Bồi dưỡng Toán lớp 6

1. CHUYÊN ĐỀ 4 - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố, khắc sâu kiến thức về các bài toán chia hết giữa các số, các đa thức
* HS tiếp tục thực hành thành thạo về các bài toán chứng minh chia hết, không chia hết,
sốnguyên tố, số chính phương…
* Vận dụng thành thạo kỹ năng chứng minh về chia hết, không chia hết… vào các bài
toán cụ thể
B. KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN:
I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết
1. Kiến thức:
* Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một nhân
tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi
một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó
* Chú ý:
+ Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k
+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho
m
+ Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì:
2. Bài tập:
2.1. Các bài toán
Bài 1: chứng minh rằng
a) 251
- 1 chia hết cho 7 b) 270
+ 370
chia hết cho 13
c) 1719
+ 1917
chia hết cho 18 d) 3663
- 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37
e) 24n
-1 chia hết cho 15 với n N
Giải
+) an
- bn
chia hết cho a - b (a  - b)
+) a2n + 1
+ b2n + 1
chia hết cho a + b
+ (a + b)n
= B(a) + bn
+) (a + 1)n
là BS(a )+ 1
+)(a - 1)2n
là B(a) + 1
+) (a - 1)2n + 1
là B(a) - 1

2. a) 251
- 1 = (23
)17
- 1  23
- 1 = 7
b) 270
+ 370
(22
)35
+ (32
)35
= 435
+ 935
 4 + 9 = 13
c) 1719
+ 1917
= (1719
+ 1) + (1917
- 1)
1719
+ 1  17 + 1 = 18 và 1917
- 1  19 - 1 = 18 nên (1719
+ 1) + (1917
- 1)
hay 1719
+ 1917
 18
d) 3663
- 1  36 - 1 = 35  7
3663
- 1 = (3663
+ 1) - 2 chi cho 37 dư - 2
e) 2 4n
- 1 = (24
) n
- 1  24
- 1 = 15
Bài 2: chứng minh rằng
a) n5
- n chia hết cho 30 với n  N ;
b) n4
-10n2
+ 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n Z
c) 10n
+18n -28 chia hết cho 27 với n N ;
Giải:
a) n5
- n = n(n4
- 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2
+ 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2
+ 1) chia hết cho 6 vì
(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)
Mặt khác n5
- n = n(n2
- 1)(n2
+ 1) = n(n2
- 1).(n2
- 4 + 5) = n(n2
- 1).(n2
- 4 ) + 5n(n2
- 1)
= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2
- 1)
Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5
5n(n2
- 1) chia hết cho 5
Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2
- 1) chia hết cho 5 (**)
Từ (*) và (**) suy ra đpcm
b) Đặt A = n4
-10n2
+ 9 = (n4
-n2
) - (9n2
- 9) = (n2
- 1)(n2
- 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)
Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k  Z) thì
A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2)  A chia hết cho 16 (1)
Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4
nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384
c) 10 n
+18n -28 = ( 10 n
- 9n - 1) + (27n - 27)
+ Ta có: 27n - 27  27 (1)

