Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 7

Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:
a) 3, 8, 15, 24, 35, ...
b) 3, 24, 63, 120, 195, ...
c) 1, 3, 6, 10, 15, ...
d) 2, 5, 10, 17, 26, ...
e) 6, 14, 24, 36, 50, ...
f) 4, 28, 70, 130, 208, ...
g) 2, 5, 9, 14, 20, ...
h) 3, 6, 10, 15, 21, ...
i) 2, 8, 20, 40, 70, ...
Hướng dẫn:
a) n(n+2)
b) (3n-2)3n
c) ( 1)
1
n n 
2
d) 1+n2
e) n(n+5)
f) (3n-2)(3n+1)
g) n ( n 
3)
2
n  n 
h) ( 1)( 2)
2
i) n ( n  1)( n
 2)
3
Bài 2: Tính:
a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n
b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
Hướng dẫn:
a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n
A = n (n+1):2
b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101
A = 333300
Tổng quát:
A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n
A = (n-1)n(n+1): 3
Bài 3: Tính:
A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
Hướng dẫn:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)
A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)
A = 333300 + 4950 = 338250
Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1)
A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2
A= (n-1)n(2n+1):6
Bài 4: Tính:
2
A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
Hướng dẫn:
A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)
A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99)
A = 333300 + 9900
A = 343200
Bài 5: Tính:
A = 4+12+24+40+...+19404+19800
Hướng dẫn:
1
2
A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100
A= 666600
Bài 6: Tính:
A = 1+3+6+10+...+4851+4950
Hướng dẫn:
2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
A= 333300:2
A= 166650
Bài 7: Tính:
A = 6+16+30+48+...+19600+19998
Hướng dẫn:
2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
A = 338250:2
A = 169125
Bài 8: Tính:
A = 2+5+9+14+...+4949+5049
Hướng dẫn:
2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
A = 343200:2
A = 171600
Bài 9: Tính:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100
Hướng dẫn:
4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)

4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100
4A = 98.99.100.101
A = 2449755
3
Tổng quát:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n
A = (n-2)(n-1)n(n+1):4
Bài 10: Tính:
A = 12+22+32+...+992+1002
Hướng dẫn:
A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1)
A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100)
A = 333300 + 5050
A = 338050
Tổng quát:
A = 12+22+32+...+(n-1)2+n2
A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2
A = n(n+1)(2n+1):6
Bài 11: Tính:
A = 22+42+62+...+982+1002
Hướng dẫn:
A = 22(12+22+32+...+492+502)
Bài 12: Tính:
A = 12+32+52+...+972+992
Hướng dẫn:
A = (12+22+32+...+992+1002)-(22+42+62+...+982+1002)
A = (12+22+32+...+992+1002)-22(12+22+32+...+492+502)
Bài 13: Tính:
A = 12-22+32-42+...+992-1002
Hướng dẫn:
A = (12+22+32+...+992+1002)-2(22+42+62+...+982+1002)
Bài 14: Tính:
A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992
Hướng dẫn:
A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99)
Bài 15: Tính:
A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101
Hướng dẫn:
A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2)
A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99)

4
Bài 16: Tính:
A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102
Hướng dẫn:
A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2)
A = (22+42+62+...+982+1002)+4(1+2+3+...+49+50)
Bài 17: Tính:
A = 13+23+33+...+993+1003
Hướng dẫn:
A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1)
A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002)
A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12+22+32+...+992+1002)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-
98.99+(12+22+32+...+992+1002)
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99)
(12+22+32+...+992+1002)
Bài 18: Tính:
A = 23+43+63+...+983+1003
Hướng dẫn:
Bài 19: Tính:
A = 13+33+53+...+973+993
Hướng dẫn:
Bài 20: Tính:
A = 13-23+33-43+...+993-1003
Hướng dẫn:

Chuyên đề:
TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
a  (hoặc a : b = c : d).
a 
c
a suy ra: a  b 
  c
 ...
a  b  c ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.
5
I. TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số
c
d
b
Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay
ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ.
2. Tính chất:
Tính chất 1: Nếu
a  c
thì ad  bc
d
b
Tính chất 2: Nếu ad  bc và a, b, c, d  0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:
a  c
,
d
b
a  b
,
d
c
d  c
,
a
b
b
a
d 
c
Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.
II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
-Tính chất: Từ
a  c
suy ra:
d
b
a 
c
b d
b d
c
d
a
b



 
-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:
e
f
c
d
b
a  b 
c
 

 
e
c
  
b d f
b d f
f
d
a
b
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
* Chú ý: Khi có dãy tỉ số
2 3 5
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.
x  y và x  y  20
x  y  20 2y  y   y   y 
6
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết
2 3
Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt x  y  k
2 3
, suy ra: x  2k , y  3k
Theo giả thiết: x  y  202k  3k  205k  20 k  4
Do đó: x  2.4  8
y  3.4  12
KL: x  8 , y  12
Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
4
20
5
x y x 
  y
2 3 2 3
 

x   x 
Do đó: 4 8
2
y   y 
4 12
3
KL: x  8 , y  12
Cách 3: (phương pháp thế)
Từ giả thiết
x  y  x  2
y
3
2 3
mà 20 5 60 12
3
x  2.12 
Do đó: 8
3

y  z và 2x  3y  z  6
x  y  z (*)
x y z x y z 2 x  3
y 
      z
2x  3y  z  6 2. 9z  z  z   z   z 
7
KL: x  8 , y  12
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết:
x  y ,
3 4
3 5
Giải:
Từ giả thiết:
x  y  x  y (1)
3 4 9 12
y  z  y  z (2)
3 5 12 20
Từ (1) và (2) suy ra:
9 12 20
6
3
2
Ta có: 3
2
18 36 20
36 20
18
9 12 20
 
 
x   x 
Do đó: 3 27
9
y   y 
3 36
12
z   z 
3 60
20
KL: x  27 , y  36 , z  60
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt x  y  z  k
9 12 20
( sau đó giải như cách 1 của
VD1).
Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)
Từ giả thiết:
y  z  y  3
z
5
3 5
9
20
3. 3
5
4
3
4
3 4
z
z
x  y  x  y  
3. 3
mà 60 60
10
6
5
20
y  3.60  , 27
Suy ra: 36
5
x  9.60 
20
KL: x  27 , y  36 , z  60

x  y và x.y  40
2
x  xy  
x  y với x ta được: 8
x
 
x
 y y
4  
x  y  z và 5x  y  2z  28 b)
2x  y  z và x  y  z  49 d)
8
Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng:
2 5
Giải:
Cách 1: (đặt ẩn phụ)
Đặt x  y  k
2 5
, suy ra x  2k , y  5k
Theo giả thiết: x.y  40 2k.5k  4010k 2  40 k 2  4 k  2
+ Với k  2 ta có: x  2.2  4
y  5.2  10
+ Với k  2 ta có: x  2.(2)  4
y  5.(2)  10
KL: x  4 , y  10 hoặc x  4 , y  10
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Hiển nhiên x  0
Nhân cả hai vế của
2 5
40
5
2 5
2 16
4
  
4  y  y  4.5

+ Với x  4 ta có 10
2
2 5
4.5
+ Với x  4 ta có 10
2
2 5

  
KL: x  4 , y  10 hoặc x  4 , y  10
Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
10 6 21
x  y ,
3 4
y  z và 2x  3y  z  124
5 7
c)
4
5
3
4
3
x  y và xy  54
2 3

x y
z
  
x  y và x 2  y 2  4 f) x y z
x  y  z và 5x  y  2z  28 b)
2x  y  z và x  y  z  49 d)
x y
z
  
x  y và x2  y2  4 f) x y z
 1 2 3 1 f) 10x  6y và 2x2  y2  28
 1 2 3 1 f) 10x  6y và 2x2  y2  28
d a
9
e)
5 3
x y
z x
y z
 

 

 1 1 2
a)
10 6 21
x  y ,
3 4
y  z và 2x  3y  z  124
5 7
c)
4
5
3
4
3
x  y và xy  54
2 3
e)
5 3
x y
z x
y z
 

 

 1 1 2
a) 3x  2y , 7 y  5z và x  y  z  32 b)
x  y z và 2 3 50 x  y  z 
4
3
3
2
2
1 



c) 2x  3y  5z và x  y  z  95 d)
x  y  z và xyz  810
2 3 5
e)
x y
z x y z
z x
y
y z
x
 

 

 

a) 3x  2y , 7 y  5z và x  y  z  32 b)
x  y z và 2 3 50 x  y  z 
4
3
3
2
2
1 



c) 2x  3y  5z và x  y  z  95 d)
x  y  z và xyz  810
2 3 5
e)
x y
z x y z
z x
y
y z
x
 

 

 

Bài 5: Tìm x, y biết rằng:
y y y
1 2 
1 6
x
6
1 4
24
18




Bài 6: Tìm x, y biết rằng:
y y y
1 2 
1 6
x
6
1 4
24
18




Bài 7: Cho a  b  c  d  0 và
d
a b c
c
a b d
b
a c d
a
b c d
 

 

 

 
Tìm giá trị của:

b c
c 
d
a b
b 
c
a d
A a 
b
c d









Giải: a b c d a  b  c 
d
1
    
b c d a c d a b d a b c a b c d
3( ) 3
          
 và 5x – 2y = 87; b) x y
10
( Vì a  b  c  d  0 )
=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b
Tương tự =>a=b=c=d=>A=4
Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng:
a) x 7
y 3
 và 2x – y = 34;
19 21
b)
x3 y3 z3
8 64 216
  và x2 + y2 + z2 = 14. c) 2x  1  3y  2  

2x 3y 1
5 7 6x
Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 10: Tìm các số x, y, z biết :
a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;
b) x + y = x : y = 3.(x – y)
Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15.
b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x =
2y.
Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3.
Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và
bằng hai
lần tổng của a và b ?
Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.
Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c
b  c c  a a  b
. Biết a+b+c  0 .Tìm giá trị của mỗi tỉ
số đó ?
Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8.
Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh
của trường đó?
Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:
abab  2cd  c 2d 2 .abab  2 2(ab 1)  0
thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.
Giải: abab  2cd   c2d 2 .abab  2  2(ab 1)  0
=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)
=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm

DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
A  ta thường dùng một số phương pháp sau:
A và
a  .Chứng minh rằng:
a    (3)
 (đpcm)
a b (1)
11
Để chứng minh tỉ lệ thức:
C
D
B
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số
B
C có cùng giá trị.
D
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
+)  na
(n  0)
nb
a
b
+)
n n
c
d
a
b
c
 
d
a
b


  



Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức
c
d
b
c 
d
c d
a 
b
a b



Giải:
Cách 1: (PP1)
Ta có: (a  b)(c  d)  ac  ad  bc  bd (1)
(a  b)(c  d)  ac  ad  bc  bd (2)
c
Từ giả thiết: ad bc
d
b
Từ (1), (2), (3) suy ra: (a  b)(c  d)  (a  b)(c  d)

c 
d
c d
a b
a b



Cách 2: (PP2)
a  c
 , suy ra a  bk , c  dk
Đặt k
d
b
Ta có:
1
1
b k
( 
1)
( 1)





kb 
b




k
k
b k
kb b
a b

c d (2)
 (đpcm)
ab
a  . Chứng minh rằng: 2 2
a    (1)
a 2 
b
2
c d
 (đpcm)
a   , suy ra a  bk , c  dk
12
1
1
d k
( 
1)
( 1)





kd 
d




k
k
d k
kd d
c d
Từ (1) và (2) suy ra:
c 
d
c d
a b
a b



Cách 3: (PP3)
Từ giả thiết:
b
d
a   a

c
c
d
b
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a 
b
c d
a 
b
c d
b
d
a
c



 

c d
 
(đpcm)
c d
a b
a b



Hỏi: Đảo lại có đúng không ?
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức
c
d
b
a 2 b
2
c d
cd



Giải:
c
Cách 1: Từ giả thiết: ad bc
d
b
Ta có: abc2  d 2  abc2  abd 2  acbc  adbd (2)
cda2  b2  a2cd  b2cd  acad  bc.bd (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: abc2  d 2  cd a2  b2 
ab
 2 2
cd

c
Cách 2: Đặt k
d
b

ab    (1)
2 2
a b b k

 (2)
 (đpcm)
ab
 (đpcm)
a  . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết
a b
a b

 2) 2 2
 4)  
 6)
13
2
2
bk .
b
b
kb
Ta có: 2
2
.
d
kd
dk d
cd
 
2
  2
2 2
2 2 2
b k 
b
2 2 2
2 2
bk 
b
2 2
2 2
2 2
1
1
( )
( )
b
d
d k
d k d
dk d
c d








a 2 b
2
c d
ab

Từ (1) và (2) suy ra: 2 2
cd

2 2
2
2
a b
b
a
b
a
c
a

Cách 3: Từ giả thiết: 2
2
2 2
c d
d
c
cb
d
c
d
b

      
a 2 b
2
c d
ab

 2 2
cd

BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho tỉ lệ thức:
c
d
b
các tỉ số đều có nghĩa).
1)
c d
3 
5
c d
a b
3 5
a b
3 5
3 5



2 2 2
c d


c d


 


3)
c 
d
c d
a b
a b



2
a 
b
 2
c d
ab
cd


5)
c d
2 
5
c d
a b
2 5
a b
3 4
3 4



c d
2005 
2006
a b
a b
2005 
2006
c d
2006 2007
2006 2007



7)
c
c d
a
a b



8)
2
b bd
7 
5
b bd
2
a ac
7 
5
a ac
7 5
7 5
2
2



Bài 2: Cho tỉ lệ thức:
a  c
.
d
b
Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

a b
a b
 b) 2 2
c d
2 5
2
7 5
 i)
a   . Chứng minh rằng:

a   . Chứng minh rằng:

a  a  a  ... 
a
a a a a
     
        
a a a a ... a
a a a a ... a
a     và ... 0 1 2 9 a  a   a 
14
a)
c d
3 
5
c d
a b
3 5
a b
3 5
3 5



2 2 2

c d


c d


 

 c)
c 
d
c d
a 
b
a b



d)  
2
a 
b
 e)
 2
c d
ab
cd


c d
a b
2 
5
a b
3 4
3 4



a b c d
c d a b
f) 2008  2009 

2008 2009
2009  2010 2009 
2010
g)
c
c d
a
a b



h)
b 
bd
b bd
2
a ac
7 5
a ac
7 5
7 5
2
2



2 2
2 2 2 2
7 a  3ab 

7c 3cd
11a  8b 11c 
8d
Bài 3: Cho
c
d
b
c
b
a
d
  3
a b c  
b c d


 
Bài 4: Cho
c
d
b
c
b
a
d
  3
a b c  
b c d


 
Bài 5: Cho
a  b  c
2003 2004 2005
Chứng minh rằng: 4(a  b)(b  c)  (c  a)2
Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 1 2 3 2008
2 3 4 20 09
CMR: Ta có đẳng thức:
2 008
1 1 2 3 20 08
20 09 2 3 4 200 9
Bài 7: Cho
9
1
8
9
a
1 2
...............
3
2
a
a
a
a
a
a
Chứng minh rằng: 1 2 9 a  a  ...  a
Bài 8: Cho
a  b  c
2003 2004 2005
Chứng minh rằng: 4(a  b)(b  c)  (c  a)2

a  thì
2 2
a b 

a     và ... 0 1 2 9 a  a   a 
c a
 
. Đảo lại có đúng không?
a  thì
 . CMR:
a 
2 2
 ;
c a b ca bd
        
 1
u v

thì
c a
 
. Đảo lại có đúng không?
y z
 . CMR:
a 
15
Bài 9: Chứng minh rằng nếu :
b
d
b
a
d

2 2
b d
Bài 10: Cho
9
1
8
9
a
1 2
...............
3
2
a
a
a
a
a
a
Chứng minh rằng: 1 2 9 a  a  ...  a
Bài 11: CMR: Nếu a2  bc thì
c a
a b
a b



Bài 12: Chứng minh rằng nếu :
b
d
b
a
d
2 2
a 
b 
2 
2
b d
Bài 13: Cho
c 
d
c d
a b
a b



c
d
b
Bài 14. Cho tỉ lệ thức : 2 2
a  b 
a b
c 2 
d 2
c d
. Chứng minh rằng: a c
 .
b d
Giải. Ta có :
ab
cd
2 2
a 
b 
2 2
c 
d
=  a b

2

 
  
   c d
a b
a  b a 
b
c d c d
ab
cd
c d
a  2
ab 
b
c cd d
ab
cd
.
.
2
2
2
2
2 2

 
 


 
 
 
 
  d
c
ca cb ac ad cb ad a
b

ca bd
bc 
bd
da db
ca 
cb
ac ad
b c 
d
d a b

a c d









Bài 15: Chứng minh rằng nếu:
3
3
2
2




v
u
u  v
2 3
Bài 16: CMR: Nếu a2  bc thì
c a
a b
a b



Bài 17: CMR nếu a( y  z)  b(z  x)  c(x  y)
trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :
x y
z x



( ) b ( c a
) c(a b)
a b c





Bài 18: Cho
c 
d
c d
a b
a b



c
d
b

a  . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa  yb  0 và zc  td  0
u v

thì
 . Chứng minh rằng nếu
    . CMR: abc + a’b’c’ = 0.
a  . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa  yb  0 và zc  td  0
16
Bài 19: Cho
c
d
b
Chứng minh rằng:
xc 
yd
zc td
xa 
yb
za tb



Bài 20: Chứng minh rằng nếu:
3
3
2
2




v
u
u  v
2 3
Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2  ac ; c2  bd
và b3  c3  d 3  0
a
d
3 3 3
a  b 
c 
3  3 
3
b c d
Bài 22: CMR nếu a( y  z)  b(z  x)  c(x  y) .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì
:
y 
z
z 
x
x 
y
( ) b ( c a
) c(a b)
a b c





Bài 23: Cho
P ax  bx 
c
1 1
2
1
2
a x  b x 
c
a  b
 c
thì giá trị của P
b
c
1 1 1 a
không phụ thuộc vào x.
Bài 24: Cho biết : ' '
a b 1; b c 1
a ' b b '
c
Bài 25: Cho
c
d
b
xc 
yd
zc td
xa 
yb
za tb



Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2  ac ; c2  bd và b3  c3  d 3  0
a
d
3 3 3
a  b 
c 
3  3 
3
b c d

 . Chứng minh rằng nếu
  ; CMR: x y z
  
17
Bài 27: Cho
P ax  bx 
c
1 1
2
1
2
a x  b x 
c
a  b
 c
thì giá trị của P
b
a
1 1 1 c
không phụ thuộc vào x.
Bài 28: Cho tỉ lệ thức: 2 a  1 3 b 
2 c 
1 3d
3a  7 b 3c 
7 d
; Chứng minh rằng: a c
 .
b d
Bài 29: Cho dãy tỉ số : b z c y c x a z a y b x
a b c
  .
a b c
Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010
Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A> MỤC TIÊU
Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh,
rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn.
B> THỜI LƯỢNG
Tổng số :(6 tiết)
1) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết)
2)Các dạng bài tập và phương pháp giải(5 tiết)
1. Lý thuyết
*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của
một số a( a là số thực)
* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối
của nó.
TQ: Nếu a  0 a  a
Nếu a  0 a  a
Nếu x-a  0=> |x-a| = x-a

A x k
18
Nếu x-a  0=> |x-a| = a-x

*Tính chất
Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
TQ: a  0 với mọi a  R
Cụ thể:
|a| =0 <=> a=0
|a| ≠ 0 <=> a ≠ 0
* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai
số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
TQ: 
a 
b
a  b

a  
b
* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn
hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.
TQ:  a  a  a và  a  a  a  0;a  a  a  0
* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn
TQ: Nếu a  b  0 a  b
* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
TQ: Nếu 0  a  b a  b
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
TQ: a.b  a .b
* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
TQ:
a
b
a 
b

* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.
TQ: a 2  a
2 * Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai
số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.
TQ: a  b  a  b và a  b  a  b  a.b  0
2. Các dạng toán :
I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: A(x)  k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
* Cách giải:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của
mọi số đều không âm )
- Nếu k = 0 thì ta có A(x)  0 A(x)  0
- Nếu k > 0 thì ta có: 
( )

A ( x )
 k

A ( x )
 
k

1   x  c)
x  4     
2 2x  3  1 b) 7,5  35  2x  4,5 c) 3,75 2,15
x   c) 3,5
 x  2   d)
15  x   d)
11  x   c) 3
: 4 1
2


21  x  
2. Dạng 2: A(x)  B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách giải:
Vận dụng tính chất: a b ta có: 19
Bài 1.1: Tìm x, biết:
a) 2x  5  4 b)
2 1
4
5
4
3
1  x   1
d)
3
1
5
2
3  x  
2 1 7
8
4
Giải
a
1) |x| = 4
x=  4
a
2) 2x  5  4
2x-5 =  4
* 2x-5 = 4
2x = 9
x = 4,5
* 2x-5 = - 4
2x =5-4
2x =1
x =0,5
Tóm lại: x = 4,5; x =0,5
b)
1   2 x 
1
4
5
4
3
5
4-2x = 13
  
  
- 1
4
a)
2
15
a) 2 3x 1 1  5 b) 1 3
2
1
2
5
2 1
5
x  1 
3
a) 5%
x  1  3
 b)
4
4
5
4
1
4
2 3
2

 x   c)
3  x   7
d)
4
3
4
4
5
2
5
6
4,5  3 x  5

3
1
4
2
a) 2
6,5  9 x   b)
: 1
4
3
7
2
5
3
4
1
2
2,5 : 3
4
4
6
2
3
4
3 :
5
a 
b

 
 
a b

A x B x
( ) 
( )
 
