3. TÜREV KAVRAMI
TANIM: f : A R , y=f(x) fonksiyonu ve a ∈ A da sürekli
olmak üzere
limiti bir reel sayı ise bu değere f fonksiyonunun
x=a noktasındaki türevi denir. f’(a) veya sembolleri ile
gösterilir.
h > 0 olmak üzere, x=a+h ise x - a =h dır.
= olur.
ax
afxf
ax −
−
→
)()(
lim
)(a
dx
df
0)( →−⇔→ axax
0→⇔ h
ax
afxf
ax −
−
→
)()(
lim
h
afhaf
h
)()(
lim
0
−+
→
4. ÖRNEK: f: R R , f(x)=x2
fonksiyonunun x=2 noktasındaki
türevini bulalım.
ÇÖZÜM= f(x)=x2
fonksiyonu x=2 de süreklidir
→
2
)2()(
lim)2( 2
−
−
=′ →
x
fxf
f x
4
2
)2)(2(
lim
2
4
lim)2( 2
2
2 =
−
+−
=
−
−
=′ →→
x
xx
x
x
f xx
5. SOLDAN SAĞDAN TÜREV
TANIM:
1. Limitinin bir reel sayıdeğeri varsa
bu değere f fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve
f’(a-
) şeklinde gösterilir.
2. Limitinin bir reel sayı değeri
varsa bu değere f fonksiyonu, a noktasındaki sağdan türevi denir
ve f’(a+
) şeklinde gösterilir.
AaRA ∈⊂ ,
ax
afxf
ax
−
−
→
)()(
lim
_
ax
afxf
ax
−
−+
→
)()(
lim
6. f’(a-
)= f’(a+
) ise , f fonksiyonu a noktasında türevlidir. Bu durumda f’(a-
)
= f’(a+
) = f’(a) dır.
f’(a-
) f’(a+
) ise fonksiyonun a noktasında türev yoktur.
ÖRNEK: f: R R , f(x)= a)f’(2-
)=?
b)f’(2+
)=?
ÇÖZÜM: f(2) = 6 olduğundan fonksiyon x=2 de süreklidir.
a ) = = = 4
b) = =
≠
+
≥−
isexx
isexx
2,2
2,24
2
<
2
)2()(
lim 2
−
−−
→
x
fxf
x
2
4
lim
2
2
−
−−
→
x
x
x )2(lim 2 +→ xx
2
)2()(
lim 2
−
−+
→
x
fxf
x
2
84
lim 2
−
−+
→
x
x
x 44lim =
7. TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ
Teorem: olmak üzere; fonksiyonu a
noktasında türevli ise bu noktada süreklidir.
1. y=f(x) a A , da türevli ise x=a da süreklidir.
2.f '(a) =f(a) ve f(x) x=a da sürekli olmalıdır ki f(x) , x =a da türevli
olsun
3.Bir fonksiyonun kritik noktalarında türevi araştırılırken bu
noktalarda süreksiz ise türevsizdir. Sürekliyse sağdan ve soldan
türevlerini eşitliğine bakılır.
AaRA ∈⊂ , RAf →:
8. Örnek: hangi noktalarda türevsizdir?
Çözüm: f fonksiyonu paydanın 0 olduğu noktalarda tanımsız dolayısıyla
süreksizdir.
x=-1 ve x=2 noktalarında
süreksiz dolayısıyla türevsizdir.
22
2
)( 2
2
−−
−
=
x
x
xf
22
2
)( 2
2
−−
−
=
x
x
xf
9. BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLME
TANIM: a,b olmak üzere
fonksiyonunun (a,b) aralığının her noktasında türev varsa f
fonksiyonu (a,b) aralığında türevlidir. olmak üzere
fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında türevli
ise f fonksiyonu tanımlı kümesinde türevlidir.
∈ Rbaf →),(:
R A⊂
RAf →:
12. =
−+
−+
aha
afhaf
)(
)()(
h
afhaf )()( −+=
AC
BC
mAB=tan =α
AB kirişinin eğimi h 0 için AT teğetinin eğimine eşit olacağından→
=
−+
−+
aha
afhaf
)(
)()(
0lim →h
mAT =
)(' af
O halde y= f(x) fonksiyonunun grafiğini x=a noktasındaki teğetinin
eğimi f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevine eşittir. B noktası,
B(a-h , f(a-h)) şeklinde alınarak da yukarıdaki yorum yapılabilir.
14. A (a, f(a)) noktasından çizilen teğet denklemini
bulmak için önce eğim bulunur. Fonksiyonun bu
noktadaki türevi eğimi vereceğinden
y-f(a) =f'(a) . (x- a) teğet denklemi bulunur.
