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Introduction to Topological Data Analysis
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- 3. 登場人物 : 単体法おじさん : 僕(画像はllvm) F F 講義やらない?? お題とかあるんでしょうか?? はあ… 一応タイトルは，Deep Learning の紹介ということにしてあるけど F F でも，好きなこと話していいよ． Topological Data Analysis でも A∞ とか離散 morse 理論の話になっ てもいいですか?? (; ･`д･´) F えっ，そういう話なの？？ まぁ，いいんじゃない
- 4. Introduction to Deep Learning TopologicalData Analysis @simizut22
- 5. I’m not DataScientist, but C++er…
- 6. 最近の興味 • Homotopy TypeTheory • Directed Algebraic Topology • Computational Topology つまり…
- 7. 最近の興味 • 型はいいぞぉ！！ • 並列化はいいぞぉ！！ •代トポはいいぞぉ！！
- 8. 最近の興味 • 型はいいぞぉ！！ • 並列化はいいぞぉ！！ •代トポはいいぞぉ！！ ついでに… • constexpr はいいぞぉ！！ ※ constexpr の読み方は YOMIKATA.org 参照
- 9. 本日の内容 • TDA #とは •Persistent Homology • 計算法(+離散 Morse 理論) • 社会での利用例
- 10. Topological data analysis#とは • もともとは Edelsbrunner/Letscher/Zomordian が 画像認識を行うために Persistent Homology を考 えた(*) • 与えられたデータの位相(幾何)的な不変量を用 いることで，データの次元削減/noise の除去など を行う→例えば機械学習の前処理として使える * Edelsbrunner, Herbert, David Letscher, and Afra Zomorodian. "Topological persistence and simplification." Discrete and Computational Geometry 28.4 (2002): 511-533.
- 11. Topological data analysis#とは • スペクトル系列と関連 スペクトル系列はいいぞぉ！！ (*´д｀*)ﾊｧﾊｧ Basu, Saugata, and Laxmi Parida. “Spectral Sequences, Exact Couples and Persistent Homology of filtrations.” arXiv preprint arXiv:1308.0801 (2013). より
- 12. Topological data analysis#とは • 主な応用分野は以下 1. 画像認識 2. Manifold learning 3. 遺伝子情報解析 4. 高分子構造の解析 5. 音楽データの解析 6. Network(social/脳のneuron) の解析 7. Sensor network 問題 etcetc…
- 13. Persistent Homology 定義(point cloud) 𝑋⊂ 𝑅 𝑛 ：有限集合を point cloud という 定義(Vietoris Rips) 𝑟 > 0, 𝑋 = 𝑥 𝜆 𝜆∈Λ: 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑙𝑜𝑢𝑑 に対し， 𝐶 𝑛 𝑟 𝑋 = 𝜆0 ⋯ 𝜆 𝑛 𝑥 𝜆 𝑖 − 𝑥 𝜆 𝑗 ≤ 2𝑟 𝑉 𝑟 𝑋 : 𝐶 𝑛 𝑟 (𝑛 = 0, … ) で生成される自由加群
- 14. Persistent Homology Point cloud𝑋 : given 半径の列 0 = 𝑟0 < ⋯ < 𝑟𝑛をとると、次の Vietoris Rips 複体の列 𝑉 𝑟0 ⊂ 𝑉 𝑟1 ⊂ ⋯ ⊂ 𝑉 𝑟 𝑛 が得られる → homology の列が誘導される 𝐻 𝑝 𝑉 𝑟0 → 𝐻 𝑝 𝑉 𝑟1 → ⋯ → 𝐻 𝑝 𝑉 𝑟 𝑛
- 15. Persistent Homology 定義(Persistent Homology) 𝑓𝑖,𝑗 : 𝐻 𝑝 𝑉 𝑟 𝑖 → 𝐻 𝑝 𝑉 𝑟 𝑗 (𝑖 < 𝑗)：包含写像の誘 導する準同型とする。 p-th Persistent Homology is defined as below: 𝐻 𝑝 𝑖,𝑗 𝑋 = 𝐼𝑚 𝑓𝑝 𝑖,𝑗
- 16. Persistent Homology の表示 PersistentHomology は homology class の生成 と消滅を表すと言われている。 主に使用される図示方法は 以下の 2 つ 1. Persistence diagram 2. Barcode
- 17. Persistence Diagram 𝑏 𝑝 𝑖,𝑗 =𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐻 𝑝 𝑖,𝑗 : betti number 𝜇 𝑝 𝑖,𝑗 :𝑉 𝑟 𝑖 で現れて,𝑉 𝑟 𝑗 で消えるホモロジークラス 全体の rank とする i.e. 𝜇 𝑝 𝑖,𝑗 = 𝑏 𝑝 𝑖,𝑗−1 − 𝑏 𝑝 𝑖,𝑗 − 𝑏 𝑝 𝑖−1,𝑗−1 − 𝑏 𝑝 𝑖−1,𝑗 Persistence Diagram: 𝑟 𝑖 , 𝑟 𝑗 ∈ ℝ2 に重複度 𝜇 𝑝 𝑖,𝑗 を持たせて書いた もの