 
( ) ( )
( ) ( )
A x B x
A x B x

a) 5x  4  x  2 b) 2x  3  3x  2  0 c) 2  3x  4x  3 d) 7x 1  5x  6  0
a) 5x  4  x  2
* 5x-4=x+2
5x- x =2+4
4x=6
x= 1,5
* 5x-4=-x-2
5x + x =- 2+ 4
6x= 2
x= 13
Vậy x= 1,5; x= 13
3 x   x  b) 0
5 x   x   c)
A x B x
( ) ( )
A x B x ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều
20
a) 1
4 1
2
2
3
5
5
8
7
2
4
7 x   x  1
d) 5 0
4
4
3
2
3
5
7 x   1
x  
2
5
6
8

3. Dạng 3: A(x)  B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị
tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
A(x)  B(x) (1)
Điều kiện: B(x)  0 (*)
(1) Trở thành 

( )  ( )

A ( x )  
B ( x
)
kiện ( * )
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu a  0 a  a
Nếu a  0 a  a
Ta giải như sau: A(x)  B(x) (1)
 Nếu A(x)  0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với
điều kiện )
 Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được
với điều kiện )
VD1:
Giải :
a0) Tìm x  Q biết   
x+2
5 =2x
  
* Xét x+ 25
 0 ta có x+ 2
5 =2x

1   b) x 1  3x  2 c) 5x  x 12 d) 7  x  5x 1
a) 9  x  2x b) 5x  3x  2 c) x  6  9  2x d) 2x  3  x  21
a) 4  2x  4x b) 3x 1  2  x c) x 15 1  3x d) 2x  5  x  2
a) 2x  5  x 1 b) 3x  2 1  x c) 3x  7  2x 1 d) 2x 1 1  x
a) x  5  5  x b) x  7  x  7 c) 3x  4  4  3x d) 7  2x  7  2x
4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
A(x)  B(x)  C(x)  m
Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )
Ví dụ1 : Tìm x biết rằng x 1  x  3  2x  1 (1)
 Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở
vế trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x
x 1 3
x – 1 - 0 + +
x – 3 - - 0 +
21
*Xét x+ 25
< 0 ta có x+ 25
=- 2x
a) x 3 2x
2
Giải
Xét x – 1 = 0  x = 1; x – 1 < 0  x < 1; x – 1 > 0  x > 1
x- 3 = 0  x = 3; x – 3 < 0  x < 3; x – 3 > 0  x > 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây:
Xét khoảng x < 1 ta có: (1)  (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1
 -2x + 4 = 2x – 1
 x = 5
4
(giá trị này không thuộc khoảng đang xét)
Xét khoảng 1  x  3 ta có:
(1)  (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1
 2 = 2x – 1
 x = 3
2
( giá trị này thuộc khoảng đang xét)

Xét khoảng x > 3 ta có: (1)  (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1
 - 4 = -1 ( Vô lí)
2 3 1
2 1  x  x    d) x   x    x
22
Kết luận: Vậy x = 3
2
.
VD2 : Tìm x
|x+1| + |x-1| =0
Nhận xét x+1=0 => x=-1
x-1=0 => x=1
Ta lập bảng xét dấu
x -1 1
x+1 - 0 + +
x-1 - - 0 +
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp
Nếu x<-1
Nếu -1  x  1
Nếu x >1
a) 4 3x 1  x  2 x  5  7 x  3  12 b) 3 x  4  2x 1  5 x  3  x  9  5
c) 8 1
1,2
5
1
5
5
2 1
5
3 1
2
2
a) 2x  6  x  3  8
c) x  5  x  3  9 d) x  2  x  3  x  4  2
e) x 1  x  2  x  3  6 f) 2 x  2  4  x  11
a) x  2  x  3  2x  8  9 b) 3x x 1  2x x  2  12
c) x 1  3 x  3  2 x  2  4 d) x  5  1 2x  x
e) x  2x  3  x 1 f) x  1 x  x  x  3
a) x  2  x  5  3 b) x  3  x  5  8
c) 2x 1  2x  5  4 d) x  3  3x  4  2x 1
5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:
A(x)  B(x)  C(x)  D(x) (1)
Điều kiện: D(x)  0 kéo theo A(x)  0;B(x)  0;C(x)  0
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
a) x 1  x  2  x  3  4x b) x 1  x  2  x  3  x  4  5x 1

 2   3    d) x x x x x 1,1  1,2  1,3  1,4  5
 1        
 1        
 1        
 1        
... 1
x2  2 x  1  x2  c) 2 2
2x 1  1  b) 2
2
2 3
1 x    c) x x   x
1 
2  3
  2
 x  x x c)
x  y  y  9  c) 3  2x  4y  5  0
23
1
c) x x x 4x
2
5
a) x x x ... x 100
101x
101
3
101
2
101
101
... 1
1
1
b) x x x x 100x
99.100
3.4
2.3
1.2
... 1
1
1
c) x x x x 50x
97.99
5.7
3.5
1.3
1
1
d) x x x x 101x
397.401
9.13
5.9
1.5
6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp:
a) 4
2
5
2
x x  3  x
4
a)
2x 1  1  1
b)
5
2
5
1 3
4
2
4
a) x x   x
2 3 b)
4
2 3
4
4


x  1 x   x 
2 3
4
2 3
2
4
a) 2x  3  x 1  4x 1 b) x 1 1  2 c) 3x 1  5  2
7. Dạng 7: A  B  0
Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng
thức.
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và
chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cách giải chung: A  B  0
0
B1: đánh giá:   
0
0
  


A B
A
B
B2: Khẳng định: A  B  0
  



0
0
A
B
Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:
a) 3x  4  3y  5  0 b) 0
25

2  1
 3
x    y  c)
5  3 x  y   b) 1,5 11
0
3 x  2y 2004  4 y  1  d) x  y    y 
0
3 10 2
 x  y d) 2007 2 2008 4 0 2008 2007 x  y  y  
24
a) 2
3 0
7
4
23
13
17
4
2
3
x  2007  y  2008  0
* Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A  B  0 nhưng kết quả không thay đổi
* Cách giải: A  B  0 (1)
0
0
  
0

 


A B
A
B
(2)
Từ (1) và (2)  A  B  0
  



0
0
A
B
a) 5x 1  6y  8  0 b) x  2y  4y  3  0 c) x  y  2  2y 1  0
a) 12x  8  11y  5  0 b) 3x  2y  4y 1  0 c) x  y  7  xy 10  0
* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không
âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương
tự.
Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a) x  y  2  y  3  0 b) 3 4 0 2007 2008 x  y  y  
c) x  y2006  2007 y 1  0 d) x  y  5  2007y  32008  0
Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :
a) x 12  y  32  0 b) 2 5 5 2 7 0 x  4  y  5 
c)   0
2
3 1 2 1
2
2000

 

a) x  2007  y  2008  0 b) 0
3
7
5 x  y  y  
6
4
2007
1 1
2006
3
2

c) 0
25
5
2008
2
4
   

8. Dạng 8: A  B  A  B
* Cách giải: Sử dụng tính chất: a  b  a  b
Từ đó ta có: a  b  a  b  a.b  0

a) x  5  3 x  8 b) x  2  x  5  3 c) 3x  5  3x 1  6
d) 2 x  3  2x  5  11 e) x 1  2x 3  3x  2 f) x  3  5  x  2 x  4  2
a) x  4  x  6  2 b) x 1  x  5  4 c) 3x  7  3 2  x  13
d) 5x 1  3  2x  4  3x e) x  2  3x 1  x 1  3 f) x  2  x  7  4
1 - Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối
Bài 1: Tìm x, biết:
a) 2x  6  x  3  8
Ta lập bảng xét dấu
53
x -3 3
x+3 - 0 + +
2x-6 - - 0 +
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp
* Nếu x<-3
Khi đó phương trình trở thành
6 - 2x - x - 3 = 8
-3x = 8 - 3
-3x = 5
x = - ( không thỏa mãn x<-3)
25
* Nếu - 3  x  3
6 - 2x + x + 3 = 8
- x = -1
x = 1 ( thỏa mãn - 3  x  3)
* Nếu x >3
2x-6 + x + 3 = 8
3 x = 11
x = 11
3 ( thỏa mãn x >3)
2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong
a) 2x 1  1 
4
2
5
* | | 2x-1 + 12
= 45
| | 2x-1 = 45
- 12
|2x-1| = 3
10

0
26
2x-1= 3
10 2x = 3
10 + 1 x= 13
20
  
<=>  
<=>  
2x-1= - 3
10 2x = - 3
10 + 1 x= 7
20
* |2x-1| + 1
2 =- 45
| | 2x-1 =- 45
- 12
(không thỏa mãn)
3 - Sử dụng phương pháp bất đẳng thức:
Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a) x  y  2  y  3  0
x-y-2 =0 x=-1
  
<=>
  
y+3 =0 y= -3
Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :
a) x 12  y  32  0
Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:
a) x  2007  y  2008  0
Bài 4: Tìm x thoả mãn:
a) x  5  3  x  8
II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt
đối:
1. Dạng 1: A  B  m với m  0
* Cách giải:
* Nếu m = 0 thì ta có A  B  0
  



0
A
B
* Nếu m > 0 ta giải như sau:
A  B  m (1)
Do A  0 nên từ (1) ta có: 0  B  m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng .
Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a) x  2007  x  2008  0 b) x  y  2  y  3  0 c) x  y2  2 y 1  0

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a) 3 4 0 5 x  y  y   b) x  y  5  y  34  0 c) x  3y 1  3 y  2  0
Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:
a) x  4  y  2  3 b) 2x 1  y 1  4 c) 3x  y  5  5 d) 5x  2y  3  7
Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 3 x  5  y  4  5 b) x  6  4 2y 1  12 c) 2 3x  y  3  10 d) 34x  y  3  21
Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) y 2  3  2x  3 b) y 2  5  x 1 c) 2y 2  3  x  4 d)
3y 2  12  x  2
2. Dạng 2: A  B  m với m > 0.
* Cách giải: Đánh giá
A  B  m (1)
27
0
0
  
0

 


A B
A
B
(2)
Từ (1) và (2)  0  A  B  m từ đó giải bài toán A  B  k như dạng 1 với 0  k  m
a) x  y  3 b) x  5  y  2  4 c) 2x 1  y  4  3 d) 3x  y  5  4
a) 5 x 1  y  2  7 b) 4 2x  5  y  3  5 c) 3 x  5  2 y 1  3 d) 32x 1  4 2y 1  7
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a  b  a  b xét khoảng giá trị của ẩn số.
Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) x 1  4  x  3 b) x  2  x  3  5 c) x 1  x  6  7 d) 2x  5  2x  3  8
Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.
a) x + y = 4 và x  2  y  6 b) x +y = 4 và 2x 1  y  x  5
c) x –y = 3 và x  y  3 d) x – 2y = 5 và x  2y 1  6
Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:
a) x + y = 5 và x 1  y  2  4 b) x – y = 3 và x  6  y 1  4
c) x – y = 2 và 2x 1  2y 1  4 d) 2x + y = 3 và 2x  3  y  2  8
4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích:
* Cách giải : A(x).B(x)  A( y)
Đánh giá: A( y)  0 A(x).B(x)  0 n  x  m tìm được giá trị của x.
Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) x  2x  3  0 b) 2x 12x  5  0 c) 3 2xx  2  0 d) 3x 15  2x  0

a) 2  xx 1  y 1 b) x  31 x  y c) x  25  x  2y 1  2
a) x 13  x  2 y 1 b) x  25  x y 1  1 c) x  3x  5 y  2  0
5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:
* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B
Đánh giá: A  m (1)
Đánh giá: B  m (2)
Từ (1) và (2) ta có:
y d)
x x b)
x x d)
2 2 4 20
x y b)  
x d)
B  x  1  x  c) C  x 1  x  3
28
  
