2. SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL PROGRAMA
Luis Edo Garcรญa Jaimes
1. INTRODUCCIรN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
1.1 Sistemas continuos, discretos e hรญbridos. Conceptos
1.2 Equivalente discreto de sistemas hรญbridos
1.3 Muestreadores y retenedores. Convertidores A/D y convertidores D/A
1.4 Selecciรณn del periodo de muestreo. Criterios.
2. FUNCIรN DE TRANSFERENCIA
2.1 Procedimiento para hallar la funciรณn de transferencia en sistemas discretos.
2.2 Funciรณn de transferencia de pulso para sistemas con retenedor de orden cero.
2.3 Funciรณn de transferencia para sistemas con elementos en cascada.
2.4 Funciรณn de transferencia para sistemas en lazo cerrado.
3. MรTODOS DE ANรLISIS PARA SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL
3.1 El plano z y su relaciรณn con el plano S
3.2 Anรกlisis de estabilidad. Conceptos fundamentales
3.2.1 Criterios de estabilidad para sistemas discretos (Criterio de Jury y criterio de
Routh-Hurtwist).
3.3 Anรกlisis de respuesta transitoria y de estado estable
3.3.1 Especificaciones de respuesta transitoria. Anรกlisis de error en estado estable.
3.3.2 Constantes de error de posiciรณn, de velocidad y de aceleraciรณn
3.3.3 Polos dominantes
3.4 Mรฉtodo de respuesta en frecuencia para sistemas discretos
3.4.1 Diagramas de Bode para sistemas discretos
3.4.2 Margen de fase y margen de ganancia. Estabilidad
3.5 El lugar geomรฉtrico de las raรญces (LGR). Sistemas discretos.
3.5.1 Condiciรณn de รกngulo y condiciรณn de mรณdulo
3.5.2 Reglas para trazar el LGR
3.5.3 Anรกlisis de estabilidad con el LGR
4. ALGORITMOS DE CONTROL DIGITAL
4.1Consideraciones preliminares para el diseรฑo de controladores
4.2Aproximaciรณn discreta de los modos de control digital: P, PI, PID
4.3Sintonรญa de controladores digitales P, PI y PID (Ajuste por tablas)
4.3.1 Mรฉtodo de Ziegler-Nichols
4.3.2 Mรฉtodo de ganancia lรญmite
4.3.3 Ajuste mediante criterios de error mรญnimo: IAE, IAET, ICE
4.4Diseรฑo de controladores digitales
4.4.1 Diseรฑo de controladores PI y PID por cancelaciรณn de ceros y polos
4.4.2 Diseรฑo de controladores por cancelaciรณn de ceros y polos
4.4.3 Diseรฑo de controladores por asignaciรณn de polos
4.4.4 Controladores Deadbeat de orden normal y de orden incrementado
4.4.5 Algoritmo de Dalhin
4.4.6 Realizaciรณn de algoritmos de control digital utilizando diferentes plataformas
de software
BIBLIOGRAFรA
Astrom, K. Wittenmark, B. Computer controlled systems. Prentice Hall.
Eronini, U. Dinรกmica de Sistemas y Control. Ed. Thomas Learning. Mรฉxico
Franklin, Gene F.; Powell, David J.; Workman, Michael L.; Powell, Dave. Digital
Control of Dynamic Systems. Addison-Wesley, 1997.
Garcรญa, L. Control Digital. Teorรญa y prรกctica. Tercera Ediciรณn. 2012
Kuo, B. Sistemas de Control Digital. CECSA, Mรฉxico
Ogata, Katsuhiko. Sistemas de control tiempo discreto. Prentice Hall, 1996 D.
F. Mรฉxico, 2a Ediciรณn
Phillips, C. Nagle,T. H. Digital Control System Analysis and Design. Prentice
Hall.
3. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Los sistemas de tiempo discreto, son sistemas dinรกmicos en los
cuales una o mรกs variables pueden variar รบnicamente en ciertos
instantes. Estos instantes, llamados de muestreo y que se indican por
๐๐ (๐ = 0, 1, 2. . . ) pueden especificar el momento en el cual se realiza
una mediciรณn fรญsica o el tiempo en el cual se lee la memoria del
computador.
Los sistemas de tiempo continuo, se describen o modelan mediante
un conjunto de ecuaciones diferenciales, los sistemas de tiempo
discreto se describen mediante un conjunto de ecuaciones de
diferencias.
Luis Edo Garcรญa Jaimes
4. SISTEMAS CONTINUOS VS SISTEMAS DISCRETOS
SISTEMAS CONTINUOS SISTEMAS DISCRETOS
๏ท Seรฑales continuas. (Analรณgicas)
๏ท Ecuaciones diferenciales
๏ท Transformada de Laplace
๏ท Funciรณn de transferencia
๏ท Variables de estado continuas
๏ท Seรฑales discretas. (Digitales)
๏ท Ecuaciones en diferencias
๏ท Transformada z
๏ท Funciรณn de transferencia de pulso
๏ท Variables de estado discretas
Luis Edo Garcรญa Jaimes
5. LAZO DE CONTROL DIGITAL BรSICO
1. Se mide la variable controlada mediante el sensor adecuado.
2. La salida del sensor se lleva al convertidor de anรกlogo a digital (A/D)
3. La salida del convertidor A/D se compara con el valor del Set-Point (SP).
4. El computador establece la diferencia (error) entre รฉstos valores y ejecuta un
programa en el cual se ha establecido el algoritmo de control deseado.
5. El computador proporciona una seรฑal de salida discreta que es convertida
en una seรฑal continua mediante un convertidor de digital a anรกlogo (D/A).
