This document discusses discrete-time control systems. It begins by explaining that in discrete-time systems, variables can only change at discrete time intervals denoted by kT, where k is an integer. It then describes the sampling and quantization processes required to convert continuous signals to discrete signals for use in digital control systems. It classifies discrete-time systems based on whether the process and control are continuous or discrete. The document provides examples of how to model and analyze discrete-time systems using the z-transform instead of the Laplace transform for continuous systems. It also discusses methods for converting continuous controllers to discrete controllers through discretization approaches.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN UNIVERSITARIA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN MATURÍN
Autor: Ricardo Madrid C.I 26.833.575
Docente de la asignatura: Ing. Amdie Chirinos
SISTEMA DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO
Maturín, Mayo 2021

2. Son aquellos sistemas en los
cuales una o más de las variables
pueden cambiar sólo en valores
discretos de tiempo. Estos
instantes, los que se denotarán
mediante kT (k = 0, 1, 2…),
pueden especificar los tiempos en
los que se lleva a cabo alguna
medición de tipo físico. Sin
embargo, al trabajar en el tiempo
discreto es necesario un proceso de
muestreo previo.

3. • El muestreo de señales en tiempo continuo reemplaza la señal por una secuencia de valores en puntos discretos de
tiempo. El proceso de muestreo se emplea siempre que un sistema de control involucra un controlador digital, puesto
que es necesario para ingresar datos a ese controlador.
• Es seguido por un proceso de cuantificación. En el proceso de
cuantificación, la amplitud analógica muestreada se reemplaza por una amplitud digital (representada mediante un
número binario). Entonces la señal digital se procesa por medio de la computadora.
• La salida de la computadora es una señal muestreada que se alimenta a un circuito de retención. Finalmente, la salida
del circuito de retención es una señal en tiempo continuo que se alimenta al actuador.

5. En función de la naturaleza del tiempo de los procesos a controlar, los sistemas de control se clasifican en:
 SCC.PC: Sistemas de control continuos de procesos continuos
 SCD.OC: sistemas de control discretos de procesos continuos
 SCD.PD: sistemas de control discretos de procesos discretos
En un sistema de control de tiempo continuo (SCC), todas las variables son conocidas en todo momento. Por el
contrario, en un sistema de control de tiempo discreto (SCD), viene caracterizado por magnitudes que varían solo en
instantes específicos, Estas magnitudes discretas pueden ser tratadas por un circuito digital, añadiendo todas las
ventajas de estos. Sin embargo, la mayor parte de las variables son de naturaleza continua, como la temperatura, la
presión, etc. Dan lugar a dos tipos de SCD: procesos discretos y procesos continuos.

6. • Los SCD.PD son aquellos sistemas completamente digitales,
en los que no intervienen en ninguna parte del proceso
magnitudes analógicas.
• Los SCD.PC son aquellos donde el proceso es continuo, pero
el tratamiento es digital. Dada la naturaleza continua de las
magnitudes, son los mas habituales. Pro lo tanto en la mayoría
de procesos es necesario discretizar magnitudes mediante
circuitos de muestre y retención.
De igual modo que los SCC.PC tenían a la transformada de
Laplace como herramienta de calculo, los SCD.PC tendrán otra
denominada transformada Z.

7. 1. En un SCD, la señal de salida c(t) es discretizada mediante un circuito de muestreo y retención (S/H) y un conversor
analógico digital (ADC).
2. En el interior del sistema digital, la señal c(t) discretizada se compara con el valor de referencia discreto r(kT).
3. La señal de error e(kT) obtenida de la comparación es procesada por el sistema digital mediante un algoritmo y genera
una señal de mando discreta a(kT).
4. Como la planta es de tiempo continuo, es necesario que la señal de mando discreta sea pasada a una señal continua a
través de un convertido digital-analógico (DAC) y un circuito de retención (H).
algoritmo
Planta o
proceso
DAC H
ADC S/H
e(kT) a(kT) a(t) c(t)
c(kT)
r(kT)
Sistema Digital Analógico
Interface

8. Una señal continua (analógica) se pasa a discreta mediante un circuito de muestre y retención (S/H), seguido
de un conversor analógica-digital (ADC). La entrada del ADC debe mantenerse estable mientas se realiza la
conversión a valores discretos. Sin embargo, la señal continua puede variar durante el proceso de conversión del
ADC por lo que se añade antes un circuito S/H que lo mantiene estable. La frecuencia con la que se realiza este
muestre puede o no ser constante. Es importante elegir la frecuencia adecuada, ya que de lo contrario se pueden
perder datos decisivos, de modo que, el intervalo entre muestras vendrá dado por el tiempo mínimo que debe
transcurrir para que se produzca una variación considerable en la señal.
SH
T 2T kT
c(t)
T 2T kT
c(t)
muestras

