2.4 ベクトル場 2.5 テンソル場

1. 情報幾何学の基礎 輪読会#2
2016/02/19
@simizut22

2. 内容(後半)
2.4 ベクトル場
2.5 テンソル場

3. 2.4 ベクトル場
定義(概念的)
多様体𝑀の各点𝑝に対し，𝑝における接ベクトル
𝑋 𝑝 ∈ 𝑇𝑝 𝑀を対応させる対応𝑋 = 𝑋 𝑝 𝑝∈𝑀
のこと
以下，𝑀上のベクトル場全体を𝔛 𝑀 で表す
余談：
正式な定義は接ベクトルバンドルの切断

4. 2.4 ベクトル場
球面のベクトル場
https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_field より画像を引用

5. 2.4 ベクトル場
𝑈; 𝑥1
, … , 𝑥 𝑛
: 𝑛次元多様体𝑀の座標近傍
𝜕
𝜕𝑥 𝑖: 各点𝑝に標準的な接ベクトル
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
𝑝
を対応
させる𝑈上のベクトル場
これを用いると，𝑋 ∈ 𝔛 𝑀 は𝑈上，
𝑋 = 𝑣 𝑖
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
と局所表示できる(𝑣 𝑖
は当然一意)

6. 2.4 ベクトル場
𝔛 𝑀 は 𝐶∞
𝑀 module の構造を持つ
i.e.
和：
𝑋 + 𝑌 𝑝 = 𝑋 𝑝 + 𝑌𝑝
関数倍：
𝑓𝑋 𝑝 = 𝑓 𝑝 𝑋 𝑝

7. 2.4 ベクトル場
𝑋 ∈ 𝔛 𝑀 , 𝑓 ∈ 𝐶∞
𝑀
𝑋の𝑓への作用 𝑋𝑓 ∈ 𝐶∞
𝑀 を次で与える
𝑋𝑓 𝑝 = 𝑋 𝑝 𝑓
注意：
関数倍ではない．微積分で行う”方向”微分のようなもの

8. 2.4 ベクトル場
𝑋, 𝑌 ∈ 𝔛 𝑀 に対し，
𝑋, 𝑌 ∈ 𝔛 𝑀
が次のようにして定まる．(lie bracket)
𝑋, 𝑌 𝑓 = 𝑋 𝑌𝑓 − 𝑌 𝑋𝑓
Leibnitz rule を満たすか確認する

9. 𝑋, 𝑌 𝑓𝑔 = 𝑋 𝑌 𝑓𝑔 − 𝑌(𝑋 𝑓𝑔 )
= 𝑋(𝑌𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑌𝑔)
−𝑌(𝑋𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑋𝑔)
= 𝑋 𝑌𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑌𝑓 ∙ 𝑋𝑔 + 𝑋𝑓 ∙ 𝑌𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑋(𝑌𝑔)
− 𝑌 𝑋𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑋𝑓 ∙ 𝑌𝑔 + 𝑌𝑓 ∙ 𝑋𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑌(𝑔𝑋)
= 𝑋, 𝑌 𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑋, 𝑌 𝑔 ∎

10. 2.4 ベクトル場
定義(積分曲線)
𝑋 ∈ 𝔛 𝑀 に対し，滑らかな曲線 𝐶 = 𝑝 𝑡 で
あって，各時刻 𝑡 において
𝑝 𝑡 = 𝑋 𝑝 𝑡
の成り立つものを， 𝑋の積分曲線という
remark
常微分方程式の解の存在・一意性定理から,
局所的には存在しかつ一意

11. 2.4 ベクトル場
例：𝑅2
∖ 0 の次のベクトル場を考える
𝑋(𝑥,𝑦) = −𝑦
𝑥2+𝑦2
𝜕
𝜕𝑥
+
𝑥
𝑥2+𝑦2
𝜕
𝜕𝑦
この，積分曲線は
𝑟 = 0
𝜃 = 1
𝑟
で与えられる→ 円を描く．
ここで， 𝑟, 𝜃 は極座標表示による