1m.m nt −=
)a('f
1
m
1
m
t
n −=−=
A noktasındaki
normal denklemi ise
şöyle olur:
)a('f
1
)a(fy −=− . (x-a)
20. ÖRNEK:|x2
-9| x=3 deki türevi nedir?
ÇÖZÜM: -3 +3
+ | - | +
x2
-9 | 9-x2
| x2
-9
türevi 2x | -2x | 2x
x= 3 de sürekli f'(3) =6 f'(3)=-6 türevsiz.
Kritik noktayı araştıdık ve sağdan türevinin soldan türevine eşit
olmadığını dolayısıyla x=3 de tüğrevsiz olduğunu gördük.
21. TAM KISIM FONKSİYONUN TÜREVİ
f: A R y=||f(x)|| fonksiyonu için ;
sürekli olduğu noktalarda sonucu sayı çıktığından türevi 0 dır.
Süreksiz olduğu noktalarda ise türevsizdir.
ÖRNEK: f(x)=||x/ 2 -3|| fonksiyonunda f '(1) değerini bulalım.
ÇÖZÜM: x=1 için tamdeğerin içi -5/2 çıkar. Bu da dışarı -3 olarak
çıkar. Bu da bir tamsayı olduğu için türevi 0 dır. Yani f '(1)=0 olur.
Eğer sonuç tamsayı çıksaydı. Türevsiz olurdu, çünkü sağdan ve soldan
türevleri birbirine eşit olmazdı.
22. İŞARET FONKSİYONUNUN TÜREVİ
f: A R , y=sgn (f(x) )fonksiyonunda içini 0 yapan değerler
türevsizdir. (soldan (+) sağdan (-) çıkar.) diğer durumlarda
tamsayı çıkacağından türevin sonucu 0 olur.
ÖRNEK: f(x)=sgn ( x2-x-6) fonksiyonunun türevsiz olduğu
değerleri bulun.
ÇÖZÜM: Türevsiz olduğu noktalar içini 0 yapan değerler olduğu
için, içinin kökleri bulunur.
(x2-x-6)=(x-3)(x+2) , olduğundan cevap : x1=3 , x2=-2 dir.
→
23. KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
TANIM:x ve y değişken olmak üzere F(x,y)=0 denklemiyle verilen
bağıntılara kapalı fonksiyon denir.
1. YÖNTEM: örnek olarak F(x,y)=x2
+y2
-2x-24=0 ise dy/dx=?
2x+2y(dy / dx)-2-0=0 Buradan y'= bulunur.
II.YÖNTEM: y'= förmülü ile soınuca gidilir.
ÖRNEK: 3xy-x+y-5=0 ise dy/dx=?
ÇÖZÜM:
y
x
y
x
dx
dy −
=
+
−=
1
2
22
),('
),('
yxF
yxF
dx
dy
y
x
−=
),('
),('
yxF
yxF
dx
dy
y
x
−=
13
31
+
−
−=
x
y
24. RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ
TEOREM: x R ve n N+
olmak üzere y=
fonksiyonunun türevi
PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
y=f(x) fonksiyonunda x ve y değişkenleri t R olmak üzere t
parametresine bağlı olarak x=h(t) biçiminde tanımlanırsa
y=g(t)
bu fonksiyona parametrik fonksiyon denir.
∈ ∈ n
x
1
1
1
1
'
−
= n
x
n
y
)('
)('
.
th
tg
dx
dt
dt
dy
dx
dy
==
25. ÖRNEK: x=t-2 parametrik fonlksiyonu veriliyor. y'=?
y=t2
-t +3
ÇÖZÜM
x=t-2 ise t=x+2 olur ve y'=2(x+2) -1 =2x+3 olur.
}
12
1
12
' −=
−
=== t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
y
27. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
1.(arcsinu)'=
2.(arccosu)'=
3.(arctanu)'=
4.(arccotu)'=
2
1
'
u
u
−
2
1
'
u
u
−
−
2
1
'
u
u
+
2
1
'
u
u
+
−
31. YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER
y=x -x+4
y'=2x-1 (1.Mertebeden türev)
y''=2 (2.Mertebeden türev)
y'''=0 (3.Mertebeden türev)
n
n
n
n
nn
dx
fd
dx
yd
xfy === )()()( Fonksiyonunun n.
Mertebeden türevi
32. DİFERANSİYEL KAVRAMI
TEOREM: A R , f: A R , y=f(x) fonksiyonu A da
türevlenebilen bir fonksiyon olsun. X deki değişimi x buna
karşılık gelen y deki değişimi y ile gösterelim. X in
diferansiyeli dx= x olmak üzere y nin diferansiyeli
dy= f’(x).dx
⊂
∆
∆
∆
33. ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
a a ab b b
azalan artan sabit
f(a,b) fonksiyonu sürekli ve türevli ise
f’(x)>0 f(x) , (a,b) aralığında artandır.
f’(x)<0 f(x) , (a,b) aralığında azalandır.
f’(x)=0 f(x) , (a,b) aralığında sabit fonksiyondur.
