untuk menentukan hakikat prinsip tentang hal yang dikaji.
John Warfield (Fitri, 2012) mengemukakan bahwa ilmu dipandang sebagai suatu proses.
Pandangan proses ini paling bertalian dengan suatu perhatian terhadap penyelidikan karena
penyelidikan adalah suatu bagian besar dari ilmu sebagai suatu proses. Sedangkan menurut
Charles Singer (Fitri, 2012), ilmu adalah proses membuat proses membuat pengetahuan.
Menurut Susanto (2011 : 112) ilmu adalah pengetahuan yang pasti, sistematik, metodik,
ilmiah dan mencakup kebenaran umum mengenai objek studi. Ilmu membentuk daya
intelegensi yang menghasilkan keterampilan atau skill.
Jadi dapat disimpulkan bahwa ilmu adalah suatu kegiatan penelitian terhadap suatu
gejala ataupun kondisi pada suatu bidang dengan menggunakan berbagai prosedur, cara, alat
dan metode ilmiah lainnya guna menghasilkan suatu kebenaran ilmiah yang bersifat empiris,
sistematis, objektif, analisis dan verifikatif.
B. Kebudayaan
Menurut Widagho (2010), dalam bahasa Belanda Kebudayaan disebut cultuur dan
dalam Bahasa Inggris disebut culture. Pada dasarnya kebudayaan berasal dari bahasa Latin
“Colere” yang berarti mengolah, mengerjakan, menyuburkan dan mengembangkan, terutama
mengolah tanah atau bertani. Dari segi arti ini berkembanglah arti culture sebagai “segala
daya dan aktivitas manusia untuk mengolah dan mengubah alam”. Dilihat dari sudut bahasa
Indonesia, kebudayaan berasal dari bahasa Sansekreta “bddhayah” yaitu bentuk jamak dari
buddhi yang berarti budi atau akal.
Kebudayaan didefinisikan untuk pertama kali oleh E. B. Taylor pada tahun 1871, lebih
dari seratus tahun yang lalu, dalam bukunya Primitive Culture dimana kebudayaan diartikan
sebagai keseluruhan yang mencakup pengetahuan, kepercayaan, seni, moral, hukum, adat
serta kemampuan dan kebiasaan lainnya yang diperoleh manusia sebagai anggota masyarakat
(Suriasumantri, 2009: 261).

8. 8
Jadi dapat disimpulkan bahwa kebudayaan adalah kekuatan akal manusia, tindakan dan
hasil karya manusia untuk memenuhi kehidupannya dengan cara belajar, yang semuanya
tersusun dalam kehidupan masyarakat.
C. Hubungan Ilmu dan Budaya
Ilmu merupakan bagian dari pengetahuan dan pengetahuan merupakan unsur dari
kebudayaan. Ilmu dan kebudayaan berada dalam posisi yang saling tergantung dan saling
mempengaruhi. Pada satu pihak pengembangan ilmu dalam suatu masyarakat tergantung dari
kondisi kebudayaannya. Sedangkan di pihak lain, pengembangan ilmu akan mempengaruhi
jalannya kebudayaan.
Menurut Talcot Parsons, mereka saling mendukung satu sama lain baik dalam beberapa
tipe masyarakat ilmu dapat berkembang dengan pesat, demikian pula sebaliknya. Masyarakat
tersebut tak dapat berfungsi dengan wajar tanpa didukung perkembangan yang sehat dari
ilmu dan penerapan.
Semakin berkembangnya budaya maka semakin berkembangnya ilmu. Contohnya
adalah teknologi, majunya budaya maka teknologi berkembang, semakin berkembang
teknologi maka semakin berkembang ilmu.
ILMU DAN MATEMATIKA
A. Pengertian llmu
Kata ilmu berasal dari kata al-ilm dalam bahasa Arab kata al-ilm maknanya adalah
“idrokusy-syaii bi haqiqotihi”, yang artinya,” mengetahui sesuatu sesuai dengan hakekatnya.”
Al-ilm tergolong suatu pengetahuan. Ia merupakan pengetahuan yang benar, baik benar
dalam arti sesuai sebagaimana “ada”-nya (ash-shidq) maupun benar dalam arti berpahala
diakherat kelak jika diamalkan karena Allah semata (al-haqq). Dalam bahasa Inggris ilmu
disebut science dan bahasa latin scientia (pengetahuan). Beberapa pakar ahli antara lain
menurut Asley Montagu (Fitri, 2012) ilmu adalah pengetahuan yang disusun dalam satu
sistem yang berasal dari pengamatan, studi dan percobaan untuk menentukan hakikat prinsip
tentang hal yang dikaji. John Warfield (Fitri, 2012) ilmu dipandang sebagai suatu proses.
Sedangkan menurut Charles Singer (Fitri, 2012), ilmu adalah proses membuat proses
membuat pengetahuan. Sehingga dengan demikian, ilmu adalah kumpulan pengetahuan
secara holistik yang tersusun secara sistematis, teruji secara rasional dan terbukti secara
empiris.Kebenaran ilmu adalah rasionalisme dan empirisme sehingga kebenaran ilmu bersifat
empiris dan bersifat terstruktur yang diperoleh melalui metode-metode tertentu.

9. 9
B. Sifat-Sifat Ilmu
1. Objektif. Ilmu harus memiliki objek kajian yang terdiri dari satu golongan masalah yang
sama sifat hakikatnya, tampak dari luar maupun bentuknya dari dalam. Objeknya dapat
bersifat ada, atau mungkin ada karena masih harus diuji keberadaannya. Dalam mengkaji
objek, yang dicari adalah kebenaran, yakni persesuaian antara tahu dengan objek, dan
karenanya disebut kebenaran objektif; bukan subjektif berdasarkan subjek peneliti atau
subjek penunjang penelitian.
2. Metodis adalah upaya-upaya yang dilakukan untuk meminimalisasi kemungkinan
terjadinya penyimpangan dalam mencari kebenaran. Konsekuensi dari upaya ini adalah
harus terdapat cara tertentu untuk menjamin kepastian kebenaran. Metodis berasal dari
kata Yunani “Metodos” yang berarti: cara, jalan. Secara umum metodis berarti metode
tertentu yang digunakan dan umumnya merujuk pada metode ilmiah.
3. Sistematis. Dalam perjalanannya mencoba mengetahui dan menjelaskan suatu objek, ilmu
harus terurai dan terumuskan dalam hubungan yang teratur dan logis sehingga membentuk
suatu sistem yang berarti secara utuh, menyeluruh, terpadu , mampu menjelaskan
rangkaian sebab akibat menyangkut objeknya. Pengetahuan yang tersusun secara
sistematis dalam rangkaian sebab akibat merupakan syarat ilmu yang ketiga.
4. Universal. Kebenaran yang hendak dicapai adalah kebenaran universal yang bersifat
umum (tidak bersifat tertentu).
C. Pengertian Matematika
Menurut Russeffendi (Gloria, 2012) bahwa matematika lebih menekankan kegiatan
dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari hasil eksperimen atau hasil observasi
matematika terbentuk karena pikiran-pikiran manusia, yang berhubungan dengan idea,
proses, dan penalaran.Menurut Johnson dan Rising (Gloria, 2012), matematika adalah pola
berfikir, pola mengorganisasikan,pembuktian yang logik. Sedangkan menurut Kline bahwa
matematika itu bukanlah pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya
sendiri, tetapi adanya matematika itu untuk membantu manusia dalam memahami dan
mengatasi permasalahannya. Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berpikir,
oleh karena itu logika adalah dasar untuk terbentuknya matematika.
D. Aliran Filsafat Matematika
Mempelajari pemahaman ilmu dan matematika muncul beberapa pandangan-pandangan
pokok pemikiran dalam pertanyaan yang kemudian melahirkan aliran-aliran dalam
filsafat.Dari masing-masing pertanyaan menimbulkan beberapa sudut pandang mengenai