A 
m

 
B m
A B
a) x  2  x 1  3  y  22 b)
5 1 12
1 3
 
   
y
x x
3 5 10  2 
c)   
2 x
6 2
1 3 6
3 3
 
   
y
x x
a) 2  3  2  1 
8 2  y
 5
 2 
2 3 1 16
2 2
  
   
y y
x x
3 1 3 5 12 2 
c)    
 y
3 2
2 1 5 10
4 2
 
   
y
x y
a)  2 
2 7 14
1 3
  
   
y y
3  2 
5
  
y
x
c)
2 2007 3 6
2008 2
 
  
y
2 5 30
3  5 
6
   
y
x y
III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
 Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5  x  4,1
a) A  x  3,5  4,1 x b) B   x  3,5  x  4,1
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:
a) A  x 1,3  x  2,5 b) B   x 1,3  x  2,5
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a) A  x  2,5  x 1,7 b)
2
5
5
Bài 4: Rút gọn biểu thức khi
1
7
3  
 x
5

B   x  1   x  
1  x  d)
a  1 b 
x  y  b) B  3a  3ab  b với ; 0,25
a  1 b  d) D  3x 2  2x 1 với
x  1 y  
x  b) B  2 x  3 y với ; 3
5 2 7 1
D x x với
H i) I   2,5  x  5,8 k) K  10  4 x  2
l) L  5  2x 1 m)
1
 
M n)
29
a)
A  x  1  x   4
b)
5
3
5
7
2
6
3
5
7
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
a) A  x  0,8  x  2,5 1,9 với x < - 0,8 b) 9
B  x  4,1  x  2  với 4,1
3
2  x 
3
c)
C  2 1  x  x   8 1
với
5
1
5
5
2 1
5
5
D  x  3 1  x  3 1
với x > 0
2
2
==============&=&=&==============
IV – Tính giá trị biểu thức:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
a) M = a + 2ab – b với a  1,5;b  0,75 b) N =
a 2
2
 với a  1,5;b  0,75
b
a) A  2x  2xy  y với

2,5; 3
4
3
c)
C a 3
 5  với ; 0,25
b
3
3
x  1
2
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:
a) A  6x3  3x2  2 x  4 với
 2
3
2
c) C  2 x  2  31 x với x = 4 d)
 
3 
1

x
x  1
2
V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:
* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất
của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:
Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) b) 3 x

2
A  0,5  x  3,5 B  1,4  x  2 c)
C d)
4 
5

x
x
2 
3
3 
1

x
D
e) E  5,5  2x 1,5 f) F  10,2  3x 14 g) G  4  5x  2  3y 12
h)
5,8
 
2,5 5,8

x
2 3

x
2 12
3  5 
4
 
x
N
Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A  1,7  3,4  x b) B  x  2,8  3,5 c) C  3,7  4,3  x
d) D  3x  8,4 14,2 e) E  4x  3  5y  7,5 17,5 f) F  2,5  x  5,8

H  x  2  3
i) I  1,5  1,9
 x 21
B c)
2
D e)   14 3 5 5
2  7 
13
14
B c)
y
6 5 14
B c)
30
g) G  4,9  x  2,8 h)
7
5
k) K  23x 1  4 l) L  23x  2 1 m) M  51 4x 1
Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a)
A 5 15
b)
43  7 
3
 
x
815 21 7
1
3
 



x
20
3 5 4 5 8
4
5
   
 
x y
C
d)
6 24
2  2  3 2  1 
6
  
x y x
21
3
 2   
 
x y x
E
a)
2 7 x
 5 
11
A b)
7  5 
4

x
2 2  7 
6

y
y
B c)
x
15  1 
32
6  1 
8

x
C
a)

A 5 8
b)
45  7 
24
 
x
56 8 35
6
5
 
 
y
28
3 3 2 1 35
15
12
   
 
x y x
C
a)
214 x
 6 
33
A b)
3 4  6 
5

x
 
2  5 
14

y
15 7 68
  

3  7 
12
x
x
C
2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu
thức:
a) A  x  5  2  x b) B  2x 1  2x  6 c) C  3x  5  8  3x
d) D  4x  3  4x  5 e) E  5x  6  3  5x f) F  2x  7  5  2x
a) A  2 x  3  2x  5 b) B  3 x 1  4  3x c)
C  4 x  5  4x 1
a) A   x  5  x  4 b) B   2x  3  2x  4 c) C   3x 1  7  3x
a) A  2 x  5  2x  6 b) B  3 x  4  8  3x c) C  55  x  5x  7
a) A  x 1  x  5 b) B  x  2  x  6  5 c) C  2x  4  2x 1
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a  b  a  b
a) A  x  2  x  3 b) B  2x  4  2x  5 c) C  3 x  2  3x 1

a) A  x  5  x 1  4 b) B  3x  7  3x  2  8 c) C  4 x  3  4x  5 12
a) A  x  3  2x  5  x  7 b) B  x 1  3x  4  x 1  5
c) C  x  2  4 2x  5  x  3 d) D  x  3  5 6x 1  x 1  3
Bài 3.4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
31
A  x 1  y  2
Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức:
B  x  6  y 1
Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
C  2x 1  2y 1
Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
D  2x  3  y  2  2
DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT,
DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT( tiếp)
Bài 1 : Tính tổng:
2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … - 2008
Hướng dẫn:
Bài 2: Cho A  1 2  3  4  ...  99 100.
a) Tính A.

b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ?
32
Hướng dẫn:
Bài 3: Cho A  1 7 13 19  25  31 ...
a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?
b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ?
Hướng dẫn:
Bài 4: Cho A  1 7 13 19  25  31 ....
a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A.
b) Tìm số hạng thứ 2004 của A.
Hướng dẫn:
Bài 5: Tìm giá trị của x trong dãy tính sau:
(x  2)  (x  7)  (x 12)  ...  (x  42)  (x  47)  655
Hướng dẫn:
Bài 6: a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + … + (x+2009) = 2009.2010
b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ … + 2009. 2010
Hướng dẫn:
Bài 7: Tính tổng: S  9.11 99.101 999.1001 9999.10001 99999.100001
Hướng dẫn:
Bài 8: Cho A  3 32  33 ... 3100
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
Hướng dẫn:
Bài 9: Cho A  3 32  33 .... 32004
a) Tính tổng A.
b) Chứng minh rằng A130 .
c) A có phải là số chính phương không ? Vì sao ?
Hướng dẫn:
Bài 10:
a) Cho A  1 3  32  33  ...  32003  32004
Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3.
b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với
A  4  23  24  25  ...  22003  22004
Hướng dẫn:
Bài 11:

a) Cho A  2  22  23  ...  260
Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15.
b) Chứng minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42
1 1

33
Hướng dẫn:
Bài 12:
Cho A = 2 + 22 + 23 + ............+299 + 2100
Chứng tỏ A chia hết cho 31
Hướng dẫn:
Bài 13: Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596
a, Chứng minh: S  126
b, Tìm chữ số tận cùng của S
Hướng dẫn:
Bài 14: Cho A  1.2.3......29.30
B  31.32.33........59.60
a) Chứng minh: B chia hết cho 230
b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61.
Hướng dẫn:
Bài 15: Cho A  3  22  23  24  ...  22001  22002 và B  22003
So sánh A và B.
Hướng dẫn:
Bài 16: Cho M = 3 32  33 ... 399  3100 .
a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao?
b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n .
Hướng dẫn:
Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33 +…+ 3118+ 3119
a) Thu gọn biểu thức M.
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Hướng dẫn:
Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết:
2003
2004
... 2
( 1)
1
10
6
3

   
n n
Hướng dẫn:
Bài 19:
a) Tính: 2  2  2  ..... 
2
1.3 3.5 5.7 99.101

3 3
3
3
n N
b) Cho S 
*
( 3)
A     
B     
A  1     
M  1     
.... 2
S  1   
... 1
A  1 1    ...  1
và B = 2.
A      và 5 5 ... 5 5
   
1 1
    
34
7.10
4.7
1.4
n n

   
Chứng minh: S  1
Hướng dẫn:
Bài 20: So sánh: 2 2 ... 2 2
60.63 63.66 117.120 2003
và 5 5 ... 5 5
40.44 44.48 76.80 2003
Hướng dẫn:
Bài 21:
a) Tính
1
340
1
238
1
154
1
88
1
40
10
b) Tính:
2004.2005
1
15
1
10
1
6
3
c) Tính tổng:
98.99.100
1
2.3.4
1.2.3
Hướng dẫn:
1
1
Bài 22: So sánh: 2
2
2 2
3 2100
Hướng dẫn:
Bài 23: So sánh:
2 2 ... 2 2
60.63 63.66 117.120 2006
B     
40.44 44.48 76.80 2006
Hướng dẫn:
Bài 24. Tính
a. A = 2  2  2  2 
2 .
15 35 63 99 143
b. B = 3+ 3 3 3 ... 3
1  2 1  2  3 1  2  3  4 1  2  ... 
100
.
Hướng dẫn:
Bài 25: Tính giá trị các biểu thức:
a) A =
1
99.1
1
... 1
    
... 1
97.3
1
1
5.95
1
3.97
1
1.99
99
97
5
3
b) B =
... 1
   
... 1
99
1
97
3
1
98
2
1
99
1
100
4
3
2
   

1 1    
3
  1     
1     
35
Hướng dẫn:
Bài 26: Chứng minh rằng:
100 -
... 99
100
4
2
3
1
2
... 1
100
1
    
3
2


Hướng dẫn:
Bài 27: Tính
A biết:
B
A =
1    ...  1
và B =
200
1
4
1
3
2
199
1
... 198
2
3
197
2
198
199
Hướng dẫn:
Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy:
;1 1
24
;....
35
;1 1
8
;1 1
15
11
;11
3
Hướng dẫn:
Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:
;...
; 1
336
; 1
66
176
1
; 1
6
Hướng dẫn:
Bài 30: Tính
A biết:
B
A =
1
19.20
1     
... 1
17.18
1
5.6
1
3.4
1.2
B =
1
20
1     
... 1
19
1
13
1
12
11
Hướng dẫn:
.... 1
100.110
1
2.12
1
1.11
... 1
    x
10.110
1
2.102
1.101