12. ベクトル場の 𝑋(𝑥,𝑦) = −𝑦
𝑥2+𝑦2
𝜕
𝜕𝑥
+
𝑥
𝑥2+𝑦2
𝜕
𝜕𝑦
の様子
2.4 ベクトル場

13. 2.4 ベクトル場
定義(一次微分形式)
多様体𝑀の各点𝑝に対し，𝜔 𝑝 𝜖𝑇𝑝
∗
𝑀 を対応させ
る対応𝜔 = 𝜔 𝑝 𝑝∈𝑀
のこと
以下，𝑀上の 1 次微分形式全体の集合を
Ω1
𝑀 で表すこととする
remark:
これも cotangent bundle の切断といった方が正確

14. 2.4 ベクトル場
𝑋 ∈ 𝔛 𝑀 , 𝜔 ∈ Ω1
𝑀 に対して，
𝜔 𝑋 ∈ 𝐶∞
𝑀 が，
𝑝 ⟼ 𝜔 𝑝 𝑋 𝑝
により定まる

15. 2.4 ベクトル場
𝑈; 𝑥1
, … , 𝑥 𝑛
: 𝑛次元多様体𝑀の座標近傍
𝑑𝑥 𝑖
: 各点𝑝に𝑑𝑥 𝑝
𝑖
を対応させる𝑈上の1-form
これを用いると，𝜔 ∈ Ω1
𝑀 は𝑈上，
𝜔 = 𝑓𝑖 𝑑𝑥 𝑖
と局所表示できる
ここで，𝑓𝑖 = 𝜔
𝜕
𝜕𝑥 𝑖 が成立
)∵ 𝜔
𝜕
𝜕𝑥 𝑖 =𝑓𝑗 𝑑𝑥 𝑗 𝜕
𝜕𝑥 𝑖 =𝑓𝑗 𝛿𝑖
𝑗
= 𝑓𝑖

16. 2.4 ベクトル場
関数の全微分と 1-form：
関数 𝑓 ∈ 𝐶∞
𝑀 に対し，微積で”全微分”を考
えた:
𝑑𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑖
𝑑𝑥 𝑖
これは1-form を与えている．

17. 2.5 テンソル場
定義
多様体 𝑀 の各点𝑝に対し， 𝑟, 𝑠 型テンソル
𝑇𝑝 𝑀(𝑟,𝑠)
を対応させる対応𝐹 = 𝐹𝑝 𝑝∈𝑀
のことを
𝑀 上の 𝑟, 𝑠 型テンソル場という
今まで同様に，局所表示が可能(略)

18. 2.5 テンソル場
テンソル場は 𝐶∞
𝑀 多重線型性を持つ.
i.e.
⨂𝑖∈𝐼 𝑣 𝑖
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
⨂ 𝑗∈𝐽 𝑓𝑗 𝑑𝑥 𝑗
=
𝑖,𝑗
𝑣 𝑖
𝑓𝑗 ∙ ⨂𝑖
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
⨂ 𝑗 𝑑𝑥 𝑗

19. 2.5 テンソル場
例：リーマン計量
𝑀 の各点に内積を対応させたものを，リーマン
計量と呼ぶ．(接バンドルに対する内積)
i.e. 正定値対称双線型な 2 階共変テンソル場
局所座標を用いて
𝑔 = 𝑔𝑖,𝑗 𝑑𝑥 𝑖
𝑑𝑥 𝑗
や 𝑔𝑖,𝑗 𝑖.𝑗
などと書く. 相対論などでは 𝑔 でなく 𝑑𝑠2
とも

20. 2.5 テンソル場
1. ユークリッド空間 ℝ 𝑁
：
𝑔 = 𝛿𝑖,𝑗
2. 2次元球面 𝑆2
:
𝑔 = 𝑑𝜃2
+ sin2
𝜃 𝑑𝜑2
3. 上半平面
𝑑𝑠2
= 𝑑𝑥2+𝑑𝑦2
𝑦2 = 𝑑𝑧𝑑 𝑧
𝐼𝑚 𝑧 2
3. ローレンツ計量
𝑑𝑠2
= 𝑑𝑡2
− 𝑑𝑥2
− 𝑑𝑦2
− 𝑑𝑧2