3. + 10 n
- 9n - 1 = [(
n
9...9 + 1) - 9n - 1] = 
n
9...9 - 9n = 9( 
n
1...1 - n)  27 (2)
vì 9  9 và 
n
1...1 - n  3 do 
n
1...1 - n là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
3. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì
a) a3
- a chia hết cho 3
b) a7
- a chia hết cho 7
Giải
a) a3
- a = a(a2
- 1) = (a - 1) a (a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số
là bội của 3 nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho 3
b) ) a7
- a = a(a6
- 1) = a(a2
- 1)(a2
+ a + 1)(a2
- a + 1)
Nếu a = 7k (k  Z) thì a chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 1 (k Z) thì a2
- 1 = 49k2
+ 14k chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 2 (k Z) thì a2
+ a + 1 = 49k2
+ 35k + 7 chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 3 (k Z) thì a2
- a + 1 = 49k2
+ 35k + 7 chia hết cho 7
Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7
Vậy: a7
- a chia hết cho 7
Bài 4: Chứng minh rằng A = 13
+ 23
+ 33
+ ...+ 1003
chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100
Giải
Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50
Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101
Ta có: A = (13
+ 1003
) + (23
+ 993
) + ... +(503
+ 513
)
= (1 + 100)(12
+ 100 + 1002
) + (2 + 99)(22
+ 2. 99 + 992
) + ... + (50 + 51)(502
+ 50. 51 +
512
) = 101(12
+ 100 + 1002
+ 22
+ 2. 99 + 992
+ ... + 502
+ 50. 51 + 512
) chia hết cho 101 (1)
Lại có: A = (13
+ 993
) + (23
+ 983
) + ... + (503
+ 1003
)
Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B
Bài tập về nhà
Chứng minh rằng:

4. a) a5
– a chia hết cho 5
b) n3
+ 6n2
+ 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn
c) Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr a2
– 1 chia hết cho 24
d) Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3
+ b3
+ c3
chia hết cho 6
e) 20092010
không chia hết cho 2010
f) n2
+ 7n + 22 không chia hết cho 9
Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia
Bài 1:
Tìm số dư khi chia 2100
a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125
Giải
a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23
= 8 = 9 - 1
Ta có : 2100
= 2. (23
)33
= 2.(9 - 1)33
= 2.[B(9) - 1] = B(9) - 2 = B(9) + 7
Vậy: 2100
chia cho 9 thì dư 7
b) Tương tự ta có: 2100
= (210
)10
= 102410
= [B(25) - 1]10
= B(25) + 1
Vậy: 2100
chia chop 25 thì dư 1
c)Sử dụng công thức Niutơn:
2100
= (5 - 1)50
= (550
- 5. 549
+ … +
50.49
2
. 52
- 50 . 5 ) + 1
Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ
lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53
= 125, hai số hạng tiếp theo:
50.49
2
. 52
- 50.5
cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1
Vậy: 2100
= B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dư 1
Bài 2:
Viết số 19951995
thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư
bao nhiêu?
Giải
Đặt 19951995
= a = a1 + a2 + …+ an.
Gọi 3 3 3 3
1 2 3 nS a a + a + ...+ a  = 3 3 3 3
1 2 3 na a + a + ...+ a + a - a

5. = (a1
3
- a1) + (a2
3
- a2) + …+ (an
3
- an) + a
Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ
cần tìm số dư khi chia a cho 6
1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3
Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100
viết trong hệ thập phân
giải
Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2100
cho 1000
Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2100
cho 125
Vận dụng bài 1 ta có 2100
= B(125) + 1 mà 2100
là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chỉ
có thể là 126, 376, 626 hoặc 876
Hiển nhiên 2100
chia hết cho 8 vì 2100
= 1625
chi hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó
chia hết cho 8
trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ có 376 chia hết cho 8
Vậy: 2100
viết trong hệ thập phân có ba chữ số tận cùng là 376
Tổng quát: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của nó là 376
Bài 4: Tìm số dư trong phép chia các số sau cho 7
a) 2222
+ 5555
b)31993
c) 19921993
+ 19941995
d)
1930
2
3
Giải
a) ta có: 2222
+ 5555
= (21 + 1)22
+ (56 – 1)55
= (BS 7 +1)22
+ (BS 7 – 1)55
= BS 7 + 1 + BS 7 - 1 = BS 7 nên 2222
+ 5555
chia 7 dư 0
b) Luỹ thừa của 3 sát với bội của 7 là 33
= BS 7 – 1
Ta thấy 1993 = BS 6 + 1 = 6k + 1, do đó:
31993
= 3 6k + 1
= 3.(33
)2k
= 3(BS 7 – 1)2k
= 3(BS 7 + 1) = BS 7 + 3
c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đó:
19921993
+ 19941995
= (BS 7 – 3)1993
+ (BS 7 – 1)1995
= BS 7 – 31993
+ BS 7 – 1
Theo câu b ta có 31993
= BS 7 + 3 nên
19921993
+ 19941995
= BS 7 – (BS 7 + 3) – 1 = BS 7 – 4 nên chia cho 7 thì dư 3
d)
1930
2
3 = 32860
= 33k + 1
= 3.33k
= 3(BS 7 – 1) = BS 7 – 3 nên chia cho 7 thì dư 4