10. 10
filsafat matematika.Sehingga lahir beberapa filsafat.Menurut Suriasumantri (Mediaharja,
2012) beberapa aliran dalam filsafat matematikayaitu :
1. Aliran Logistik
Pelopornya : Immanuel Kant (1724 – 1804)
Berpendapat bahwa matematika merupakan cara logis (logistik) yang salah atau benarnya
dapat ditentukan tanpa mempelajari dunia empiris. Matematika murni merupakan cabang dari
logika, konsep matematika dapat di reduksikan menjadi konsep logika.
2. Aliran Intuisionis
Pelopornya : Jan Brouwer (1881 – 1966)
Berpendapat bahwa matematika itu bersifat intusionis. Intuisi murni dari berhitung
merupakan titik tolak tentang matematika bilangan. Hakekat sebuah bilangan harus dapat
dibentuk melalui kegiatan intuitif dalam berhitung dan menghitung.
3. Aliran Formalis
Pelopornya : David Hilbert (1862 – 1943)
Berpendapat bahwa matematika merupakan pengetahuan tentang struktur formal dari
lambang. Kaum formalis menekankan pada aspek formal dari matematika sebagai bahasa
lambang dan mengusahakan konsistensi dalam penggunaan matematika sebagai bahasa
lambang.
Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa matematika adalah cara atau metode
berpikir dan bernalar. Matematika adalah cara berpikir yang digunakan untuk memecahkan
semua jenis persoalan.
E. Hubungan Ilmu Dan Matematika
Matematika sangat penting bagi keilmuan, terutama dalam peran yang dimainkannya
dalam mengekspresikan model ilmiah. Mengamati dan mengumpulkan hasil-hasil
pengukuran, sebagaimana membuat hipotesis dan dugaan, pasti membutuhkan model dan
eksploitasi matematis. Cabang matematika yang sering dipakai dalam keilmuan di antaranya
kalkulus dan statistika, meskipun sebenarnya semua cabang matematika mempunyai
penerapannya, bahkan bidang “murni” seperti teori bilangan dan topologi. Tanpa matematika
maka pengetahuan akan berhenti pada tahap kualitatif yang tidak memungkinkan untuk
meningkatkan penalaran lebih jauh. Oleh karena maka dapat dikatakan bahwa ilmu tanpa
matematika tidak berkembang dan sebaliknya matematika tanpa ilmu tidak ada keteraturan
(Gunawan, 2014).
Beberapa orang pemikir memandang matematikawan sebagai ilmuwan, dengan anggapan
bahwa pembuktian-pembuktian matematis setara dengan percobaan.Sebagian yang lainnya

11. 11
tidak menganggap matematika sebagai ilmu, sebab tidak memerlukan uji-uji eksperimental
pada teori dan hipotesisnya. Namun, dibalik kedua anggapan itu, kenyataan pentingnya
matematika sebagai alat yang sangat berguna untuk menggambarkan/menjelaskan alam
semesta telah menjadi isu utama bagi filsafat matematika.
ILMU DAN AGAMA
A. Ilmu Pengetahuan
Ilmu pengetahuan adalah suatu sistem pengetahuan dari berbagai pengetahuan,
mengenai suatu lapangan pengalaman tertentu, yang disusun sedemikian rupa menurut asas-
asas tertentu, hingga menjadi kesatuan atau sistem dari berbagai pengetahuan. James
menjelaskan, ilmu pengetahuan adalah rangkaian konsep dan kerangka konseptual yang
saling berkaitan dan telah berkembang sebagai hasil percobaan dan pengamatan.Ilmu
pengetahuan tidak dipahami sebagai pencarian kepastian, melainkan sebagai penyeledikan
yang berkesinambungan.
Ilmu pengetahuan juga bisa merupakan upaya menyingkap realitas secara tepat
dengan merumuskan objek material dan objek formal.Upaya penyingkapan realitas dengan
memakai dua perumusan tersebut adakalanya menggunakan rasio dan empiris atau
mensintesikan keduanya sebagai ukuran sebuah kebenaran (kebenaran ilmiah). Penyingkapan
ilmu pengetahuan ini telah banyak mengungkap rahasia alam semesta dan
mengeksploitasinya untuk kepentingan manusia.
Dewasa ini, ilmu pengetahuan yang bercorak empiristik dengan metode kuantitatif
(matematis) lebih dominan menduduki dialektika kehidupan masyarakat. Hal ini besar
kemungkinan karena banyak dipengaruhi oleh perkembangan pemikiran positivistiknya
Auguste Comte yang mengajukan tiga tahapan pembebasan ilmu pengetahuan. Pertama,
menurut Auguste Comte ilmu pengetahuan harus terlepas dari lingkungan teologik yang
bersifat mistis. Kedua, ilmu pengetahuan harus bebas dari lingkungan metafisik yang bersifat
abstrak. Ketiga, ilmu pengetahuan harus menemukan otonominya sendiri dalam lingkungan
positifistik.
B. Bentuk Ilmu Pengetahuan
Menurut beberapa pakar, ilmu pengetahuan didefinisikan sebagai rangkaian aktifitas
berfikir dan memahami dengan mengikuti prosedur sistematika metode dan memenuhi
langkah-langkahnya. Dengan pola tersebut maka akan dihasilkan sebuah pengetahuan yang

12. 12
sistematis mengenai fenomena tertentu, dan mencapai kebenaran, pemahaman serta bisa
memberikan penjelasan serta melakukan penerapan.
Secara garis besar, ilmu pengetahuan dibagi menjadi dua bentuk, yakni ilmu eksakta
dan ilmu humaniora. Ilmu eksakta adalah spesifikasi keilmuan yang menitikberatkan pada
hukum sebab akibat. Penilaian terhadap ilmu-ilmu eksakta cenderung memakai metode
observasi yang digunakan sebagai cara penelitiannya dan mengukur tingkat validitasnya.
Dengan model tersebut, penelitian terhadap ilmu-ilmu eksakta sering mendapatkan hasil yang
objektif. Sedangkan ilmu humaniora merupakan spesifikasi keilmuan yang membahas sisi
kemanusian selain yang bersangkutan dengan biologis maupun fisiologisnya. Hal-hal yang
berkaitan dengan kemanusiaan ini lebih tertitik tekan dalam masalah sosiologis dan
psikologisnya.
C. Pengertian Agama
Kata agama dalam bahasa inggris disebut “Religion”, dalam bahasa belanda disebut
“Religie”. Kedua kata tersebut terambil dari bahasa induk yaitu bahasa latin yang memiliki
arti “Religare”, to treat carefully (Ciicero), Relegere, to bind together (Lactantius), atau
Religare, to recover (Agustinus). Dalam bahasa Arab, kata Agama disebut dengan “al-Di>n”
yang terambil dari akar kata “Da>na-Yadi>nu” yang berarti :
(1). Cara atau adat kebiasaan;
(2). Peraturan;
(3). Undang-undang;
(4). Ta’at atau patuh;
(5). Menunggalkan Tuhan;
(6).Pembalasan;
(7). Perhitungan;
(8). Hari kiamat;
(9). Nasihat.
Menurut Fachruddin alkahiri, kata agama dalam bahasa indonesia berasal dari bahasa
sangsekerta yang terdiri dari dua kata, yaitu: “a” yang berarti “Tidak” dan “Gama” yang
berarti “berantakan”. Jadi kata “Agama” adalah tidak berantakan, atau dalam pengertian lain
berarti teratur. Yang dimaksud agama adalah suatu peraturan yang mengatur keadaan
manusia, maupun sesuatu yang gaib, ataupun mengenai budi-pekerti, pergaulan hidup
bersama dan lainnya.

