固有値問題

1. [1] a を実数とする.3 次正方行列
𝐴 =
4 1 1
−1 1 0
−2 −1 0
, 𝐵 =
0 1 0
−3 4 0
𝑎 2 1
について,以下の問に答えよ.
(1) 行列 A の固有値と,各固有値に対する固有空間を求め
よ.
(2) B = P−1AP をみたす正則行列 P が存在するための a
の条件を求めよ.

2. [1] a を実数とする.3 次正方行列
𝐴 =
4 1 1
−1 1 0
−2 −1 0
, 𝐵 =
0 1 0
−3 4 0
𝑎 2 1
について,以下の問に答えよ.
(1) 行列 A の固有値と,各固有値に対する固有空間を求め
よ.
計算
𝐴 − 𝜆𝐼 = 𝑑𝑒𝑡
4 − 𝜆 1 1
−1 1 − 𝜆 0
−2 −1 ー𝜆
= 𝑑𝑒𝑡
−2 −1 −𝜆
−1 1 − 𝜆 0
4 − 𝜆 1 1
＝𝑑𝑒𝑡
−2 + 4 − 𝜆2 −1 + 𝜆 0
−1 1 − 𝜆 0
4 − 𝜆 1 1
＝(1ーλ)det 𝜆2 − 4𝜆 + 2 1
−1 1
=(1ーλ)(𝜆2
− 4𝜆 + 3)= 1ー𝜆 2
𝜆 − 3 答え 固有値は１と３
固有空間の計算
固有値１の時
AーI=
3 1 1
−1 0 0
−2 −1 −1
→
0 1 1
1 0 0
0 0 0
答え W1=<
0
1
−1
>
固有値3の時
AーI=
1 1 1
−1 −2 0
−2 −1 −3
→
0 1 1
1 2 0
0 3 −3
→
0 −1 1
1 2 0
0 0 0
答え W1=<,
−2
1
1
>

3. [1] a を実数とする.3 次正方行列
𝐴 =
4 1 1
−1 1 0
−2 −1 0
, 𝐵 =
0 1 0
−3 4 0
𝑎 2 1
について,以下の問に答えよ.
(2) B = P−1AP をみたす正則行列 P が存在するための a
の条件を求めよ.
計算
𝐵 − 𝜆𝐼 = 𝑑𝑒𝑡
−𝜆 1 0
−3 4 − 𝜆 0
𝑎 2 1ー𝜆
=(1ーλ)det
ー𝜆 1
−3 4ー𝜆
=ー(1ーλ)(𝜆2 − 4𝜆 + 3)= 1ー𝜆 2 𝜆 − 3
答え 固有値は１と３
固有空間の計算
固有値１の時
BーI=
−1 1 0
−3 3 0
𝑎 2 0
→
−1 1 0
1 0 0
𝑎 2 0
→
−1 1 0
0 0 0
𝑎 + 2 0 0
a+2=0であれば→𝑄−1
W1=<
1
1
0
,
0
0
1
> dimW1=2
a=2とする。この時Bは対角化可能である。もしB = P−1AP が可能であれば、B=QC𝑄−1(ただしCは対角行列)とで
きることによりB=QC𝑄−1
= 𝑃−1
AP A=PQC𝑄−1
𝑃−1
となりAが対角化可能であることになる。しかしAの固有
空間の次元は２であったからAは対角化できない。よって矛盾する。

4. aが-2でないとする。B−I→
−1 1 0
0 0 0
𝑎 + 2 0 0
→
1 0 0
0 1 0
0 0 0
W1= =<
0
0
1
> dimW1=1
よってAとBは同じジョルダン標準形Jに変形できる。
A=𝑅−1JR B =B=𝑄−1JQ B=𝑄−1 𝑅𝐴𝑅−1 𝑄 したがってaは２以外である。