Dokument se bavi površinama četverokuta i umjetničkim pravcem kubizma, ističući radove poznatih slikara poput Pabla Picassa i Georgesa Braquea. Objašnjava se razlika između opsega i površine te se iznose formule za izračun površina različitih četverokuta, uključujući pravokutnike, kvadrate, rombove i trapeze. Također se objašnjava primjena formula u kontekstu nastave matematike, uz primjere i dinamičke prikaze.

1. Povr šine četverokuta Pablo Pi c a s so : Tvornica 1909 .

2. Dok se budemo bavili površinama četverokuta, upoznat ćemo nekoliko slavnih slikara koji su u svojoj umjetnosti koristili geometrijske likove. Ovakva umjetnička d j ela pripadaju kubizmu, slikarskom pravcu čiji su začetnici Pablo Picasso i Georges Braque (Žorž Brak).

3. Kubizam je um je tnički pravac u modernoj um j etnosti, koji je imao značajan ut je caj na početak apstraktnog slikarstva. Pi c a s so D j evojka s mandolinom 1910. Pi c a s so Mrtva priroda s vo ćem na stolu 1910. Pi c a s so Wilhelmov portret 1910.

4. Apstraktan (latinska riječ) koji nije opipljiv; koji postoji samo kao pojam; misaon; suprotno od konkretan u matematici : apstraktan broj je broj koji nije praćen mjernom jedinicom u umjetnosti : apstraktna umjetnost je umjetnost koja ne prikazuje vidljivu stvarnost, nego su joj jedini sadržaji crta, bo j a, oblik, površina ili masa. u gramatici : apstraktne imenice zna č e ne š to neopipljivo ( osobin a , osjećaj, stanje...), npr.brzina, dobrota, bol, tuga, sreća, san, um, zvuk, misao, mašta i sl. nazad

5. Osnova kubizma je kocka (eng. cube ), a otuda i naziv kubizam . Naj uočljivija osobina kubističk og s likarstva je geometrijska kristalizacija . Georges Braque Posuda s voćem 1912. Georges Braque Most 1908. Georges Braque Violina i svijećnjak 1910.

6. Kristali nazad

7. Poznati predstavnici kubizma su i Fernand Léger i Juan Gris Juan Gris Portret Pabla Picassa 1912. Fernand Léger Željeznički prijelaz 1919. (Fernand Leže) (Huan Gris)

8. U ovoj prezentaciji bavit ćemo se površinama četverokuta, ovim redosijedom: Površina paralelograma i romba - izvod formule Površina trapeza - izvod formule Općenito o površini. Površina pravokutnika i kvadrata - ponavljanje Površina četverokuta s okomitim dijagonalama - izvod formule i primjena (Kliknite na željeni link...) Sistematizacija - sve formule

9. Površina pravokutnika Pablo Pikaso Kuća u dvorištu 1908 . Nazad na sadržaj

10. Prisjetimo se koja je razlika između opsega i površine. Što opisuje opseg, a što površina lika? Opseg je duljina ruba lika, a površina veličina unutrašnjosti lika. Opseg je duljina rubne crte... a površina veličina svega obojanog. Npr.

11. Mjerne jedinice za opseg su: Koje je veličine centimetar? Pokaži! A kvadratni centimetar, cm 2 ? km, m, dm, cm, mm, ... Mjerne jedinice za površinu su: km 2 , m 2 , dm 2 , cm 2 , mm 2 ... Procijeni kolika bi bila površina lijevog lika! P = 12 cm 2 Kvadratni centimetar: 1 cm 1 cm

12. Kolike su površine sljedećih pravokutnika: P = 4 ∙ 2 = 8 cm 2 P = 5 ∙ 3 = 15 cm 2 P = a ∙ b FORMULA ZA POVRŠINU PRAVOKUTNIKA! 4 cm 2 cm 5 cm 3 cm a b 1 cm 1 cm

13. a – du ljina pravokutnika b – širina pravokutnika Kut između stranica je pravi! Formula za površinu: P = a · b a b Kvadrat spada u pravokutnike. On ima jednake stranice. Njegova površina je: P = a · a a a P = duljina ∙ širina Za pravokutnik i kvadrat vrijedi:

14. Dinamički prikaz: Pravokutnik (cjelobrojne stranice) Kvadrat Pravokutnik (necjelobrojne stranice)

15. Provjerimo jesmo li dobro razumjeli: P = c ∙ d P = x ∙ y P = 4 a P = n ∙ n P = e 1 ∙ f 1 P = g ∙ n P = (a+b) ∙ c P = r ∙ (s+k) P = (x+y) ∙ (a+b) n c d x y x y e 1 f 1 d 1 a 4 a b c r s k x y a b n n n g n x