13. 13
D. Hubungan Ilmu dan Agama
Menurut Muhammad Abduh, agama merupakan sebuah produk Tuhan. Tuhan juga
mengajarkannya kepada umat manusia, dan membimbing manusia untuk menjalankanya.
Agama merupakan alat untuk akal dan logika, bagi orang-orang yang ingin kabar gembira
dan sedih. agama menurut sebagian orang merupakan sesuatu hal yang menyangkut hati;
suatu hal yang sangat berarti; suatu hal yang menuntun jiwa untuk menemukan keyakinan.
Agama dengan eksistensinya telah membuatnya berbeda dengan segala apa yang pernah ada,
membuatnya berbeda dengan dengan segala yang pernah dimiliki manusia. Agama membuat
orang melakukan aktifitas yang harus bersesuaian dengan apa yang diajarkannya, baik
tuntunan itu berat ataupun ringan. Agama menjadikan kehidupan manusia lebih teratur dalam
kehidupannya, karena segala dorongan dan keinginannya menjadi lebih terarah. Agama
menjadi pemimpin roh jiwa manusia. Ia juga berperan aktif membimbing manusia untuk
memahami ajaran-ajaranya. Diibaratkan seorang manusia layaknya seorang yang berada
diujung pedang, jika salah maka orang tersebut mati olehnya, tetapi agama agama datang
sebagai penyelamat. Apapun yang terjadi pada manusia, ia tidak akan bisa terlepas dari
agama. Sangat mustahil memisahkan kehidupan manusia dari agama. Seperti halnya
menghilangkan luka bekas operasi dari kulit manusia.
ILMU DAN BAHASA
A. Pengertian Ilmu
Menurut kamus Besar Bahasa Indonesia, ilmu diartikan sebagai pengetahuan tentang
suatu bidang yang disusun secara bersistem menurut metode tertentu, yang dapat digunakan
untuk menerangkan gejala tertentu di bidang (pengetahuan) itu; atau pengetahuan atau
kepandaian tentang soal duniawi, akhirat, lahir, batin, dan sebagainya. Dalam Wikipedia
Indonesia, ilmu adalah seluruh usaha sadar untuk menyelidiki, menemukan dan
meningkatkan pemahaman manusia dari berbagai segi kenyataan dalam alam manusia.
B. Asal Mula Bahasa
Apabila kita menelusuri jejak kehidupan nenek moyang manusia di muka bumi sejak
lima ratus ribu tahun yang silam, kita tidak pernah menemukan bukti-bukti langsung
mengenai bahasa nenek moyang kita tersebut.
Cerita dari Mesir, bahwa sekitar abad ke-17 SM Raja Mesir Psammetichus mengadakan
eksperimen terhadap bayi yang dibesarkan di hutan belantara dengan pola pengasuhan yang
tanpa bersentuhan dengan pemakaian bahasa apapun. Setelah berusia dua tahun, bayi tersebut

14. 14
dilaporkan oleh pengasuh suruhan istana dapat mengucapkan kata pertamanya “becos” yang
berarti “roti”, dalam bahasa Phrygia (bahasa Mesir kuno). Dan cerita ini, banyak orang Mesir
yang mempercayai bahwa bahasa Mesirlah yang merupakan bahasa yang pertama dikuasai
manusia, sekaligus diklaim sebagai bahasa yang pertama kali ada di muka bumi.
C. Pengertian Bahasa
Bahasa adalah media (sarana) yang digunakan untuk berbicara, menulis, dan berpikir.
Bahasa merupakan alat yang paling penting dalam hidup manusia. Bahasa membuat manusia
mampu mendominasi mahluk lain dimuka bumi, baik yang berada didarat, laut, maupun
udara.
Joseph Broam dalam Bakhtiar (2005:176) juga mengatakan bahwa “a language is a
structured system of arbitrary vocal symbol by means of wich members of social grup
interact (bahasa adalah suatu sistem yang berstruktur dari simbol-simbol bunyi arbitrer yang
dipergunakan oleh para anggota sesuatu kelompok sosial sebagai alat bergaul satu sama
lain)”. Bahasa pada dasarnya berupa lisan, tulisan, dan isyarat.
Berikut ini adalah pengertian dan definisi bahasa menurut para ahli:
1. Menurut Wittgenstein, bahasa merupakan bentuk pemikiran yang dapat dipahami,
berhubungan dengan realitas, dan memiliki bentuk dan struktur yang logis
2. Ferdinand De Saussure, bahasa adalah ciri pembeda yang paling menonjol karena dengan
bahasa setiap kelompok sosial merasa dirinya sebagai kesatuan yang berbeda dari
kelompok yang lain
3. Plato, bahasa pada dasarnya adalah pernyataan pikiran seseorang dengan perantaraan
onomata (nama benda atau sesuatu) dan rhemata (ucapan) yang merupakan cermin dari ide
seseorang dalam arus udara lewat mulut.
4. Carrol, bahasa adalah sebuah sistem berstruktural mengenai bunyi dan urutan bunyi
bahasa yang sifatnya manasuka, yang digunakan, atau yang dapat digunakan dalam
komunikasi antar individu oleh sekelompok manusia dan yang secara agak tuntas memberi
nama kepada benda-benda, peristiwa-peristiwa, dan proses-proses dalam lingkungan hidup
manusia.
Sehingga dari uraian diatas, dapat disimpulkan bahasa adalah alat untuk berinteraksi atau alat
untuk berkomunikasi, dalam arti alat untuk menyampaikan pikiran, gagasan, konsep atau
perasaan.
Jujun, S (2010: 300) berpendapat bahwa “Bahasa pada hakikatnya mempunyai dua
fungsi utama yakni, pertama sebagai sarana komunikasi antarmanusia dan kedua, sebagai

