Задатак који су радили Маја Бабић и Милош Ружић, 2010.

1. Легенда о шаху
Милош Ружић, Маја БабићМилош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1

2. Милош Ружић, Маја БабићМилош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1
Сматра се да је шах настао у Кини, али се
верује да се пре 2000 година играо у
Индији
на дрвеној плочи “Чантуранга”.
Измислио га је мудрац Сиси бен Дахир.
Индијски махараџа толико је био
одушевљен новом игром, да је понудио
мудрацу награду какву год зажели.

3. Милош Ружић, Маја БабићМилош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1
Легенда каже да је мудрац затражио жито,
тако да му се на свако од 64 поља на
шаховској табли редом ставља двоструко
више зрна него на претходно поље.
Цар је био лош математичар и помислио
је да низ 1+2+4+8 … зрна и није тако
велики и да ће веома лако испунити жељу
мудраца.

4. Милош Ружић, Маја БабићМилош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1
Шта је цар превидео?
2o
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
Превидео је да се
на сваком следећем
пољу врши множе-
ње бројаева, а не
сабирање.
Ми данас не знамо
да ли су цареви
дворски
математичари
познавали теорију
низова бројева.

5. Милош Ружић, Маја БабићМилош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1
Цареви дворски математичари морали су
(без компјутера или макар дигитрона) да
срачунају збир од 64 члана низа, од којих је
најмањи члан 2o
= 1, а највећи
263
= 9 223 372 036 854 775 808 зрна пшенице.
Цар се натмурио, јер није навикао да се његове
наредбе извршавају тако споро. Увече се цар
још једном занимао да ли је Сета са својом
врећом напустио царски врт. Одговорили су му
да његови математичари раде без одмора и
надају се да ће до сванућа завршити рачун.

6. Милош Ружић, Маја БабићМилош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1
„Зашто оклевате с том испоруком?“ - гневно је подвикнуо
цар. Пре него што сване, све до последњег зрна треба
да буде испоручено Сети. Ја двапут не заповедам.
Ујутро су математичари рекли цару: Савесно смо изрa-
чунали колико зрна пшенице треба да добије Сета.
Тај број је толико велик ...
„Колико велик био да био“, надмено је упао у реч цар,
моје житнице не оскудевају. Награда је обећана и треба је
предати Сети.
Укупан број зрна које цар треба да испоручи Сисију бен
Дахиру износио је 18 446 744 073 709 551 615

7. Милош Ружић, Маја БабићМилош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1
Ако желите да испуните обећање, тада наредите да се сва
земаљска пространства претворе у оранице, наредите да се
исуше сва мора и океани; наредите да се истопи сав лед
и снег који покрива далеке северне крајеве. Нека сва та
пространства буду засејана пшеницом, рекли су цару
дворски математичари.
И све то, што роди на тим пољима, наредите да дају Сети.
Цар је запањено слушао објашњавање математичара.
„Кажи ми тај чудовишни број“, рекао је цар размишљајући.

8. Милош Ружић, Маја БабићМилош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1
Техника рачунања
Ако је цар на прво шаховско поље (N=1) ставио једно зрно
пшенице, то је број 2о
= 1. На сваком следећем пољу изложилац
степена је за 1 мањи од редног броја поља, тако да је на пос-
ледњем, 64. пољу изложилац једнак 63. Основа степена је увек
2, јер на сваком наредном пољу број зрна добијамо множењем
са 2 (дупло више него на претходном).
Колико се брзо повећава вредност степена са великим изло-
жиоцем види се и по томе што је број зрна на 64. пољу готово
једнак збиру бројева зрна на претходна 63 поља.

9. Милош Ружић, Маја БабићМилош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1Поље (N) Степен броја 2 Резултат
1 2N-1
= 2o
1
2 2N-1
= 21
2
3 2N-1
= 22
4
4 2N-1
= 23
8
5 2N-1
= 24
16
6 2N-1
= 25
32
7 2N-1
= 26
64
8 2N-1
= 27
128
9 2N-1
= 28
256
10 2N-1
= 29
512
11 2N-1
= 210
1.024
12 2N-1
= 211
2.048
13 2N-1
= 212
4.096
14 2N-1
= 213
8.192
15 2N-1
= 214
16.384
16 2N-1
= 215
32.768
17 2N-1
= 216
65.536
18 2N-1
= 217
131.072
19 2N-1
= 218
262.144
20 2N-1
= 219
524.288
21 2N-1
= 220
1.048.576
22 2N-1
= 221
2.097.152
23 2N-1
= 222
4.194.304
24 2N-1
= 223
8.388.608
25 2N-1
= 224
16.777.216
26 2N-1
= 225
33.554.432
27 2N-1
= 226
67.108.864
28 2N-1
= 227
134.217.728
29 2N-1
= 228
268.435.456
30 2N-1
= 229
536.870.912
31 2N-1
= 230
1.073.741.824
32 2N-1
= 231
2.147.483.648

10. Милош Ружић, Маја БабићМилош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1
Поље (N) Степен броја 2 Резултат
33 2N-1
= 232
4.294.967.296
34 2N-1
= 233
8.589.934.592
35 2N-1
= 234
17.179.869.184
36 2N-1
= 235
34.359.738.368
37 2N-1
= 236
68.719.476.736
38 2N-1
= 237
137.438.953.472
39 2N-1
= 238
274.877.906.944
40 2N-1
= 239
549.755.813.888
41 2N-1
= 240
1.099.511.627.776
41 2N-1
= 241
2.199.023.255.552
43 2N-1
= 242
4.398.046.511.104
44 2N-1
= 243
8.796.093.022.208
45 2N-1
= 244
17.592.186.044.416
46 2N-1
= 245
35.184.372.088.832
47 2N-1
= 246
70.368.744.177.664
48 2N-1
= 247
140.737.488.355.328
49 2N-1
= 248
281.474.976.710.656
50 2N-1
= 249
562.949.953.421.312
51 2N-1
= 250
1.125.899.906.842.624
52 2N-1
= 251
2.251.799.813.685.248
53 2N-1
= 252
4.503.599.627.370.496
54 2N-1
= 253
9.007.199.254.740.992
55 2N-1
= 254
18.014.398.509.481.984
56 2N-1
= 255
36.028.797.018.963.968
57 2N-1
= 256
72.057.594.037.927.936
58 2N-1
= 257
144.115.188.075.855.872
59 2N-1
= 258
288.230.376.151.711.744
60 2N-1
= 259
576.460.752.303.423.488
61 2N-1
= 260
1.152.921.504.606.846.976
62 2N-1
= 261
2.305.843.009.213.693.952
63 2N-1
= 262
4.611.686.018.427.387.904
64 2N-1
= 263
9.223.372.036.854.775.808
Укупно зрна: 18.446.744.073.709.551.615

11. Милош Ружић, Маја БабићМилош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1
ХВАЛА НА ПАЖЊИ!