Ύπαρξη και μοναδικότητα

1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Ανάλυση LU (συνέχεια)
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
11 Νοεμβρίου 2013

2. Παραγοντοποίηση A = LU
Κάθε τετραγωνικός πίνακας A μπορεί να αναλυθεί
σε γινόμενο ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L με
μονάδες στην διαγώνιο και ενός άνω τριγωνικού
πίνακα U.
Ο L έχει τους πολλαπλασιαστές της απαλοιφής
κάτω απο την διαγώνιο
Ο U τα στοιχεία του A όπως αυτά προκύπτουν
μετά την απαλοιφή

3. Παράδειγμα


−1 −1 1 2
 2
1 −3 6 

A=
 0
0 −1 2 
0
1 −1 4

4. Παράδειγμα



−1 −1 1 2
−1 −1 1 2


 2
1 −3 6 
 →  0 −1 −1 10 
A=
 0
 0

0 −1 2 
0 −1 2
0
1 −1 4
0
1 −1 4


5. Παράδειγμα



−1 −1 1 2
−1 −1 1 2


 2
1 −3 6 
 →  0 −1 −1 10 
A=
 0
 0

0 −1 2 
0 −1 2
0
1 −1 4
0
1 −1 4



−1 −1 1 2
 0 −1 −1 10 

→
 0
0 −1 2 
0
0 −2 14

6. Παράδειγμα



−1 −1 1 2
−1 −1 1 2


 2
1 −3 6 
 →  0 −1 −1 10 
A=
 0
 0

0 −1 2 
0 −1 2
0
1 −1 4
0
1 −1 4



−1 −1 1 2
−1 −1 1 2
 0 −1 −1 10
 0 −1 −1 10 
 →
→
 0
 0
0 −1 2
0 −1 2 
0
0
0 10
0
0 −2 14






7. Παράδειγμα
A = LU


−1 −1 1 2
 2
1 −3 6 


 0
0 −1 2 
0
1 −1 4

8. Παράδειγμα


A = LU

1
0
−1 −1 1 2
 2
1 −3 6   −2 1

 =
 0
0
0 −1 2   0
0 −1
0
1 −1 4
0
0
1
2

−1 −1 1 2
0
0   0 −1 −1 10

0 −1 2
0  0
0
0
0 10
1





9. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU
Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU
παραγοντοποίηση του

10. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU
Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU
παραγοντοποίηση του
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b

11. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU
Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU
παραγοντοποίηση του
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b
Θέτω y = Ux και έχω Ly = b

12. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU
Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU
παραγοντοποίηση του
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b
Θέτω y = Ux και έχω Ly = b
Λύνω το Ly = b για να υπολογίσω το y

13. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU
Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU
παραγοντοποίηση του
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b
Θέτω y = Ux και έχω Ly = b
Λύνω το Ly = b για να υπολογίσω το y
Λύνω το Ux = y για να υπολογίσω το x

14. Παράδειγμα


1
−1 −1 1 2
 6
 2

1 −3 6 
x =
Να λυθεί το 
 1
 0
0 −1 2 
4
0
1 −1 4






15. Παράδειγμα


1
−1 −1 1 2
 6
 2

1 −3 6 
x =
Να λυθεί το 
 1
 0
0 −1 2 
4
0
1 −1 4

 

y1
1
0 0 0
 −2 1 0 0   y2  

=
Ly = b ⇒ 
 0
0 1 0   y3  
y4
0 −1 2 1






1
6 

1 
4

16. Παράδειγμα


1
−1 −1 1 2
 6
 2

1 −3 6 
x =
Να λυθεί το 
 1
 0
0 −1 2 
4
0
1 −1 4

 

y1
1
0 0 0
 −2 1 0 0   y2  

=
Ly = b ⇒ 
 0
0 1 0   y3  
y4
0 −1 2 1







1
1
 8
6 
 ⇒y =
 1
1 
10
4





17. Παράδειγμα


1
−1 −1 1 2
 6
 2

1 −3 6 
x =
Να λυθεί το 
 1
 0
0 −1 2 
4
0
1 −1 4

 

