ラグランジュの未定乗数法

1. R3 の点Pが集合S={(x,y,z)∈R3 :x2
+2yz=1}を動くとき,点P
と点 (−2, 1, 1) との距離の最小値を求めよ.
計算
𝑟2
= 𝑥 + 2 2
+ 𝑦 − 1 2
+ 𝑧 − 1 2
F(x,y,z)=±𝑟2 − 𝜆(x2+2yz-1)
Fx＝±(x+2)-2xλ＝０ λ=±2(x+2)/2x ①
Fy＝±(x-1)-2zλ＝０ λ=±2(y-1)/2x ②
Fx＝±(z-1)-2yλ＝０ λ=±2(z-1)/2x ③
②＝③よりy=zである。よって𝑥2 + 2𝑦2 = 1 ④
①=②からxy+2y=xy-x x=-2y
④から6𝑦2
=1 y=± 1/6 x=∓2 1/6 z=± 1/6
２つの候補を実際に代入して比較すると(−2 1/6, 1/6, 1/6)が最小で𝑟2=6-12 1/6となる。