1. www.VNMATH.com
S GD&ðT B C NINH ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011 - 2012
TRƯ NG THPT LÝ THÁI T Môn: TOÁN, kh i B
(Th i gian: 180 phút, không k th i gian giao ñ )
Ngày thi 19 – 02 - 2012
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7.0 ñi m)
Câu I (2.0 ñi m) Cho hàm s y = x 3 − 3x 2 + 2 (C)
1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C).
2. Tìm t t c các giá tr c a tham s m ñ ñư ng th ng d: y = m(x − 2) − 2 c t ñ th (C) t i 3 ñi m phân
bi t A(2; -2), D và E sao cho tích các h s góc c a ti p tuy n t i D và E v i ñ th (C) ñ t giá tr nh nh t.
Câu II (2.0 ñi m)
1. Gi i phương trình: (cotx - tanx - 2tan2x)sin4x = 4(6cos 2 x − 5)
2. Gi i b t phương trình: ( )(
x + 3 − x − 1 x − 3 + x 2 + 2x − 3 ≥ 4 )
π
4
sin 4x
Câu III (1.0 ñi m) Tính tích phân sau: I=∫ dx
0 sin x + cos 6 x
6
Câu IV (1.0 ñi m) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi c nh a (a > 0), BAD = 600 , c nh
1
SA ⊥ mp(ABCD) và SA = a. G i C ' là ñi m thu c c nh SC sao cho SC ' = SC . M t ph ng (α) ñi qua
3
AC ' và song song v i BD, c t các c nh SB và SD l n lư t t i B’ và D’. Tính th tích kh i chóp
S.AB’C’D’ theo a.
Câu V (1.0 ñi m) Cho b n s th c a, b, c, d th a mãn a 2 + b 2 = 1, c − d = 3 . Ch ng minh r ng:
9+6 2
ac + bd − cd ≤
.
4
PH N RIÊNG (3.0 ñi m): Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B)
A – Theo chương trình Chu n
Câu VIa (2 ñi m)
1. Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho ∆ABC có phương trình ñư ng th ng ch a ñư ng cao và
ñư ng trung tuy n k t ñ nh A l n lư t là: x − 2y − 13 = 0 và 13x − 6y − 9 = 0 . Tìm t a ñ các ñ nh A, B,
C bi t ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC có tâm là I(-5; 1).
2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz, cho các ñi m A(1; 2; 0), B(2; 0; 1) và m t ph ng (P):
2x − y + 2z − 3 = 0 . Vi t phương trình m t ph ng (α) ñi qua A, B và t o v i (P) m t góc φ sao cho
14
cos ϕ = .
7
Câu VIIa (1 ñi m) Gi i phương trình: 8log 4 x 2 − 9 + 3 2 log 4 (x + 3) 2 = 10 + log 2 (x − 3)2
B – Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb (2 ñi m)
1. Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho ∆ABC vuông t i A, các ñ nh A, B thu c ñư ng th ng y = 2 ,
phương trình c nh BC: 3x − y + 2 = 0 . Tìm t a ñ các ñ nh A, B, C bi t bán kính ñư ng tròn n i ti p
∆ABC b ng 3 .
2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz, cho các ñi m A(2; -2; 3), B(2; 0; 1). Vi t phương trình m t
ph ng (P) ñi qua A, B sao cho kho ng cách t nó t i g c t a ñ O là l n nh t.
Câu VIIb (1 ñi m) Ch ng minh r ng:
1 1 1 1006  1 1 1 
1
+ 2 + ... + 2011 =  0 + 1 + ... + 2010  .
C2011 C 2011 C 2011 2011  C2010 C 2010 C2010 
------------------------H t------------------
Thí sinh không ñư c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.
H và tên thí sinh:........................................................... S báo danh:............................