6. La salida del convertidor D/A, previamente acondicionada es aplicada al
elemento final de control para corregir el error. Luis Edo Garcรญa Jaimes
6. EJEMPLO: CONTROL DE PRESIรN
Luis Edo Garcรญa Jaimes
P: Variable controlada V1: Vรกlvula de descarga manual
PI: Indicador de presiรณn V/P: Convertidor Voltaje a Presiรณn
PT: Transmisor de presiรณn โฉ
#: Convertidor Anรกlogo a Digital
PCV: Vรกlvula control de presiรณn #
โฉ: Convertidor de Digital a Anรกlogo
7. DEFINICIรN DE TรRMINOS
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Planta: es cualquier objeto fรญsico que se va a controlar. Ejemplos de plantas: un
intercambiador de calor, un reactor quรญmico, una caldera, una torre de destilaciรณn.
Proceso: es una operaciรณn progresiva en la cual se presenta una serie de cambios
que se suceden uno a otro de manera relativamente fija y que conducen a un
resultado determinado. Los procesos pueden ser quรญmicos, biolรณgicos, econรณmicos
Elemento sensor primario: Es el elemento que estรก en contacto con la variable
que se mide y utiliza o absorbe energรญa de ella para dar al sistema de mediciรณn una
indicaciรณn que depende de la cantidad medida. La salida de este elemento es una
variable fรญsica que puede ser un desplazamiento, una corriente, un voltaje etc.
8. DEFINICIรN DE TรRMINOS (2)
Transmisor: Es un dispositivo que capta la variable del proceso a travรฉs del
elemento sensor primario y la transmite en forma de seรฑal estรกndar. Esta seรฑal
puede ser neumรกtica (3 a 15 PSI) o electrรณnica (4 a 20 mA, 0 a 5 V).
Transductor: Convierte una seรฑal de entrada en una seรฑal de salida cuya
naturaleza puede ser o no ser diferente de la correspondiente a la seรฑal de entrada.
Son transductores: un elemento sensor primario, un transmisor, un convertidor de
PP/I (Presiรณn de proceso a corriente).
Convertidor: Es un dispositivo que recibe una seรฑal de entrada neumรกtica (3-15
PSI) o electrรณnica (4-20 mA), procedente de un instrumento y, despuรฉs de
modificarla, genera una seรฑal de salida estรกndar. Ejemplo: un convertidor P/I
(Seรฑal de entrada neumรกtica a seรฑal de salida electrรณnica). Luis Edo Garcรญa Jaimes
9. DEFINICIรN DE TรRMINOS (3)
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Controlador: Es el dispositivo que compara el valor de la variable controlada
(presiรณn, temperatura, nivel, velocidad, pH) con el valor deseado (Set-Point) y
utiliza la diferencia entre ellos (error) para ejercer, automรกticamente, la acciรณn
correctiva con el fin de reducir el error a cero o a un valor mรญnimo aceptable.
Elemento final de control: Recibe la seรฑal del controlador y modifica el caudal
del agente o fluido de control. En sistemas de control
, el elemento final de control
puede ser una vรกlvula neumรกtica, un elemento de estado sรณlido como relรฉs etc.
10. MUESTREADORES
El muestreador es el elemento fundamental en un sistema de control de tiempo
discreto. Consiste en un interruptor que se cierra cada T segundos para admitir
una seรฑal de entrada. La funciรณn del muestreador es convertir una seรฑal
continua en el tiempo (anรกloga) en un tren de pulsos en los instantes de muestreo
0, T, 2Tโฆ en dondeT es el periodo de muestreo. Entre dos instantes de muestreo
no se transmite informaciรณn.
Luis Edo Garcรญa Jaimes
11. SEรAL DE SALIDA DEL MUESTREADOR
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Si la seรฑal continua es muestreada en forma periรณdica, la seรฑal de salida del
muestreador se puede expresar como:
๐ฅโ
๐ก = ๐ฅ ๐๐ ๐ฟ ๐ก โ ๐๐
โ
๐=0
๐ฅโ
๐ก = ๐ฅ 0 ๐ฟ ๐ก + ๐ฅ ๐ ๐ฟ ๐ก โ ๐ + ๐ฅ 2๐ ๐ฟ ๐ก โ 2๐ + โฏ
La transformada de Laplace de la ecuaciรณn anterior es:
๐โ
๐ = ๐ฅ 0 + ๐ฅ ๐ ๐โ๐๐
+ ๐ฅ 2๐ ๐โ2๐๐
+ ๐ฅ 3๐ ๐โ3๐๐
+ โฏ
Es decir:
๐โ
๐ = ๐ฅ(๐๐)๐โ๐๐๐
โ
๐=0
12. RETENEDORES
Su finalidad es convertir la seรฑal muestreada en una seรฑal continua de tal forma
que sea igual o lo mรกs aproximada posible a la seรฑal aplicada al muestreador.
El retenedor mรกs elemental convierte la seรฑal muestreada en una seรฑal que es
constante entre dos instantes de muestreo consecutivos, este tipo de retenedor
se conoce como โretenedor de orden ceroโ y es comรบnmente el mรกs utilizado.
La exactitud del retenedor de orden cero en la reconstrucciรณn de la seรฑal depende
de la magnitud del periodo de muestreo ๐.
Luis Edo Garcรญa Jaimes
13. FUNCIรN DE TRANSFERENCIA DEL RETENEDOR DE
ORDEN CERO (ZOH)
Luis Edo Garcรญa Jaimes
La entrada al retenedor es el tren de pulsos:
๐ฅโ
๐ก = ๐ฅ ๐๐ ๐ฟ ๐ก โ ๐๐
โ
๐=0
La transformada de Laplace de la ecuaciรณn anterior es:
๐โ
๐ = ๐ฅ(๐๐)๐โ๐๐๐
โ
๐=0
La salida del muestreador se puede expresar como:
๐ ๐ก = ๐ฅ(๐๐) ๐ข ๐ก โ ๐๐ โ ๐ข(๐ก โ ๐ + 1 ๐
โ
๐=0
La transformada de Laplace de la ecuaciรณn anterior es:
๐ป ๐ =
๐(๐)
๐โ(๐)
=
1 โ ๐โ๐๐
๐
14. CIRCUITO BรSICO PARA MUESTREO Y RETENCIรN
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Cuando el interruptor de estado sรณlido (S) se cierra, C se carga al voltaje de
entrada V1. Cuando el interruptor de estado sรณlido se abre el condensador sigue
cargado al voltaje existente en el momento de la apertura puesto que la
impedancia de entrada al amplificador operacional A2 es muy elevada. Como el
amplificador A2 estรก configurado como un seguidor de voltaje, su tensiรณn de salida
tambiรฉn sigue fija en el valor que tenรญa el voltaje del condensador en el momento
que reprodujo el muestreo.
15. EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
La funciรณn ๐ฅ(๐ก) = ๐โ2๐ก
+ 3 se muestrea cada 0.5 ๐ ๐๐. Calcular: a) La funciรณn
muestreada ๐ฅโ
๐ก . b) La transformada de Laplace ๐โ
(๐) de ๐ฅโ
๐ก . c) Si ๐ฅโ
(๐ก) se
hace pasar por un retenedor de orden cero, obtenga una expresiรณn para la seรฑal
de salida del retenedor ๐(๐ก).
SOLUCIรN:
a) Utilizando la ecuaciรณn:
๐โ
๐ก = ๐ ๐๐ ๐ฟ ๐ก โ ๐๐
โ
๐=0
Pero: ๐ฅ ๐๐ = ๐โ2๐๐
+ 3 = ๐โ๐
+ 3
Por lo tanto: ๐ฅโ
๐ก = ๐โ๐
+ 3 ๐ฟ ๐ก โ ๐๐
โ
๐พ=0
๐ฅโ
๐ก = 4๐ฟ ๐ก + 3.3678๐ฟ ๐ก โ ๐ + 3.1353๐ฟ ๐ก โ 2๐ + 3.0497๐ฟ ๐ก โ 3๐ + 3.0183๐ฟ ๐ก โ 4๐ + โฏ
17. TRANSFORMADA Z Y TRANSFORMADA Z INVERSA EN MATLAB
Luis Edo Garcรญa Jaimes
18. TRANSFORMADA DE LAPLACE Y TRANSFORMADA INVERSA DE
LAPLACE CON MATLAB
Luis Edo Garcรญa Jaimes
19. SELECCIรN DEL PERIODO DE MUESTREO
El periodo de muestreo ๐ es un parรกmetro de diseรฑo muy importante que debe
seleccionarse en funciรณn de un compromiso entre varios factores:
๏ท El tiempo de cรกlculo del procesador: Cuanto menor sea el periodo mรกs
potente debe ser el procesador, y por lo tanto mรกs caro.
๏ท Precisiรณn numรฉrica en la implementaciรณn: Cuanto menor sea el periodo
mรกs problemas de precisiรณn y redondeo aparecen en la implementaciรณn,
especialmente si se utiliza un procesador de coma fija.
๏ท Pรฉrdida de informaciรณn en el muestreo: Si el periodo es demasiado elevado
comparado con la dinรกmica del proceso, se pierde mucha informaciรณn de la
seรฑal muestreada.
๏ท Respuesta a perturbaciones: Entre una mediciรณn de la salida y la siguiente
el proceso funciona en lazo abierto. Si actรบa una perturbaciรณn su efecto no se
podrรก compensar hasta que se vuelva a medir la salida.
Luis Edo Garcรญa Jaimes
20. CRITERIOS PARA SELECCIONAR EL PERIODO DE MUESTREO
Para estimar el periodo de muestreo se puede aplicar uno de los siguientes
criterios:
๏ท Si ๐ค๐ es el ancho de banda del sistema en lazo cerrado, la frecuencia de
muestreo se puede estimar dentro del intervalo:
8๐ค๐ โค ๐ค๐ โค 12๐ค๐ ๐ =
2๐
๐ค๐
๏ท El periodo de muestreo se puede evaluar a partir de la constante de tiempo
equivalente del sistema en lazo cerrado ๐๐๐ tomando como base el criterio:
0.2 ๐๐๐ + ๐โฒ
โค ๐ โค 0.6(๐๐๐ + ๐โฒ
)
๏ท Si ๐ก๐ es el tiempo de establecimiento del sistema en lazo cerrado el periodo de
muestreo puede seleccionarse dentro del intervalo:
0.05๐ก๐ โค ๐ โค 0.15๐ก๐ Luis Edo Garcรญa Jaimes
21. EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Para el sistema de control de la figura con ๐พ = 1, determine a) El ancho de banda
del sistema en lazo cerrado b) El rango dentro del cual se puede seleccionar el
periodo de muestreo utilizando dos mรฉtodos diferentes. Los tiempos en s.
k zoh
8
S(S+10)
R(S) C(S)
+
-
T
a) La funciรณn de transferencia del sistema continuo en lazo cerrado es:
๐บ๐ค ๐ =
๐บ(๐)
1 + ๐บ(๐)
๐บ๐ค ๐ =
8
๐2 + 10๐ + 8
Haciendo ๐ = ๐๐ค se obtiene, despuรฉs de simplificar:
๐บ๐ค ๐๐ค =
8
8 โ ๐ค2 + ๐10๐ค
๐บ๐ค (๐๐ค) =
8
(8 โ ๐ค2)2 + 100๐ค2
Para ๐ค = 0 se obtiene: ๐บ๐ค (๐๐ค) = 1
El ancho de banda ๐ค๐ se calcula haciendo ๐บ๐ค (๐๐ค๐) = 0.707 ๐บ๐ค (0)
22. CONTINUACIรN EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
8
(8 โ ๐ค๐
2)2 + 100๐ค๐
2
= 0.707
๐ค๐
4
+ 84๐ค๐
2
โ 64 = 0 ๐ค๐ = 0.869 ๐๐๐/๐
b) La frecuencia de muestreo ๐ค๐ debe estar en el intervalo:
8๐ค๐ โค ๐ค๐ โค 12 6.95 โค ๐ค๐ โค 10.42 ๐๐๐/๐
๐ =
2๐
๐ค๐
0.602 โค ๐ โค 0.903 ๐ .
