NGUYỄN DUY ANH from RISE Tutors Club

1. By NGUYỄN DUY ANH from RISE Tutors Club
Chuyên đề:
Phương trình tiếp tuyến dạng nâng cao
1.Dạng 1:Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(𝒙 𝟎; 𝒚 𝟎)
- Phương pháp giải:
o Tính 𝑓′(𝑥) = 𝑘 (1)
o Lập phương trình tiếp tuyến 𝑓(𝑥) = 𝑘. (𝑥 − 𝑥0) + 𝑦0 (2)
o Lập hệ phương trình từ phương trình (1),(2)
 Thế k từ phương trình (1) vào phương trình 2,ta sẽ giải ra được 𝑥 
𝑘 Phương trình tiếp tuyến
- Ví dụ:Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥3
− 3𝑥2
+ 5 đi qua điểm
M(
19
12
; 4)
Giải
𝑓′(𝑥) = 6𝑥2
− 6𝑥 = 𝑘 (1)
Phương trình tiếp tuyến của hàm số có dạng:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑘. (𝑥 −
19
12
) + 4(2)
Thế (1) vào (2),ta có phương trình:
2𝑥3
− 3𝑥2
+ 5 = (6𝑥2
− 6𝑥) (𝑥 −
19
12
) + 4(*)
Để hàm số có tiếp tuyến đi qua điểm M(2;1) thì phương trình (*) có nghiệm
2𝑥3
− 3𝑥2
+ 5 = (6𝑥2
− 6𝑥) (𝑥 −
19
12
) + 4=>
 2𝑥3
− 3𝑥2
+ 1 = 6𝑥(𝑥 − 1) (𝑥 −
19
12
)
 (𝑥 − 1)(2𝑥 − 1) = 6𝑥(𝑥 − 1) (𝑥 −
19
12
)
 (𝑥 − 1). [(2𝑥 − 1) − (6𝑥2
−
19
2
𝑥)] = 0
 (𝑥 − 1)(4𝑥2
−
17
2
𝑥 + 1) = 0
 𝑥1 = 1  y = (6. 12
− 6.1) (𝑥 −
19
12
) + 4  y = 4
 𝑥2 = 2  y = (6. 22
− 6.2) (𝑥 −
19
12
) + 4  y = 12x − 15
 𝑥3 =
1
8
 y =
−21
32
(𝑥 −
19
12
) + 4

2. By NGUYỄN DUY ANH from RISE Tutors Club
2.Dạng 2:Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với Ox một
góc α
- Phương pháp giải:
o Gọi M(𝑥0; 𝑦0) là tiếp điểm
o Tính 𝑓′(𝑥)
o |𝑓′(𝑥0)| = tan 𝛼  {
𝑓′(𝑥0) = tan 𝛼
−𝑓′(𝑥0) = tan 𝛼
o Giải ra 𝑥0 𝑦0
- Ví dụ:
1.Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3
− 2𝑥2
+ 2.Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến
tạo với trục Ox 1 góc α = 45
Giải
Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến là M(𝑥0; 𝑦0)
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2
− 4𝑥
{
𝑓′(𝑥) = tan 45
−𝑓′(𝑥) = tan 45
 { 3𝑥2
− 4𝑥 = 1
−3𝑥2
+ 4𝑥 = 1

{
3𝑥2
− 4𝑥 − 1 = 0  {
𝑥 =
2+√7
3
 y =
38−5√7
27
 pttt: y = 1. (x −
2+√7
3
) +
38−5√7
27
𝑥 =
2−√7
3
 y =
38+5√7
27
 pttt: y = 1. (x +
2+√7
3
) +
38+5√7
27
−3𝑥2
+ 4𝑥 − 1 = 0  {
𝑥 = 1  y = 1  pttt: y = −1(x − 1) + 1
𝑥 =
1
3
 y =
49
27
 pttt: y = −1 (x −
1
3
) +
49
27
2.Cho hàm số 𝑦 =
𝑥+2
2𝑥+3
.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M biết tiếp
tuyến cắt Ox,Oy tại A,B và đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ
Giải
Vì A,B là giao điểm của tiếp tuyến với trục Ox,Oy
 ΔOAB vuông tại O
Mà trung trực của AB đi qua gốc tọa độ
Δ OAB vuông cân tại O
Tiếp tuyến tạo với Ox góc 45
Hình minh họa  𝑓′(𝑥0) =
−1
(2𝑥+3)2 = −1  [ 𝑥1=−1
𝑥2=−2
 [ 𝑦1=1
𝑦2=0
Phương trình tiếp tuyến là:
𝑦 = −1(𝑥 + 1) + 1 = −𝑥
𝑦 = −1(𝑥 + 2) = −𝑥 − 2

3. By NGUYỄN DUY ANH from RISE Tutors Club
3.Dạng 3:Viết phương trình tiếp tuyến tạo với đường thẳng
𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 một góc α
- Phương pháp giải
o Gọi M(𝑥0; 𝑦0) là tiếp điểm
o Tính 𝑓′(𝑥)
o Tiếp tuyến tạo với đường thẳng 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 một góc α  |
𝑘−𝑎
1+𝑘𝑎
| = tan 𝛼 [
𝑘−𝑎
1+𝑘𝑎
= tan 𝛼
𝑘−𝑎
1+𝑘𝑎
= − tan 𝛼
o 𝑓′(𝑥0) = 𝑘  giải ra 𝑥0  𝑦0  Phương trình tiếp tuyến
- Ví dụ
1.Cho (C): 𝑦 =
4𝑥−3
𝑥−1
.Viết phương trình tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): 𝑦 = 3𝑥 góc 45*
Giải
Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, khi đó tiếp tuyến tạo với (d) một góc 45* nên:
|
𝒌−𝟑
𝟏+𝒌.𝟑
| = tan 45 = 1  [ 𝑘−3=1+3𝑘
𝑘−3=−1−3𝑘
[
𝑘=−2
𝑘=
1
2
*Với 𝑘 = −2, xét đường thẳng 𝑦 = −2𝑥 + 𝑚 tiếp xúc với (d)

4𝑥−3
𝑥−1
= −2𝑥 + 𝑚  4𝑥 − 3 = (−2𝑥 + 𝑚)(𝑥 − 1) có nghiệm kép
 2𝑥2
+(2 − 𝑚)𝑥 + 𝑚 − 3 = 0  Δ = (2 − 𝑚)2
+ 4.2. (𝑚 − 3) = 0
 𝑚 = 6 ± 2√2
*Với 𝑘 =
−1
2
xét đường thẳng 𝑦 = −
1
2
+ 𝑚 tiếp xúc (d)

4𝑥−3
𝑥−1
= −
1
2
𝑥 + 𝑚
𝑥2
− (2𝑚 − 7)𝑥 + 2𝑚 − 6 = 0
 Δ = (2𝑚 − 7)2
− 4(2𝑚 − 6) = 0  Phương trình vô nghiệm
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là:𝑦 = −2𝑥 + 6 + 2√2
𝑦 = −2𝑥 + 6 − 2√2