2. www.VNMATH.com
S GD & ðT B C NINH ðÁP ÁN – THANG ðI M
TRƯ NG THPT LÝ THÁI T ð THI TH ð I H C L N 2 NĂM 2012
Môn: TOÁN; Kh i B
(ðáp án – thang ñi m g m 05 trang)
Câu ðáp án ði m
I 1. (1.0 ñi m) Kh o sát: y = x 3 − 3x 2 + 2
(2.0 ñi m) • T p xác ñ nh: D = ℝ .
• S bi n thiên: 0.25
lim y = −∞ , lim y = +∞
x →−∞ x →+∞
 x = 0 ⇒ y(0) = 2
y ' = 3x 2 − 6x, y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6x = 0 ⇔  0.25
 x = 2 ⇒ y(2) = −2
B ng bi n thiên:
x −∞ 0 2 +∞
y' + 0 – 0 +
y 2 +∞
Cð 0.25
CT
−∞ -2
Hàm s ñ ng bi n trên các kho ng (−∞; 0), (2; +∞) và ngh ch bi n trên (0;2) .
Hàm s ñ t Cð t i x = 0, y C§ = y(0) = 2 và ñ t CT t i x = 2, y CT = y(2) = −2.
y
3
• ð th :
C t Ox t i (1; 0) , (1 − 3;0) và (1 + 3;0)
2
C t Oy t i (0;2) .
Ta có: y '' = 6x − 6 ⇒ y '' = 0 ⇔ x = 1 .
1
⇒ ð th có 1 ñi m u n I(1; 0) 0.25
I x
- O 1 2 3
1
-1
-2
2. (1.0 ñi m) Tìm m …
Hoành ñ giao ñi m c a (C) v i d là nghi m c a phương trình:
x = 2
x 3 − 3x 2 + 2 = m(x − 2) − 2 ⇔ (x − 2)(x 2 − x − 2 − m) = 0 ⇔  2 0.25
 x − x − 2 − m = 0 (1)
(C) c t d t i 3 ñi m phân bi t A(2;-2), D, E ⇔ (1) có 2 nghi m phân bi t khác 2
∆ = 9 + 4m > 0 9 0.25
⇔ ⇔ − < m ≠ 0 (∗)
f(2) = − m ≠ 0 4
V i ñi u ki n (∗) g i x1 , x 2 là nghi m c a (1) thì x1 + x 2 = 1, x1x 2 = −2 − m . Tích
các hsg c a tt t i D và E v i hoành ñ x1 , x 2 là k = k 1 k 2 = y '(x1 )y '(x 2 )
0.25
9
= (3x1 − 6x1 )(3x 2 − 6x 2 ) = 9(m 2 + 2m) = 9(m + 1)2 − 9 ≥ −9 víi - < m ≠ 0 .
2
2
4
Trang 1/5

