Презентація "Кути у просторі" матеріал для занять геометрія 10 клас.

1. КУТИ В
ПРОСТОРІ
1. Кут між двома прямими
2. Кут між прямою і площиною
3. Кут між двома площинами

2. Дві прямі у просторі
Не лежать в одній
площині
мимобіжні

a

b
a1
b1
О
(ab)=(a1b1)
a||a1
b||b1
a  b
a  b
Лежать в одній площині
a||b
b
a
a  b

a
b
(ab)=0 (ab)=0 (ab)= 
0<90
b2
(ab)=(ab2) b||b2

3. Якщо дві прямі перетинаються, вони утворюють чотири кути
(попарно вертикальні або попарно суміжні). Кутова міра
меншого з них називається кутом між даними прямими, що
перетинаються. Кут між прямими, що перетинаються, не
перевищує 90° .
Якщо прямі перпендикулярні, то величина кута між цими
прямими дорівнює 90° .
Кут між паралельними прямими вважають таким, що дорівнює
0°. Слід зазначити, що кут між прямими — це не геометрична
фігура, це — величина.
Дві прямі у просторі

4. Точки К і М середини ребер АВ і DC трикутної піраміди DABC, кожне ребро якої
дорівнює а.
Доведіть, що KMАВ. Знайдіть довжину відрізка KM.
М
К

5. Кут між мимобіжними прямими
 Кутом між мимобіжними прямими називається кут між
прямими, які перетинаються і паралельні відповідно даним
мимобіжним прямим.
 Кут між мимобіжними прямими, як і між прямими однієї
площини, не може бути більше 90°. Дві мимобіжні прямі, які
утворюють кут в 90° , називаються перпендикулярними.

a

b
b2
(ab)=(ab2)
b||b2

6. Прямі Взаємне
розміщення
Кут
A1D1 і BC
B1D1 і BB1
AC і A1B1
DC і BB1
АВ1 і AD1
АВ1 і AD
АВ1 і АВ
АС і AC1
АВ1і СD1
A
B C
D
A1
B1 C1
D1

7. Дано зображення куба.
Знайдіть кут між мимобіжними прямими а і b
(Відповідь, а) 90°; б) 45° ; в) 60°; г) 90°; д) 90°; е) 90°.)

8. Пряма і площина у просторі
a
(a )=90
a a||
(a )=0 (a )=0

a
a


a

a
a 
А
О О
В
1. А  a, А 
2. АВ , В 
 (a )= АОВ

9. Кут між прямою і площиною
Якщо пряма паралельна площині або належить їй, то вважають, що кут
між прямою і площиною дорівнює 0°.
Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між ними дорівнює
90°.
У решті випадків кутом між прямою і площиною називають кут між
прямою і її проекцією (ортогональною) на площину.
a
А
О
В


10. Кутом між прямою і площиною
називають кут між цією прямою і її
проєкцією на площину.
a
А
О
В


11. Пряма Площина Кут
B1D ABС
A1D A1AB
АC1 D1DC
A
B C
D
A1
B1 C1
D1

12. Дано зображення куба. Знайдіть кут між площиною АВС і
прямою а
Відповідь, а) 90° ; б) 0°; в) 45° ; г) 45° ; д) arctg
2
1

13. Дві площини простору

 ||
()=0 ()=0
 


()=?

14. фігура, утворена двома півплощинами разом зі
спільною прямою, що їх обмежує.


с
а
b
(ab) – лінійний кут даного двогранного кута

1.   c
2.   =a
3.   =b

15. 

с
а
b
1. С c
2. aс, а , С а
3. bс, b , С b
С
(ab) – лінійний кут

16. 

с
A
B
C
1. A 
2. AB
3. BCс
ACB – лінійний кут

18.  
Кут між двома площинами, які перетинаються,—
це кут між прямими перетину цих площин із
площиною, перпендикулярною до лінії перетину
даних площин.
Якщо площини паралельні, то кут між ними
дорівнює 0°. Якщо площини перпендикулярні, то кут
між ними дорівнює 90°.
Отже, якщо φ — кут між площинами, то 0° φ 90°.

19. Грані Ребро Кут
ABC і B1ВС
A1B1C і ABC
А1BD і ABD
A
B C
D
B1 C1
D1
A1
O

20. Дано зображення куба. Знайдіть кут між площинами АВС і ABD
Відповідь, а) 90° ; б) 45°; в) arctg ; г) 2arctg
2
1
; д) 0°
2
1

23. а

Наочним прикладом паралельного проєктування є відкидання будь-яким об'єктом
(прообраз) у просторі тінь(образ) від сонячних променів (напрямок паралельного
проєктування) на Землі (площина проекцій).

29. Додаткові задачі для
закріплення матеріалу:
№ 10.22, 10.34, 10.42,
10.28, 10.39
Додатковий матеріал з теми можна
знайти в підручнику:
Істер О.С. Математика. Алгебра і
початки аналізу та геометрія. Рівень
стандарту. 10 клас.
§ 10 (п. 4)