15. 15
sarana budaya yang mempersatukan kelompok manusia yang mempergunakan bahasa
tersebut”.
D. Peran Bahasa Dalam Ilmu
Ilmu dan bahasa merupakan dua hal yang tidak terpisahkan.Bahasa berperan penting
dalam upaya pengembangan dan penyebar luasan ilmu. Setiap penelitian ilmiah tidak dapat
dilaksanakan tanpa menggunakan bahasa, matematika(sarana berpikir deduktif) dan statistika
(sarana berpikir induktif) sebagai sarana berpikir.
Melalui bahasa bukan saja manusia dapat berpikir secara teratur namun juga dapat
mengkomunikasikan apa yang sedang dia pikirkan kepada orang lain. Namun, bukan itu saja,
dengan bahasa kita pun dapat mengekspresikan sikap dan perasaan kita. Seorang yang
berbakat sastra mungkin akan mengekspresika perasaannya dengan cara lain, menulis novel
yang tebal mencakup puluhan ribu kalimat atau menulis puisi yang terdiri dari beberapa bait.
Dengan adanya bahasa maka manusia akan hidup dalam dunia yakni dunia pengalaman yang
nyata dan dunia simbolik yang dinyatakan dengan bahasa.
E. Hubungan Bahasa dan Matematika
Matematika adalah bahasa, disebut dengan bahasa matematika. Matematika adalah
bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari serangkaian pernyataan yang ingin kita
sampaikan. Lambang-lambang matematika bersifat artifisial, maksudnya baru mempunyai
arti setelah sebuah makna diberikan kepadanya. Tanpa itu matematika hanya sebuah
kumpulan rumus-rumus yang mati. Matematika mengembangkan bahasa numerik yang
memungkinkan kita untuk melakukan pengukuran secara kuantitatif. Sifat kuantitatif dari
matematika ini meningkatkan daya prediktif dan kontrol dari ilmu. Matematika
memungkinkan ilmu mengalami perkembangan dari tahap kualitatif ke tahap kuantitatif.
SEJARAH PERKEMBANGAN BILANGAN
A. Sejarah Perkembangan Teori Bilangan
Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang
sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia
sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga,
bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan
keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk
mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan
praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama. Sejarah menunjukkan

16. 16
bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai
tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan
perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang
dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan
dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.
Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda
misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri
untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya :
 Simbol bilangan bangsa Babilonia.
 Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM.
 Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno.
 Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11 dan dipakai hingga kini oleh
umat Islam di seluruh dunia.
 Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno.
 Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini.
1. Teori Bilangan pada Masa Prasejarah (Sebelum Masehi)
Konsep bilangan dan proses berhitung berkembang dari zaman sebelum ada sejarah
(artinya tidak tercatat sejarah kapan dimulainya). Mungkin bisa diperdebatkan, tapi diyakini
sejak zaman paling primitif pun manusia memiliki “rasa” terhadap apa yang dinamakan
bilangan, setidaknya untuk mengenali mana yang “lebih banyak” atau mana yang “lebih
sedikit” terhadap berbagai benda.
Hal ini dibuktikan dengan ditemukannya benda matematika tertua, yaitu tulang
Lebombo di pegunungan Lebombo di Swaziland dan mungkin berasal dari tahun 35.000 SM.
Tulang ini berisi 29 torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang fibula
baboon. Terdapat bukti bahwa kaum perempuan biasa menghitung untuk mengingat siklus
haid mereka; 28 sampai 30 goresan pada tulang atau batu, diikuti dengan tanda yang berbeda.
Selain itu, ditemukan juga artefak prasejarah di Afrika dan Perancis, dari tahun 35.000 SM
dan berumur 20.000 tahun, yang menunjukkan upaya dini untuk menghitung waktu. Tulang
Ishango, ditemukan di dekat batang air Sungai Nil (timur laut Kongo), berisi sederetan tanda
lidi yang digoreskan di tiga lajur memanjang pada tulang itu. Tafsiran umum adalah bahwa
tulang Ishango menunjukkan peragaan terkuno yang sudah diketahui tentang barisan bilangan
prima.

17. 17
a. Teori Bilangan pada Suku Bangsa Babilonia
Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh
bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban
helenistik. Dinamai "Matematika Babilonia" karena peran utama kawasan Babilonia sebagai
tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu
dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian
di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat
penting pengkajian Matematika Islam.
b. Teori Bilangan pada Suku Bangsa Mesir Kuno
Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak
peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia
yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di
bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi
bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.
Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-
kadang disebut juga "Lembaran Ahmes" berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari
tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari
Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi
pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara
perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi
pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata
aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan
teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan
persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.
c. Teori Bilangan pada Suku Bangsa India
Sulba Sutras (kira-kira 800-500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang
menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung
akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi
lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan
linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan
pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras.
Panini (kira-kira abad ke-5 SM) yang merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta
menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan
aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad

18. 18
pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem
bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi dasar dari
teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.
2. Teori Bilangan pada Masa Sejarah (Masehi)
Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665),
Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833),
Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-
1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran
matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan
untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.
B. Definisi Bilangan
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang bersifat abstrak yang digunakan untuk
pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu
bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Misalnya, tulisan atau ketikan : 1
yang terlihat saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang dari bilangan 1 yang
tertangkap oleh indera penglihatan berkat keberadaan unsur-unsur kimia yang peka cahaya
dan digunakan untuk menampilkan warna dan gambar. Demikian pula jika kita melihat
lambang yang sama di papan tulis, yang terlihat bukanlah bilangan 1, melainkan serbuk dari
kapur tulis yang melambangkan bilangan 1.
GEOMETRI EUCLID
A. Tentang Euclid
Euclid merupakan salah satu ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Namun hampir tak
ada keterangan terperinci mengenai kehidupan Euclid yang bisa diketahui. Misalnya, kita
tahu dia pernah aktif sebagai guru di Alexandria, Mesir, di sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan
dia lahir dan kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan, kita tidak tahu di benua apa dan
dikota apa dia dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku dan diantaranya masih ada yang
tertinggal, kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada bukunya yang hebat mengenai
ilmu ukur yang bernama The Elements.
Kebanyakan teorema yang disajikan dalam buku The Elements tidak ditemukan
sendiri oleh Euclid, tetapi merupakan hasil karya matematikawan Yunani awal seperti
Pythagoras (dan para pengikutnya), Hippocrates dari Chios, Theaetetus dari Athena, dan
Eudoxus dari Cnidos. Akan tetapi, secara umum Euclid dihargai karena telah menyusun