9. Al sistema digital le llega una secuencia y la transforma en otra secuencia de salida. La secuencia es un conjunto
ordenado de valores y cada valor tiene un índice (numero entero) que indica la posición de esa muestra en la secuencia.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
4
3
2
1
(x)
K
x(t)
Se representa el muestreo de la señal continua x(t), donde se convierte en una señal muestreada x(kt), siendo esta
una función discreta, donde dando valores a k se obtiene el valor de la función para ese instante. La secuencia de
valores que se genera de la función discreta x se escribe de forma analítica poniendo los valores entre corchetes y
separados por comas, en el caso de la figura seria: { 𝑥 = 0.5, 2, 3.3, 4, 4.3, 4.6. . .

10. La secuencia que describe el comportamiento de los SCD se llama secuencia de ponderación 𝑔 , la cual es la salidad
de un sistema discreto cuando la entrada es 𝛿 , la secuencia de ponderación es la función de transferencia de un
sistema discreto.
Sistema Discreto 𝐺𝑘
𝑋𝑘 = 𝛿𝑘 𝑌𝑘 = 𝐺𝑘
𝑋𝑘 =
𝑛−0
∞
𝑋𝑛 𝛿𝑘 − 𝑛 𝑌𝑘 =
𝑛−0
∞
𝑌𝑛 𝑔𝑘 − 𝑛
Deduciendo que:
El sumatorio de n=0 hasta infinito se realiza mientras k-n >= 0 para que sea casual.

11. De forma análoga se define la función de transferencia en un sistema continuo, es posible definir la función de
transferencia en un sistema digital. La función de transferencia se define solo para sistemas LTI con condiciones
iniciales nulas. En estos sistemas la función de transferencia es la relación entre la tranzformada Z de la salida y la
transformada Z de la entrada:
𝐻 𝑧 =
𝑌 𝑧
𝑋 𝑧
Un sistema LTI también puede expresarse mediante una ecuación en diferencias:
Y1 +a1 yk1 +Y2 + a2 yk2 + … anykn … = b0 xk + b1xk + b2 xk2 + … bnxkn …
𝑌𝑘 +
𝑖=1
n
𝑎𝑖 𝑌𝑘 − 𝑖 =
𝑗=0
m
𝑏𝑗 𝑌𝑘 − 𝑗

12. [1 + a1z1 + a2z2 … + anzn] . Y(z) = [b0 + b1z1 + b2z2… + bmzm] . X(z)
Aplicando la transformada z a ambos miembros de la ecuación y suponiendo condiciones iniciales nulas, se obtiene:
Por lo que la división:
𝐻 𝑧 =
𝑌 𝑧
𝑋 𝑧
=
𝑏0 + 𝑏1𝑧−1 + 𝑏2𝑧−2. . . 𝑏𝑚𝑧−𝑚
1 + 𝑎1𝑧−1 + 𝑎2𝑧−2. . . 𝑎𝑛𝑧−𝑛

13. En un proyecto de diseño de un sistema de control discreto, el primer paso es la identificación y modelado de la planta
G/s(. Una vez modelada, se realiza el análisis del modelo y se elige un periodo de muestreo adecuado. El diseño del
regulador F(z) se abarca acorde a la estrategia de control establecida, y por ultimo, se realiza un análisis del sistema de
control y se implementa. Si la planta G(s) ojo se puede modelar, no se pueden usar técnicas de control y se recurre a técnicas
en los que no es necesario conocer la planta para realizar el regulador. En esta transformación habrá que tener en cuenta dos
parámetros importantes: el periodo de muestreo y el bloqueador.
F(s) G(s)
e(t)
r(t) a(t)
F(s) G(s)
ek
rk ak
G(s)
T
a2(t) c(t)

14. Para conseguir que la acción de control generada por el regulador discreto a2(t) sea lo mas parecido a la acción de
control generada por el regulador de control continuo a(t), se reduce el periodo de muestreo y/o se emplea un bloqueador
de mayor orden (aproximación al filtro ideal). Por simplificación, se usa frecuentemente un bloqueador de orden cero y lo
único que se suele variar es el periodo de muestreo, existiendo dos métodos de discretización de reguladores continuos:
• Aproximación de la respuesta temporal: Ante iguales entradas, se pretenden iguales salidas, a1(t) = a2(t)
• Métodos de integración numérica: aproximación de derivadas por restas y de integrales por sumas (sustitución
de operadores).