3. www.VNMATH.com
Khi ñó k min = −9 ⇔ m = −1 (t/m (*)). V y giá tr m c n tìm là m = -1. 0.25
II 1. (1.0 ñi m) Gi i phương trình:
(2.0 ñi m) ðKXð: s inx ≠ 0, cosx ≠ 0, cos2x ≠ 0 (*).
0.25
Phương trình ⇔ (2 cot 2x − 2 t an2x)sin 4x = 4 ( 3 (1 + cos2x ) − 5 )
0.25
⇔ 4 cot 4x sin 4x = 4(3cos2x − 2) ⇔ cos4x = 3cos2x − 2
 cos2x = 1
⇔ 2cos 2x − 3cos2x + 1 = 0 ⇔ 
2
0.25
 cos2x = 1
 2
 x = kπ
π
⇔ π  x = ± + kπ (k ∈ ℤ) .
®k (*)
→ 0.25
 x = ± + kπ 6
 6
2. (1.0 ñi m) Gi i b t phương trình:
ðKXð: x ≥ 1 . Nhân hai v c a BPT v i x + 3 + x − 1 ta ñư c
0.25
BPT ⇔ x − 3 + x 2 + 2x − 3 ≥ x + 3 + x − 1 (**)
u2 − 2
ð t u = x +3 + x −1 ( u ≥ 2 ) ⇒ x + x + 2x − 3 = 2
2
0.25
u ≥ 4
BPT (**) có d ng: u 2 − 2u − 8 ≥ 0 ⇔  . Vì u ≥ 2 nên ñư c nghi m u ≥ 4
 u ≤ −2
V i u ≥ 4 ⇒ x + 3 + x − 1 ≥ 4 ⇔ x 2 + 2x − 3 ≥ 7 − x
+ V i x ≥ 7 : Bpt nghi m ñúng 0.25
13
+ V i 1 ≤ x < 7 : Bpt ⇔ x2 + 2x − 3 ≥ ( 7 − x ) ⇔ x ≥ 13 ⇒ nghi m:
2
≤x<7
4 4
V y nghi m BPT ñã cho là: x ≥ 1 3 . 0.25
4
III Tính tích phân …
(1.0 ñi m) π
Ta có: I = 4 s in 4 x
∫ 3
dx 0.25
0
1− s in 2 2 x
4
ð t: u = 1 − 3 sin 2 2x ⇒ du = − 3 sin 4xdx ⇒ sin 4xdx = − 2 du
4 2 3
x = 0 ⇒ u =1 0.25
ð i c n: π 1
x= ⇒u=
4 4
1
1
Khi ñó: I = ∫  − 2 1  du = 2 ∫ du
4
 3  0.25
1  u
3 1 u
4
1
4 2.
= u = 0.25
3 1 3
4
IV
(1.0 ñi m) Tính th tích kh i chóp S.AB ' C ' D '
(1.0 ñi m)
Trang 2/5

4. www.VNMATH.com
S
G i O=AC∩BD, I=SO∩AC’, suy ra
I∈(α) ∩(SBD) ⇒ (α) ∩ (SBD)=B’D’,
v i B’D’ ñi qua I và // BD (B’∈SB, C’ D’
D’∈SD).
B’ I 0.25
A
E D
O
B C
Trong ∆SAC: k OE//AC’, O là trung ñi m AC⇒E là trung ñi m CC’ ⇒ SC’ =
SB' SD' SI 1 0.25
C’E=EC ⇒ I là trung ñi m SO. Mà B’D’//BD nên = = =
SB SD SO 2
1
G i V là th tích c a kh i chóp S.ABCD, ta có VS.ABC = VS.ACD = V,
2
0.25
VS.AB'C' SB' SC' 1 VS.AC'D' SD' SC ' 1
= . = , = . =
VS.ABC SB SC 6 VS.ACD SD SC 6
1 1 1 11 1
Do ñó VS.AB'C'D' = VS.AB'C' + VS.AC'D' = VSABC + VSACD =  +  V = V mà
6 6 6 62 6
1 1 a3 3
V = VS.ABCD = .SA.SABCD = .SA.2SABD = (∆ABD ñ u c nh a). 0.25
3 3 6
a3 3
V y VS.AB'C'D' = .
36
V Ch ng minh b t ñ ng th c …
(1.0 ñi m) ð t P = ac + bd – cd
Áp d ng bñt Bunhiakovski cho 4 s a, b, c, d ta có:
0.25
ac + bd ≤ ac + bd ≤ (a 2
+b 2
)( c 2
+d 2
)= c + d . Do ñó:
2 2
P ≤ c2 + d 2 − cd = ( d + 3)
2
(
+ d 2 − d ( d + 3 ) = 2d 2 + 6d + 9 − d 2 + 3d = f ( d ) )
2d + 3 1 − 2d 2 + 6d + 9  0.25
Có f ' ( d ) = − ( 2d + 3 ) = ( 2d + 3 )  
2d 2 + 6d + 9  2d 2 + 6d + 9 
 
