2. Đáp án – Thang điểm
Câu Đáp án Điểm
I.1 4 2
m 2:y x 2x 1= = - + .
Tập xác định: D R= .
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: ( ) 3 2
x 0
y' 4x 4x 4x x 1 ;y' 0 x 1
x 1
=é
ê= - = - = Û =ê
ê = -ë
.
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ( ) 1;0 ; 1;- +¥ ; nghịch biến trên ( ) ( ) ; 1 ; 0;1-¥ - .
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x 0= ; yCĐ = 1;
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1,x 1= = - ; yCT = 0.
Giới hạn:
x x
lim y lim y
®-¥ ®+¥
= = +¥ .
Bảng biến thiên:
x -¥ 1- 0 1 +¥
y’ - 0 + 0 - 0 +
y +¥ 1 +¥
0 0
Đồ thị:
0.25
0.25
0.25
0.25
I.2 ( ) ( )( ) 3 2
' 4 1 2 2 2 1= - - = - - y m x mx x m x m .
Hàm số đồng biến trên ( ) ( ) 1; ' 0 1;+¥ Û ³ " Î +¥ y x .
+) 1= m : y' 2x= - , không thoả mãn.
+) 1 0, lim '
®+¥
- < = -¥
x
m y không thoả mãn.
+) 1> m , ' 0= y có 3 nghiệm:
Bảng xét dấu của y’:
( ) ' 0 1;³ " Î +¥ y x Û
( )
( ) 1 2 1 2
2 1
£ Û £ - Û ³
-
m
m m m
m
.
Vậy với m 2³ thì hàm số đồng biến trên ( ) 1;+¥ .
0.25
0.25
0.25
0.25
x -¥
( )
m
2 m 1
-
-
0
( )
m
2 m 1-
+¥
y’ - 0 + 0 - 0 +
3. II.1
PT cosx cos3x 1 2 cos 2x
4
pæ ö
Û + = + -ç ÷
è ø
2cosxcos2x 1 sin 2x cos2xÛ = + +
2
2cos x 2sin xcosx 2cosxcos2x 0Û + - =
( )( ) cosx cosx sinx 1 sinx cosx 0Û + + - =
cosx 0
cosx sinx 0
1 sinx cosx 0
=é
êÛ + =ê
ê + - =ë
x k
2
x k
4
x k2
pé
= + pê
ê
pêÛ = - + p
ê
ê = pê
êë
.
0.25
0.25
0.5
II.2 Điều kiện x 1³ hoặc x 1£ - .
x 1= không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình cho x 1- , ta được:
( ) ( )
x 1 x 1
| | 4 m m 1 .
x 1 x 1
+ +
+ - = -
- -
Đặt
x 1
t ,t 0,t 1,
x 1
+
= ³ ¹
-
ta có phương trình: ( ) ( )
2
2 t t 4
t 4 m m 1 t m
t 1
+ +
+ - = - Û =
+
(1)
Xét ( )
2
t t 4
f t ,t 0,t 1.
t 1
+ +
= ³ ¹
+
Ta có ( )
( )
( )
2
2
t 3 (loai) t 2t 3
f ' t ,f ' t 0
t 1 (loai). t 1
= -é+ -
= = Û ê =+ ë
Lập bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình đã cho có nghiệm m 3.Û >
0.25
0.25
0.25
0.25
III
( )
2
3 sin x
0
I 4cos x 3cos x e dx
p
= -ò . Đặt t sin x=
( )
1
2 t
0
I 1 4t e dt= -ò
( )
1
1
2 t t
0
0
I 1 4t e 8 te dt= - + ò
( )( )
1
1 t t
0
0
I 3e 1 8 te e dt 3e 1 8 e e 1 7 3e
æ ö
= - - + - = - - + - - = -ç ÷
è ø
ò .
0.25
0.25
0.25
0.25
IV + Gọi I, H lần lượt là hình chiếu của O, S trên (ABCD). Có I là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
ABCD. Do đó 2 2
SH 2OI 2 OA IA= = - 2 2
2 5 3 8= - = .
+ Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD suy ra IM AB,IN CD^ ^ mà AB // CD nên I MNÎ
và MN AB,CD^ .
Suy ra MN IM IN= + 2 2 2 2
IA AM IC CN= - + - 2 2 2 2
3 1 3 2 2 2 5= - + - = +
+
( )
ABCD
AB CD .MN
S
2
+
= ( ) 3 2 2 5= + .
Vậy S.ABCD ABCD
1
V SH.S
3
=
0.25
0.25
0.25
4. O
A B
D C
S
I
H
N
M
( ) 8 2 2 5= + (đvtt).
0.25
V
Ta có:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c
P
b c a c a b
b c c a a b
2 2 2
³ + +
+ + +
+ + + + + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 a b c
P .
3 b c c a a b
é ù
Û ³ + +ê ú+ + +ë û
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân, ta có:
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c
a b b c c a 9
b c c a a b
é ù
+ + + + + + + ³ê ú
+ + +ë û
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c 3
b c c a a b 2
Û + + ³
+ + +
2 3
P . 1.
3 2
Þ ³ =
GTNN P = 1, đạt được khi a = b = c = 1.