Hướng dẫn:
Bài 32: Tính :
a) S 1 a  a2  a3 ... an , với ( a  2, nN )
b) 2 4 6 2
1 S 1 a  a  a ... a n , với ( a  2, nN )
c) 3 5 2 1
S2 a a a ... a n      , với ( a  2, n N* )
Hướng dẫn:
Bài 33: Cho A 1 4  42  43 ... 499 , B  4100 . Chứng minh rằng:
A  B .
3

36
Hướng dẫn:
) 9 99 999 ... 999...9
50
) 9 99 999 ... 999...9
200
a A
b B
    
    

ch÷ sè

ch ÷ sè
Hướng dẫn:
Chuyên đề 1:
giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối.
1-Kiến thức cơ bản:
  
x x
 
 

0
0
x x 
x

x  2 3 3) 0
: 3
5
1     5)
4 
    x 7)
1.2  2.3  3.4  .... 99.100  2 1 x  9)
x  3 3 2) 0
x  25  3) 0
2x . 1  
5) 1,75  2,5  x  1,25 6) 2x  5  13 7)
2 1 x   9) (2x  5)2  9 10) x2  4 11)
x 11  y    z  4) ) 0
x  1
37
x  0; x  x; x   x
x  y  x 
y
  
x y x y
2- Các dạng toán cơ bản:
* Dạng toán 1: Tính x biết
1)
x  11 2)
5
13
x  25 1 
2
4)
1
x
.... 1
47.49
1
3.5
1.3
1     x
..... 1
97.100 2
1
4.7
1.4
6)
2 5
101
.... 4
97.101
4
5.9
1.5
2 1
5
1 1 .... 1 1
  4

  x
100
1 1
1 1
3
2

  




  


  

8) 1
5
(12  22  ...  492 )(2  x)  11
5
* Dạng 2: Tìm x biết
1)
5
8
5 x  5  4)
23
11
3
5
2
3
31  x   
2 3
7
3
8)
3 7 11
5
10
(3  7x)2  1
4
* Dạng 3: Tìm x, y, z biết
1) x  y  z  0 2) 3x  5  2y  7  0
3) 31
0
3
2 5
2
2
(x 1)2  ( y  1 2  z  2 
) ( 1
2
3
5) 1 2x  2  3y  3  4y  0 6) x 1  (x 1)(x 1)  0
*Dạng 4: Tính giá trị của các biểu thức sau.
1) A  x2  2x  5 với
x   1
3
2) B  xy  2  5(x  3) x2  2xy  y2 với x=y=2
3) 2 2 1
C  x2  x  1  x  với
4
2
4) D  3x2  6x  3 với x  1
5) E  2x  5y  7xy với x  y  2  0
6) G  2x2  3y2  6xy với x 1  y  2  0
* Dạng 5: Rút gọn các biểu thức sau
1) M  x  5  2x  9  3x 13 với x  6,5
2) N= x 1  x  2  x  3 với  2  x  1
3) P= 2x  5  3x  7  5x 15 với x  3
*)Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất.

1, Tìm giá trị nhỏ nhất của: C  4,5 2x  0,5  0,25
2, Tìmgiá trị lớn nhất của : D   3x  4,5  0,75
3, Tìm giá trị nhỏ nhất của : E  x  2005  x  2004
A  b)
38
3- Các bài toán tự học :
Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A= 2x+2xy-y với | x| = 2,5 và y = -3/4
Bài 2: Tìm x , y biết:
a) 2.| 2x-3|= 1/ 2
b) 7,5 -3 |5-2x|=-4,5
c) | 3x-4|+ |3y+5| = 0
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất:
a) | 3x- 8,4| -14,2
b) |4x-3|+|5y+7,5| +17,5
Bìa 4: Tìm giá trị lớn nhất:
F= 4- |5x-2|- | 3y+12|
CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ
THỰC- CĂN BẬC HAI.
Bài toán 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản
0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13)
Bài toán 2: Tính
a) 10,(3)+0,(4)-8,(6)
b) 12,(1)  2,3(6): 4,(21)
c) 0,(3)  31 
0,4(2)
3
Bài toán 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ khi biểu diễn số
116 dưới dạng số
99
thập phân vô hạn tuần hoàn.
Bài toán 4: Tính tổng của tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân
0,(12)
Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị
a)
(11,81 8,19).2,25
6,75
(4,6 5 : 6,25).4
4.0,125 
2,31

B 
Bài toán 6: Rút gọn biểu thức
0,5  0,(3) 
0,1(6)
2,5  1,(6) 
0,8(3)
M 
Bài toán 7: Chứng minh rằng:
0,(27)+0,(72)=1
Bài toán 8: Tìm x biết
0,1(6) 
0,(3) 
a) . 0,(2)
0,(3) 
1,1(6)
x b)
50
85
0,(3) 0,(384615) 3
0,0(3)
13

  x
c) 0,(37)  0,(62)x  10 d) 0,(12):1,(6)=x:0,(4)

x  16 và
B c) C=
A x Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên
4
1
39
e) x:0,(3)=0,(12)
Bài toán 9:
m 3  3 m 2 Cho phân số  2 m 
A 5
;( 
)
( 1)( 2) 6
m N
m m m
  

a) Chứng minh rằng A là phân số tối giản.
b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?
CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ
THỰC- CĂN BẬC HAI.
Bài toán 10: So sánh các số sau
a)

11  
9

0,5 100  4 và : 5
25
16
9

 

 b) 25  9 và 25  9
c) CMR: với a, b dương thì a  b  a  b
a) x là căn bậc hai của các số: 16; 25; 0,81; a2 ;  2 2  3
b) 2x 3 3 2x  2   c)  1 2 1 0 x  2  x  2 
a) x  2 x  0 b) x  x c)  
1 9 x  2 
16
Bài toán 13: Cho
A x . CMR với
1

1


x
9
x  25 thì A có giá trị là một số
9
nguyên
Bài toán 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên
a)
A  7 b)
x
1
3


x
3
2
x 
Bài toán 15: Cho
1

3


x
Bài toán 16: thực hiện phép tính
       







 


: 2 : 2 2
 


 


 

  
  
 
 
 
 
81
: 5
7
7
2 2 : 2,4 5,25 : 7 : 2 1
2
2
2
2 2
Bài 17: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý.
 
343
  
2
7
4
  
7
1 1
64
2
7 7
1
49
49
2
2

 

A 

25

: 12 1
. 49
3
   

  b) 2 1 3 1 : 4 1 3 1 7 1
           
   
A     b) 1 1 1 1 ..... 1 1
A            
x   c) 21 1 2
x   e) (5 1) 2 1 0
x   x   
A         
B          
                     
A            
40
Bài toán 18: Tính bằng cách hợp lý.
5
 
 5

374
204
2 21
1 5
196
2
2 M     
Bài toán 19: Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức
 2  2 0 2 2 x   y   x  y  z 
Bài toán 20: thực hiện phép tính
 
  445
: 1704
7
3 2
8 6
7
3
4
: 225 8 2
3
2
181 2

 

 


 



 
M  

CHUYÊN ĐỀ: NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ - ÁP DỤNG.
**********
Bài toán 1: Tính
a) 3 .3111 0,75.8 12
4 23 23
3 2 6 7 2
c) 4 5 : 5 5 4 : 5
         
   
9 7 9 7
d)
13 1 2 5 10 5 .230 1 46 3
4 27 6 25 4
      
 
13 10 : 12 1 14 2
7 3 3 7
         
   
e) 4 25 25 9 :125 : 27
     
16 16 64 8
 
g) 2 4 1 3
     
3 2 4
 
Bài toán 2: Tính
a) 1 1 .... 1
1.2 2.3 99.100
          2   3          1
 
B
n
với nN
c) 66. 1 1 1 124.( 37) 63.( 124)
C          
2 3 11
 
d) 7 33 3333 333333 33333333
D      
4 12 2020 303030 42424242
 
Bài toán 3: Tính
1 1 (1 2) 1 (1 2 3) .... 1 (1 2 3 .... 16)
2 3 16
a) (2 3) 3 1 0
x   x   
4
 
b) 2 5 3
3 7 10
 x  
13 3 3
d) 3 2 3 1 2
7 8 5
3
 
g) 3  1 : x 
3
7 7 14
Bài toán 5: Cho 1 1 1 1 ..... 1 1
2 3 10
    
. So sánh A với 1
9

Bài toán 6: Cho 1 1 1 1 ..... 1 1
4 9 100
     
. So sánh B với 11
21

Bài toán 7: Tính 2 3 .193 33 : 7 11 .1931 9
193 386 17 34 1931 3862 25 2
Bài toán 8: Cho 1,11 0,19 13.2 1 1 : 2
2,06 0,54 2 4
5 7 2 1 0,5 : 2 23
8 4 26
B     
 
a) Rút gọn A, B b) Tìm xZ để A<x<B
Bài toán 9: Tính giá trị các biểu thức sau

x           
41
a)
1 1 1 3 3 3 3
3 7 13 . 4 16 64 256 5 2 2 2 1 1 1 1 8
3 7 13 4 16 64
A
    
 
    
b)
0,125  1  1 1  1 
0,2
5 7 2 3

0,375  3  3 3  0,5 
3
5 7 4 10
Bài toán 10: Tìm x biết 128 4 20 5 : 4141 1 : 636363 1
21 4242 646464
     
Chuyên đề:
I. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ
A.KIẾN THỨC:
Giá trị tuyệt đối của một số lưu ý các tính chất sau trong giải toán :
1/ GTTĐ của một số thì không âm / x /  x
2/ GTTĐ của một số thì lớn hơn hoặc bằng số đó / x /  x
3/ GTTĐ của một tổng không lớn hơn tổng các GTTĐ /x + y / / x / / y /
Hiệu không nhỏ hơn hiệu các GTTĐ / x-y/  /x/ - /y/
4/ GTTĐ : Với a > 0 thì: /x / = a <=> x =  a
x a