19. 19
teorema-teorema ini secara logis, agar dapat ditunjukkan (tak dapat disangkal, tidak selalu
dengan bukti teliti seperti yang dituntut matematika modern) bahwa cukup mengikuti lima
aksioma sederhana. Euclid juga dihargai karena memikirkan sejumlah pembuktian jenius dari
teorema-teorema yang telah ditemukan sebelumnya.
B. Buku The Element
Adapun isi dari 13 buku Elemen menurut (Artmann, 1999:3) adalah sebagai berikut:
1. Buku 1: Pondasi Geometri Bidang
Buku ini diawali dengan kumpulan defenisi. konsep dasar titik, garis, sudut secara umum
dan penggunaan sudut dalam mendefenisikan jenis-jenis segitiga, segiempat, dan lain-
lain. Defenisi yang terakhir menggambarkan garis parallel (sejajar) dalam ilmu ukur
sebagai garis tanpa titik umum. setelah definisi kita menemukan apa yang disebut
postulat, yang merupakan aksioma dalam geometri, kelima dan terakhir ini adalah
postulat paralel terkenal. Common notions adalah aksioma mengenai besaran pada
umumnya, misalnya, " Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan
sama satu sama lainnya”.
2. Buku II: Geometri dari peregi Panjang
Dibandingkan dengan buku I, buku kedua ini sangat jauh berbeda. Sebagian besar
teorema dalam buku II menjelaskan materi aljabar tentang variasi pada tema identitas
binomial (suku dua):
( 𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Hasil ini selalu dinyatakan dalam bahasa geometri subdivisi persegi panjang dan daerah
dari berbagai bagian dari subdivisi. Teorema II.l2 dan 13 menggeneralisasi teorema
Pythagoras (1,47) dengan hukum cosinus, dan Proposisi II.l4 memberikan solusi dari
masalah penting membangun persegi sama (dalam luas) untuk sosok bujursangkar
diberikan.
3. Buku III: Geometri dari Lingkaran
Buku III menjelaskan tentang fakta-fakta dasar tentang geometri lingkaran, garis
singgung, dan lingkaran dalam persegi. Bagian kedua Buku III membahas segiempat dan
lingkaran, termasuk Proposisi III.2I, yang menegaskan kesetaraan semua sudut di daerah
sama dalam lingkaran.
4. Buku IV: Poligon (Segibanyak) beraturan
Dalam buku IV, kita akan menggunakan istilah umum "poligon beraturan" (atau n-gon)
Euclid panggilan dalam kasus-kasus tertentu yang “Poligon sama sisi dan sudut sama.
Ada empat masalah yang dibahas, yaitu:

20. 20
a. Cara menuliskan bujur sangkar
b. Menentukan batas lingkaran
c. Menuliskan lingkaran
d. Menentukan batas bujur sangkar
Masalah-masalah ini diselesaikan untuk:
a. segitiga secara umum (IV. 2-5)
b. persegi (segiempat beraturan) (IV. 6-9)
c. segilima beraturan (IV. 10-14);
d. segienam beraturan (IV. 15);
e. segilimabelas beraturan (IV.16)
5. Buku V: Teori Umum Dari Besaran Perbandingan
Buku V adalah buku yang paling abstrak dan independen dalam Elements dari buku-buku
sebelumnya. Jika buku-buku lain prihatin dengan benda geometris atau angka, buku ini
mempelajari “besaran” yang menurut Aristoteles meliputi angka, garis, muatan, dan waktu.
Dalam VI.33 sudut diperlakukan sebagai besaran, dan luas daerah gambar sebagai besaran di
VI.1, XII.1, dan XII.2 (area lingkaran), serta dibanyak tempat yang lain. Teori umum ini
membuat teori proporsi yang berlaku di seluruh matematika, hubungan ini membuat teori
proporsi berlaku diseluruh bidang matematika, hal ini membuktikan pernyataan dari
Eratosthene (sekitar tahun 275-194 SM) ilmuan yang pertama kali yang menghitung keliling
bumi secara akurat, “lithe unifying bond of the mathematical sciences” artinya “ikatan
pemersatu ilmu matematika”.
Berbagai sumber menunjukkan bahwa Eudoxus (sekitar 400-350) merupakan penulis teori
dalam buku V.
𝒂 ∶ 𝒃 = 𝒄 ∶ 𝒅 ⟹ 𝒂 ∶ 𝒄 = 𝒃 ∶ 𝒅
6. Buku VI: Geometri bidang dari gambar yang sama
Buku VI ini secara garis besar hampir sama dengan Buku I. Sebenarnya Buku I, II, dan III
menyajikan inti dari geometri bidang dan secara keseluruhan organisasi memberikan
kesan standar perlakuan geeometri yang telah dikerjakan berulang-ulang sebelumnya.
Seluruh bangunan dari Buku VI didasarkan pada Teorema VI.1, Teorema VI.2 merupakan
teorema dasar pada proporsionalitas dari segmen garis.

21. 21
Salah satu teorema utama dalam buku ini yaitu menghubungkan garis dan bidang segitiga
yang serupa (dan Poligon) (VI 19,20), jika segitiga serupa dengan kesamaan faktor k
untuk garis, maka faktor untuk sesuai daerah adalah k2. Dibagian penutup dari Buku VI
menyajikan aplikasi dari luas. yang dalam istilah modern sama saja dengan solusi
geometris masalah kuadrat. Hal ini dapat diterjemahkan ke dalam penerapan persamaan
kuadrat. Karena alasan ini Buku VI disebut "aljabar geometri" oleh beberapa penulis.
7. Buku VII: Aritmatika Dasar
Dalam buku VII euclides memulai sesuatu yang baru, materi dalam buku VII tidak berasal
dari buku-buku sebelumnya. Definisi pada awal Buku VII ditujukan untuk membantu
memahami Buku VII-IX. Aritmatika Euclidean didasarkan pada algoritma Euclidean
untuk menentukan faktor prima dari dua buah bilangan(VII.l4). Algoritma Euclide
memberikan Faktor Persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan a, b. Bagian selanjutnya
pada buku ini yaitu penggunaan defenisi 20 untuk membangun sifat-sifat dasar dari
proporsi dari bilangan. Inti dari buku VII adalah teori FPB (VII.20-32), yang berhubungan
dengan kelipatan persekutuan terkecil KPK (VII.33-39).
8. Buku VIII: Bilangan dalam Perbandingan Lanjutan
Bilangan dalam perbandingan lanjutan akan menjadi fokus utama dalam buku ini.
Dibagian kedua buku ini (VIII.11-27). Perhatian lebih akan diberikan dalam materi jenis
bilangan “dalam bentuk geometri,” seperti persegi dan kubus. Satu pertanyaan penting
dalam konteks ini adalah bagaimana karakteristik bilangan a, b yang terdapat dalam
perbandingan berikut:
𝑎 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 𝑏
9. Buku IX : Bilangan dalam Perbandingan lanjutan; Teori dari bilangan genap dan bilangan
ganjil, Bilangan Sempurna.
Pada bagian A sampai E, bahasan yang dibahas dalam buku ini adalah mengenai konsep
perbandingan. Yang paling special dalam buku ini adalah setelah teorema IX.20 yaitu
mengenai teori dari bilangan genap dan bilangan ganjil (“the even and the odd” as Plato
says), yang tidak memiliki hubungan dengan yang mendahuluinya, tetapi hanya bertumpu
pada Definisi 6-10 dari Buku VII. Puncak dari teori ini adalah tentang bilangan genap
sempurna (IX.36).