Utilizando el criterio de la constante de tiempo equivalente en lazo cerrado:
0.2(๐๐๐ + ๐โฒ
) โค ๐ โค 0.6(๐๐๐ + ๐โฒ
)
La funciรณn de transferencia del sistema en lazo es de segundo orden para el cual:
๐ค๐
2
= 8 ๐ค๐ = 2.82 ๐๐๐/๐
2๐๐ค๐ = 10 ๐ = 1.77 ๐๐๐ =
2๐
๐ค๐
= 1.25 ๐ .
El rango para el periodo de muestreo es, entonces: 0.25 โค ๐ โค 0.75 ๐ .
23. PROGRAMA EN MATLAB PARA CALCULAR ANCHO DE BANDA
n=input('ENTRE EL NUMERADOR DEL SISTEMA=');
d=input('ENTRE EL DENOMINADOR DEL SISTEMA=');
[nw,dw]=cloop(n,d,-1); %Calcula FT en lazo cerrado
[mag,fase,w]=bode(nw,dw); %Calcula Magnitud, y fase
mag1=mag(1,1); % Magnitud a baja frecuencia
mag2=0.707*mag1; %Calcula el valor de la magnitud para wc
wc=interp1(mag,w,mag2,'spline'); %Interpolacion para cรกlculo exacto
wmin=8*wc;
wmax=12*wc;
Tmin=2*pi/wmax;
Tmax=2*pi/wmin;
fprintf(' RANGO PARA EL PERIODO : Tmin=%3.2f Tmax=%3.2f',Tmin, Tmax)
Luis Edo Garcรญa Jaimes
24. FUNCIรN DE TRANSFERENCIA DE PULSO (FTP)
Para un sistema continuo, la funciรณn de transferencia se define como la relaciรณn
entre la Transformada de Laplace de la salida y la Transformada de Laplace de la
entrada, asumiendo las condiciones iniciales iguales a cero.
Luis Edo Garcรญa Jaimes
๐บ ๐ =
๐(๐)
๐(๐)
Para un sistema discreto, la funciรณn de transferencia de pulso (FTP), se define
como la relaciรณn entre la Transformada z de la salida y la Transformada z de la
entrada, asumiendo las condiciones iniciales iguales a cero.
๐บ ๐ง =
๐(๐ง)
๐(๐ง)
25. PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA FTP
๏ท Conocida la funciรณn ๐(๐ก), la ๐น(๐ง) se puede calcular utilizando tablas de
transformadas y las propiedades de la transformada
๏ท Conocida la funciรณn ๐น(๐), la ๐น(๐ง) se puede calcular utilizando tablas de
transformadas, las propiedades de la transformada y expansiรณn en fracciones
parciales
๏ท Mรฉtodo computacional, con un software especializado. En este caso pueden
citarse programas como el MATLAB, el ACS, el CC entre otros. Luis Edo Garcรญa Jaimes
26. EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Hallar la funciรณn de transferencia de pulso del sistema mostrado en la figura
X(S) Y(S)
Sistema
X*(S)
T
6
(S+1)(S+4)
SOLUCIรN: La funciรณn de transferencia para el sistema continuo es:
๐บ ๐ =
๐(๐)
๐(๐)
=
6
๐ + 1 (๐ + 4)
Expandiendo en fracciones parciales resulta:
๐บ ๐ =
๐(๐)
๐(๐)
=
2
๐ + 1
โ
2
๐ + 4
De tablas se obtiene:
โ
2
๐ + 1
=
2๐ง
๐ง โ 0.60653
โ
2
๐ + 4
=
2๐ง
๐ง โ 0.13533
Asรญ, la funciรณn de transferencia de pulso para el sistema es:
๐บ ๐ง =
๐(๐ง)
๐(๐ง)
=
2๐ง
๐ง โ 0.60653
โ
2๐ง
๐ง โ 0.13533
=
0.94239๐ง
๐ง โ 0.60653 (๐ง โ 0.13533)
27. FTP PARA SISTEMAS CON RETENEDOR DE ORDEN CERO (ZOH)
Luis Edo Garcรญa Jaimes
La figura muestra un sistema en el cual se incluye, ademรกs del muestreador, un
retenedor de orden cero precediendo a la funciรณn continua ๐บ๐(๐).
๐ป๐บ ๐ง =
๐(๐ง)
๐(๐ง)
= โ ๐ป ๐ ๐บ๐(๐)
X(S) Y(S)
H(S)
x(t) y(t)
x*(t)
X*(S)
T
Retenedor Planta
GP(S)
La funciรณn de transferencia del retenedor de orden cero es: ๐ป ๐ =
1โ๐โ๐๐
๐
๐ป๐บ ๐ง =
๐(๐ง)
๐(๐ง)
= โ
1 โ ๐โ๐๐
๐
๐บ๐(๐) = โ 1 โ ๐โ๐๐
๐บ๐(๐)
๐
๐ป๐บ ๐ง = โ
๐บ๐(๐)
๐
โ โ
๐บ๐(๐)
๐
๐โ๐๐
= โ
๐บ๐(๐)
๐
โ ๐งโ1
โ
๐บ๐(๐)
๐
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
โ
๐บ๐ ๐
๐
28. EJEMPLO
Hallar la funciรณn de transferencia de pulso para el sistema de la figura.
Asuma que el periodo de muestreo es ๐ = 1 ๐ y que el retenedor ๐ป(๐)
es de orden cero.