/ x / > a <=> 

x a
/ x/ < a <=> -a< x< a
B. LUYỆN TẬP:
1. Dạng: Tính giá trị của một Biểu thức :
Bài 1 : Tính Gía trị biểu thức A = 3 x 2 2x 1 với /x / = 0,5
Giải: / x / = 0,5 <=> x = 0,5 hoặc x = - 0,5
- Nếu x = 0,5 thì A = 0,75
- Nếu x = - 0,5 thì A = 2,75
2. Dạng : Rút gọn Biểu thức có chứa dấu Giá trị tuyệt đối
Bài 2 : Rút gọn biểu thức A = 3 ( 2x - 1 ) - / x - 5 /
Giải : với x - 5  0 <=> x  0 thì / x -5 / = x - 5
với x –5 < 0 <=> x < 5 thì / x – 5 / = - x + 5
Xét cả 2 trường hợp ứng với hai khỏang giá trị của biến x
a/ Nếu x  5 thì A = 3 (2x – 1 ) – ( x – 5 ) = 5x + 2

b/ Nếu x < 5 thì A = 3 ( 2x – 1 ) – ( -x + 5 ) = 7x – 8
3. Dạng: Tính giá trị của biến trong Đẳng thức có chứa dấu GTTĐ:
Bài 3 : Tìm x . Biết 2 / 3x – 1 / + 1 = 5
Giải : Ta có / 3x - 1 / = 2 Nên 3x – 1 = +2 và -2
Xét cả hai trường hợp :
a/ 3x – 1 = 2 => x = 1
b/ 3x - 1 = 2 => x = -
1
3
Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )?
Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A/
/ A / = A <=> A  0 Do đó (1) xảy ra 4 trường hợp :
a/ a = 0 thì b tùy ý
b/ b = 2 thì a tùy ý
c/ a > 0 thì b < 2
d/ a < 0 thì b > 2
Bài 5 : Tìm các số a , b sao cho a + b = / a / - / b / (1)
HD: Xét 4 trường hợp :
a/ a  0, b > 0 thì (1) a + b = a – b <=> b = - b (không xảy ra )
b/ a  0, b  0 thì (1) a = b = a + b <=> Đẳng thức nầy luôn luôn
đúng.Vậy : a  0, b  0 thỏa mãn bài toán .
c/ a < 0 , b > 0 thì (1) a + b = -a – b <=> a = - b . Vây a < 0 và
b = -a thỏa mãn bài toán .
d/ a < 0 , b  0 thì (1) a + b = -a + b <=> a = -a ( không xảy ra )
Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a  0, b  0 hoặc a < 0 , b > 0
4. Dạng Tìm GTNN , GTLN của biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối :
Bài 6: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x – 1 / - 4
Với mọi x ta có / 3x – 1 /  0 => 2 / 3x – 1 /  0
Do đó 2 / 3x - 1 / - 4  - 4
Vậy GTNN của A = -4 tại 3x – 1 = 0 <=> x = 1/3
b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x /
HD: B đạt GTNN bằng 1,5 tại=2
42
c/ Tìm GTNN của C = /x-3/

HD:Ta có x 0  / x  3/  0  GTNN  0
Bài 7: a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 /
Với mọi x ta có / x – 2 /  0 => - / 4 / x - 2 /  10
Do đó 10- - 4 / x - 2 /  10
Vậy GTLN của B = 10 tại x = 2
b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 /
HD: C= - /x+2/ 0  GTLN  0khix  2
c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/
HD: D = 1-/2x-3/ 1  GTLNlla0khix  3/ 2
43
Bài 8: Tìm GTNN của C =
6
x 
/ / 3
với x là số nguyên
- Xét / x / > 3 => C > 0
- Xét / x / < 3 => / x / = 0;1hoặc 2 => c = -2 ;-3 hoặc -6
Vậy GTNN của C = -6 <=> x = 2 ; -2 .
Bài 9 Tìm GTLN của C = x - / x /
- Xét x  0 => C = x - x = 0 (1)
- Xét x < 0 => C = x – (- x ) = 2x < 0 (2)
Từ (1) và (2) ta thấy C  0
Vậy GTLN của C = 0 <=> x  0
Bài 10 : Tìm giá trị biểu thức :
a/ A = 6 x 3 3x 2  2 / x / 4 với x = -2/3 (đs 20/9)
b/ B = 2/x/ - 4/y/ với x = ½ và y = - 3 (đs -8 )
Bài 11 : Rút gọn biểu thức :
a/ 3 (x - 1 ) – 2 / x + 3 / (đs :x – 9 với x  3 ;5x+ 3 với x < 3)
b/ 2 / x – 3 / - / 4x - 1 / (đs: = 2x+5 với x < ¼ ; Bằng -6x+7 với
¼  x < 3và bằng -2x -5 với x  3.
Bài 12 : Tìm GTNN của các biểu thức :
a / A = 2 / 3x – 2 / - 1 => GTNN của A = -1 <=> x = 2/3
b/ B = 5 / 1 – 4x / - 1 => GTNN của B = -1 <=> x = 1/4

c/ C = x 2 + 3 / y – 2 / - 1 => GTNN của C = -1 <=> x = 0 ; y = 2
d/ D = x + / x / ( xét x > 0 ;c < 0) => GTNN của D = 0 <=> x  0
Bài 13: Tìm GTLN của các biểu thức :
e/ E = 5 - / 2x - 1 / => GTLN của E = 5 <=> x = 1/2
1 G x 2  1 2
2 nhỏ nhất . Mà
1  x  Tìm khoảng gía trị nào của x thì biểu
44
f/ F =
1
x  
/ 2 / 3
=> GTLN của F =1/3 <=> x =2
g/ G =
x  với x là số nguyên
2
x
/ /
HD : Xét 3 TH : * x  2  C  1
* x = 1 <=> C = 1
* x

x x
  
Ta thấy G lớn nhất khi
x
2 lớn nhất <=> x nhỏ nhất
x
tức x = 1 khi đó G = 3 => GTLN của G = 3 <=> x= 3
BÀI 14: Tìm x sao cho :
a/ / x - 2 / < 4
HD: Ta đã biết /x/ < a <=> -a < x < a
Nên /x-2/<4 < 4 <=> -4 < x - 2 <4
<=> -4+2 < x < 4 + 2
<=> -2 < x < 6
/ / 3
2
Bài 15: Cho A = /x- /
2
thức A không phụ thuộc vào biến x ?
HD: Ta lập bảng xét dấu :
x 1/2 3/2
x - 1/2 - / + 0 +
x -3/2 - 0 - / +
Xét các trường hợp:
 x<1/2 => A =(1/2 - x) - (3/2-x ) = -1
 1/2  x  3/ 2 => A = (x -1/2 )-(3/2 - x ) = 2x -2
 X >3/2 => A = (x -1/2)-(x - 3/2) = 1
Vậy với x < 1/2 hoặc x > 3/2 thì giá trị biểu thức A không
phụ thuộc vào biến x

II.GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC
HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/Phương pháp chung :
Để tìm giá trị của biến trong đẳng thức hoặc Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
là xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối .
Ví dụ 16: Tìm x .Biết rằng :
a/ x 1  x  3  6 (1)
45
GIẢI:
Xét x-1 = 0 <=>x = 1 và xét x-3 = 0 <=> x = 3
x-1< 0 <=> x < 1 x-3 < 0 <=> x < 3
x-1> 0 <=> x > 1 x-3 > 0 <=> x > 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x-1 ; x-3 như sau :
x 1 3
x - 1 - 0 + / +
x - 3 - / - 0 +
Đẳngthức (1) (-x+1)+(-x+3)=6 (x-1)+(3-x)= 6 (x-1)+(x-3) = 6
-2x=2 0x = 4 2x = 10
x=-1 (không có giá trị x = 5
(giá trị nầy thuộc nào thoả mãn (1) ( giá tri nầy thuộc
khoảng đang xét) khoảng đang xét)
Vậy x = -1 và x = 5 thì thoả mãn (1)
b/ x  2  x  5  7
x -2 5
x+2 - 0 + / +
x-5 - / - 0 +
* Xét khoảng x <2 Ta được -2x = 4 <=> x= -2 (loại)
 Xét khoảng-2 x  5 Ta được 0x = -0 đúng với mọi x trong khoảng đang xét .
Vậy -2 x  5

 Xét khoảng x >5 Ta đựoc 2x=10 <=> x = 5 ( loại)
Kết luận: -2 x  5
46
c/ x  3  2x  x  4
x -3 4
x+3 - 0 + / +
x- 4 - / - 0 +
*Xét khoảng x < 3 ta được -2x = 7 <=> x= -3,5( thuộc khoảng đang xét)
*Xét khoảng -3 x  4 ta được 0x = 1=> không có giá trị nào của x thoả mãn.
* Xét khoảng x>4 Ta được -2x = -7 <=>x = 3,5 không thuộc khoảng đang xét .
Kết luận : vậy x = -3,55
Ví dụ 17: Tìm x , Biết: x 1  x  3  x 1 (2)
Tương tự:
 Xét khoảng x< 1 Ta có (2) =>(1-x)+*3-x)<x+1<=>-3x<-3<=>x>1( Giá trị nầy
không thuộc khooảng đang xét)
 Xét khoảng 1 x  3 thì (2)=>(x-1)+(3-x)<x+1<=>2<x+1<=>x>1 => Ta có các
giá trị 1<x  3 (3)
 Xét khoảng x >3 => ta có (x-1)+(x-3)<x+1<=>x<5.
Ta có các giá trị : 3<x<5 (4)
Kết luận: Từ (3) và (4) các giá trị cần tìm là : 3<x<5
2/ Sau đây ta xét một số dạng đặc biệt. Trong những dạng nầy;
để tìm x ngoài phương pháp chung đã nêu ở trên ta có thể giải
bằng cách khác đơngiản hơn.
Dạng 1 f (x) = a ( a là hằng số dương) <=>f(x)= a
Dạng 2 f (x) = g(x) <=>1/g(x) 0 & 2/f(x)= g(x)
Dạng 3 f (x)  g(x) hay f (x) - g(x) = 0 <=>f(x)= g(x)
Dạng 4 f (x) + g(x) = 0 <=> f(x)=0 và g(x) = 0
Dạng 5 f (x) < a ( a là hằng số dương ) <=>-a< f(x)<a
Dạng 6 f (x) > a ( a là hừng số dương) <=>a<f(x)<-a
Cách giải từng dạng như sau :

Dạng 1 f (x) = a ( a là hằng số dương)
Ta lần lượt xét f(x) = a và f(x) = -a
Mỗi lần tìm được một giá trị của x ta được một đáp số.
x x
5 4 3 5 7 2; 12
          
       
x x x
x x
1 2 5
  
 0  x  3
x x
9  7  5 
3

  
47
BÀI 18: Tìm x . Biết :
a/ 5x  4  7  26
HD: Ta có : 5x+4 = 19 và 5x+4 = -19
5x = 15 5x = -23
x = 3 x = -23/5 = -4,6
Vậy x = 3 ; -4,6
b/ 39  2x 17  16
HD: ....<=> x=-1 và x = 10.
c/ 3 - 4 5  6x  7
HD: 5  6x  1  Không có giá trị nào của x thoả mãn
d/ x  5  4  3
Hướng dẫn: - Ta có: x  5  4  3.
- Xét
5 4 3 5 1 4; 6
Dạng 2 f (x) = g(x)
Ta phải tìm x phải thoả mãn cả hai điêù kiện:
1/ g(x)  0
2/ f(x) = g(x) hoặc f(x) = - g(x)
Bài 19: Tìm x .
a/ Biết: x 1  2x  5
- Xét điều kiện thứ nhất: 2x-5  0  x  2,5
- Xét điều kiện thứ hai
  
x 
t mdk


  
   
4( / (1)
2( (1)
1 2 5
x khongtmdk
x x
Vậy x = 4
b/ Biết: 9  7x  5x  3.
- Xét điều kiện thứ nhất 5x-3
5
x tmdk