16. Površina paralelograma Georges Braque Žena s gitarom 1913. Nazad na sadržaj

17. Uočimo stranicu a. Njoj odgovarajuća visina je v a . Kut između stranic e i visine je prav i! Koji smo lik dobili? Kolika je njegova površina? (Pazi na oznake!) Kolika je onda površina početnog paralelograma? P = ? Pravokutnik! P = a · v a a a b b v a

18. A što ako umjesto stranice a promatramo stranicu b? Visina na stranicu b je v b . Kut između njih je pravi! Koji smo lik dobili? Kolika je njegova površina? (Pazi na oznake!) P = ? Pravokutnik! P = b · v b Kolika je onda površina početnog paralelograma? a b a b v b

19. Paralelogram a v a P = a · v a b v b P = b · v b ili Što je zajedničko tim formulama? P = stranica ∙ visina na tu stranicu

20. Paralelogram a v a P = a · v a b v b P = b · v b ili Ako bismo za isti paralelogram površinu računali i po jednoj i po drugoj formuli, što misliš - što bi vrijedilo za dobivene rezultate? Bili bi isti!!! Dakle, obje formule daju isti rezultat! Provjeri to za zadaću na jednom paralelogramu!

21. Paralelogram a v a P = a · v a b v b P = b · v b ili Uobičajeno je pisati i koristiti prvu formulu, P=a∙v a . Druga formula nam ionako govori isto što i prva (samo s drugim oznakama).

22. Romb... Što misliš, koja je formula za površinu romba? Romb spada u paralelograme, pa i za njega vrijedi... v a a P = a a ∙ v a

23. Dinamički prikaz: Paralelogram Romb

24. Uočimo i zapamtimo: Kad računamo površinu, množimo ono što je okomito ! Npr. u prošlim likovima smo imali: pravokutnik P = a ∙ b P = a ∙ a kvadrat a v a b v b paralelogram P = a ∙ v a P = b ∙ v b a v a romb P = a ∙ v a a a b a a

25. Površina trapeza Fernand Léger Mrtva priroda s kriglom piva 1921. Nazad na sadržaj

26. Površina mu je (pazi na oznake) P paral. = (a+c) · v Kakva je površina početnog trapeza u odnosu na površinu tog paralelograma? Na pola manja! Koja je onda fomula za površinu trapeza ? a c c a+c Uočimo osnovice trapeza a i c ? ? Koji lik je nastao? Paralelogram! b d P = ? a ? d ? i visinu v. Opiši što se dogodilo... P = (a + c ) · v 2 v

27. Do iste formule možemo doći i na drugi način: Prerežemo trapez na pola visine... Koji smo lik dobili? Kolika je površina tog paralelograma? (Pazi na oznake!) Kolika je onda površina trapeza? a ? v P = ? Paralelogram! ? c a + c Opiši što se dogodilo... d b P = (a+c)• v 2 v 2 __

28. Trapez d b a c v Dobili smo dvije formule za površinu: Govore li nam one isto, ili su to dvije različite formule? Iste su! U obje zbrajamo osnovice, množimo s visinom i dijelimo s 2. Stoga ćemo pamtiti samo jednu od njih. P = (a + c ) · v 2 P = ( a + c )∙ v 2

29. Dinamički prikaz: Trapez (1) Trapez (2)

30. Kod pravokutnika i paralelograma uočili smo Je li i ovdje tako? Sa čime se množi visina? Sa zbrojem osnovica a i c. A u kakvom je položaju visina u odnosu na osnovice? Visina je okomita na osnovice! Trapez d b a v c Dakle, i ovdje množimo ono što je okomito! da u formulama za površinu množimo ono što je okomito . P = (a + c ) · v 2

31. Površina četverokuta s okomitim dijagonalama Pablo Picasso Čovjek s gitarom 1910. Nazad na sadržaj

32. d b a c Uočimo dijagonale... P = ? Opiši što se dogodilo. Gornji lijevi trokut se udvostručio i zarotirao. Što se sad dogodilo? Je li se time udvostručila i površina cijelog četverokuta? Je. Koji smo lik dobili? Pravokutnik. ? d 1 ? d 2 Koja je formula za površinu tog pravokutnika? (Pazi na oznake!) P pravok. = d 1 ∙ d 2 Svi trokuti su se udvostručili. Kakva je površina početnog četverokuta u odnosu na površinu cijelog pravokutnika? Na pola manja. Koja je onda formula za površinu početnog četverokuta? Množi li se i u ovoj formuli ono što je okomito? Da, dijagonale su okomite. d 1 d 2 d 1 d 2 P= d 1 · d 2 2