X(S) Y(S)
H(S)
x(t) y(t)
x*(t)
X*(S)
T
Retenedor Planta
3
S(S+2)
SOLUCIรN: La funciรณn de transferencia de pulso para un sistema con
ZOH es:
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
โ
๐บ ๐
๐
con ๐บ ๐ =
3
๐(๐ + 2)
๐ป๐บ ๐ง = (1 โ ๐งโ1
)โ
3
๐2(๐ + 2)
Luis Edo Garcรญa Jaimes
30. FUNCIรN DE TRANSFRENCIA DE PULSO PARA UN SISTEMA CON
ELEMENTOS EN CASCADA
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Para el sistema de la figura en el cual cada una de las funciones ๐บ1(๐) y ๐บ2(๐)
estรกn precedidas por un muestreador y con el mismo periodo de muestreo, resulta:
๐ ๐ = ๐บ1 ๐ ๐โ
(๐)
๐ ๐ = ๐บ2 ๐ ๐โ
(๐)
De las ecuaciones anteriores se obtiene:
๐โ
๐ = ๐บ1
โ
๐ ๐โ
(๐)
๐โ
๐ = ๐บ2
โ
๐ ๐โ
(๐)
๐โ
๐ = ๐บ2
โ
๐ ๐บ1
โ
๐ ๐โ
(๐)
La funciรณn de transferencia de pulso es, entonces:
๐บ ๐ง =
๐(๐ง)
๐(๐ง)
= ๐บ1 ๐ง ๐บ2 ๐ง = โ ๐บ1(๐) โ โ ๐บ2(๐)
31. FUNCIรN DE TRANSFRENCIA DE PULSO PARA UN SISTEMA CON
ELEMENTOS EN CASCADA (2)
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Para el sistema de la figura en la cual los elementos en cascada ๐บ1(๐) y ๐บ2(๐) no
presentan muestreador entre ellos, se obtiene:
๐ ๐ = ๐บ1(๐)๐บ2 ๐ ๐โ
๐ = ๐บ1๐บ2 ๐ ๐โ
(๐)
De la ecuaciรณn anterior se obtiene:
๐โ
๐ = ๐บ1๐บ2 ๐ โ
๐โ
(๐)
Escribiendo la รบltima ecuaciรณn en tรฉrminos de la transformada z resulta:
๐ ๐ง = ๐บ1๐บ2 ๐ง ๐(๐ง)
La funciรณn de transferencia de pulso es:
๐บ ๐ง =
๐(๐ง)
๐(๐ง)
= ๐บ1๐บ2 ๐ง = โ ๐บ1๐บ2 ๐
Se concluye que: ๐บ1 ๐ง ๐บ2(๐ง) โ ๐บ1๐บ2(๐ง)
32. EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Determinar la respuesta ๐(๐๐) del sistema discreto de la figura. Asuma que ๐(๐ก)
es un escalรณn unitario y que el periodo de muestreo es ๐ = 0.5 ๐ . ๐ป(๐) es un
retenedor de orden cero.
m(t) m*(t) c(t)
b(t)
b*(t)
, 1.6
2S+1
0.5
4S+1
1.25
H(S)
SOLUCIรN: Debido a la presencia del retenedor de orden cero, la funciรณn de
transferencia de pulso del sistema estรก dada por:
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
โ
๐บ ๐
๐
๐บ ๐ =
1
2๐ + 1 (4๐ + 1)
=
0.125
๐ + 0.5 (๐ + 0.25)
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
โ
0.125
๐ ๐ + 0.5 (๐ + 0.25)
33. CONTINUACIรN EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Expandiendo en fracciones parciales se obtiene:
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
โ
1
๐
+
1
๐ + 0.5
โ
2
๐ + 0.25
De tablas de transformada ๐ง y con periodo de muestreo ๐ = 0.5 ๐ , resulta:
๐ป๐บ ๐ง =
๐ง โ 1
๐ง
๐ง
๐ง โ 1
+
๐ง
๐ง โ 0.7788
โ
2๐ง
๐ง โ 0.8825
Pero:
๐ป๐บ ๐ง =
๐ต(๐ง)
๐(๐ง)
๐ต ๐ง = ๐ป๐บ ๐ง . ๐(๐ง)
La entrada ๐(๐ก) es un escalรณn unitario, entonces ๐(๐ง) = ๐ง/(๐ง โ 1) , por lo tanto:
๐ต ๐ง =
๐ง
๐ง โ 1
+
๐ง
๐ง โ 0.7788
โ
2๐ง
๐ง โ 0.8825
Tomando la transformada inversa ๐ง a la expresiรณn anterior se obtiene:
๐ ๐๐ = 1 + 0.7788 ๐
โ 2 0.8825 ๐
๐ = 0, 1, 2 โฆ
34. EJEMPLO
Hallar la salida ๐ฅ(๐๐) para el sistema mostrado en la figura. Asuma un periodo de
muestreo ๐ = 1 ๐ y que la entrada ๐(๐ก) es un escalรณn unitario.
๐บ1 ๐ =
8
5๐ + 1
๐บ2 ๐ =
3
6๐ + 1
E(S) A(S) A*(S) X(S) X*(S)
G1(S) G2(S)
T T
SOLUCION: Para el sistema de la figura 3.8 se cumple:
๐ ๐ = ๐บ2 ๐ ๐ดโ
(๐)
๐ด ๐ = ๐บ1 ๐ ๐ธ ๐ = ๐บ1๐ธ(๐)
๐ดโ
๐ = ๐บ1๐ธ(๐) โ
Por lo tanto:
๐ ๐ = ๐บ2(๐) ๐บ1๐ธ(๐) โ
๐โ
๐ = ๐บ2
โ
(๐) ๐บ1๐ธ(๐) โ
Es decir: ๐ ๐ง = ๐บ2 ๐ง ๐บ1๐ธ(๐ง) Luis Edo Garcรญa Jaimes
36. SISTEMAS DE LAZO ABIERTO CON FILTROS DIGITALES
Luis Edo Garcรญa Jaimes
La figura ๐. representa un sistema de lazo abierto en el cual, el convertidor A/D
convierte la seรฑal de tiempo continuo ๐(๐ก) en un secuencia de nรบmeros ๐(๐๐), el
filtro digital procesa esa secuencia de nรบmeros y genera otra secuencia de
nรบmeros ๐(๐๐), la cual es convertida en una seรฑal continua ๐(๐ก) en el convertidor
D/A. La figura ๐. es el modelo equivalente de la figura ๐.
