CHUYÊN ĐỀ LŨY THỪA & TỶ LỆ THỨC DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU TOÁN 7 CỰC HAY -HOÀNG THÁI VIỆT TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH,GIÁO VIÊN DẠY THÊM , TÀI LIỆU NÂNG CAO

1. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
a. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên
an
= 43421 aaa .......... (n ∈ N*
)
n thừa số
b. Một số tính chất :
Với a, b, m, n ∈ N
am
. an
= am+n
, am
. an
. ap
= am+n+p
(p ∈ N)
am
: an
= am-n
(a ≠ 0, m > n)
(a.b)m
= am
. bm
(m ≠ 0)
(am
)n
= am.n
(m,n ≠ 0)
Quy ước:
a1
= a
a0
= 1 (a ≠ 0)
Với : x, y ∈ Q; m, n ∈ N; a, b ∈ Z
xn
= 43421 xxx .......... (x ∈ N*
)
n thừa số
n
nn
b
a
b
a
=





(b ≠ 0, n ≠ 0)
xo
= 1
xm
. xn
= xm+n
nm
n
m
x
x
x −
= (x ≠ 0)
x-n
= n
x
1
(x ≠ 0)
(xm
)n
= xm.n
(x.y)m
= xm
. ym
CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA

2. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
2
n
nn
y
x
y
x
=





(y ≠ 0)
c. Kiến thức bổ sung
* Với mọi x, y, z ∈ Q:
x < y <=> x + z < y + z
Với z > 0 thì: x < y <=> x . z < y . z
z < 0 thì: x < y <=> x . z > y . z
* Với x ∈ Q, n ∈ N:
(-x)2n
= x2n
(-x)2n+1
= - x2n+1
* Với a, b ∈ Q;
a > b > 0 => an
> bn
a > b <=> a2n +1
> b2n + 1
a > 1 , m > n > 0 => am
> an
0 < a < 1 , m > n > 0 => am
> an
2. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. Dạng 1: Tìm số chưa biết
2.1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa
*Phương pháp: Đưa về hai luỹ thừa cùng số mũ
Bài 1: Tìm x biết rằng:
a, x3
= -27 b, (2x - 1)3
= 8
c, (x + 2)2
= 16 d, (2x - 3)2
= 9
Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết : x2
= x5
Bài 3 . Tìm số hữu tỉ y biết : (3y - 1)10
= (3y - 1)20
(*)
Bài 3 : Tìm x biết : (x - 5)2
= (1 - 3x)2
Bài 4 : Tìm x và y biết : (3x - 5)100
+ (2y + 1)200
≤ 0 (*)
Bài 5 :Tìm các số nguyên x và y sao cho : (x + 2)2
+ 2(y – 3)2
< 4
BT tương tự (BTTT):
1 . Tìm x biết :
a, (2x – 1)4
= 81 b, (x -2)2
= 1
c, (x - 1)5
= - 32 d, (4x - 3)3
= -125
2 . Tìm y biết :
a, y200
= y b, y2008
= y2010

3. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
3
c, (2y - 1)50
= 2y – 1 d, (
3
y
-5 )2000
= (
3
y
-5 )2008
3 . Tìm a , b ,c biết :
a, (2a + 1)2
+ (b + 3)4
+ (5c - 6)2
≤ 0
b, (a - 7)2
+ (3b + 2)2
+ (4c - 5)6
≤ 0
c, (12a - 9)2
+ (8b + 1)4
+ (c +19)6
≤ 0
d, (7b -3)4
+ (21a - 6)4
+ (18c +5)6
≤ 0
3.1.2 Tìm số mũ , thành phần trong số mũ của lũy thừa.
Phương pháp : Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số
Bài 1 : Tìm n ∈ N biết :
a, 2008n
= 1 c, 32-n
. 16n
= 1024
b, 5n
+ 5n+2
= 650 d, 3-1
.3n
+ 5.3n-1
= 162
Bài 2 : Tìm hai số tự nhiên m , n biết :
2m
+ 2n
= 2m+n
Bài 3 : Tìm các số tự nhiên n sao cho :
a, 3 < 3n
≤ 234
b, 8.16 ≥ 2n
≥ 4
Bài 4 : Tìm số tự nhiên n biết rằng :
415
. 915
< 2n
. 3n
< 1816
. 216
BTTT:
1. Tìm các số nguyên n sao cho
a. 9 . 27n
= 35
b. (23
: 4) . 2n
= 4
c. 3-2
. 34
. 3n
= 37
d. 2-1
. 2n
+ 4. 2n
= 9. 25
2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho :
a. 125.5 ≥ 5n
≥ 5.25 b. (n54
)2
= n
c. 243 ≥ 3n
≥ 9.27 d. 2n+3
2n
=144
3. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng
a. 2x+1
. 3y
= 12x
b. 10x
: 5y
= 20y
4. Tìm số tự nhiên n biết rằng
a. 411
. 2511
≤ 2n
. 5n
≤ 2012
.512
b. n
2
22
666666
.
333
4444
55
555555
555
5555
=
+
+++++
++
+++
3.1.3. Một số trường hợp khác

4. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
4
Bài 1: Tìm x biết:
(x-1) x+2
= (x-1)x+4
(1)
Bài 2 : Tìm x biết :
x(6-x)2003
= (6-x)2003
Bài 3 : Tìm các số tự nhiên a, b biết :
a. 2a
+ 124 = 5b
b. 10a
+ 168 = b2
a) 2a
+ 124 = 5b
(1)
3.2. Dạng 2 : Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa
3.2.1 Tìm một chữ số tận cùng
* Phương pháp : cần nắm được một số nhận xét sau :
+) Tất cả các số có chữ số tận cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6 nâng lên lũy thừa nào ( khác 0)
cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó .
+) Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận
cùng là một trong các chữ số đó .
+) Lưu ý : những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số
tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4 .
Những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là
1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9
+) Chú ý : 24
= 16 74
= 2401 34
= 81 84
=
4096
Bài 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số : 20002008
, 11112008
, 987654321
, 204681012
.
Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án :
20002008
có chữ số tận cùng là chữ số 0
11112008
có chữ số tận cùng là chữ số 1
987654321
có chữ số tận cùng là chữ số 5
204681012
có chữ số tận cùng là chữ số 6.
Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
20072008
, 1358 2008
, 23456
, 5235
, 204208
, 20032005
,
9
9
9 , 4
76
5
,996
, 81975
, 20072007
,

5. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
5
10231024
.
Bài 3 : Cho A = 172008
– 112008
– 32008
. Tìm chữ số hàng đơn vị của A .
Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng , ta phảI tìm chữ số tận cùng của
tong số hạng , rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại .
Bài 4 : Cho M = 1725
+ 244
– 1321
. Chứng tỏ rằng : M M 10
Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ M M 10 ta
chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0 .
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng:
a. A = 24n
– 5 (n ∈ N, n ≥ 1)
b. B = 24n + 2
+ 1 (n ∈ N)
c. C = 74n
– 1 (n ∈ N)
Bài 6 : Chứng tỏ rằng, các số có dạng:
a , A = 122
−
n
chia hết cho 5 (n ∈ N, n ≥ 2)
b , B = 424
+
n
chia hết cho 10 (n ∈ N, n ≥ 1)
c , H = 392
+
n
chia hết cho 2 (n ∈ N, n ≥ 1)
Bài tập luyện tập :
1, Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
22222003
; 20082004
; 20052005
; 20062006
9992003
;
20042004
; 77772005
; 1112006
; 20002000
; 20032005
2, Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n :
a, 34n + 1
+ 2 chia hết cho 5
b, 24n + 1
+ 3 chia hết cho 5
c, 92n + 1
+ 1 chia hết cho 10
3, Chứng tỏ rằng các số có dạng:
a,
n
2
2 +1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n ∈ N, n ≥ 2)
b, 124
+
n
có chữ số tận cùng bằng 7 (n ∈ N, n ≥ 1)
c,
n
2
3 +4 chia hết cho 5 (n ∈ N, n ≥ 2)
d,
n
4
3 - 1 chia hết cho 10 (n ∈ N, n ≥ 1)
4, Tìm chữ số hàng đơn vị của :
a, A = 66661111
+ 11111111
- 665555
b, B = 10n
+ 555n
+ 666n
c, H = 99992n
+9992n+1
+10n
( n ∈ N*
)

6. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
6
d, E = 20084n
+ 20094n
+ 20074n
( n ∈ N*
)
5 . Trong các số sau số nào chia hết cho 2 , cho 5 , cho 10 ?
a, 34n+1
+ 1 (n ∈ N
b, 24n+1
-2 (n ∈ N)
c,
n
2
2 +4 (n ∈ N, n ≥ 2)
d,
n
4
9 - 6 (n ∈ N, n ≥ 1)
6 . Tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên a để a2
+ 1 M 5
7 . Tìm số tự nhiên n để n10
+ 1 M 10
8 . Chứng tỏ rằng , bới mọi số tự nhiên n thì :
a, 3n+2
– 2n+2
+ 3n
– 2n
M 10 (n > 1)
b, 3n+3
+ 2n+3
+ 3n+1
+ 2n+2
M 6
3.2.2 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa .
* Phương pháp : Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa , ta cần chú ý
những số đặc biệt sau :
+) Các số có tận cùng là 01 , 25 , 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng
bằng chính nó .
+) Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có hai
chữ số tận cùng là : 01 ; 25 hoặc 76 .
+) các số 210
; 410
; 165
; 65
; 184
; 242
; 684
; 742
có tận cùng bằng 76 .
+) các số 320
; 910
; 815
; 74
; 512
; 992
có tận cùng là 01 .
+) Số 26n
(n ∈ N, n >1)
Bài 1 : Tìm hai chữ số tận cùng của : 2100
; 3100
Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của :
a, 5151
b, 9999
c, 6666
d, 14101
.
16101
Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của:
a, 512k
; 512k+1
(k∈ N*
)
b, 992n
; 992n+1
;
99
99
99 ; (n∈ N*
)
c, 65n
; 65n+1
;
66
66
6 ; (n∈ N*
)
Bài tập luyện tập:
1. Tìm hai chữ số tận cùng của :

7. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
7
a, 72003
b,
9
9
9 c, 742003
d, 182004
e, 682005
f, 742004
2. Tìm hai chữ số tận cùng của :
a, 492n
; 492n+1
(n∈ N)
b, 24n
. 38n
(n∈ N)
c, 23n
. 3n
; 23n+3
. 3n+1
(n∈ N)
d, 742n
; 742n+1
(n∈ N)
3. Chứng tỏ rằng :
a, A = 262n
- 26 M 5 và M 10 ( n∈ N, n > 1)
b, B = 242n+1
+ 76 M 100 (Với n∈ N)
c, M = 512000
. 742000
. 992000
có 2 chữ số tận cùng là 76.
3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên.
*Phương pháp : Chú ý một số điểm sau.
+) Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng
bằng chính số đó.
+) Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625.
Bài 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000
.
Bài 2 : Tìm ba chữ số tận cùng của:
a, 23n
. 47n
(n∈ N*
)
b, 23n+3
. 47n+2
(n∈ N)
Bài 3: Chứng tỏ rằng:
a.
n
4
5 + 375 M 1000 ( n∈ N, n ≥ 1)
b.
n
2
5 - 25 M 100 ( n∈ N, n ≥ 2)
c. 2001n
+ 23n
. 47n
+ 252n
có tận cùng bằng 002
3.3 Dạng 3 : So sánh hai lũy thừa
* Phương pháp : để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có
cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)
+) Lưu ý một số tính chất sau :
Với a , b , m , n∈ N , ta có : a > b an
> bn
∀ n∈ N*
m > n am
> an
(a > 1)
a = 0 hoặc a = 1 thì am
= an
( m.n ≠ 0)

8. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
8
Với A , B là các biểu thức ta có :
An
> Bn
A > B > 0
Am
> An
=> m > n và A > 1
m < n và 0 < A < 1
Bài 1 : So sánh :
a, 33317
và 33323
b, 200710
và 200810
c, (2008-2007)2009
và (1998 - 1997)1999
Bài 2 : So sánh
a, 2300
và 3200
e, 9920
và 999910
b, 3500
và 7300
f, 111979
và 371320
c, 85
và 3.47
g, 1010
và 48.505
d, 202303
và 303202
h, 199010
+ 1990 9
và 199110
Bài 3 . Chứng tỏ rằng : 527
< 263
< 528
Bài 4 . So sánh :
a, 10750
và 7375
b, 291
và 535
Bài 5 . So sánh :
a, (-32)9
và (-16)13
b, (-5)30
và (-3)50
c, (-32)9
và (-18)13
d, (
16
1−
)100
và (
2
1−
)500
Bài 6 . So sánh A và B biết : A =
12008
12008
2009
2008
+
+
; B =
12008
12008
2008
2007
+
+
Bài 8 . So sánh M và N biết: M =
1100
1100
99
100
+
+
; N =
1100
1100
100
101
+
+
BTTT:
1. b, 521
và 12410
c, 3111
và 1714
d, 421
và 647
e, 291
và 535
g, 544
và 2112
h, 230
+ 330
+ 430
và 3. 2410
2 . So sánh :

9. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
9
a,
2
300
1
và
3
200
1
b,
5
199
1
và
3
300
1
c,
8
4
1






− và
5
8
1






d,
15
10
1






và
20
10
3






3. So sánh :
a, A =
113
113
16
15
+
+
và B =
113
113
17
16
+
+
b, A =
11999
11999
1998
1999
+
+
và B =
11999
11999
1999
2000
+
+
c, A =
1100
1100
99
100
+
+
và B =
1100
1100
68
69
+
+
3.4. Dạng 4: Tính toán trên các lũy thừa.
*Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để
tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán khi
biến đổi.
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a, A = 2710727
2713730
5.25.2
5.25.2
+
+
b, M = ( )
)5()6()6(
)5(
4
++−
−
−
xxx
x
x với x = 7
Bài 2: Chứng tỏ rằng:
a, A = 102008
+ 125 M 45
b, B = 52008
+ 52007
+ 52006
M 31
c, M = 88
+ 220
M 17
d, H = 3135
. 299 – 3136
. 36 M 7
Bài 3 . Cho A = 2+ 22
+ 23
+……+ 260
Chứng tỏ rằng : AM3 , AM7 , AM5
Bài 4: Chứng tỏ rằng :
a, D = 3 + 32
+ 33
+ 34
+……..+ 32007
M 13
b, E = 71
+ 72
+ 73
+ 74
+…. + 74n-1
+ 74n
M 400
Bài 4 : a, Tính tổng : Sn = 1 + a + a2
+ .. + an

10. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
10
b, áp dụng tính các tổng sau:
A = 1 + 3 + 32
+ … + 32008
B = 1 + 2 + 22
+ 23
+ ……+ 21982
C = 71
+ 72
+ 73
+ 74
+…. + 7n-1
+ 7n
Bài 5 : Thu gọn tổng sau : M = 1 - 2 + 22
- 23
+ … + 22008
Mặc dù đã có công thức tính tổng các lũy thừa viết theo quy luật ở bài 4 nhưng khi
tính tổng M thì học sinh không tránh khỏi sự lúng túng với những dấu ‘+’ , ‘-‘ xen kẽ.
Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B ở câu b, bài 4: lấy 2M - M thì sẽ không thu
gọn được tổng M . Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu được : câu b-bài 4, ta tính
hiệu hai biểu thức vì hai biểu thức có những số hạng giống nhau ; còn bài 5 này hai tổng
2M và M lại có những số hạng đối nhau nên ta sẽ xét hiệu của chúng :
M = 1 - 2 + 22
- 23
+ … + 22008
2M= 2 - 22
+ 23
– 24
+ … + 22009
=> 2M + M = 22009
+ 1
=> M =
3
122009
+
Bài 6 . Tính :
a, A = 10032
2
1
.......
2
1
2
1
2
1
++++
b, B = 1+ 50032
5
1
.......
5
1
5
1
5
1
++++
Bài 7 . Tính : B = 1002
- 992
+ 982
– 972
+ ……+22
- 1
Bài 8: Chứng tỏ rằng.
a, H = 1
2008
1
2007
1
..
4
1
3
1
2
1
22222
<+++++
b, K =
2
1
14
1
12
1
10
1
8
1
6
1
4
1
2
1
2222222
<++++++
Bài 9. Chứng tỏ :
a, H = 1
1
.....
2003
1
..
4
1
3
1
2
1
22222
<++++++
n
(n )1,*
≠∈ nN
b, K = 2222222
14
1
12
1
10
1
8
1
6
1
4
1
2
1
++++++ <
2
1
BTTT:
1. Chứng tỏ rằng các biểu thức sau đều viết được dưới dạng số chính phương :
M = 13
+23
Q = 13
+23
+33
+43
+53

11. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
11
N = 13
+23
+33
R = 13
+23
+33
+43
+53
+63
P = 13
+23
+33
+43
K = 13
+23
+33
+43
+53
+63
+73
2. Tính A và B bằng hai cách trở lên:
A = 1+2+22
+23
+24
+…….+2n
(n ∈ N*
)
B = 70
+71
+72
+73
+74
+……+7n+1
(n ∈ N)
3. Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2;
T = 22
+ 22
+ 23
+24
+25
+……+ 22008
4. So sánh :
a, A = 1+2+ 22
+ 23
+24
+25
+……+ 22008
và B = 22009
– 1
b, P = 1 + 3 + 32
+ … + 3200
và Q = 3201
c, E = 1 + x + x2
+ … + x2008
và F = x2009
(x ∈ N*
)
5. Chứng tỏ rằng :
a, 13
+33
+53
+73
M 23
b, 3+33
+35
+37
+……+32n+1
M 30 (n ∈ N*
)
c, 1+5+ 52
+ 53
+…….+ 5403
+5404
M 31
d, 1+4+ 42
+ 43
+44
+……+ 499
và B = 4100
6. Tìm số dư khi chia A cho 7, biết rằng
A = 1+2+ 22
+ 23
+……+ 22008
+ 22002
7. Tính:
a, 3S – 22003
biết S = 1 – 2 + 22
- 23
+……+ 22002
b, E = 2100
– 299
– 298
– 297
- … - 22
- 2 – 1
c, H – K biết: H = 1 + 3+ 32
+ 33
+……+ 320
K = 321
: 2
8. Tìm :
a, Số tự nhiên n biết: 2A + 3 = 3n
Với A = 3+ 32
+ 33
+……+ 3100
b, Chữ số tận cùng của M biết : M = 2+ 22
+ 23
+….. + 220
9. Chứng tỏ rằng :
a, 87
– 218
M 14 h, 122n+1
+ 11n+2
M 133
c, 817
– 279
- 913
M 405 i, 70+71
+72
+73
+…..+7101
M 8
b, 106
– 57 M 59 k, 4+ 42
+ 43
+44
+……+ 416
M 5

12. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
12
d, 1099
+23
M 9 l, 2000+20002
+20003
+ ……+20002008
M 2001
e, 1028
+ 8 M 72 m, 3+ 35
+ 37
+……+ 31991
M 13 và M 41
g, 439
+440
+441
M 28
10. Chứng tỏ rằng
a,
2
1
100
1
..
6
1
4
1
2
1
2222
<++++
b,
4
1
100
1
..
7
1
6
1
5
1
6
1
2222
<++++<
c, A > B với:
A = 82
92
5..551
5..551
++++
++++
B = 82
92
3..331
3..331
++++
++++
NỘI DUNG
1. Lý thuyết Tỷ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỷ số
* Tính chất của tỷ lệ thức:
a c
b d
=
Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức
a c
b d
= suy ra a.d = b.c
Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta các tỷ lệ thức:
a c
b d
= ,
a b
c d
= ,
d c
b a
= ,
d b
c a
=
Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức
a c
b d
= suy ra các tỷ lệ thức:
a b
c d
= ,
d c
b a
= ,
d b
c a
=
* Tính chất của dãy tỷ lệ thức bằng nhau:
Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức
a c
b d
= suy ra các tỷ lệ thức sau:
a a c a c
b b d b d
+ −
= =
+ −
, (b ≠ ± d)
CHUYÊN ĐỀ : TỶ LỆ THỨC – DÃY
TỶ SỐ BẰNG NHAU

13. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
13
Tính chất 2:
a c i
b d j
= = suy ra các tỷ lệ thức sau:
a c c i a c i
b b d j b d j
+ + − +
= =
+ + − +
, (b, d, j ≠ 0)
Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, 7 tức là ta có:
3 5 7
a b c
= =
III./ CÁC DẠNG BÀI TẬP
Tôi xin chia 5 dạng cụ thể sau:
1. Toán chứng minh đẳng thức
2. Toán tìm x, y, z, ...
3. Toán đố
4. Toán về lập tỷ lệ thức
5. Áp dụng và chứng minh bất đẳng thức
A. Loại toán chứng minh đẳng thức
Bài 1. Chứng minh rằng : Nếu 1
a c
b d
= ≠ thì
a b c d
a b c d
+ +
=
− −
với a, b, c, d ≠ 0
Bài 2: Nếu
a c
b d
= thì:
a,
5 3 5 3
5 3 5 3
a b c d
a b c d
+ +
=
− −
b,
2 2
2 2 2 2
7 3 7 3
11 8 11 8
a ab c cd
a b c d
+ +
=
− −
Bài 4: Cho
a c
b d
= CMR
2 2
2 2
ac a c
bd b d
+
=
+
Bài 5: CMR: Nếu
a c
b d
= thì
4 4 4
4 4
a b a b
c d c d
− + 
= 
− + 
Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 thì
a c
b d
=
Bài 7: Cho a, b, c, d là 4 số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện:
2 2
;b ac c bd= = và 3 3 3
0b c d+ + ≠

14. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
14
CM:
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
+ +
=
+ +
Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1)
Trong đó a ; b ; c là các số khác nhau và khác 0 thì:
( ) ( ) ( )
( )
y z z x x y
a b c b c a c a b
− − −
= = ∗
− − −
Bài 9: Cho ( )
bz-cy cx-az ay-bx
1
a b c
= =
CMR:
x y z
a b c
= =
Bài 10. Biết
'
'
a
1
a
b
b
+ = và
'
'
b
1
c
b c
+ =
CMR: abc + a’b’c’ = 0
B. Toán tìm x, y, z
Bài 11. Tìm x, y, z biết:
15 20 28
x y z
= = và 2 3 2 186x y+ − =
Bài 12. Tìm x, y, z cho:
3 4
x y
= và
5 7
y z
= và 2 3 372x y z+ − =
Bài 13. Tìm x, y, z biết
2 3
x y
= và
5 7
y z
= và x + y + z = 98
Bài 14. Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) và x + y –z = 95 (*)
Bài 15. Tìm x, y, z biết:
Bài 16. Tìm x, y, z biết:
a. ( )
1 2 3
1
2 3 4
x y z− − −
= = và 2x + 3y –z = 50
b. ( )
2 2 4
2
3 4 5
x y z
= = và x + y +z = 49
Bài 17. Tìm x; y; z biết rằng:
a.
2 3
x y
= và xy = 54 (2)

15. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
15
b.
5 3
x y
= và 2 2
4x y+ = (x, y > 0)
Bài 18. Tìm các số a1, a2, …a9 biết:
91 2 a 9a 1 a 2
...
9 8 1
−− −
= = = và 1 2 9a a ... a 90+ + + =
Bài 19. Tìm x; y; z biết:
a. ( )
1 2 3 1
1
y z x z x y
x y z x y z
+ + + + + −
= = =
+ +
Bài 20. Tìm x biết rằng:
1 2 1 4 1 6
18 24 6
y y y
x
+ + +
= =
Bài 21. Tìm x, y,z biết rằng:
2 3 5
x y z
= = và xyz = 810
Bài 22. Tìm các số x1, x2, …xn-1, xn biết rằng:
11 2
1 2 1
n n
n n
x xx x
a a a a
−
−
= = ⋅⋅⋅ = = và 1 2 nx x x c+ + ⋅⋅⋅+ =
( 1 1 20,..., 0; ... 0n na a a a a≠ ≠ + + + ≠ )
Bài 23. Tìm các số x; y; z ЄQ biết rằng: ( ) ( ) ( ) ( ): 5 : : 9 3:1: 2:5x y z y z y+ − + + =
Bài 24. Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỷ số giữa số thứ 1 và số thứ 2
là
2
3
; giữa số thứ 1 và số thứ 3 là
4
9
. Tìm 3 số đó?
Bài 25. Tìm x, y biết :
2 1 3 2 2 3 1
5 7 6
x y x y
x
+ − + −
= =
C./ LẬP TỈ LỆ THỨC
Bài 26. Cho
5 6
( 5, 6)
5 6
a b
a b
a b
+ +
= ≠ ≠
− −
tìm ?
a
b
Bài 27. Cho
a
a
4
a b c
e d f
= = = và e - 3d + 2f 0≠

16. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
16
Tìm
3 2
3 2
a b c
d e f
− + −
− +
D./ TOÁN ĐỐ
Bài 28. Có 3 đội A; B; C có tất cả 130 người đi trồng cây. Biết rằng số cây mỗi người
đội A; B; C trồng được theo thứ tự là 2; 3; 4 cây. Biết số cây mỗi đội trồng được như
nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu người đi trồng cây?
Bài 29. Trường có 3 lớp 7, biết
2
3
có số học sinh lớp 7A bằng
3
4
số học sinh 7B và bằng
4
5
số học sinh 7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của 2 lớp kia là 57 bạn.
Tính số học sinh mỗi lớp?
Bài 30. Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số số thứ nhất với
số thứ 2 là
5
9
, của số thứ nhất với số thứ ba là
10
7
.
E./ TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho 2 số hữu tỷ
a
b
và
c
d
với b> 0; d >0.
CM:
a c
ad bc
b d
< ⇔ <
Tính chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thì từ
a c a a c c
b d b b d d
+
< ⇒ < <
+
Tính chất 3: a; b; c là các số dương nên
a, Nếu 1
a
b
< thì
a a c
b b c
+
<
+
b, Nếu 1
a
b
> thì
a a c
b b c
+
>
+
Bài 31. Cho a; b; c; d > 0.
CMR: 1 2
a b c d
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
Bài 32. Cho
a c
b d
< và ; 0b d > CMR: 2 2
a ab cd c
b b d d
+
< <
+