33. Dinamički prikaz: Četverokut s okomitim dijagonalama

34. Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: pravokutnik Ima li pravokutnik okomite dijagonale? Nema! Onda na njega ne možemo primijeniti gornju formulu! P= d 1 · d 2 2 a b

35. Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: Ima li kvadrat okomite dijagonale? Ima! Vrijedi li onda za njega gornja formula? kvadrat Vrijedi! Kako ćemo označiti dijagonale? (Jesu li jednake?) d d P= Kako za njega glasi gornja formula? P= d 1 · d 2 2 a a d · d 2

36. Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: Koju formulu za površinu kvadrata znamo od prije? P = a · a Koju od ovih dviju formula trebamo koristiti u zadacima? Ovisi što je zadano. Ako je zadan a , koristit ćemo formulu P= a · a , a ako je zadan d , koristit ćemo formulu P= d d P= kvadrat P= d 1 · d 2 2 d · d 2 . a a d · d 2

37. Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: Koju formulu za površinu kvadrata znamo od prije? A ako su zadani i a i d ? Tada je svejedno koju ćemo formulu koristiti - obje vode do istog rješenja! Provjeri to za zadaću na jednom kvadratu! P = a · a d d P= kvadrat P= d 1 · d 2 2 a a d · d 2

38. Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: Ima li paralelogram okomite dijagonale? Nema! paralelogram Možemo li onda na njega primijeniti gornju formulu? Ne možemo! P= d 1 · d 2 2 a b

39. Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: Ima li romb okomite dijagonale? Ima! Vrijedi li za njega gornja formula? Vrijedi! Kako ćemo označiti dijagonale? (Jesu li jednake?) Kako onda za njega glasi gornja formula? romb d 2 d 1 P= P= d 1 · d 2 2 a a d 1 · d 2 2

40. Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: Koju formulu za površinu romba znamo od prije? P = Koju od ovih dviju formula trebamo koristiti u zadacima? Ovisi što nam je poznato... A ako nam je poznato sve? Onda je svejedno koju formulu koristimo - obje vode do istog rezultata. a ∙ v a romb d 2 d 1 P= P= d 1 · d 2 2 a a v a a a d 1 · d 2 2

41. Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula: Ima li trapez okomite dijagonale? Nema! Možemo li onda na njega primijeniti gornju formulu? trapez Ne možemo! P= d 1 · d 2 2 d b a c

42. Postoji još jedan četverokut koji ima okomite dijagonale... Deltoid - četverokut kojem su dvije i dvije susjedne stranice jednako duge Jesu li njegove dijagonale okomite? Jesu! Kako ćemo označiti dijagonale? (Jesu li jednake?) Kako glasi formula za površinu? d 2 d 1 P = a a b b d 1 · d 2 2

43. Dinamički prikaz: Kvadrat Romb Deltoid

44. Sistematizacija - sve formule P au l Kle e C rveni balon Nazad na sadržaj

45. pravokutnik P = a · b kvadrat P = a · a P = paralelogram P = a · v a P = P = romb a · v a trapez P = deltoid P = a b a a d d d · d 2 a b v a d 1 · d 2 2 a a v a d 2 d 1 d b a c (a+c) · v 2 v a a b b d 2 d 1 d 1 · d 2 2

46. KRAJ Juan Gris Gitara Nazad na sadržaj

47. svibanj 2010. Autorice prezentacije: Jelena Volarov OŠ Đorđe Krstić Beograd Republika Srbija volarovj @ ikomline .net Antonija Horvatek OŠ Josipa Badalića Graberje Ivanićko Republika Hrvatska http://public.carnet.hr/~ahorvate/ [email_address] Autor GeoGebra datoteka: Manuel Sada Španjolska http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/index.htm [email_address]

48. Najtoplije zahvaljujem kolegici Jeleni Volarov na slanju početne varijante prezentacije, nakon čega smo krenule u zajedničku doradu... Ujedno zahvaljujem kolegi Manuelu Sadi na dozvoli da njegove GeoGebra datoteke priložim uz ovu prezentaciju, u neke unesem izmjene, prevedem na hrvatski i objavim na webu. Antonija Horvatek

49. Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima, udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima, radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autora, te vezano uz objavu materijala navesti imena autora (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite materijale, bit će nam drago čuti povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare... Antonija Horvatek [email_address] http://public.carnet.hr/~ ahorvate