22. 22
10. Buku X: Perbandingan ruas garis
Buku X adalah buku yang paling tebal dari Elemen. Dalam buku ini, algoritma Euclidean
Buku VII diterapkan untuk mendapatkan criteria besaran yang sepadan: X.5. Besaran
sepadan memiliki rasio satu sama lain yang sama. X.6. Jika dua besaran memiliki satu
sama lain rasio yang sama, besaran akan sepadan. Dalam X.9 Euclid menyatakan sebagai
konsekuensi langsung yang sisi dari persegi luas n adalah dapat dibandingkan dengan sisi
persegi dari area 1 ketika n bukan bilangan persegi. Sebagian besar materi Buku X, hingga
Proposisi 115, terdiri dalam studi yang cermat dari berbagai jenis garis dapat dibandingkan
dan di luar lingkup tujuan. Secara historis, penemuan perbandingan garis, atau, seperti kita
akan mengatakan hari ini, bilangan irasional.
11. Buku XI: Dasar-dasar geometri Ruang
Buku XI diawali dengan defenisi-defenisi yang akan digunakan pada buku XII dan XIII.
Dalam buku ini terdapat postulat-postulat dari Buku I. berikut bagian dari buku XI:
a. (XI.l-19) Dasar-dasar geometri ruang (garis, bidang, kesejajaran, dan orthogonality).
b. (XI.20-23) sudut dalam ruang, sifat dan konstruksinya.
c. (XI.24-37) kesejajaran dalam ruang
12. Buku XII: Luas dan Volume; Metode Eudoxus tentang “Exhaustion”
Beberapa metode diperlukan untuk menentukan daerah lingkaran dalam kaitannya dengan
persegi, atau volume piramida. Metode exhaustion yang dipakai Euclides pertama kali
diciptakan oleh Eudoxus. Metode pembuktian sangat berbeda dan jauh lebih rumit daripada
buku-buku sebelumnya, kecuali buku V.
13. Buku XIII: Polyhedra beraturan
Buku ini membahas tentang Polyhedra. Polihedra adalah suatu bidang tiga dimensi yang
tersusun atas sisi-sisi berbentuk poligon. Kata Polyhedra diambil dari kata yunani kuno,
yaitu poli atau banyak dan edon.
GEOMETRI NON EUCLID
A. Perkembangan Geometri Non Euclid
1. Matematikawan Arab
Bangsa Arab mengembangkan keilmuan Geometri yang bersumber dari India dan
Yunani di bidang matematika. Mereka dikenal sangat luar biasa dalam mengungkap
permasalahan matematika terutama yang berkaitan dengan Trigonometri dan juga beberapa
masalah yang tak terpecahkan dalam hal teori kesejajaran. Salah satunya, yang cukup populer

23. 23
adalah Omar Khayyam (Nishapur – sekarang Iran, 1048 – 1131). Omar Khayyam mencoba
untuk membuktikan postulat kesejajaran Euclid dengan hanya memanfaatkan postulat yang
pertama dari empat postulat lainnya yang dikemukakan oleh Euclid. Di mana, dengan
menggunakan postulat-postulat tersebut ia memberikan kejelasan mengenai teorema
kesejajaran Euclid berdasarkan pada birectangular quadrilateral.
Satu tokoh matematikawan Arab lainnya yang juga berkontribusi terhadap
perkembangan keilmuan bidang Geometry adalah Nasîr Eddîn (1201-1274). Salah satu
hipotesisnya yang berkenaan dengan Postulat Ke-5 Euclid adalah ‘if two straight lines r and s
are the one perpendicular and the other oblique to the segment AB, the perpendiculars drawn
from s upon r are less than AB on the side on which s makes an acute angle with AB, and
greater on the side on which s makes an obtuse angle with AB’. Hipotesisnya ini,
menuntunnya untuk menyimpulkan bahwa jumlah sudut dari suatu segitiga adalah sama
dengan dua kali sudut siku. Dan segitiga siku-siku merupakan setengah bagian dari suatu
segiempat yang ‘dipotong’ mengikuti diagonalnya.
2.Matematikawan Eropa
Beberapa matematikawan Eropa kemudian juga mencoba membuktikan kebenaran
Postulat Ke-5 Euclid, yang beberapa diantaranya adalah:
1. John Wallis (1616-1703), seorang profesor dari Oxford University.
Ia membuat pembuktian terhadap Postulat Ke-5 Euclid dengan berdasarkan pada aksioma
‘to every figure there exists a similiar figure of arbitrary magnitude’.
2. C. S. Clavio (1573 - 1612)
Ia mencoba untuk memunculkan model pembuktian baru terhadap hipotesis Euclid dengan
berlandaskan pada teorema ‘the line equidistant from a straight line is straight line’.
Dalam banyak hal, ternyata apa yang dihasilkannya memiliki kemiripan dengan karya
Nasîr Eddîn.
3. Jonh Playfair (1748-1819)
Postulat Playfair. Untuk suatu garis 𝑙 dan setiap titik 𝑃 yang tidak terletak pada garis 𝑙,
terdapat suatu garis 𝑚 yang melewati 𝑃 dan sejajar dengan 𝑙. Dengan postulatnya, Playfair
mencoba untuk mengkonstruksi postulat kesejajaran yang dikemukakan oleh Euclid agar
lebih mudah dipahami.
4. Adrien Marie Legendre (1752-1833)
Ia tidak sepenuhnya mengakui kebenaran hipotesis Saccheri, terutama yang berkenaan
dengan sudut tumpul (obtuse angle). Ia membuktikan bahwa ‘jumlah sudut dari suatu
segitiga adalah kurang dari atau sama dengan dua kali sudut siku’. Pada teorema ke-

24. 24
2nya, Legendre mengungkapkan bahwa ‘jika jumlah sudut pada suatu segitiga kurang
dari atau sama dengan dua kali sudut siku dalam suatu segitiga maka ianya juga akan
berlaku sama pada segitiga-segitiga lainnya’
B.Dasar Geometri Non Euclid
Girolamo Saccheri (San Remo, 1667-1733). Ia adalah seorang profesor di Pavia
University. Ia-lah yang mempublikasikan keberadaan Euclides ab Omni Naevo Vindicatus
dan kemudian mencoba untuk membuktikan Postulat Ke-5 Euclid. Saccheri menggunakan
Absurd Method dalam pengkonstruksian Postulat Ke-5 Euclid. Hasil temuannya kemudian
menjadi dasar bagi perkembangan Geometri Non-Euclid.
Selama sekian abad lamanya, para ahli matematika pada akhir abad 18 hingga awal
abad 19, beberapa dari para matematikawan mencoba menjawab pertanyaan tersebut. Tapi
apa yang kemudian mereka hasilkan ternyata tidak cukup memuaskan. Namun beberapa
diantaranya ternyata berhasil membuat kemajuan, mereka adalah :
Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859). Ia yang kemudian membagi keilmuan
Geometri ke dalam dua kutub yaitu Geometri euclid dan Geometri yang menolak kebenaran
Postulat Ke-5 Euclid (atau Geometri Non-Euclid). Franz Adolf Taurinus (1728-1779). Ia
adalah sepupu dari Schweikart, yang secara otomatis juga berperan sebagai rekan kerja
Schweikart. Johann Heinrich Lambert (1728-1779). Ia yang mengajukan konsep Geometri
pada bola nyata dan radius tak berhingga dari sebuah bola.
Selama sekian abad lamanya, para ahli matematika pada akhir abad 18 hingga awal
abad 19, beberapa dari para matematikawan mencoba menjawab pertanyaan tersebut. Tapi
apa yang kemudian mereka hasilkan ternyata tidak cukup memuaskan. Namun beberapa
diantaranya ternyata berhasil membuat kemajuan, mereka adalah :
Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859). Ia yang kemudian membagi keilmuan
Geometri ke dalam dua kutub yaitu Geometri euclid dan Geometri yang menolak kebenaran
Postulat Ke-5 Euclid (atau Geometri Non-Euclid). Franz Adolf Taurinus (1728-1779). Ia
adalah sepupu dari Schweikart, yang secara otomatis juga berperan sebagai rekan kerja
Schweikart. Johann Heinrich Lambert (1728-1779). Ia yang mengajukan konsep Geometri
pada bola nyata dan radius tak berhingga dari sebuah bola.
C. Kelahiran Geometri non Euclid
Selama sekian abad lamanya, para ahli matematika pada akhir abad 18 hingga awal
abad 19, beberapa dari para matematikawan mencoba menjawab pertanyaan tersebut. Tapi
apa yang kemudian mereka hasilkan ternyata tidak cukup memuaskan. Namun beberapa
diantaranya ternyata berhasil membuat kemajuan, mereka adalah :

