トーラスと平面の部分集合のホモロジー

1. 3 次元ユークリッド空間R3 = {(x,y,z) | x,y,z ∈ R} 内の部分集合
D = {(x, y, z) ∈ R^3; 𝑥2 + 𝑦2 − 2
2
+ 𝑧2
≤ 1}
T = {(x, y, z) ∈ R^3; 𝑥2 + 𝑦2 − 2
2
+ 𝑧2
=1}
を考える. 以下の問いに答えよ. ただし, R3 の部分集合には R3 の通常の位相
から定ま る相対位相を定め, 以下の設問におけるホモロジー群はすべて整
係数とする. また, 円周, 球面および 2 次元トーラスのホモロジー群は既知
としてよい.
(1){(x, y, z) ∈ T | z ≥ 0} のホモロジー群を求めよ.
(2) C = {(x,y,z) ∈ D | y = 0} とするとき, T ∪C のホモロジー群を求めよ.
(3) D = {(x,y,z) ∈ D | z = 0} とするとき, T ∪D のホモロジー群を求めよ.

2. (1){(x, y, z) ∈ T | z ≥ 0} のホモロジー群を求めよ.
計算
X=(2+cosu)cosv Y=(2+cosu)sinv Z=sinu 0≦u,v≦2πとすればX,Y,ZはTの上を動く、またX=(2+rcosu)cosv Y=(2+rcosu)sinv Z=rsinu 0≦u,v≦2π
0≦r≦1とすればX,Y,Z はD上の点を1対１に表している。(詳しくは[小林昭七]曲線と曲面の微分幾何p46)
0≦Zはつまり0≦u≦πを表していて、これは{(x, y, z) ∈ R^3;1≦ 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 2}と同相である。
({(x, y, z) ∈ T | z ≥ 0} のz成分を０に写す写像)
よってアニュランスと同相となる。このアニュランスのホモロジーは円周と同型であるから、答えはH0=Z H1=Z H2=0
(2) C = {(x,y,z) ∈ D | y = 0} とするとき, T ∪C のホモロジー群を求めよ.
計算
これはトーラスTに２つの円盤 𝑥 − 2 2
+ 𝑧2
≤ 1 𝑥 + 2 2
+ 𝑧2
≤ 1をつけたものであるが、
T ∪Cのy≦0の部分をA、0≦yの部分をB分けると、AとBは球面と同相であり、A∩Bは２つの円盤である。マイヤービートリスの完全系列を使う
と
H2(A∩B)→H2(A)+H2(B)→H2(X)→H1(A∩B)→H1(A)+H1(B)→H1(X)→H0(A∩B)→H0(A)+H0(B)→H0(X)→0
0 Z Z 0 0 0 Z+Z Z Z Z
H0(A∩B)→H0(A)+H0(B)は(i,j)を(i-j.j-i)に移し、そのkerは(k,k)の形をしているのでH1=Z
これからH2=Z+Z H1=Z H0=Z
(3) B = {(x,y,z) ∈ D | z = 0} とするとき, T ∪B のホモロジー群を求めよ.
計算
Tのトーラスに{(x, y, z) ∈ R^3;1≦ 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 2}をつけたものであるが、
T ∪Cのz≦0の部分をA、0≦zの部分をB分けると、AとBはトーラスと同相であり、A∩Bはアニュランスである。マイヤービートリスの完全系列
を使うと
H2(A∩B)→H2(A)+H2(B)→H2(X)→H1(A∩B)→H1(A)+H1(B)→H1(X)→H0(A∩B)→H0(A)+H0(B)→H0(X)→0
0 Z Z Z Z+Z Z+Z Z Z Z Z
H1(A)+H1(B)→H1(X)のkerはH1(A∩B)→H1(A)+H1(B)のImであり、((0,i),(0,i))となっている。
H1(A)+H1(B)→H1(X)のImはH1(X)→H0(A∩B)のkerであるが 、H0(A∩B)→H0(A)+H0(B)が単射であることを考えると、
H1(A)+H1(B)→H1(X)は全射である。
これからH2=Z+Z H1=Z+Z+Z H0=Z