Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου [2020]

9,585 views

Published on

Επιμέλεια: Νίκος Σουρμπής αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου [2020]

  1. 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ - ΣΟΥΡΜΠΗΣ ΝΙΚΟΣ 1-1-2020 Θέµα Α Α1) Να δείξετε ότι ( ) lnx x′α = α α για κάθε x∈ℝ με α > 0. Α2) Ποια σημεία ονομάζουμε κρίσιμα μιας συνάρτησης f; Α3) Δίνεται ο ισχυρισμός: «Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ και δεν έχει τοπικό ακρότατο τότε ( ) 0f x′ ≠ για κάθε x∈ℝ ». Να απαντήσετε με Σωστό ή Λάθος και να αιτιολογήσετε. Α4) Με βάση το διπλανό σχήμα της f να απαντήσετε με Σωστό ή Λάθος στις παρακάτω προτάσεις. α. Ισχύει ότι ( ) 1 1 lim x f x f x − →+∞    − = +∞      β. Η f έχει κρίσιμο σημείο. γ. H ανίσωση ( ) ( )2 2 f x f xηµ ≤ αληθεύει για κάθε x∈ℝ . δ. Η εξίσωση ( )( ) ( )( )( )lnf f x f e f x= ⋅ έχει μοναδική ρίζα x = 0. ε. Ισχύει ότι ( )( )1 lim 2 0 x f x x− →+∞ − = . x y 0 y = 2x 1 f 03.01.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 3
  2. 2. Θέµα Β Δίνεται η συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ , όπου όλες οι εφαπτομένες της σχηματίζουν οξεία γωνία με τον άξονα x΄x και ικανοποιεί τη σχέση ( )( ) ( ) 2 2 2 2x x f x f x e e′ ′+ = + για κάθε x∈ℝ . B1) Να δείξετε ότι ( ) , κx f x e= + κ ∈ℝ. B2) Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f B3) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ( ) 1x g x x κ + = έχει ένα μόνο κοινό σημείο με την συνάρτηση f. Β4) Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f , g έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο. Θέµα Γ Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με f ′ συνεχής στο ℝ και ( ) 1 x f x e′ ≠ − για κάθε x∈ℝ και ( ) ( )1 0 0f f> > . Να δείξετε ότι : Γ1) Να δείξετε ότι υπάρχει ( ) ( )0,1 : 0f ′∈ >ξ ξ . Γ2) Η συνάρτηση ( ) ( ) x g x f x e x= + − είναι αύξουσα στο ℝ . Γ3) Να δείξετε ότι υπάρχει ( ) ( ),0 : 0f aα∈ −∞ = . Γ4) Να λύσετε την ανίσωση : ( ) ( )ln 2 lnx f x f x x e x− > − − 03.01.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 3
  3. 3. Θέµα ∆ Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με f ′′ συνεχή στο ℝ και ασύμπτωτες στο +∞ και στο −∞ τις ευθείες , yy x x= = − αντίστοιχα. Δ1) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης ( ) ( )=g x x f x . Δ2) Να δείξετε ότι η f έχει οριζόντια εφαπτομένη σε σημείο ( )( ), fΑ α α . Δ3) Να βρείτε το όριο ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 lim ln 1 ln→+∞ + + − − + + −   x f x g x f x x f x x x x x . Δ4) Αν δίνεται ότι α > 0 , να δείξετε ότι υπάρχει ξ∈ℝ τέτοιο ώστε : ( ) ( ) 0 α ′′ ′= − ⋅ ξ∫x f x dx a f 03.01.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 3

×