⇔
⇔
⇔
⇔
34. ÖRNEK f(x)=x3
-9x2
+24x-7 fonksiyonunun artan veya azalan olup
olmadığını inceleyelim.
ÇÖZÜM:f’(x)=3x2
-18x+24 f’(x)=0 , x1=2 x2=4
x - 2 4
f’(x) + - +
f(x) f(2) f(4)
artan azalan artan
∞
∞ ∞
35. EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER
Mutlak Extremum Noktası ve Değeri
TANIM(a,b) aralığında f(b) f(x) ise f(b) mutlak maximum veya en
büyük değerdir.
(a,b) aralığında f(b) f(x) ise f(b) mutlak minumum veya en küçük
değerdir.
)('
)('
lim
)(
)(
lim
1
lim
0
0
)1(
1
1
1
..
lim 11
xg
xf
xg
xf
ınx
ınx
x
x
ınx
x
xınxx
axaxxx →→→→ =⇒
−+
==
−+
−+
≥
≤
a c b
a,c mutlak min
b, mutlak max
36. YEREL EXT NOKTASI VE DEĞERİ
Yerel min
Yerel max
Yerel min
Yerel max
Mutlak max
Yerel min
Mutlak min
Şekilde görüldüğü gibi
artandan azalana geçen
noktalar yerel max veya
min dir
37. EXT NOKTASI İLE TÜREVİN İLİŞKİSİ
TANIM: Yerel ext noktalarında f’(x)=0 dır.fakat türevi 0 olan her
nokta ext noktası değildir;olması için f’(x) in işaret
değiştirmesi(artandan azalana geçmesi) gerekir. Fonksiyonun türevinin
0 olduğu veya türevinin olmadığı noktalara kritik noktalar denir. Yerel
ext değerleri k.n.ların içindedir.
∞
∞ ∞X 0 1
f’(x) - - +
f(x)
Yerel min
38. TÜREVİN EXT İLE İLİŞKİSİ
İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
DÖNÜM (BÜKÜM) NOKTASI
KONVEKS KONKAV
(DIŞBÜKEY) (İÇBÜKEY)
f’’(x)=0 ın dönüm noktası olması için
Konveks
konkav
Geçiş
40. MAX MİN PROBLEMLERİ
Problemin denklemi kurulur.türevi 0 a eşitlenir. Çıkan kök f(x) de
yerine konulur. İstenilen değer bulunur.
Örnek: 3X +6 MAX ALAN?
6-X
ÇÖZÜM:A(x)=(3x +6 ) (6-x) A’(x)=12-6x
A(x)=18x+36-3x2
-6x x=2
A(2)=48
41. L’ HOSPİTAL KURALI
0. Veya - belirsizlikleri veya a çevrilir.
Örnek :
)('
)('
lim
)(
)(
lim
0
0
.0)().(lim
xg
xf
xg
xf
veyaxgxf axaxax →→→ =⇒
∞
∞
==∞=
∞ ∞ ∞
0
0
∞
∞
4
1
2
lim 2 =→
x
x 4
1
2
lim 2 =→
x
x
42. 0. BELİRSİZLİĞİ
veya a çevrilir.
∞
∞=→ .0)().(lim xgxfax
∞
∞
0
0
Örnek :
2
5
/1
2/5sin
lim)
2
5
sin(.lim == ∞→∞→
x
x
x
x xx
∞ ∞- BELİRSİZLİĞİ
veya a çevrilir.
∞
∞
0
0
0
0
)1(
1.
lim
1
1
lim 11 =
−
+−
=
−
−
→→
ınxx
xınxx
ınxx
x
xxÖrnek :
2
1
/1/1
/1
lim
0
0
1
1
lim
0
0
)1(
1
1
1
..
lim 2111 =
+
⇒=
−+
⇒=
−+
−+
→→→
xx
x
x
ınx
ınx
x
x
ınx
x
xınxx
xxx
43. FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Bir fonksiyonunun grafiği, bir doğru veya eğridir. Bir fonksiyonun
grafiği, fonksiyonun kuralını sağlayan bütün noktaların koordinat
düzlemine işaretlenmesiyle elde edilir. Fakat bir fonksiyon sonsuz
çoklukta noktadan oluşabilir. Bu sonsuz boşluktaki noktanın
koordinat düzleminde işaretlenmesi mümkün değildir. Bu nedenle
eğrinin karakterini belirten bazı özel noktalarını ve bazı özelliklerini
bulursak, bunlardan faydalanarak eğriyi aslına uygun bir biçimde
çizebiliriz.. Grafiğe ait özel noktalar; grafiğin eksenleri kestiği
noktalar, ekstremum noktaları ve dönüm noktalarıdır. Grafiiğn
karakterini belirleyen özellikler ise; artan ya da azalan olması,
çukurluğun yönü, sonsuza uzanabilen kolunun bir doğru ya da
eğriye asimptot olmasıdır.