De la figura ๐. se obtiene:
๐ ๐ง = ๐ท ๐ง . ๐ธ ๐ง
๐ถ ๐ง = ๐ป๐บ ๐ง . ๐ ๐ง
๐ถ ๐ง = ๐ท ๐ง . ๐ป๐บ ๐ง . ๐ธ ๐ง ๐ธ๐ ๐๐๐๐๐: : ๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
โ
๐บ๐ ๐
๐
37. EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Determinar la respuesta del sistema de la figura ante una entrada en escalรณn
unitario. Asumir que el periodo de muestreo es ๐ = 0.2 ๐ , que el filtro digital estรก
descrito por la ecuaciรณn de diferencias:
๐ ๐ = 2๐ ๐ โ ๐ ๐ โ 1 y que ๐บ๐ ๐ =
1
๐ + 1
SOLUCIรN: De acuerdo con la figura ๐ท(๐ง) = ๐(๐ง)/๐ธ(๐ง). Tomando la
transformada ๐ง a la ecuaciรณn que describe el filtro:
๐ ๐ง = 2 โ ๐งโ1
๐ธ(๐ง)
๐ท ๐ง =
๐(๐ง)
๐ธ(๐ง)
= 2 โ ๐งโ1
=
2๐ง โ 1
๐ง
38. CONTINUACIรN DEL EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
La funciรณn de transferencia para la planta es:
๐ป๐บ ๐ง = (1 โ ๐งโ1
)โ
๐บ๐(๐)
๐
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
โ
1
๐ ๐ + 1
=
0.18127
๐ง โ 0.81873
Como la entrada es un escalรณn unitario:
๐ธ ๐ง =
๐ง
๐ง โ 1
๐ถ ๐ง = ๐ท ๐ง . ๐ป๐บ ๐ง . ๐ธ ๐ง =
2๐ง โ ๐ง
๐ง
โ
0.18127
๐ง โ 0.81873
โ
๐ง
๐ง โ 1
๐ถ ๐ง =
0.18127(2๐ง โ 1)
๐ง โ 1 (๐ง โ 0.81873)
Expandiendo ๐ถ(๐ง) en fracciones parciales resulta:
๐ถ ๐ง =
1
๐ง โ 1
โ
0.63746
๐ง โ 0.81873
39. CONTINUACIรN DEL EJEMPLO
Tomando la transformada inversa z a la expresiรณn anterior se obtiene:
๐ ๐๐ = 1 โ 0.6376(0.81873)๐โ1
๐ = 1, 2, 3 โฆ
0 ๐ = 0
A continuaciรณn se presentan valores de ๐(๐๐) para 0 โค ๐ โค 10, obtenidos
utilizando MATLAB.
๐ 0 = 0.0000 ๐ 3 = 0.6500 ๐ 6 = 0.8079 ๐(9) = 0.8946
๐ 1 = 0.4779 ๐ 4 = 0.7135 ๐ 7 = 0.8427 ๐(10) = 0.9137
๐ 2 = 0.5726 ๐ 5 = 0.7654 ๐ 8 = 0.8712 ๐ โ = 1.000La
ganancia DC del sistema estรก dada por:
๐พ๐ท๐ถ = lim
๐งโ1
๐ท ๐ง โ lim
๐โ0
โ๐บ๐ (๐)
๐พ๐ท๐ถ = lim
๐งโ1
2๐ง โ 1
๐ง
โ lim
๐โ0
1
๐ + 1
= 1
Luis Edo Garcรญa Jaimes
40. TRANSFORMADA Z MODIFICADA
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Se utiliza cuando el sistema presenta tiempo muerto o retardo ๐โฒ
. Sea la FT:
๐บ๐ ๐) = ๐บ ๐ ๐โ๐โฒ ๐
๐บ(๐) no contiene tiempo muerto y '
๏ฑ es el tiempo muerto. Sea:
๐โฒ
= ๐๐ + ๐
๐ : es el periodo de muestreo y ๐ la parte entera del cociente: ๐ =
๐โฒ
๐
entonces:
๐บ๐ ๐) = ๐บ ๐ ๐โ(๐๐+๐)๐
Tomando la transformada ๐ง a la ecuaciรณn anterior:
๐บ๐ ๐ง = โ ๐บ ๐ ๐โ ๐๐+๐ ๐
๐บ๐ ๐ง = ๐งโ๐
โ ๐บ ๐ ๐โ๐๐
El tรฉrmino โ ๐บ ๐ ๐โ๐๐
se define como la transformada ๐ง modificada de ๐บ(๐) y se
denota por: โ๐ ๐บ(๐) = ๐บ(๐ง, ๐). Entonces:
๐บ๐ ๐ง = ๐งโ๐
โ๐ ๐บ ๐ = ๐งโ๐
๐บ ๐ง, ๐
En donde: ๐ = 1 โ
๐
๐
Si el sistema tiene retenedor de orden cero, la transformada z modificada es:
๐บ๐ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
๐งโ๐
โ๐
๐บ(๐)
๐
41. EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Para el sistema de la figura hallar: a) La funciรณn de transferencia ๐(๐ง) ๐ (๐ง). b) La
salida ๐ฆ(๐๐) si la entrada es ๐ ๐ก = 2๐ข(๐ก)
r(t) T=2 s
H(S)
2e-3S
10S+1 y(t)
HG(z)
a) La funciรณn de transferencia del sistema es: ๐ป๐บ ๐ง =
๐(๐ง)
๐ (๐ง)
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
๐งโ๐
โ๐
๐บ(๐)
๐
๐ =
๐โฒ
๐
=
3
2
= 1 ๐๐๐๐ก๐ ๐๐๐ก๐๐๐
๐ = ๐โฒ
โ ๐๐ = 3 โ 1 โ 2 ๐ = 1
๐ = 1 โ
๐
๐
= 1 โ
1
2
๐ = 0.5
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
๐งโ1
โ๐
2
๐(10๐ + 1)
=
2(๐ง โ 1)
๐ง2
โ๐
0.1
