平面への射影と行列

1. 3次元ユークリッド空間の座標をt(x,y,z)と表す。
平面 x+2y+3z=0に関して、次の問いに答えなさい。
(1)平面に直行する長さ1のベクトルを求めなさい。
答え 1/ 14t(1,2,3)
(2)Aと平面に対して対称な点F(a)をもt目なさい。
またこのFの表現行列を求めなさい。
F(a)=a+knとかける。ただしn=/ 14t(1,2,3)
<F(a),n>+k<n,n>=<b,n>
k=<b,n>-<a,n>
一方a,bの中点は平面上にあるので
<(a+b)/2,n>=0
<b,n>=-<a,n>
よってF(a)=a-2<a,n>n
Ft(1,0,0)=1/7t(6,-2,-3) Ft(0,1,0)=1/7(-2,3,-6) Ft(0,0,1)=1/7t(-3.-6,-2)
表現行列は
6 −2 −3
−2 3 −6
−3 −6 −2
(3)(2)で求めた行列を対角化する直行行列Pを求めなさい。
表現行列の固有値は-1(重解)１
それぞれの固有値を計算することより
P=
1
701/2
51/2
−2 14 1/2
−3
2 5 1/2
141/2
−6
3 5 1/2
0 5