2. 1. Короткі відомості про прямокутний
трикутник
2. Приклади розв’язування різних типів
задач з прямокутним трикутником.
3. Для тих хто хоче знати більше

3. РОЗ’ЯЗАТИ ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК
ОЗНАЧАЄ:
За відомими його елементами,
знайти невідомі елементи

4. Існує 4 типи задач.
Розв’язати прямокутний трикутник:
1. За двома катетами.
2.За гіпотенузою і катетом.
3.За гіпотенузою і гострим кутом.
4.За катетом і протилежним кутом.
.

5. Для розв’язання цих задач потрібно знати:
теорему Піфагора і співвідношення між
сторонами і кутами прямокутного трикутника.

6. Знайти невідомі сторони й гострі кути
Задача1 прямокутного трикутника за двома
катетами: a=3, b=4.
Розв’язання
Хай АС=3, ВС=4. Треба знайти:
гіпотенузу АВ та гострі кути А і В.
Гіпотенузу знайдемо за теоремою Піфагора:
АВ2=АС2+ВС2. Звідси АВ2=32+42;
АВ2=9+16; АВ2=25; АВ = 25 = 5, АВ=5.
AC 3
Кут А знайдемо із співвідношення: SinA = = = 0,6;
AB 5
Тоді Так як сума гострих кутів прямокутного
∠А=36052/. трикутника дорівнює 900, то
∠В=900-36052/=5308/.

7. Знайти невідомі сторони й гострі кути
Задача2 прямокутного трикутника за гіпотенузою
с=13 і катетом а=5.
Розв’язання
Треба знайти катет АС та
Хай АВ=13 і ВС=5. гострі кути: А та В.
За теоремою Піфагора: АС2=АВ2-ВС2;
АС2=132-52; АС2=169-25; АС2=144; АС=12.
BC 5
Кут А знайдемо із співвідношення: SinA = = = 0,3846 ;
AB 13
Тоді ∠А=22037/; Так як сума гострих кутів прямокутного
трикутника дорівнює 900, то:
∠В=900-22037/=67023/.
Відповідь: 12, 22037/, 67023/.

8. Знайти невідомі сторони й гострі кути
Задача3 прямокутного трикутника за гіпотенузою с=2
та гострим кутом α =200.
Розв’язання
Так як сума гострих кутів прямокутного
трикутника дорівнює 900, то:
∠В=900-200=700. ∠ В=700.
АС
АС будемо шукакти із співвідношення: = SinB,
АС = АВ ⋅ Sin70 , 0 АВ
АС=2*0,9397=1,8794 ≈ 1,88; АС=1,88.
ВС
ВС шукаємо із співвідношення: = SinA ; ВС=АВSin200;
АВ
BC=2*0,3420=0,6840 ≈ 0,68. ВС=0,68.
Відповідь: 700, 1,88, 0,68.

9. Знайти невідомі сторони й гострі кути
Задача4 прямокутного трикутника за катетом а=3 і
гострим кутом α=30 0 27 / .
Розв’язання
Хай ВС=3 і α =30027/. Треба знайти АС, АВ, ∠В.
АВ знайдемо із співвідношення:
ВС ВС 3
= SinA ; АВ = 0
= ≈ 5,92. АВ=5,92.
АВ Sin30 27' 0,5068
АС знайдемо із співвідношення: ВС
= tgA;
ВС 3 АС
АС = 0
= ≈ 5,10. АС=5,10.
tg 30 27' 0,5879
Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника 900, то:
∠ В=900-30027/=59033/. Відповідь: 5,92; 5,10; 59033/.

10. Для тих, хто хоче знати більше:
Задача1 Знайти Х за даними зображеними на
малюнку.
Розв’язання
Треба знайти висоту AD проведену до
сторони трикутника АВС.
Тобто треба знайти AD.
Розглянемо ∆ABD. Він прямокутний.
AD
Тоді із співвідношення = SinB ; Знаходимо, що AD=AB*SinB;
AB
Тобто AD=a Sinα.

11. Задача2 Треба знайти сторону прямокутника
AD та його діагональ АС.
Розв’язання
Так як протилежні сторони
прямокутника рівні, тобто:
AB=CD=a.
Розглянемо прямокутний
трикутник ACD.
AC знайдемо із співвідношення:
CD a
CD AC = ; AC = .
= Sinα , Sinα Sinα
AC
CD CD a
= tgα , AD = , AD = .
AD tgα tgα

12. Знайти Х та У за даними на малюнку.
Задача3 Розв’язання
Розглянемо прямокутний трикутник
ACD.
Знайдемо АС: ∠ DAC=∠ BAD=α
AC
= Cosα , AC = ADCosα , AC = lCosα ;
AD
Знайдемо DC:
DC
= Sinα , DC = ADSinα , DC = lSinα ; Розглянемо ∆ АВС:
AD
AC AC lCosα l
= Sin 2α , AB = , AB = = .
AB Sin 2α Sin 2α 2Sinα
BC l l ⋅ 2 Sinα ⋅ Cosα
= Sin 2α . BC = ABSin2α . BC = ⋅ Sin2α . BC = = l ⋅ Cosα .
AB 2Sinα 2 Sinα
BD=BC-DC BD=l*Cosα − – l*Sinα = l*(Cosα – Sinα )

13. Задача4 Знайти Х та У за даними малюнка.
Розв’язання
Розглянемо
∆
DBCDB:
= Cosβ , DB = CBCosβ , DB = bCosβ ,
CB
Розглянемо ∆ АСВ:
AC
= tgβ , AC = CBtgβ , AC = btgβ .
CB

14. Задача5 Знайти Х та У за даними малюнка.
Розв’язання
AB
Розглянемо ∆ АВС: = tgα ,
AB a AC
AC = = .
tgα tgα
DC
Розглянемо ∆ ADC: = Sinβ ,
AC
DC = ACSinβ , DC = a ⋅ Sinβ = aSinβ .
AD tgα tgα
= Cosβ , AD = ACCosβ ,
AC
a aCosβ
AD = ⋅ Cosβ = .
tgα tgα

15. Знайти Х за даними малюнка.
Задача6 Розв’язання
Проведемо ВК ⊥ AD.
Тоді BC=KD=6. BK=CD= 2 3
AK
∠ ABK=30 .
0
Тоді = tg 30 0 ,
BK
K
3
AK = BKtg 30 = 2 3 ⋅
0
= 2.
3
AD=AK+KD, AD=2+6=8.
Відповідь: 8.

16. Знайти Х за даними малюнка.
Задача7 Розв’язання
Так як трапеція ABCD рівнобічна, то:
AD=BC+2ED.
Знайдемо ED.
Розглянемо ∆ CDE. ∠ CDE=60 .
0
CE CE
Тоді = tg 60 , ED =
0
0
;
ED tg 60
3
ED = = 1. Тоді AD=5+2*1=7.
3
Відповідь: 7.

17. Знайти Х за даними малюнка.
Задача8 Розв’язання
Розглянемо ∆ ADC: Він прямокутний
Катет DC лежить проти кута 300, а тому
дорівнює половині гіпотенузи АС.
Отже АС=8. Розглянемо ∆ АВС.
Він рівнобедрений. Тому АЕ=ЕС=4.
Розглянемо трикутник АВЕ. Він прямокутний.
ВЕ 3 4 3
= tg 30 , BE = AE ⋅ tg 30 , BE = 4 ⋅
0
0
= .
АЕ 3 3

18. Дякую за увагу!!!

19. Роботу виконала
Радчук Ірина