25. 25
Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859). Ia yang kemudian membagi keilmuan
Geometri ke dalam dua kutub yaitu Geometri euclid dan Geometri yang menolak kebenaran
Postulat Ke-5 Euclid (atau Geometri Non-Euclid). Franz Adolf Taurinus (1728-1779). Ia
adalah sepupu dari Schweikart, yang secara otomatis juga berperan sebagai rekan kerja
Schweikart. Johann Heinrich Lambert (1728-1779). Ia yang mengajukan konsep Geometri
pada bola nyata dan radius tak berhingga dari sebuah bola.
Para ahli matematika dunia sadar bahwa Postulat Ke-5 Euclid tidak dapat dibuktikan
dengan menggunakan aksioma-aksioma yang terdapat pada Geometri Euclid. Terdapat
banyak fakta yang mengindikasikan penolakan ini. pada waktu yang hampir bersamaan, tiga
orang matematikawan ternyata berhasil menemukan solusi dari perdebatan panjang mengenai
keberadaan Postulat Ke-5 Euclid. Mereka adalah :
 Karl Friedrich Gauss di Jerman (Brunswick 1777 – Gotinga 1855)
 Nicolai Ivanovitsch Lobatchevski di Rusia (Novgororod, sekarang Gorki, 1792-
1856)
 János Bolyai di Hungaria (Kolozxvar, sekarang Napoca Rumania, 1802-1860)
D. Geometri Hiperbolik
Pada kajian Geometri Hiperbolik ini objek-objek kajianya yang berupa titik, garis, bidang
dan segmen tidak sama dengan titik, garis, bidang dan segmen pada Geometri Parabolik.
Pada Geometri Hiperbolik Ini bidang direpresentasikan oleh sebuah lingkaran O
(Prenowitz,1965: 91).
E. Geometri Eliptik
Geometri Eliptik berbeda dengan Geometri Euclid hanya pada postulat kesejajarannya
saja, Postulat kesejajaran dari Riemann adalah sebagai berikut (Moeharti, 1986: 5.17): “Tidak
ada garis-garis sejajar dengan garis lain”.
Berdasarkan pada Postulat diatas, pada Geometri Eliptik ini dua garis selalu
berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar. Pada Geometri Eliptik terdapat dua macam
pengkhususan yang pertama Geometri “single elliptic” dan yang kedua Geometri “double
elliptic”.
Kata Eliptik didasarkan atas klasifikasi Geometri Proyektif, karena tidak ada dua garis
yang dapat dibuat sejajar garis tersebut. Untuk dapat memudahkan dalil-dalil berikut, maka
sebagai model dari Geometri “double elliptic” ialah bola dan untuk Geometri “single elliptic”
adalah setengah bola.

26. 26
PI (𝝅)
A. Sejarah Penggunaan Simbol 𝝅
Dalam sejarah matematika, perbandingan keliling dan diameter lingkaran
diungkapkan dalam berbagai simbol di berbagai belahan dunia. Penggunaan huruf Yunani
π juga menyatakan beragam hal dalam sejarah matematika. Perbandingan keliling dengan
diameter lingkaran atau tepatnya 3,14159... disimbolkan dengan huruf π pertama kali
dilakukan oleh William Jones (1675-1749) tahun 1706. Namun pemakaian simbol ini
secara luas hingga kini setelah dipopulerkan oleh matematikawan Leonhart Euler (1707-
1783).
William Jones sendiri sebelumnya kurang dikenal, tetapi setelah korespondensinya
dengan Newton diketahui oleh para sejarawan, ia mulai dikenal dalam sejarah matematika.
Ia antara lain pernah menjadi anggota the Royal Society (suatu perhimpunan ilmuwan
ternama di Inggris) tahun 1711. Simbol huruf Yunani π sendiri telah digunakan dalam
matematika jauh sebelum Jones. Simbol ini antara lain telah digunakan oleh
matematikawan William Oughtred (1574-1660), Isaac Barrow (1630-1677), dan David
Gregory (1661-1701).
Menurut sejarawan Cajori, penggunaan simbol tunggal untuk menyatakan
perbandingan keliling terhadap diameter mungkin pertama-tama dilakukan oleh J.
Christoph Sturm dalam bukunya Mathesis enucleata tahun 1689. Hanya ia menggunakan
simbol tunggal e bukan π. Tetapi klaim Cajori ini mungkin saja salah, sebab jauh sebelum
Eropa mengenal perbandingan keliling terhadap diameter lingkaran, peradaban Asia baik
India, Cina, Arab, Persia maupun Mesir telah mengenal perbandingan ini. Sebut saja al-
Kashi sekitar abad ke-15 telah menggunakan simbol tunggal berupa huruf Arab “tho”
untuk menyatakan bilangan 3,1415... .
"There are various other ways of finding the Lengths or Areas of
particular Curve Lines, or Planes, which may very much facilitate the
Practice; as for instance, in the Circle, the Diameter is to the
Circumference as 1 to
, &c. = 3.14159, &c. =. This series
(among others for the same purpose, and drawn from the same
Principle) I received
from the Excellent Analyst, and my much esteem'd Friend Mr. John

27. 27
Machin; and by means thereof, Van Ceulen's Number, or that in Art.
64.38 may be Examin'd with all desirable Ease and Dispatch."
B. Pengertian Pi
Pi adalah suatu tetapan yang dipakai untuk mencari luas lingkaran. Di
sekolah, kita diajarkan bahwa nilai π (Pi) adalah 22/7. Sejak dulu, para ahli matematika
telah mencari nilai π (Pi) yang benar. Pi (π) adalah sebuah konstanta dalam matematika yang
merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Huruf π adalah aksara
Yunani yang dibaca pi dan pi juga bisa dipakai dalam penulisan. Nilai π yang lazim
digunakan adalah 3,14 atau 22/7 namun untuk lebih tepatnya, sudah dicari sampai >
1,241,100,000,000 tempat desimal. Nilai π sampai 10 tempat desimal adalah
3,14159265358.
C. Sejarah Nilai Pi
1. Abad ke-19 SM bangsa Babilonia menetapkan bahwa π = 25/8 = 3,125.
2. Abad ke-17 SM, pakar matematika dari Mesir Ahmes menghitung bahwa π = 256/81 =
3,1605.
3. Abad ke-9 SM, astronom India Yajnavalkya menghitung bahwa π = 339/108 =
3,1389.
4. Abad ke-3 SM, Archimedes dari Yunani menyatakan bahwa 3 + 10/7 < π < 3 + 1/7,
atau π (Pi) itu terletak antara bilangan 3,1408 dan 3,1428.
5. Tahun 263, matematikawan China Liu Hui menghitung bahwa π = 3,141014.
6. Abad ke-15, Ghyath ad-din Jamshid Kashani dari Persia telah menghitung nilai π
yang akurat sampai 16 digit.
7. Tahun 1600, matematikan Jerman Ludolph van Ceulen menghitung π dengan akurasi
sampai 32 digit. Ia sangat bangga atas hal ini sampai di pahatkan dibatu nisannya.
8. Tahun 1873, seorang matematikawan amatir William Shanks menyelesaikan 20 tahun
menghitung phi dengan akurasi sampai 707 digit.
9. Tahun 1910, matematikawan India Srinivasa Ramanujan, merumuskan deret π yang
digunakan matematikawan saat ini untuk menghitung nilai π.
D. Fakta – fakta menarik mengenai Pi
1. Pada tahun 1706, seorang ahli Matematika bahasa Inggris memperkenalkan abjad Yunani
pi untuk mewakili nilai yang dikatakan.
2. Pada tahun 1737, Euler resmi mengadopsi simbol π ini untuk mewakili bilangan.
3. Pada tahun 1897, legislatif dari Indiana mencoba menentukan nilai pi yang paling