0.25
0.25
0.25
0.25
VIa.1
(C) có tâm
1
I 1;
2
æ ö
-ç ÷
è ø
và bán kính R 2= . 2 2 1
IM 1 R
4
= + < MÞ nằm trong (C).
Do đó mọi đường thẳng D qua M đều cắt (C) tại 2 điểm A, B. Gọi H là hình chiếu của I trên D . Ta
có 2 2
AB 2 R IH= - , 0 IH IM£ £ .
+) AB nhỏ nhất Û IH lớn nhất IH IM H MÛ = Û º . Khi đó D qua M và vuông góc IM. Vậy
D hay d có phương trình: 2x y 5 0- - = .
+) AB lớn nhất Û IH nhỏ nhất IH 0 H IÛ = Û º . Khi đó D qua M và I. Vậy D hay d’ có
phương trình: x 2y 0+ = .
0.25
0.25
0.25
0.25
VIa.2
(S) có tâm ( ) I 1; 2;0- , bán kính
9
R
5
= . d qua ( ) A 2;1;3- có VTCP ( ) u 2;1;1
r
.
(P) chứa d nên (P) qua A và (P) có VTPT n
r
, n u^
r r
suy ra ( )( ) n A;B; 2A B- +
r
2 2
A B 0+ ¹
Do đó (P) có phương trình dạng: ( ) ( ) ( )( ) A x 2 B y 1 2A B z 3 0+ + - - + - =
(P) tiếp xúc với (S) ( )
( ) ( )
( )
2 2 2
3A 3B 3 2A B 9
d I,d R
5 A B 2A B
+ - + +
Û = Û =
+ + +
0.25
0.25
0.25
5. 2
B 2AB 0Û + = : Nếu A 0 B C 0= Þ = = , không thoả mãn. Chọn
B 0,C 2
A 1
B 2,C 0
= = -é
= Þ ê = - =ë
Vậy phương trình (P): x 2z 8 0- + = hoặc x 2y 4 0- + = .
0.25
VIIa
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
2002 k k
k
3
k 2002
3
x y
T C , 0 k 2002
y x
-
æ ö æ ö
= £ £ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷
è øè ø
2002 k k 1 1 1 1
k 6 3 6 2
2002 C x y y x
-
- -æ ö æ ö
= ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2002 k k k 2002 k 6006 4k 3k 2002
k k 2 6 3 6 6 6
2002 2002 C x .y C x .y
- - - -
- -
= =
Số hạng cần tìm là số Tk tương ứng với k thoả mãn 6006 4k 3k 2002 k 1144- = - Û = .
Vậy số cần tìm là ( )
715
1144 3
1144 2002 T C . xy=
0.25
0.25
0.25
0.25
VIb.
1 A d :3x y 1 0Ï - - = suy ra d qua B, D. Gọi H là hình chiếu của A trên d thì ( ) H 1;2
C đối xứng với A qua d nên H là trung điểm AC suy ra ( ) C 4;1 .
B dÎ và H là trung điểm BD nên ( ) ( ) B m,3m 1 ;D 2 m,5 3m- - -
ABCD S 40 AC.BD 80= Û = ( ) ( )
2 2
36 4. 2 2m 6 6m 80Û + - + - = ( )
2
m 1 4Û - =
( ) ( ) m 3 B 3;8 ,D 1; 4= Þ - - ; ( ) ( ) m 1 D 1; 4 , D 3;8= - Þ - - .
0.25
0.25
0.25
0.25
VIb.
2
( ) B PÎ , (P) có VTPT ( ) n 1;1;1
r
, ( ) d PÌ Þ ( )( ) d u A;B; A B- +
r
, ( ) 2 2
A B 0+ ¹
( ) u 2;1;2D
r
, ( )
( )
( )
2 2 2 2 2
2A B 2 A B B
cos d,
3 2A 2AB 2B 3 A B A B
+ - +
D = =
+ ++ + +
.
Nếu ( ) ( ) 0
B 0 cos d, 0 d, 90= Þ D = Þ D = , không thoả mãn, vậy B 0¹ ,
đặt ( ) 2
A 1
t cos d,
B 3 2t 2t 2
= Þ D =
+ +
.
( ) d,D nhỏ nhất ( ) cos d,Û D lớn nhất 2
t t 1Û + + nhỏ nhất
1 A 1
t A 1,B 2
2 B 2
Û = - Þ = - Þ = = - .
Vậy d có phương trình:
x 1 y 1 z 1
1 2 1
- - +
= =
-
.
0.25
0.25
0.25
0.25
VIIb Phương trình ( ) ( )( ) 4 2 2 2 2
z 2z 1 z 0 z z 1 z z 1 0Û + + - = Û - + + + =
2
1 z z 1 0 : 1 4 3- + = D = - = - Þ phương trình có 2 nghiệm 1 2
1 3 1 3
z i , z i
2 2 2 2
= + = -
2
2 z z 1 0 : 1 4 3+ + = D = - = - Þ phương trình có 2 nghiệm 3 4
1 3 1 3
z i , z i
2 2 2 2
= - + = - -
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 1 2 3 4 z z z z 0+ + + =
0.25
0.25
0.25
0.25
