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負の二項分布について

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広島ベイズ塾で発表した,負の二項分布についての資料です。

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負の二項分布について

  1. 1. 負の二項分布 魁!!広島ベイズ塾 @simizu706
  2. 2. 二項分布 • Binomial Distribution – ベルヌーイ試行において,成功率pで試行数n回中に x回成功する確率 – 試行数nを固定すれば,パラメータは成功率pだけに なる • パラメータpの共役事前分布はベータ分布
  3. 3. 負の二項分布 • Negative Binomial Distribution – 離散分布 – 成功率pで,r回成功するまでに必要な試行数の 確率 – 二項分布の成功数と試行数を入れ替えた分布 負の二項分布「私はあと2回の変身を残しています」
  4. 4. 別の表現 • 負の二項分布 – ベルヌーイ試行において,成功率pでr回成功す るまでに必要な失敗回数についての確率 – 普通はこっちのバージョンを使う
  5. 5. 連続変量に拡張 • ガンマ関数を用いて,成功数が整数でなくて もいけるように拡張 – ガンマ関数
  6. 6. 分布感(謎 • Rで負の二項分布を描く x <- rep(0:20) plot(x,dnbinom(x,size = 5,prob=0.5),type="b")
  7. 7. 分布感(謎 • Rで負の二項分布を描く x <- rep(0:20) plot(x,dnbinom(x,size = 5,prob=0.6),type="b")
  8. 8. 分布感(謎 • Rで負の二項分布を描く x <- rep(0:20) plot(x,dnbinom(x,size = 5,prob=0.8),type="b")
  9. 9. 分布の実質科学的な意味 • 二項分布の試行数バージョン – 例えば裸眼の参加者を10人集めたい場合,何人 に声をかければいいか • 裸眼率がわかっていれば,95%以上の確率で裸眼10 人集めるのに必要な人数がわかる • ポアソン分布の過分散推定のため – 統計モデリングでは,ほぼこの目的で使われる
  10. 10. ポアソン分布との関係 • ポアソン分布 – レアな確率で起こる事象がある時間内で起こる 回数についての確率 • 1分で1回起こる事象が5分の間に何回起こるかについ ての確率は,λ=5のポアソン分布に従う
  11. 11. λの変動を考える • λの確率的な変動を考慮したポアソン分布 – λがガンマ分布(gamma(φ, μφ-1))に従うとする • このとき,混合した確率分布は – 負の二項分布になる • 成功率: p = φ / (μ+φ), 成功数: r=φ
  12. 12. ポアソンと負の二項分布 • もともとの負の二項分布 – 成功率pで,r回の成功までの失敗回数yの分布 • ポアソンのλが変動すると考えた分布 – 成功率φ/(μ+φ)で, φ回の成功までの失敗回数y の分布
  13. 13. ポアソンと負の二項分布 • 負の二項分布の平均と分散は・・・ – 平均= μ – 分散= μ + μ2 / φ • 負の二項分布において・・・ – μ=λで,φ=∞のとき,ポアソン分布になる – 平均= λ – 分散= λ + λ2 / ∞ = λ • つまりφ(の逆数)が過分散パラメータになる
  14. 14. ポアソンと負の二項分布 • 負の二項分布 別バージョン plot(x,dnbinom(x,mu=5,size = 1000000),type="b") plot(x,dpois(x,5),type="b")
  15. 15. 負の二項分布の使いどころ • 分散がλより大きいポアソン分布 – ポアソン分布の過分散を考慮した分布 – ポアソンは負の二項分布に完全にネストされてい るので,AICなどの情報量規準による比較が可能 • 過分散を仮定するべきかどうかを知ることができる • ポアソン過程のデータに使える – 単位時間で平均λ回生じる事象が生起する回数 についての確率分布 • ただし,λはガンマ分布に従って変動する
  16. 16. GLMMとの関係 • ポアソン+正規分布のGLMMとの違い – GLMMではlog(λ)を正規分布で推定 – 負の二項分布はλをガンマ分布で推定 – ほとんどAICはかわらない
  17. 17. Stanでの負の二項分布 • neg_binomial(α,β) • neg_binomial2(μ, φ)
  18. 18. 他の分布との関係 • 幾何分布 – 成功率pにおいて,1回成功するまでに必要な試 行数の分布 – r=1の場合の負の二項分布といえる • 一般化ポアソン分布 – ポアソン分布の過小分散も考慮できる分布 – ほとんど使われることはない
  19. 19. まとめ • 負の二項分布 – 二項分布の成功数と試行数のパラメータを逆転 させた分布 – ベルヌーイ試行において,成功率pでr回成功す るまでに必要な失敗回数についての分布 • ポアソン分布+過分散 – GLMの文脈では,平均と分散が等しくない場合の 分布として利用されることが多い

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