y1
1
0 0 0
 −2 1 0 0   y2  

=
Ly = b ⇒ 
 0
0 1 0   y3  
y4
0 −1 2 1



−1 −1 1 2
x1
 0 −1 −1 10   x2

Ux = y ⇒ 
 0
0 −1 2   x3
x4
0
0
0 10







1
1
 8
6 
 ⇒y =
 1
1 
10
4


1
  8 
=

  1 
10





18. Παράδειγμα


1
−1 −1 1 2
 6
 2

1 −3 6 
x =
Να λυθεί το 
 1
 0
0 −1 2 
4
0
1 −1 4

 

y1
1
0 0 0
 −2 1 0 0   y2  

=
Ly = b ⇒ 
 0
0 1 0   y3  
y4
0 −1 2 1



−1 −1 1 2
x1
 0 −1 −1 10   x2

Ux = y ⇒ 
 0
0 −1 2   x3
x4
0
0
0 10







1
1
 8
6 
 ⇒y =
 1
1 
10
4







1
1
  8 
 1
=


  1  ⇒x = 1
10
1





19. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU


2
1 1
 4 −6 0 
−2 7 2

20. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU


2
1 1
 4 −6 0 
−2 7 2


 
2
1 1
2
1
1
1 0 0
 0 −8 −2  =  −2 1 0   4 −6 0 
0 0 1
−2 7 2
−2 7
2


21. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU


2
1 1
 4 −6 0 
−2 7 2


 
2
1 1
2
1
1
1 0 0
 0 −8 −2  =  −2 1 0   4 −6 0 
0 0 1
−2 7 2
−2 7
2


 


2 1
1
1
0 0
1 0 0
2
1 1
 0 −8 −2  = 
  −2 1 0   4 −6 0
0
1 0
0 8
3
−(−1) 0 1
0 0 1
−2 7 2

22. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU
U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A

23. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU
U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A

24. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU
U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
⇒ E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = E 2,1 (−2)A

25. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU
U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
⇒ E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = E 2,1 (−2)A
⇒ E 2,1 (2)E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = A

26. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU
U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
⇒ E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = E 2,1 (−2)A
⇒ E 2,1 (2)E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = A
⇒ LU = A

27. Απόδειξη Μοναδικότητας LU
Θεώρημα
Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι
μοναδική.
Απόδειξη.
L1 U1 = L2 U2

28. Απόδειξη Μοναδικότητας LU
Θεώρημα
Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι
μοναδική.
Απόδειξη.
L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2
2

29. Απόδειξη Μοναδικότητας LU
Θεώρημα
Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι
μοναδική.
Απόδειξη.
−1
L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1
2
2

30. Απόδειξη Μοναδικότητας LU
Θεώρημα
Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι
μοναδική.
Απόδειξη.
−1
L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1
2
2
Γινόμενο άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω)
τριγωνικός
Αντίστροφος άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω)
τριγωνικός
−1
⇒ L−1 L1 = U2 U1 = D όπου D διαγώνιος
2

31. Απόδειξη Μοναδικότητας LU
Θεώρημα
Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι
μοναδική.
Απόδειξη.
−1
L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1
2
2
Γινόμενο άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω)
τριγωνικός
Αντίστροφος άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω)
τριγωνικός
−1
⇒ L−1 L1 = U2 U1 = D όπου D διαγώνιος
2
−1
⇒ L2 L1 = D ⇒ L1 = L2 D

32. Απόδειξη Μοναδικότητας LU
Θεώρημα
Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι
μοναδική.
Απόδειξη.
−1
L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1
2
2
Γινόμενο άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω)
τριγωνικός
Αντίστροφος άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω)
τριγωνικός
−1
⇒ L−1 L1 = U2 U1 = D όπου D διαγώνιος
2
−1
⇒ L2 L1 = D ⇒ L1 = L2 D
−1
⇒ D = I ⇒ L−1 L1 = U2 U1 = I ⇒ U1 = U2
2