44. 2
43
)(
−
−
=
x
x
xf
Örnek: fonksiyonunun düşey asimptotunun x=2 doğrusu
olduğunu
gösterelim.
Çözüm: −∞==
−
−
−→
0
2
2
43
lim 2
x
x
x
Düşey Asimptot
Tanım: y=f(x) fonksiyonunun x=a noktasındaki soldan ya da sağdan
limitlerinde en az biri + ya da - ise , x=a doğrusuna, y=f(x)
fonksiyonunun bir düşey asimptotudur.
∞ ∞
H
P
y=f(x)
x
y
a
45. Yatay Asimptot
Tanım: y=f(x) fonksiyonu için veya ise
y=b doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun yatay asimptotu denir.
bxfx =−∞→ )(lim bxfx =+∞→ )(lim
y=f(x)
b
x
y
P
H
46. Örnek: fonksiyonunun yatay asimptotunun y=3 doğrusu olduğunu
gösterelim.
Çözüm: veya olduğundan,
y=3 doğrusu yatay asimptottur.
1
23
+
−
=
x
x
y
3
1
23
lim =
+
−
=−∞→
x
x
x 3
1
23
lim =
+
−
=+∞→
x
x
x
47. Eğik ve Eğri Asimptot
Tanım: y=f(x) eğrisi ve y=g(x) doğrusu verilsin. Veya
ise, y=g(x) doğrusuna, eğrinin eğik asimptotu denir.( )[ ] 0)(lim =−+∞→ xgxfx
( )[ ] 0)(lim =−−∞→ xgxfx
)(xgy =
)(xf y=
)(xgy =
)(xf y=
Eğer, y=g(x) in grafiği bir eğri ise; buna, eğrinin eğri asimptotu denir.
48. )(
)(
)(
xQ
xP
xfy == biçiminde rasyonel fonksiyon verilsin. (P(x) ve Q(x) polinom
fonksiyonudur.)
1. Payın derecesi paydanın derecesinden 1 fazla ise; y=f(x)=mx+n+
biçiminde yazılabilir. Bu durumda,
olacağından, y=mx+n doğrusu fonksiyonun eğik asimptotu olur.
2. Payın derecesi paydanın derecesinden 2 fazla ise;
der[K(x)]<der[Q(x)] şeklinde yazılabilir.
Olacağından, y=a + bx+c
fonksiyonunun grafiği eğri asimptotu olur.
O halde, eğik veya eğri asimptotları bulmak için; pay, paydaya bölünür ve bölümO halde, eğik veya eğri asimptotları bulmak için; pay, paydaya bölünür ve bölüm
asimptot denklemi olarak alınır.asimptot denklemi olarak alınır.
)(xQ
C
( )[ ] 0
)(
lim)(lim ==+− ∞→−∞→
xQ
C
nmxxf xx
( )
)(
)(2
xQ
xK
cbxaxxf +++=
( ) ( )[ ] 0
)(
)(
limlim 2
==++− ∞→∞→
xQ
xK
cbxaxxf xx 2
x
51. RASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
DÜŞEY ASİMTOTLARI VARDIR, YATAY ASİMPTOT
OLMAYABİLİR.PERİYODİK DEĞİLDİR.
1. f(x)=
2. T . K. =R- (-2)
3.pay için. (D. A.) , x-2=0 x=2
4.payda için (Y. A. ) ,paydanın derecesi payın derecesinden büyük
eşit olduğu için Y.A. vardır. Dereceler eşit olduğu için
YA=katsayılar oranı=1 der(payda) > der(pay) olduğu durumlarda
ise YA=0 olur.
5.(0,-1/2) , (-1,0)
2
1
−
+
x
x
53. İRRASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
f(x)= a<0, asimptot yok
a>0 , asimptot var ve eğik
1.y=
2.y1=x-2(EA) y2=2-x(EA)
3x2
-4x +3 0 T=R-(1,3)
+ - +
3.(0, ) , (1,0) . (3, 0)
4, x=2 tanım kümesinin
elemanı olmadığı için
bu noktada ext yoktur.
cbxax ++2
)
2
()
2
( 21
a
b
xavey
a
b
xay ++−=++=
342
+− xx
≥ 1 3
3
0
342
42
'
2
=
+−
−
=
xx
x
y