2
 3 9  3 9+6 2
Vì 1 − 2d + 6d + 9 = 1 − 2  d +  + < 0, ∀d nên f ( d ) ≤ f  −  =
2
0.25
 2 2  2 4
9+6 2 3 3 1 1
V y F≤ . D u ñ ng th c x y ra khi d = − , c = ,a = ,b = − . 0.25
4 2 2 2 2
VI.a 1. (1.0 ñi m) Tìm t a ñ các ñ nh c a tam giác ABC.
(2.0 ñi m) T A k ñư ng kính AA’ c a ñư ng tròn tâm I ngo i ti p ∆ABC; g i H, M l n
lư t là tr c tâm ∆ABC và trung ñi m c nh BC. D dàng ch ng minh BHCA’ là
0.25
hình bình hành ⇒ M là trung ñi m c a A’H.
PT ñ/c AH: x – 2y – 13 = 0, trung tuy n AM: 13x – 6y – 9 = 0
 x − 2y − 13 = 0  x = −3
To ñ A là nghi m h  ⇔ ⇒ A(−3; −8) ⇒ A '(−7;10) 0.25
13x − 6y − 9 = 0  y = −8
Trang 3/5

5. www.VNMATH.com
VI.a A
(2.0 ñi m)  h + 10 
H∈AH⇒ H(2h + 13; h) ⇒ M  h + 3;  ∈AM nên
 2 
h + 10
13 ( h + 3 ) − 6 −9 = 0 ⇔ h = 0
2 I
⇒ H(13; 0), M(3;5) 0. 25
H
Do BC qua M(3;5) vuông góc v i AH⇒PT BC:
2x + y – 11 = 0.
B M C
A’
B∈BC ⇒ B(b; 11 - 2b), M là trung ñi m BC nên C(6 - b; - 1 + 2b). Vì I là tâm
ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC nên IA2 = IB2 ⇒ ( b + 5 ) + (10 − 2b ) = ( −2 ) + 9 2
2 2 2
0.25
 b = 2 ⇒ B(2;7), C(4;3)
⇔ 5b − 30b + 40 = 0 ⇔ 
2
 b = 4 ⇒ B(4;3), C(2;7).
2. (1.0 ñi m) L p phương trình m t ph ng (α ) .
M t ph ng (α ) ñi qua A(1;2;0) có phương trình d ng:
a(x − 1) + b(y − 2) + cz = 0 v i a 2 + b 2 + c2 ≠ 0 . 0.25
Vì B∈ (α ) nên a − 2b + c = 0 ⇒ a = 2b − c (1)
14
M t khác, góc gi a (α ) và (P) là φ có cosin b ng
7
n α .n P 14 2a − b + 2c
Do ñó cosϕ = ⇔ = (2) 0.25
nα n P 7 a 2 + b 2 + c2 . 4 + 1 + 4
2c = b
Thay (1) vào (2) ta ñư c: 7 b = 14 (2b − c)2 + c2 + b 2 ⇔ 
2c = 3b
• V i b = 2c ⇒ a = 3c ≠ 0 ⇒ phương trình (α) là: 3x + 2y + z − 7 = 0 . 0.25
2 1
• V i 3b = 2c ⇒ b = c ⇒ a = c ≠ 0 ⇒ pt (α ) là: x + 2y + 3z − 5 = 0 .
3 3 0.25
V y phương trình mp (α ) tmñb là: 3x + 2y + z − 7 = 0; x + 2y + 3z − 5 = 0.
VII.a Gi i phương trình…
(1.0 ñi m)  x ≤ −4
( x − 3)
2
ðKXð: x 2 − 9 > 0; (x + 3)2 ≥ 1 v > 0 hay  (*) 0.25
x > 3
( )
PT ⇔ log2 x 2 − 9 + 3 log2 ( x + 3 ) = 10 + log2 ( x − 3 )
2 2 2
0.25
⇔ log2 ( x + 3) + 3 log2 ( x + 3 ) − 10 = 0
2 2
u = 2
log2 ( x + 3 ) ( u ≥ 0 ) . PT có d
2
ð tu= ng: u 2 + 3u − 10 = 0 ⇔  0.25
 u = −5 (lo i)
V i u = 2 ⇒ log2 ( x + 3) = 2 ⇔ ( x + 3 ) = 16 ⇔ x = 1 ho c x = −7
2 2
0.25
V i ñk(*) ta ñư c nghi m: x = −7
VI.b  3x − y + 2 = 0
 x = 0
(1.0 ñi m) T a ñ ñi m B là nghi m h  ⇔ ⇒ B(0;2) 0.25
y = 2
 y = 2
Trang 4/5

