Прикладні задачі з похідною та інтегралом

2. Математичні задачі
традиційно розглядають в
двох аспектах:
як засіб навчання;
як мета навчання.

3. Прикладна задача – задача,
яка виникла поза курсом
математики і розв’язується
математичними методами і
способами, які вивчаються в
шкільному курсі.

4. Мета розв’язування –
відпрацювання навичок
конструювання
математичних моделей
по відповідним реальним
ситуаціям.

5. Для ефективного використання
прикладних задач доцільно
дотримуватись наступних вимог:
максимально активізувати увагу
учнів;
формувати умови задач так, щоб
учні мали можливість простежити за
логікою математичної ситуації;
забезпечувати самостійність учнів.

6. Розширена евристична схема діяльності
математичного моделювання:
1. Попередній аналіз об’єкта дослідження.
2. Побудова математичної моделі.
3. Реалізація математичної моделі математичними
методами.
4. Вибір алгоритму для реалізації моделі на комп’ютері.
5. Вибір програм, що “перекладають” модель на
доступну комп’ютерну мову.
6. Проведення обчислювального експерименту.
7. Аналіз одержаних результатів.

7. Спрощена евристична схема
діяльності математичного
моделювання
1. Попередній аналіз об’єкта дослідження.
2. Побудова математичної моделі.
3. Реалізація математичної моделі
математичними методами.
4. Аналіз одержаних результатів та
перенесення їх на об’єкт, що досліджується.

8. 1.Одну з величин, яку потрібно знайти(або
величину, за допомогою якої можна дати
відповідь на питання задачі) позначають через х;
2. Ту величину, про яку говориться, що вона
найбільша або найменша, виразити як функцію
від х;
3. Дослідити одержану функцію на найбільше чи
найменше значення;
4. Впевнетись, що одержаний результат має зміст
для початкової задачі.

9.  Термін «похідна»
ввів у 1797 р.
французький
математик Жозеф
Луї Лагранж (1736 –
1813 ). Він ввів і
сучасні позначення
для похідної у
вигляді y/ та f/ .
До Лагранжа похідну
за пропозицією
Лейбніца називали
диференціальним
коефіцієнтом .

10.  За допомогою диференціального числення
було розв’язано багато задач теоретичної
механіки, фізики, астрономії. Зокрема,
використовуючи методи диференціального
числення, вчені передбачили повернення
комети Галлея, що стало тріумфом науки XVIII
ст.
 За допомогою цих методів математики у
XVIII ст. вивчали властивості різних кривих,
знайшли криву, по якій найшвидше падає
матеріальна точка, навчилися знаходити
кривину ліній.
 І тепер поняття похідної широко
застосовується у різних галузях науки та
техніки.

11.  Характеризує швидкість зміни функції по
відношенню до зміни незалежної змінної.
 В геометрії характеризує кривизну графіка.
 В механіці – швидкість нерівномірного
прямолінійного руху.
 В біології – швидкість розмноження колонії
мікроорганізмів.
 В економіці – вихід продукту на одиницю
витрат.
 В хімії – швидкість хімічної реакції.

13. 

14. А Б В Г Д
υ
0 t
υ
0 t
υ
0 t
υ
0 t
υ
0 t
s
t0

15. А Б В Г Д
υ
0 t
υ
0 t
υ
0 t
υ
0 t
υ
0 t
s
t0

16. Тіло масою 300 г. рухається
прямолінійно за законом
(x виражено в метрах, t – в
секундах). Знайти силу, що діє на
це тіло, в момент часу t=3 с.
( ) 726 2
−+= tttx

17. Під час виверження вулкану
камені гірської породи
викидаються перпендикулярно
вгору з початковою швидкістю
120 м/с. Якої найбільшої висоти
досягне каміння, якщо опором
вітру можна знехтувати ?

18. Наприклад.
Нехай кількість речовини, що вступила в хімічну реакцію
задається залежністю:
(моль).
Знайти швидкість хімічної реакції через 3 секунди.
Довідка: Швидкістю хімічної реакції називається зміна
концентрації реагуючих речовин за одиницю часу або похідна
від концентрації реагуючих речовин за часом (мовою
математики концентрація була б функцією, а час - аргументом)
Розв’язок : v (t) = с ‘(t); v (t) = t + 3; v (3) = 3+3 = 6. Відповідь: 6
мольс.
( ) 335,0 2
−+= tttc

19. Задача.
Концентрація ліків у крові хворого через t
секунд після ін’єкції задається
формулою
Знайти максимальну концентрацію і
час, коли вона досягається.
( )
( )2
2010
16
+
=
t
t
tc

20. Розв’язання:
= = =
= ;
=0
Звідси, t=2 сек, С(2)=0,02

21. Нехай популяція бактерій в момент t (с) нараховує x(t) осіб .
Знайти швидкість приросту популяції:
а) в довільний момент t,
б) в момент t = 1 c.
Розв’язок:
P = x’(t) = 200t;
P(1) = 200 (с).
Відповідь: 200 с.
2
1003000)( ttx +=

22. Географія

23. Мета – формування
економічної грамотності
засобами математики

24.  Максимального значення R набуде у вершині
параболи
( ) 242 2
++−= pppf
5
1max;1
4
4
;
2
00
=
==
−
−
=−=
RдохідзагальнийТоді
Рприfx
a
b
x

25. 142
++= QQy

26. Інтеграл належить до тих
математичних понять,
походження і розвиток яких
пов’язане з розв’язуванням
прикладних задач.

27. Поняття інтеграла та інтегральне обчислення виникло через
необхідність обчислювати площі будь-яких фігур і
поверхонь та об'ємів довільних тіл.
Символ увів Лейбніц у 1686 році.
Отож, інтеграл — центральне поняття
інтегрального числення,
узагальнення поняття суми для функції,
визначеній на континуумі.
∫

29. ( ) ( ) ( )asbsdttv
b
a
−=∫

30. Фізика і математика допомагали одна одній,
і розвиток їх часто нероздільний. При цьому
іноді фізика випереджала математику, іноді
навпаки, в математиці створювалися цілі
великі розділи «про запас». Фізика
користувалася ними в деяких випадках
набагато пізніше після їх створення.
С.І. Вавилов

31. Шлях, пройдений точкою

38. Середня довжина шляху, який пролітають птахи,
перетинаючи деяку фіксовану ділянку, обчислюється за
формулою:
( ) ( )( )
22
22
R
R
R
ab
dxxfxf
L
b
a ππ
==
−
−
=
∫

39. Дякуємо
за
увагу.