15. F(z) B(s)
ek ak
T
e(t) at
F(s)
a1(t)
e(t)
Deduciendo que:
𝐹 𝑧 . 1 =
𝐹 𝑥
𝑅𝑒𝑠 𝐹 𝑠 . 1 .
1
1 − 𝑒𝑠𝑇𝑧−1
Siendo el calculo independiente del bloqueador

16. 𝐹 𝑧 = 1 − 𝑧−1
.
𝐹 (𝑠)/𝑠
𝑅𝑒𝑠
F(s)
s
.
1
1 − 𝑒𝑠𝑇𝑧−1
Obteniendo una expresión que coincide con la del equivalente discreto de F(s) con un bloqueador de orden cero y periodo
de muestreo T. En la figura se compara la respuesta de un SCC a1(t) con bloqueador de orden cero (ZOH) con la de un
SCD a2(t) con bloqueador de orden uno (FOH)
Por restricciones del modelo matemático, esta solución no es aplicable a sistemas con igual grado en el denominador y
numerador, por tanto, hay que buscar una semejanza temporal ante otras señales de entrada, como, el escalón, obteniendo:

17. Operador Derivada
La aproximación de las derivadas se realiza por cocientes incrementales. La derivada en un punto expresa el valor
de la pendiente de la recta tangente en la grafica de la función de dicho punto. Como ejemplo, se obtiene que en tiempo
continuo la tangente en instante de tiempo t es tanβ = dx(t)/dt; sin embargo, en tiempo discreto, la recta tangente es la
línea que une dos muestras consecutivas, y la pendiente es el instante actual (k) menos el anterior (k-1) partido del
periodo (T), esto es:
Se basa en sustituir los operadores derivada (s) e integral (1/s) por operadores discretos equivalentes. Estos
operadores discretos equivalentes se obtienen por métodos de análisis numérico. Este método es mas sencillo, pero menos
preciso, obteniendo sistemas lineales discretos. Se divide en:
𝑡𝑎𝑛𝛼 =
𝑥 𝑘𝑇 − 𝑥 𝑘 − 1 𝑇
𝑇

18. Si se hace coincidr el instante continuo con el discreto, se puede hacer la siguiente aproximación:
ⅆ𝑥 𝑡
ⅆ𝑡 𝑡→𝑘𝑇
=
𝑥 𝑘𝑇 − 𝑥 𝑘 − 1 𝑇
𝑇
=
𝑋𝑘 − 𝑋𝑘−1
𝑇
Cuanto menor es el periodo de muestreo, mas exacta es esta aproximación, siendo tantan𝛼 T → 0. Entonces la
derivada en el dominio discreto se convierte en restas:
𝑠 . 𝑋 𝑠 =
1 − 𝑧−1
𝑇
. 𝑋 𝑧
S
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
x(t)
𝑑𝑥𝑘
𝑑𝑘
x(t) 1 − 𝑧−1
𝑇

19. Operador Integral
La aproximación de las integrales se realiza por sumas sucesivas. La integral es el área bajo la curva. En las señales
discretas se considera que las muestras delimitan rectángulos, y el área es la suma de estos rectángulos. Dependiendo de
como se tracen estos rectángulos, da lugar a tres técnicas de aproximación:
Y(𝑧)
𝑋 (𝑧)
=
𝑇
1 − 𝑧−1
1. Técnica BRR: Se fundamenta en considerar como la altura del rectángulo el valor de la muestra actual y mantenerla
hasta la muestra anterior, es decir, el intervalo de J queda definido por el valor de x en el instante K.
Esta expresión tiene un problema de causalidad, porque en el instante K se necesita conocer el valor de x en k+1, es
decir hay que conocer el instante futuro.

20. Y(𝑧)
𝑋 (𝑧)
=
𝑇𝑧−1
1 − 𝑧−1
2. Técnica FRR: consiste en tomar como altura del rectángulo el valor de la muestra anterior y mantenerla hasta la
muestra actual, es decir, el intervalo K queda definido por el valor de x en el instante k-1
Se obtiene la misma expresión que con la técnica BRRR, pero con retardo, lo que podría dar lugar a reguladores
discretos inestables.

21. Y(𝑧)
𝑋 (𝑧)
=
𝑇
2
.
1 + 𝑧−1
1 − 𝑧−1
3. Técnica FRR: esta técnica evita al máximo el error, consiste en eliminar el área en dos zonas: una, la misma que la
FRR (K) y , otra, un triangulo (D). El área es la suma del área del rectángulo y del triangulo.
A mejor aproximación integral, mayor complejidad de la expresión.