6. Bài tập về nhà
Tìm số d ư khi:
a) 21994
cho 7
b) 31998
+ 51998
cho 13
c) A = 13
+ 23
+ 33
+ ...+ 993
chia cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 99
Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết
Bài 1: Tìm n  Z để giá trị của biểu thức A = n3
+ 2n2
- 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu
thức B = n2
- n
Giải
Chia A cho B ta có: n3
+ 2n2
- 3n + 2 = (n + 3)(n2
- n) + 2
Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2
- n = n(n - 1) do đó 2 chia hết cho n, ta có:
n 1 - 1 2 - 2
n - 1 0 - 2 1 - 3
n(n - 1) 0 2 2 6
loại loại
Vậy: Để giá trị của biểu thức A = n3
+ 2n2
- 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức
B = n2
- n thì n  1;2 
Bài 2:
a) Tìm n  N để n5
+ 1 chia hết cho n3
+ 1
b) Giải bài toán trên nếu n  Z
Giải
Ta có: n5
+ 1  n3
+ 1  n2
(n3
+ 1) - (n2
- 1)  n3
+ 1  (n + 1)(n - 1)  n3
+ 1
 (n + 1)(n - 1)  (n + 1)(n2
- n + 1)  n - 1  n2
- n + 1 (Vì n + 1  0)
a) Nếu n = 1 thì 0  1
Nếu n > 1 thì n - 1 < n(n - 1) + 1 < n2
- n + 1 nên không thể xẩy ra n - 1  n2
- n + 1
Vậy giá trụ của n tìm được là n = 1
b) n - 1  n2
- n + 1  n(n - 1)  n2
- n + 1  (n2
- n + 1 ) - 1  n2
- n + 1
 1  n2
- n + 1. Có hai trường hợp xẩy ra:

7. + n2
- n + 1 = 1  n(n - 1) = 0 
n 0
n 1

 
(Tm đề bài)
+ n2
- n + 1 = -1  n2
- n + 2 = 0 (Vô nghiệm)
Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho:
a) n2
+ 2n - 4  11 b) 2n3
+ n2
+ 7n + 1  2n - 1
c) n4
- 2n3
+ 2n2
- 2n + 1  n4
- 1 d) n3
- n2
+ 2n + 7  n2
+ 1
Giải
a) Tách n2
+ 2n - 4 thành tổng hai hạng tử trong đó có một hạng tử là B(11)
n2
+ 2n - 4  11  (n2
- 2n - 15) + 11  11  (n - 3)(n + 5) + 11  11
 (n - 3)(n + 5)  11
n 3 11 n = B(11) + 3
n + 5 11 n = B(11) - 5
 
 
 


b) 2n3
+ n2
+ 7n + 1 = (n2
+ n + 4) (2n - 1) + 5
Để 2n3
+ n2
+ 7n + 1  2n - 1 thì 5  2n - 1 hay 2n - 1 là Ư(5)
2n 1 = - 5 n = - 2
2n 1 = -1 n = 0
2n 1 = 1 n = 1
2n 1 = 5 n = 3
 
  
 
 
 