28. 28
akurat. Namun ternyata kebijakan ini tidak berhasil. Sebagian besar orang pada waktu itu
tidak mengetahui fakta bahwa lingkaran memiliki jumlah sudut yang tak terbatas.
Nilai dari pi adalah 22/7 dan ditulis sebagai π = 22/7 atau = 3,14. Nilai pi dengan
100 tempat desimal pertama adalah:
3,141592653589793238462643383279502884197169399375
1058209749445923078164062862089986280348253421170679.
E. Sejarah lampau tentang π dari abad ke abad
Dari berbagai sabak/tablet lempung, kayu, dan batu yang pernah ditemukan,
disimpulkan catatan-catatan bahwa bangsa Babilonia telah menggunakan π = 3 sejak tahun
4000 SM (Sebelum Masehi), kemudian π = 25/8 = 3,125 pada 1900–1600 SM. Bangsa Mesir
telah telah melakukan perhitungan luas lingkaran dengan menggunakan π = (16/9)^2 ≈
3,1605 sejak tahun 1850 SM. India menggunakan π = (9785/5568)^2 ≈ 3.088 sejak tahun 600
SM. Bangsa Indian menggunakan π = sqrt(10) ≈ 3.1622 sejak tahun 150 SM.
Definisi π sebagai ratio keliling lingkaran terhadap diameternya dan metode
pendekatan yang lebih jelas ditemukan dari catatan tahun 250 SM milik Archimedes dari
Syracuse Yunani. Perhitungan keliling lingkaran dilakukan oleh Archimedes dalam
pendekatan bentuk lingkaran sebagai suatu polygon, yaitu bentuk segi-banyak sama sisi.
Archimedes menghitung keliling lingkaran berdasarkan panjang sisi polygon segi-96 sama
sisi yang digunakan sebagai perimeter dalam dan perimeter luar suatu lingkaran, sehingga
dihasilkan nilai batas bawah dan batas atas 223/71 < π < 22/7 (3.1408 < π < 3.1429).
Di Persia, pada tahun 1424 dipublikasikan Risala al-Muhitiyya (“Treatise on the
Circumference”) oleh Jamshid Masud al-Kashi al-Kashani yang mengemukakan perhitungan
berdasarkan struktur polygon 3 x 228 sisi dengan hasil π = 3,1415 9265 3589 7932 5… yang
memberikan ketelitian 17 digit desimal. Dengan nilai tersebut oleh Al-Kashani dikatakan
bahwa perhitungan keliling suatu lingkaran berdiameter 600.000 kali diameter bumi (rataan
jejari bumi 6.370 km) akan memberikan kesalahan yang kurang dari “ketebalan rambut ekor
kuda”, suatu ukuran Persia kuno yang setara dengan sekitar 0,7 millimeter. Al-Kashani telah
memberikan pemahaman dengan baik mengenai ketakbermaknaan deretan panjang angka
desimal.
F. Napak tilas π a-la Archimedes
Dengan menggunakan pendekatan hexagonal, diperoleh keliling hexagon dalam
adalah 3 dan keliling hexagon luar adalah 2 sqrt(3) = 3,46410161513776. Jika kita kembali
ke definisi π sebagai ratio keliling lingkaran terhadap diameternya (π = C /d), maka diperoleh
nilai-nilai batas bawah dan batas atas 3,0 < π < 3,46410161513776. Nilai batas bawah π = 3

29. 29
adalah penggunaan awal nilai π yang pernah digunakan oleh bangsa Babilonia tahun 4000
SM dan hingga saat ini digunakan pada sekolah-sekolah dasar di Jepang untuk pengenalan
awal tentang penggunaan π.
Dengan cara seperti itulah, semakin tinggi orde polygon yang digunakan sebagai
pendekatan untuk menghitung keliling lingkaran, maka nilai batas bawah dan batas atas yang
makin konvergen. Konvergensi nilai tersebut seperti yang dihasilkan oleh Archimedes 223/71
< π < 22/7 (3 + 10/71 < π < 3 + 10/70 atau 3,1408 < π < 3,1429) dengan menggunakan 96-
gon, oleh Liu Hui π = 3.1416 dengan menggunakan 3.072-gon, dan oleh Zu Chongzhi π =
355/113 = 3,1415929204… dengan menggunakan 12.288-gon.
Sifat-sifat π :
Beberapa sifat π yang penting adalah sebagai berikut
1. Nilai π adalah bilangan irasional, artinya tidak dapat secara tepat dinyatakan dengan ratio
bilangan integer terhadap bilangan integer. Pernyataan nilai π = 22/7 atau 355/113
merupakan suatu nilai pendekatan rasionaliasi yang sangat populer. Pernyataan nilai
π dalam angka desimal akan memiliki panjang angka desimal di belakang koma dengan
panjang tak-berhingga.
2. Nilai π juga merupakan bilangan transendental, artinya tidak menjadi solusi bagi
persamaan polinomial tak-konstan yang memiliki koefisien-koefisien rasional.
Transendensi pada π memiliki dua konsekuensi, yaitu: pertama, π tidak dapat dinyatakan
sebagai kombinasi bilangan-bilangan rasional maupun sebagai akar kuadrat dan akar
integer dari suatu bilangan integer; kedua, tidak mungkin dibuat suatu segi empat
bujursangkar dengan luasan yang sama dengan luas lingkaran yang sesuai (squaring a
circle), dengan sisi segi empat bujur sangkar sqrt (π) seperti pada gambar di bawah ini.
3. Digit-digit desimal pada π tidak memiliki pola keteraturan dan telah dibuktikan memiliki
keacakan secara statistik, termasuk dalam uji normalitas dengan hasil yang tidak
konsisten. Suatu bilangan irasional dikatakan memenuhi sifat normalitas jika semua angka
yang muncul dalam deretan angka desimalnya memiliki tingkat keseringan muncul yang
sama.
4. Meskipun bersifat irasional dan transendental dengan pola desimal tak beraturan, terdapat
pula upaya para matematikawan untuk melakukan pendekatan fraksional kontinu
(continued fractional) dengan pola tertentu.