2. РОЗ’ЯЗАТИ ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК
ОЗНАЧАЄ:
За відомими його елементами, знайти невідомі
елементи.
Існує 4 типи задач.
Розв’язати прямокутний трикутник:
1. За двома катетами.
2.За гіпотенузою і катетом.
3.За гіпотенузою і гострим кутом.
4.За катетом і протилежним кутом.
Для розв’язання цієї задачі треба знати: теорему Піфагора і
співвідношення між сторонами і кутами прямокутного
трикутника.
Розглянемо окремо ці задачі.

3. Задача1 Знайти невідомі сторони й гострі кути
прямокутного трикутника за двома
катетами: a=3, b=4.
Розв’язання
Хай АС=3, ВС=4. Треба знайти:
гіпотенузу АВ та гострі кути А і В.
Гіпотенузу знайдемо за теоремою Піфагора:
АВ2=АС2+ВС2. Звідси АВ2=32+42;
АВ2=9+16; АВ2=25; АВ = 25 = 5, АВ=5.
Кут А знайдемо із співвідношення: 0,6;
= = 3 =
AB
5
SinA AC
Тоді
ÐА=36052/.
Так як сума гострих кутів прямокутного
трикутника дорівнює 900, то
ÐВ=900-36052/=5308/.

4. Задача2 Знайти невідомі сторони й гострі кути
прямокутного трикутника за гіпотенузою
с=13 і катетом а=5.
Розв’язання
Хай АВ=13 і ВС=5.
Треба знайти катет АС та
гострі кути: А та В.
За теоремою Піфагора: АС2=АВ2-ВС2;
АС2=132-52; АС2=169-25; АС2=144; АС=12.
= = 5 =
AB
Кут А знайдемо із співвідношення: 0,3846 ;
13
SinA BC
Тоді ÐА=22037/; Так як сума гострих кутів прямокутного
трикутника дорівнює 900, то:
ÐВ=900-22037/=67023/.
Відповідь: 12, 22037/, 67023/.

5. Задача3 Знайти невідомі сторони й гострі кути
прямокутного трикутника за гіпотенузою с=2
та гострим кутом a =200.
Розв’язання
Так як сума гострих кутів прямокутного
трикутника дорівнює 900, то:
ÐВ=900-200=700. ÐВ=700.
АС =
АС будемо шукакти із співвідношення: SinB,
АВ
АС = АВ× Sin700 ,
АС=2*0,9397=1,8794 » 1,88; АС=1,88.
ВС = ВС=АВSin200;
ВС шукаємо із співвідношення: SinA;
АВ
BC=2*0,3420=0,6840 » 0,68. ВС=0,68.
Відповідь: 700, 1,88, 0,68.

6. Задача4 Знайти невідомі сторони й гострі кути
прямокутного трикутника за катетом а=3 і
гострим кутом a=30027 / .
Розв’язання
Хай ВС=3 і a =30027/. Треба знайти АС, АВ, ÐВ.
АВ знайдемо із співвідношення:
ВС = 5,92.
SinA;
АВ
АВ ВС 3
АВ=5,92.
= = »
Sin
30027' 0,5068
ВС =
АС знайдемо із співвідношення: tgA;
АС
АС = ВС = 3
»
5,10.
tg
30027' 0,5879
АС=5,10.
Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника 900, то:
ÐВ=900-30027/=59033/. Відповідь: 5,92; 5,10; 59033/.

7. Для тих, хто хоче знати більше:
Задача1 Знайти Х за даними зображеними на
малюнку.
Розв’язання
Треба знайти висоту AD проведену до
сторони трикутника АВС.
Тобто треба знайти AD.
Розглянемо DABD. Він прямокутний.
Тоді із співвідношення AD = SinB ;
Знаходимо, що AD=AB*SinB;
AB
Тобто AD=a Sina.

8. Задача2 Треба знайти сторону прямокутника
AD та його діагональ АС.
Розв’язання
Так як протилежні сторони
прямокутника рівні, тобто:
AB=CD=a.
Розглянемо прямокутний
трикутник ACD.
AC знайдемо із співвідношення:
Sina ,
CD =
AC
AC = a
AC = CD ;
.
Sina
Sina
CD = = =
AD a
tg AD CD
, , .
a a
a
tg
tg
AD

9. Задача3 Знайти Х та У за даними на малюнку.
Розв’язання
Розглянемо прямокутний трикутник
ACD.
Знайдемо АС:
AC = = =
Знайдемо DC:
Cosa , AC ADCosa , AC lCosa ;
AD
DC = = = Розглянемо D АВС:
Sina , DC ADSina , DC lSina ;
AD
.
AC = = = =
AB lCos
a
2 2
,
Sin AB AC
2
2 ,
l
a a
a
a
Sin
Sin
Sin
AB
BC = Sin 2 a . BC = ABSin 2 a . BC = l
× Sin 2 a . BC = l × 2
Sin a × Cos
a
= l ×
Cos
a
.
AB
2
Sin
a
2
Sin
a
BD=BC-DC BD=l*Cosa -– l*Sina = l*(Cosa – Sina )
ÐDAC=ÐBAD=a

10. Задача4 Знайти Х та У за даними малюнка.
Розв’язання
Розглянемо
D CDB:
DB = = =
Cosb , DB CBCosb ,DB bCosb ,
CB
Розглянемо DАСВ:
AC = = =
tgb , AC CBtgb , AC btgb .
CB

11. Задача5 Знайти Х та У за даними малюнка.
Розв’язання
AB =
Розглянемо D АВС: tga ,
AC
.
a
AC = AB =
tg
a tga
DC =
Розглянемо D ADC: Sinb ,
AC
DC = a × =
Sin aSin
b b
DC = ACSinb , .
a tg
a
tg
AD = Cosb ,
AD = ACCosb
, AC
.
AD = a × =
Cos aCos
b b
a tg
a
tg

12. Задача6 Знайти Х за даними малюнка.
Розв’язання
Проведемо ВК ^ AD.
K
Тоді BC=KD=6. BK=CD=2 3
ÐABK=300. Тоді AK =
tg300 ,
BK
2.
AK = BKtg300 = 2 3 × 3 =
3
AD=AK+KD, AD=2+6=8.
Відповідь: 8.

13. Задача7 Знайти Х за даними малюнка.
Розв’язання
Так як трапеція ABCD рівнобічна, то:
AD=BC+2ED.
Знайдемо ED.
Розглянемо D CDE. ÐCDE=600.
CE CE
Тоді = tg600 ,
ED = ;
ED
tg600
ED = 3 = 1.
Тоді AD=5+2*1=7.
3
Відповідь: 7.

14. Задача8 Знайти Х за даними малюнка.
Розв’язання
Розглянемо D ADC: Він прямокутний
Катет DC лежить проти кута 300, а тому
дорівнює половині гіпотенузи АС.
Отже АС=8. Розглянемо D АВС.
Він рівнобедрений. Тому АЕ=ЕС=4.
Розглянемо трикутник АВЕ. Він прямокутний.
ВЕ = BE = AE ×tg300 , .
tg300 ,
АЕ
4 3
3
BE = 4× 3 =
3