Vậy: n  2; 0; 1; 3  thì 2n3
+ n2
+ 7n + 1  2n - 1
c) n4
- 2n3
+ 2n2
- 2n + 1  n4
- 1
Đặt A = n4
- 2n3
+ 2n2
- 2n + 1 = (n4
- n3
) - (n3
- n2
) + (n2
- n) - (n - 1)
= n3
(n - 1) - n2
(n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n3
- n2
+ n - 1) = (n - 1)2
(n2
+ 1)
B = n4
- 1 = (n - 1)(n + 1)(n2
+ 1)
A chia hết cho b nên n   1  A chia hết cho B  n - 1  n + 1  (n + 1) - 2  n + 1
 2  n + 1 

n = -3n 1 = - 2
n = - 2n 1 = - 1
n = 0n 1 = 1
n 1 = 2 n = 1 (khong Tm)

   
 

  
Vậy: n   3; 2; 0  thì n4
- 2n3
+ 2n2
- 2n + 1  n4
- 1
d) Chia n3
- n2
+ 2n + 7 cho n2
+ 1 được thương là n - 1, dư n + 8
Để n3
- n2
+ 2n + 7  n2
+ 1 thì n + 8  n2
+ 1  (n + 8)(n - 8)  n2
+ 1  65  n2
+ 1
Lần lượt cho n2
+ 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta được n bằng 0;  2;  8

8. Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = 8 (T/m)
Vậy: n3
- n2
+ 2n + 7  n2
+ 1 khi n = 0, n = 8
Bài tập về nhà:
Tìm số nguyên n để:
a) n3
– 2 chia hết cho n – 2
b) n3
– 3n2
– 3n – 1 chia hết cho n2
+ n + 1
c)5n
– 2n
chia hết cho 63
Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết
Bài 1: Tìm n  N sao cho 2n
– 1 chia hết cho 7
Giải
Nếu n = 3k ( k  N) thì 2n
– 1 = 23k
– 1 = 8k
- 1 chia hết cho 7
Nếu n = 3k + 1 ( k  N) thì 2n
– 1 = 23k + 1
– 1 = 2(23k
– 1) + 1 = BS 7 + 1
Nếu n = 3k + 2 ( k  N) thì 2n
– 1 = 23k + 2
– 1 = 4(23k
– 1) + 3 = BS 7 + 3
V ậy: 2n
– 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3
Bài 2: Tìm n  N để:
a) 3n
– 1 chia hết cho 8
b) A = 32n + 3
+ 24n + 1
chia hết cho 25
c) 5n
– 2n
chia hết cho 9
Giải
a) Khi n = 2k (k N) thì 3n
– 1 = 32k
– 1 = 9k
– 1 chia hết cho 9 – 1 = 8
Khi n = 2k + 1 (k N) thì 3n
– 1 = 32k + 1
– 1 = 3. (9k
– 1 ) + 2 = BS 8 + 2
Vậy : 3n
– 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k N)
b) A = 32n + 3
+ 24n + 1
= 27 . 32n
+ 2.24n
= (25 + 2) 32n
+ 2.24n
= 25. 32n
+ 2.32n
+ 2.24n
= BS 25 + 2(9n
+ 16n
)
Nếu n = 2k +1(k N) thì 9n
+ 16n
= 92k + 1
+ 162k + 1
chia hết cho 9 + 16 = 25
Nếu n = 2k (k N) thì 9n
có chữ số tận cùng bằng 1 , còn 16n
có chữ số tận cùng bằng 6
suy ra 2((9n
+ 16n
) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia
hết cho 25
c) Nếu n = 3k (k N) thì 5n
– 2n
= 53k
– 23k
chia hết cho 53
– 23
= 117 nên chia hết cho 9

9. Nếu n = 3k + 1 thì 5n
– 2n
= 5.53k
– 2.23k
= 5(53k
– 23k
) + 3. 23k
= BS 9 + 3. 8k
= BS 9 + 3(BS 9 – 1)k
= BS 9 + BS 9 + 3
Tương tự: nếu n = 3k + 2 thì 5n
– 2n
không chia hết cho 9