- Xét điều kiện thứ hai 

 
1( (1)
3( (1)
9 7 3 5
x tmdk
x x

Vậy x = 1 ; 3
x  13  x   <=> cả hai số hạng đồng thời bằng 0.
x + 13/14 = 0 <=> x = -13/14 và x- 3/7 = 0 <=>x=3/7.
48
c/ Biết: 8x  4x 1  x  2
...<=> 4x 17x  2  x  1
Dạng 3 f (x)  g(x) hay f (x) - g(x) = 0
Ta phải tìm x thoả mãn hai điều kiện f(x) = g(x)
hoặc f(x) =-g(x)
BÀI 20 : Tìm x .
a/ Biết: 17x  5  17x  5  0
HD: Ta có 17x-5 = 17x +5 Hoặc 17x-5 = -17x - 5
17x-17x = 5+5 17x+17x = -5+5
0 x = 10 34x = 0
Vô nghiệm x = 0
Vậy x = 0
b/ Biết: / 3x+ 4 / = 2 / 2x - 9 /
HD: 3x  4  2 2x  9 ....<=> x =22 và 2
Dạng 4. f (x)  g(x)  0
Ta phải tìm x thoả mãn 2 điều kiện f(x)=0 và g(x)=0
BÀI 21 : Tìm x .Biết :
x  13  x  3

HD: a/ 0
a/ 0
7
14
3
7
14
Vậy x =
& 3
7
13
14
b/ Tìm cặp số x,y thoả mãn :
x 1,38  2y  4,2  0

1,38 0
 
/  1,38/ 
0
HD: b/ ....<=>   
/ 3 1
99
24  y  
/ 2x  24  y  
/ / 3 7
33
8  y  
/ 0&3 7
33
8  y  
8 /+/3y+ / 0
7  <=>
49

1,38
 

  
 

  
 
2,1
2 4,2 0
/12 4,2 / 0
x
y
y
x
y
x
c/ x2  3x  (x 1)(x  3)  0
x hoac
0 3
x x
( 3) 0

 
HD: c/ 3
1 3
( 1)( 3) 0
 
  
 

  
  
x
x hoac
x x
d/ Tìm cặp số thực x ; y thoả mãn:
/ 2x-0, (24) / + / 3y + 0,1 (55) / = 0
HD: <=> / 2x- .0,1(5) / 0
10
.15
10
<=> / 0
9
/ / 3 1
99
<=> / 2x - / 0
45
Vì: /2x- 0
45
Nên: /2x-
33
45

  

  



 

 
 
2 8
 
x
3 7
 
7
45
33
4
0
45
0
33
y
x
y
Dạng 5. f (x)  a  a  f (x)  a ( a là hằng số dưong)
BÀI 22: Tìm x.
a/ Biết 3x 1  5
HD : a/ 3x 1  5<=> -5 < 3x - 1 < 5
-4 < 3x < 6
-4/3 < x < 2
b/ Biết 10x  7  37

HD:b/ ...<=> -37 < 10x+7 < 37 <=> -4,4 < x < 3
 19  2  x  11
x
15 1 31
13
x

 
50
c/ Biết 3  8x  19
...<=>-19  3-8x
4
Dạng 6. f (x)  a  f(x) > a
f(x) < -a
BÀI 23: Tìm x .
a/ Biết; 15x 1  31
HD: ...... <=>

   

32
 

 

    
2
15
15 1 31
x
x
x
b/ Tìm x . Biết 2x  5  4  25

x
2  5 
21
.......<=> 

   

8
2 5 21
x
x
Bài 24. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thoả mãn điều kiện sau :
a/ x  y  4
HD: Nếu x =0 thì y =  4 ta được 2 cặp số là (0;4)và(0;-4)
Nếu x=  1 thì y =  3 ta được 4 cặp số là ((1;3);(-1;-3);
(1;-3);(-1;3)
Nếu x=  2 thì y =  2 ta được 4 cặp số là :...................
Nếu x=  3 thì y =  1 ta được 4 cặp số là :...................
Nếu x=  4 thì y = 0 ta được 2 cặp số là ....................
Vậy ta được tất cả 16 cặp số thoả mãn đẳng thức đã cho.
b/ x  y  4
HD. Tương tự có tất cả 7 + 10 +6+2 = 25 cặp số thoả mãn BĐT đã cho
BÀI 25:

a/ Tìm x thoả mãn : ( x + 2/3 ) ( 1/4 - x ) > 0
 
2 / 3 0
 
2 / 3 0
2  1 
0
2  1 
0
51
HD:
a/ Cách 1
(x + 2/3 )( 1/4 - x) > 0<=>
 
2 / 3
2 / 3
( )
 
1/ 4
  
1/ 4 0
1/ 4
1/ 4 0
khongthedongthoixayra
x
x
x
x
x
x
x
x
  



  
  


  
 
<=> -2/3 < x < 1/4
Cách 2: Lập bảng xét dấu:
Giá trị x -2/3 1/4
dấu x+3/2 - 0 + / +
dấu 1/4-x + / + 0 -
dấu của B.thức - -2/3 + 1/4 -
Vậy Biểu thức > 0 nếu -2/3 < x < 1/4
2 1 

b/ Tìm x thoả mãn: 0
3

x
x
HD:b/
 3 1/ 2
1/ 2
1/ 2
3
3 0
0
2 
1
2 1
3
( )
1/ 4
3 0
0
3
   
  


 

  
 
 


  


  
 
 

x
x
x
x
x
x
x
x
khongthexayra
x
x
x
x
x
Vậy biểu thức < 0 khi -3 < x < 1/2

Chuyên đề 2:
CHỨNG MINH TAM GiÁC
$1.. TỔNG BA GÓC CỦA TAM GIÁC
Kiến thức cần nhớ :

1- Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180 độ .
2- Trong tam gíác vuông 2 góc nhọ phụ nhau .
3- Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
4- Góc ngoài của tam giác lớn hơn 1 góc trong không kề với nó .
BAÌ 1 a/ Chứng minh tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 độ?(Bằng cách khác
SGK)
b/ Chứng minh tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360 độ ?
c/ Chứng minh góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề ?
BÀI 2: a/ Tính tổng các góc ở đỉnh của một ngôi sao năm cạnh ?
b/ Cho  ABC : AC >AB . Vẽ phân giác AD ( D  BC ) Chứng minh :
Góc ADC - góc ADB = góc B - góc C ?
HD. Sử dụng định lý góc ngoài của tam giác .
 và góc I = 90 0 -
52
A
O
I
B
C
D
E
BÀI 3 Cho  ABC có góc A = 
Vẽ tia phân giác BD và CE ( D tuộc AC; E thuộc AB ) cắt nhau tại O .
a/ Tính góc BOC theo  ?
b/ Vẽ phân giác ngoài tại B và C cẳt nhau tại I . Tính góc BIC theo  ?
Hướng dẫn : Tổng quát : Ô = 90 0 +
2

2
BÀI 4 : Tính các góc trong và ngoài của tam giác ABC . Biết Aˆ  Bˆ  Bˆ  Cˆ = 20 0
HD : ..=> Â = Bˆ
+ 200 , C B A B C ˆ ˆ ˆ 20 ˆ ˆ 0      = 3Bˆ
= 180 0 ,
=> Bˆ
= 60 0 , Â = 80 0 ; Cˆ = 40 0 & 1 ˆB
ˆA
= 120 0 , 1
ˆC
=100 0 ; 1
= 140 0
BÀI 5 : Vẽ thêm và dùng định lý góc ngoài . Chứng minh : AÔ B = Aˆ  Bˆ
a A
O
b B
$2. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC
Tam giác Tam giác vuông
TH 1. C-C-C Cạnh huyền + Cạnh góc vuông
TH 2. C-G-C Hai cạnh góc vuông

TH 3. G-C-G Cạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọn
$ 3. TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT :
Tam giác  . Cân  . ĐỀU  VUÔNG  vuông cân
 
 =54+18 =72 độ=>gócE =180–(81+72)= 27
53
I
C
A
B
D
Định
nghĩ
a
A,B,C không
thẳng hàng
 ABC:
AB = AC
 ABC :
AB=BC=AC
ABC :
Aˆ
= 90 0
ABC : Aˆ  900
AB=AC
Qua
n hệ
các
góc
Â+ Bˆ  Cˆ =180
0
Cˆ Aˆ
1 
Cˆ Bˆ
1 
Bˆ  Cˆ
Bˆ
=
180  Aˆ
2
Â=180
Bˆ
0 2
Aˆ  Bˆ  Cˆ  60
0
Bˆ  Cˆ = 900
Bˆ  Cˆ = 45 0
Qua
n hệ
các
cạnh
1 cạnh< Tổng
và > Hiệu
2cạnh còn lại
AB=AC
AB=BC=AC
BC2  AB2  AC2
BC > AB
BC > AC
AB=AC= c
BC= c 2
BÀI 6 : Cho tam giác ABC có Â = 80 độ , Bˆ
= 60 độ . Hai tia phân giác của góc
B và C cắt nhau tại I . Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D . Chứng
minh góc BDC = góc C ?
HD: Tính góc C = 40 độ .
Tính góc BDC = 180 0 –(90 +30)
= 40độ =>gócC =góc
BÀI 7 : Cho tam giác ABC có góc A = 2 Bˆ
và Bˆ
= 3 Cˆ
.
a/ Tính góc A ;B ; C ?
b/ Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại
đỉnh C . Tính góc AEC ?
B HD : a/Qui về góc C =>góc A+B+C =10 Cˆ
=> góc C = 18 0
=> Bˆ
= 54 độ; Â = 108 độ.
b/ Kẻ tia AC x kề bù vơi góc ACB=> góc AC x = 162 độ
A => AC E = 81 độ và
Â 2 = B C
độ .

54
C
E
BÀI 8 : Cho tam giác ABC có các góc A;B;C tỷ lệ với 3;2;1 .Hỏi tam giác ABC là
tam giác gì ?
HD : Ta có góc A:B:C=3:2:1 => góc A =90 độ
=> Tamgiác ABC vuông tại A .
BÀI 9 : Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm . Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp
và AB < BC < CA . Tim độ dài 3 cạnh của tam giác A. Biết ABC  PQR.
A
HD : Gọi độ dài 3 cạnh AB = 2n + 1 ,BC= 2n +3 và
CA = 2n +5 .
Ta có AB+BC+AC= 6n = 12 => n= 2
=>AB= PQ= 5 ;BC=QR=7,CA=RP=9 cm
B C
BÀI 10: Cho góc xÔy . Trên tia O x lấy A , B và trên Oy lấy C,D sao cho OA=OC ;
AB = CD . Chứng minh rằng : a/ ABC  CDA& b / ABD  CDB ?
D
C
HD : ABC  CDA(cgc)& CDB  ABD(cgc)
A B
BÀI 11 : Cho tam giác ABC.Biết AB = 3 cm , BC = 5 cm và CA = 4 cm .Gọi đường
thẳng qua A và song song với BC là a .Đường qua B song song với CA là b và đường
thẳng qua C và song song vơi AB là c . Gọi M,N,P theo thứ tự giao điểm các đường
thẳng b và c ; a và c ; a và b . Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP ?
A HD : Chứng minh ABC  CNA(gcg);ABC  BAP  MCB.
=>Các cạnh của tam giác MNP dài gấp đôi các cạnh
tương ứng của tam giác ABC => MN=2AB = 6cm ;

NP = 2BC = 10 cm và NP =2CA = 8cm .
AMN LMB cgc NA BL
    
( ) => LB = MC = NA .
    