๐(๐ + 0.1)
โ๐
๐
๐(๐ + ๐)
=
1
๐ง โ 1
โ
๐โ๐๐๐
๐ง โ ๐๐๐
๐โ๐๐๐
= 0.9048
๐โ๐๐
= 0.8187
๐ป๐บ ๐ง =
2(๐ง โ 1)
๐ง2
1
๐ง โ 1
โ
0.9048
๐ง โ 0.8187
๐ป๐บ ๐ง =
๐(๐ง)
๐ (๐ง)
=
0.1904๐ง + 0.1722
๐ง2 ๐ง โ 0.8187
43. TRANSFORMADA z MODIFICADA CON MATLAB
Luis Edo Garcรญa Jaimes
%DISCRETIZACION
clc
n=input('Entre el numerador n=');
d=input('Entre el denominador d=');
theta=input('Entre el retardo theta=');
T=input('Entre el periodo de muestreo T=');
G=tf(n,d,'iodelay',theta)
GD=c2d(G,T)
%Otra forma
% [a,b,c,d]=tf2ss(n,d);
% [ad,bd,cd,dd]=c2dt(a,b,c,T,theta);
% [nd1,dd1]=ss2tf(ad,bd,cd,dd);
% printsys(nd1,dd1,'z')
//////////////////////////////////
%Respuesta al escalon 2u(t)
y=2*step(GD)
y =
0
0
0.38065
1.0367
1.5739
2.0137
2.3737
2.6685
2.9099
G =
2
exp(-3*s) * --------
10 s + 1
Continuous-time transfer function.
GD =
0.1903 z + 0.1722
z^(-2) * -----------------
z - 0.8187
Sample time: 2 seconds Discrete-time transfer function.
44. FUNCIรN DE TRANSFERENCIA DE PULSO DE UN
SISTEMA EN LAZO CERRADO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
La figura muestra el diagrama en bloques de un sistema de control digital en lazo
cerrado, en el cual se incluye la dinรกmica de todos los elementos. A รฉste sistema
se le pueden efectuar algunas simplificaciones. Por ejemplo, si el modelo del
sistema es obtenido experimentalmente, la funciรณn de transferencia del proceso
๐บ๐(๐) incluye la dinรกmica del elemento final de control y la del sistema de
mediciรณn. En este caso, el diagrama de la figura ๐ se reduce al de la figura ๐.
๐บ๐ค ๐ง =
๐ถ ๐ง
๐ ๐ง
=
๐ท ๐ง ๐ป๐บ ๐ง
1 + ๐ท ๐ง ๐ป๐บ ๐ง
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
โ
๐บ๐ ๐
๐
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
๐งโ๐
โ๐
๐บ๐ ๐
๐
45. EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Para el sistema de control discreto mostrado en la figura, hallar a) La funciรณn de
transferencia de pulso en lazo cerrado. b) La respuesta ๐(๐๐) si ๐(๐ก) es un escalรณn
unitario. Asuma que el periodo de muestreo es ๐ = 1 ๐ , que ๐ป(๐) es un retenedor
de orden cero y que ๐ท(๐ง) es un controlador digital con funciรณn de transferencia:
๐ท ๐ง =
1.5๐ง โ 1.2
๐ง โ 1
Planta
r(t) c(t)
+
-
H(S)
T
HG(S)
e(t) e(kT)
D(z)
m(kT)
Retenedor
2
S(S+4)
SOLUCIรN: a) La funciรณn de transferencia de pulso para el sistema planta-
retenedor estรก dada por la ecuaciรณn:
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
โ
๐บ๐ ๐
๐
๐ป๐บ ๐ง = (1 โ ๐งโ1
)โ
2
๐2(๐ + 4)
46. CONTINUACIรN EJEMPLO
De tablas se encuentra que:
โ
๐2
๐2(๐ + ๐)
=
๐๐ โ 1 + ๐โ๐๐
๐ง + 1 โ ๐โ๐๐
โ ๐๐๐โ๐๐
๐ง
๐ง โ 1 2(๐ง โ ๐โ๐๐ )
Con ๐ = 1 ๐ y ๐ = 4 se obtiene, despuรฉs de simplificar:
๐ป๐บ ๐ง =
0.37728(๐ง + 0.30096)
๐ง โ 1 (๐ง โ 0.01831)
La funciรณn de transferencia del sistema en lazo cerrado es:
๐บ๐ค ๐ง =
๐ถ(๐ง)
๐ (๐ง)
=
๐ท ๐ง ๐ป๐บ(๐ง)
1 + ๐ท ๐ง ๐ป๐บ(๐ง)
๐บ๐ค ๐ง =
๐ถ(๐ง)
๐ (๐ง)
=
0.37728(๐ง + 0.30096)
๐ง โ 1 (๐ง โ 0.01831)
โ
(1.5๐ง โ 1.2)
๐ง โ 1
1 +
0.37728(๐ง + 0.30096)
๐ง โ 1 (๐ง โ 0.01831)
โ
(1.5๐ง โ 1.2)
๐ง โ 1 Luis Edo Garcรญa Jaimes
47. CONTINUACIรN EJEMPLO
๐บ๐ค ๐ง =
๐ถ(๐ง)
๐ (๐ง)
=
0.37728 ๐ง + 0.30096 1.5๐ง โ 1.2
๐ง3 โ 1.45238๐ง2 + 0.75421๐ง โ 0.15457
๐บ๐ค ๐ง =
๐ถ(๐ง)
๐ (๐ง)
=
0.37728 ๐ง + 0.30096 (1.5๐ง โ 1.2)