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- 19. 計算方法(体係数の時) 次の operator 𝑥:⨁𝑖 𝑉𝑟 𝑖 ∗ → ⨁𝑖 𝑉𝑟 𝑖 ∗ を 𝑉𝑟 𝑖 ∗ → 𝑉𝑟 𝑖+1 ∗ : inclusion の拡張で与える 考える係数体を 𝐾 としたとき、 Boundary 𝜕: ⨁𝑖 𝑉𝑟 𝑖 𝑛 → ⨁𝑖 𝑉𝑟 𝑖 𝑛 を多項式環 𝐾 𝑥 module の準同型として考える。 この(多項式環係数)行列の smith-normal form を用いる
- 20. 補足: smith normalform PID 𝑅 係数の 𝑛 × 𝑚 行列 𝑋 ∈ 𝑀 𝑛, 𝑚, 𝑅 の smith-normal form とは 正則行列 𝑆 ∈ 𝐺𝐿 𝑛, 𝑅 , 𝑇 ∈ 𝐺𝐿 𝑚, 𝑅 を用いて 𝑆𝑋𝑇 = 𝐴 0 0 0 𝑤/ 𝐴 = 𝑎1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 𝑎 𝑟 , 𝑎𝑖|𝑎𝑖+1
- 21. 計算方法 上の algorithm +行列の reduction を用いることで、 計算量を抑えている。 一般の環係数に対して、最悪計算量はΟ 𝑛3 Milosavljevic 等は体係数の Persistent Homology を行列積 order Ο 𝑛 𝜔 で計算をしている(*) 現状 𝜔 ≈ 2.3727 が知られている * Milosavljević, Nikola, Dmitriy Morozov, and Primoz Skraba. "Zigzag persistent homology in matrix multiplication time." Proceedings of the twenty-seventh Annual Symposium on Computational Geometry. ACM, 2011.
- 22. 離散 Morse 理論 •離散 morse 理論を用いて、単体複体を小さく することで計算量を抑えることを考える • 離散モース理論： 単体複体 𝐾 上の関数 𝑓 が morse ⇔ 任意の単体 𝛼 𝑝 に対し ⋕ 𝛼 < 𝛽 𝑝+1 𝑓 𝛽 ≤ 𝑓 𝛼 ≤ 1 ⋕ 𝛾 𝑝−1 < 𝛼 𝑓 𝛼 ≤ 𝑓 𝛾 ≤ 1
- 23. 離散 Morse 理論 単体複体𝐾 の単体 𝜎 がmorse 関数 𝑓 の臨界 点(critical point) ⇔ ⋕ 𝛼 < 𝛽 𝑝+1 𝑓 𝛽 ≤ 𝑓 𝛼 = 0 ⋕ 𝛾 𝑝−1 < 𝛼 𝑓 𝛼 ≤ 𝑓 𝛾 = 0 類似： 多様体に対する morse 理論では morse 関数の 臨界点に応じて、多様体の cell 分解を行った…
- 24. 離散 Morse 理論 定理(基本定理) 単体複体𝐾 上にモース関数 𝑓 が存在 ⇒ 𝑓 の p-次の臨界点に対応した p-次のセルを持つ CW 複体と homotopy 同値になる ∎ 𝑀𝑓: 𝑓 の臨界点から生成される自由加群 以下が分かる ∃ 𝜕: 𝑀𝑓 → 𝑀𝑓 で 𝑀𝑓 はchain 複体。これを morse 複体という これは homology を保っている。
- 25. 離散 Morse 理論 •𝑅𝑃2 の homology の計算例 𝑅𝑃2 上の morse 関数を以下の図で与える。 2 3 1 1 23 t e e
- 26. 離散 Morse 理論(例) •これの morse complex は次で与えられる ℤ ×2 ℤ → 0 ℤ → 0 これより、 𝐻0 𝑅𝑃2 , ℤ = ℤ 𝐻1 𝑅𝑃2 , ℤ = ℤ 2ℤ 𝐻2 𝑅𝑃2 , ℤ = 0
- 27. 離散 Morse 理論(Filteredver.) • Mischaikow, Konstantin, Nanda は離散モース 理論(Morse complex) の理論を filtered complex に拡張し,Persistent Homology の計 算の効率化を行った(*) • filtration に適合した morse complex は元の 複体と同じ Persistence Diagram を与える (*) Mischaikow, Konstantin, and Vidit Nanda. "Morse theory for filtrations and efficient computation of persistent homology." Discrete & Computational Geometry 50.2 (2013): 330-353.
- 28. 離散 Morse 理論(Filteredver.) 以上の方法計算量に使う値を定義する 𝑛: cell の個数(input size) 𝑝 = max 𝛼∈𝐾 # 𝛽 ∈ 𝐾 𝛼 < 𝛽 𝑚𝑖: i-次元のセルの個数 𝑚: morse complex のセルの個数(output) i.e. 𝑚 = 𝑚𝑖 𝑚 = 𝑚𝑖 2
- 29. 離散 Morse 理論(Filteredver.) 一般の体係数に対しては、filtered morse 理論 を用いた際の計算量は Ο 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑚 + 𝑚3 また、体係数では Ο 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑚 + 𝑚 𝜔 に削減できる。 詳細：略(´;ω;｀)
- 30. 社会での実用例 • Fujitsu がTDA を利用したサービスをリリース 時系列データを高精度に分析する新たなDeep Learning技術を開発 • Carlsson 先生が co-founder を務める Ayasdi 社
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