55
B C
M
BÀI 12 : Gọi M trung điểm cạnh BC của tam giác ABC , kẻ BH  AM và
CK AM .
Chứng minh : a/ BH // CK
A b/ M trung điểm của HK
c/ HC // BK ?
H
H D : a/ BH // CK vì cùng vuông góc với AM .
B M C b/ BHM  CKM  MH  MK
c/ HCM  KBM  gocHCB  gocKBC  HC // BK
BÀI 13 : Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn . Người ta vẽ phía ngoài tam giác ấy
ba tam giác đều LMA ; MNB và NLC . Chứng minh rằng : LB = MC = NA ?
HD :
ALN MLC ( cgc )
NA CM
L
A
M N
B
BÀI 14: Cho tamgiác ABC có Â = 90 độ ; Bˆ
= 60 độ . Phân giác góc B;góc C cắt
nhau tai I và AI cắt BC tại M . a/ Chứng minh góc BIC là góc tù ?
b/ Tính góc BIC ?
A HD:a/ Góc I 1 > góc A1 Góc ngoài tam giác BIM
Góc I 2 > góc A 2 góc ngoài tam giác CIM
 góc I > góc A = 90 độ = > góc BIC là góc tù .
C b/ ...=> góc BIC = 180 – 45 = 135 độ .
M
B

BÀI 15 : Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20 độ . Tia phân giác góc A cắt
BC tại D . Tính số đóc góc ADC ? góc ADB ?
Dˆ Bˆ Aˆ Dˆ Cˆ Aˆ Dˆ Dˆ Bˆ Cˆ 1 2    = 20 0
A HD : => Ta có      1 1; 2 2
Dˆ  Dˆ = 180 độ => 1
Mà 1 2
56
ˆD
ˆD
=100 0 , 2
= 80 0
B D C
BÀI 16 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng
AB ( D khác phía C đối với AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC ( E
khác phía B đối với AC ) . Chứng minh rằng : a/ DC = BE ?
b/ DC  BE ?
E HD : a/ ADC  ABE(gcg) => DE = BE
D c./ Gọi H là giao điểm AB với CD và K là giao
A điểm DC với BE. ADH &KBHgocDAH  BKH  900
B C
BÀI 17 : Cho tam giác ABC có góc B = 2 Cˆ
. Tia phân giác góc B cắt AC ở D . Trên
tia đối BD lấy điểm E sao cho BE = AC . Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho
CK = AB . Chứng minh rằng : AE = AK ?
HD : Chứng minh góc ABE = góc ACK
A => ABE  KCA(cgc) => AE = AK .
D
B C K
E
BÀI 18 : Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC . Trên tia
đối tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC . Trên tia đối EB lấy điểm N sao cho
EN = EB . Chứng minh A là trung điểm của MN ?
HD: AKM  BKC(cgc)  gocKAM  gocKBC  AM // BC
AEN  CEB  AN  BC & AN // BC
M A N Mà AM//BC;AN//BC=>M;A;N thẳng hàng (1)
AM=BC;AN=BC=>AM=AN (2)

Từ (1) &(2) => A là trung điểm của MN .
       1   .
57
K E
B C
BÀI 19 : Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại
A là ADB ;ACE có AB = AD ; AC = AE . Kẻ AH vuông góc BC ; DM vuông góc
AH và EN vuông góc AH . Chứng minh rằng
a/ DM = AH
N E b/ MN đi qua trung điểm DE .
D M
A HD : a/ ...=> ADM  BAH  DM  AH
b/ ...=> tương tự câu a => EN=AH =>DM=EN
Chứng minh DM//EN và gọi O giao điểm MN và
B H C DE => DMO  ENO(gcg)  OD  OE .
BÀI 20 : Cho tam giác ABC. gọi D trung điẻm AB và E trung điểm AC. Vẽ điểm F
sao cho E là trung điểm của DF . Chứng minh rằng :
A a/ DB = CF
b/ BDC  FCDˆ
1
D E F c/ DE // BC & DE = BC
2
HD: a/ ...=> AED  CEF (cgc)  AD  CF  BD  CF
B C b/ ...=> DBC  FCD(cgc)
1
c/ ...=> BDC FCD BC DF DE DF DE BC
2
2
BÀI 21 : Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D ; E sao cho AD = BE. Qua
D và E vẽ các đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N . Chứng
minh DM + EN = BC ?
A HD: Qua N vẽđường thẳng //AB cắt BC tại K.Tacó EN//BK
EB//NK nên chứng minh được NK=EB;EN=BK
 AD= NK ( vì cùng bằng EB ).
 Chứng minh ADM  NKC(cgc)  DM  KC
...=>....
E N
B F C

BÀI 22 : Cho tam giác ABC có Â = 60 0 . Các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại
I và cắt AC ; AB theo thứ tự D ; E . Chứng minh : ID = IE ?
ˆ ˆ ˆ ˆ  120


B  C  B C
A HD : ...=> 0
1 1 60
BIC : BIˆC  1200  Iˆ  Iˆ  60
BIE BIK ( gcg )
IE IK
      
    
ˆ BAˆC 
ˆBKC
BDC  ?
KGB & AGC  Kˆ  Bˆ  Aˆ  Cˆ (1)
KHC &DHB  Kˆ  Cˆ  Dˆ  Bˆ (2)
58
2
2
0
1 4
1 2 BIˆC  Iˆ  Iˆ  60
E I D IK phân giác 0
CDI CIK ( gcg )
ID IK ID IE
B K C
BÀI 23 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E . Các tia phân giác ACˆE & DBˆE
cắt nhau ở K . Chứng minh :
2
K
D
HD: Gọi K là giao điểm CK&BE. H là giao điểm BK&DE
A H Xét 1 1
G Xét 2 2
E Từ (1) &(2) => 2 Kˆ  Aˆ  Dˆ =>
ˆ Aˆ 
ˆ K
D2

C B

BÀI 24 : Cho tam giác ABC với M trung điểm BC . Trên nửa nặt phẳng không
chứa C bờ AB vẽ A x vuông góc AB và lấy D sao cho AD = AB . Trên nửa mặt
phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vuông góc AC và lấy AE = AC .
Chứng minh : a/ AM =
DAE  A  0 viA  A  (1)
ABˆK  DAˆE  ABK  DAE  AK  DE  AM  DE
59
1 ED
2
b/ AM  DE
H E HD :a/ Để chứng tỏ DE = 2AM tạo ra đoạn thẳng gấp đôi
AM bằng cách trên tia đối MA lấy MK = MA và đi
chứng minh DE = AK
- Xét ABK & DAE : AD  AB(gt); AE  BK( AC)
Và ˆ ˆ 180 ( ˆ ˆ 1800 )
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1800 ( ˆ)
1 B  B  B  C  ABK  A  B  C  A  vibuA (2)
Vậy :
2
A
B M C b/ Gọi H là giao điểm AM&DE ; Ta có
BAˆK  DAˆH  900  Dˆ  DAˆH  900  ADˆH  900
BÀi 25 Miền trong góc nhọn xÔy vẽ Oz sao cho xÔz =
1 yÔz .Qua điểm A thuộc
2
Oy vẽ AH vuông góc O x cắt Oz ở B .Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA . Chứng
minh tam gíc AOD cân ?
HD : Để chứng minh AO = AD ta vẽ DE = OB
A Ta thấy : AEˆB  900  ˆ
B& ABˆE  OBˆH  900   AEˆB  A
E => AOB  ADE(cgc) => AO=AD => AOD cân
E D
B
O H h

BÀI 26 : Cho góc xÔz = 120 0 . Oy là tia phân giác xÔz ; Ot là tia phân giác của
góc xÔy . M là điểm miềm trong góc yOz. Vẽ MA vuông góc O x,Vẽ MB vuông góc
Oy,Vẽ MC vuông góc Ot . Chứng minh 0C = MA – MB ?
HĐ: Gọi E , I là giao điểm của MC với Oy;O x.
y =>  EOI đều => OC = EK .
z M Vẽ EH  MA;EK  OI dễ dàng chứng minh được
B MH = MB ; EK = OC
 MA-MB = MA – MH = HA = EK = OC
60
H E
t
C
O I x
A K
BÀI 27 : Cho tam giác cân ABC có Â = 100 độ. Tia phân giác góc B cắt AC ở D.
Chứng minh BC = BD + AD .
1 2 Dˆ  Bˆ  Cˆ  20  40
A HD : Ta có 0 0
 trên cạnh BC lấy các điểm K , E sao cho
BDˆK  600 & BDˆE  800  BDA  BDK(gcg)  DA  DK(1)
Chứng minh tam gíac DKE cân tại D =>DK = DE (2)
Và chứng minh tamgiác DEC cân tại E=>DE=EC (3)
Từ (1),(2).(3) =>AD=EC=> BC = BE+EC=BD+AD
B K E C
BÀI 28 : Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường cao BD ,CE . Trên tia đối BD lấy điểm
I. Trên tia đối CE lấy điểm K sao cho BI = AC , CK = AB .
Chứng minh  AIK vuông cân ?
HD : Ch/minh ABI  KCA(cgc).AI  AK
A Góc AIK=90 độ (vì góc E = góc K (cmt)
Suy ra : tam giác AIK vuông cân
B C

BÀI 29:Cho góc xÔy = 90 độ Lấy điểm A trên O x và điểm B trên Oy . Rồi lấy điểm
E trên tia đối O x và điểm F trên tia Oy sao cho OE =OB và O F = OA .
a/ Chứng minh AB = E F và AB  E F
b/ Gọi M,N là trung điểm AB, E F Chứng minh tam
giác OMN vuông cân ?
HD : a/OAB  Oß E(2 cgv)  AB  E F & AB  E F
b/OMB  ONE(cgc)  OM  ON & gocMOM  90do 
y OMN vuông cân
B
F
ACM  CBN(cgc)  CM  BN &Cˆ  Bˆ
BOCcoBOˆC  1800  (Bˆ  Cˆ )  180  60  120
61
N M
E O A x
BÀI30: Cho tam giác đều ABC, Trên 2 cạnh AB,AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao
cho AM = CN . Gọi O là giao điểm CM và BN . Chứn ninh rằng :
A a/ CM = B N
b/ Số đo góc BOC không đổi khi M và N di động trên
AB,AC thoả mãn điều kiện AM = CN.
M HD: a/ 1 1
b/ 0 0 0
1 2
N
O
B C


Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 7

Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 7

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 7

Similar to Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 7 (20)

More from BOIDUONGTOAN.COM

More from BOIDUONGTOAN.COM (8)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 7