6. www.VNMATH.com
Câu ðáp án ði m
VI.b Do A∈ñt: y = 2 nên A(a;2) (a≠0), C∈BC: 3x − y + 2 = 0 ⇒C(c;2+c 3),(c≠0)
(1.0 ñi m)
AB = (−a; 0) ⇒ AB = a , AC = (c − a; c 3 ) ⇒ AC = (c − a) 2 + 3c 2 , 0.25
BC = (c;c 3) ⇒ BC = 2 c
 AB.AC = 0
Vì ∆ABC vuông A và r= 3 nên  AB ⊥ AC



⇔ 1 AB + AC + BC 0.25
 S = pr = p 3
  A B.AC = 3
2 2
−a(c − a) = 0

⇔
 a (c − a) + 3c = a + 2 c + (c − a) + 3c

2 2 2 2
( ) 3
0.25
c = a ≠ 0

c = a = 3+ 3 ⇒ A(3+ 3;2), C(3+ 3;5+3 3)
⇔ ⇔
a = 3+ 3
 c = a =−3− 3 ⇒ A(−3− 3;2), C(−3− 3; −1−3 3)

2. (1.0 ñi m) L p phương trình m t ph ng (P) .
G i H, K l n lư t là hình chi u c a O trên O
mp(P) và ñt AB⊂mp(P). Khi ñó: OH ≤ OK
hay d(O,(P)) ≤ OK=const
⇒ d(O,(P))max=OK ⇔ H≡K hay (P)⊥OK 0.25
⇒ mp(P) ñi qua A, B và vuông góc v i OK .
A H
K .B
P
* Ta có: AB = (0;2; −2) ⇒ VTCP u AB = (0;1; −1) ⇒ Pt AB : x = 2; y = t; z = 1 − t. 0.25
* K∈AB⇒K(2; t; 1-t) ⇒ OK = ( 2; t;1 − t) . Vì K là hình chi u c a O trên AB nên
 1 1 0.25
OK.AB = 0 ⇔ 2t − 2(1 − t) = 0 ⇔ t = 1 2 ⇒ OK =  2; ;  ⇒ n (P) = ( 4;1;1)
2 2  
mp(P) ñi qua A(2;-2;3), v i VTPT n (P) = ( 4;1;1) có pt là: 4x + y + z - 9 = 0 0.25
VII.b Ch ng minh ñ ng th c…
(1.0 ñi m)
1 n +1  1 1 
* Ch ng minh: =  k + k +1  (1) 0.25
C n n + 2  C n +1 C n +1 
k


Áp d ng (1) v i k ñi t 0 ñ n n = 2010, ta ñư c:
1 2011  1 1  1 2011  1 1  1 2011  1 1  0.25
=  0 + 1 ; 1 =  1 + 2  ;... 2010 =  2010 + 2011 
C 0
2010
2012  C 2011 C 2011  C2010 2012  C2011 C2011  C2010 2012  C2011 C2011 






Do C2011 = C2011 , nên l y t ng t ng v c a 2011 ñ ng th c ñó ta ñư c:
0 2011
2010
1 2011  1 1 1  0.25
∑C
k=0
k
= .2.  1 + 2 ... + 2011 
2012  C 2011 C 2011 C 2011 
2010
1 1 1 1006  1 1 1 
⇒ 1
+ 2
... + 2011
=  0 + 1 + ... + 2010  0.25
C 2011 C 2011 C 2011 2011  C 2010 C 2010 C 2010 
Chú ý: M i cách làm ñúng và h p l , dù không gi ng như ñáp án v n ñư c ñi m t i ña!
Trang 5/5