๐ง โ 0.67298 (๐ง2 โ 0.77939๐ง + 0.22969)
Si ๐(๐ก) es un escalรณn unitario, ๐ (๐ง) = ๐ง/(๐ง โ 1), por lo tanto:
๐ถ ๐ง = ๐บ๐ค ๐ง ๐ (๐ง) =
0.37728๐ง ๐ง + 0.30096 (1.5๐ง โ 1.2)
(๐ง โ 1) ๐ง โ 0.67298 (๐ง2 โ 0.77939๐ง + 0.22969)
Al expandir ๐ถ(๐ง)/๐ง en fracciones parciales se obtiene:
๐ถ(๐ง)
๐ง
=
1
๐ง โ 1
โ
2.354๐ง โ 0.48948
๐ง2 โ 0.77939๐ง + 0.22969
+
1.3544
๐ง โ 0.67298
Utilizando tablas se obtiene la transformada inversa ๐ง de ๐ถ(๐ง) asรญ:
๐ ๐๐ = 1 + 1.3544(0.67298)๐
โ 2.3542 cos 0.621๐ + 1.5339 sin 0.621๐ (0.4792)๐
Luis Edo Garcรญa Jaimes
48. EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
La figura representa el diagrama en bloques de un sistema de calefacciรณn de una
habitaciรณn. La salida ๐(๐ก) es la temperatura de la habitaciรณn en grados centรญgrados
y la seรฑal de voltaje ๐(๐ก) es la salida del sensor de temperatura. La perturbaciรณn
๐(๐ก) se presenta cuando se abre la puerta de la habitaciรณn. Con la puerta cerrada
๐(๐ก) = 0 pero, si la puerta se abre en ๐ก = ๐ก0 entonces ๐(๐ก) = ๐ข(๐ก โ ๐ก0). a)
Deduzca la funciรณn de transferencia ๐ถ(๐ง)/๐ธ(๐ง). b) Si se aplica un voltaje constante
๐(๐ก) = 10๐ durante un largo periodo de tiempo, cuรกl serรก la temperatura de estado
estable en la habitaciรณn con la puerta estรก cerrada? c) Estime el efecto que
produce, sobre la temperatura, la apertura permanente de la puerta.
50. SOLUCIรN EJEMPLO, CONTINUACIรN
Luis Edo Garcรญa Jaimes
b) Al abrir la puerta aparece la perturbaciรณn y la salida correspondiente a ella es:
๐ถ๐ ๐ = ๐บ๐ ๐ โ ๐ท ๐ ๐ถ๐ ๐ =
2.5
๐ + 0.5
โ
2
๐
=
5
๐(๐ + 0.5)
๐ถ๐ ๐ง = โ
5
๐(๐ + 0.5)
=
5
0.5
โ
0.5
๐(๐ + 0.5)
๐ถ๐ ๐ง =
2.212๐ง
(๐ง โ 1)(๐ง โ 0.7788)
Expandiendo ๐ถ๐(๐ง) ๐ง en fracciones parciales y despejando ๐ถ๐ ๐ง resulta:
๐ถ๐ ๐ง =
10๐ง
๐ง โ 1
โ
10๐ง
๐ง โ 0.7788
โโ1
๐ง
๐ง โ ๐
= ๐๐
Por tanto:
๐ถ๐ ๐๐ = 10 โ 10 0.7788 ๐
๐ถ๐๐๐ = 10 โ
c) Si la puerta se deja largo tiempo abierta, la temperatura final serรก:
๐ถ๐๐ = 40โ โ 10โ = 30โ
Se restan debido al signo que tiene la entrada de la perturbaciรณn.
51. EJEMPLO FTP EN LAZO CERRADO
La figura representa el sistema de control para una de las articulaciones de un
robot. a) Si la entrada al sensor es el รกngulo ๐๐ en grados y el movimiento de la
articulaciรณn estรก restringido de 0ยบ a 270ยบ, determinar el rango de la salida del
sensor. b) Determinar la funciรณn de transferencia del sistema en lazo cerrado
cuando ๐พ = 2.4 ๐ฆ ๐ท ๐ง = 1 Asuma que ๐ = 0.1 ๐ . c) Obtener ๐๐ (๐๐) cuando la
entrada es ๐๐=5 ๐. Cuรกl serรก el valor final de ๐๐ ?
c
๏ฑ m
๏ฑ a
๏ฑ
T
Control Retenedor Servomotor Engranajes
Sensor
D(Z) H(S) K
0.07
200
S(0.5S+1)
1
100
VS
+
-
Ea
a) Para ๐๐ = 0ยฐ ๐๐ = 0.07 โ 0 = 0 Para ๐๐ = 270ยฐ ๐๐ = 0.07 โ 270 = 18.9 ๐
El rango de la salida del sensor es de 0 ๐ 18.9 ๐ Luis Edo Garcรญa Jaimes
53. CONTINUACION DEL EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Despendo ๐๐ ๐ง :
๐๐ ๐ง =
0.04495๐ง + 0.04205
(๐ง โ 0.9569)(๐ง โ 0.8586)
โ ๐๐(๐ง)
Al aplicar un escalรณn con ๐๐ = 5 ๐ resulta:
๐๐ ๐ง =
0.04495๐ง + 0.04205
(๐ง โ 0.9569)(๐ง โ 0.8586)
โ
5๐ง
๐ง โ 1
Expandiendo ๐๐ ๐ง /๐ง en fracciones parciales y despejando ๐๐ ๐ง se obtiene:
๐๐ ๐ง =
71.3777๐ง
๐ง โ 1
+
29.0095๐ง
๐ง โ 0.8586
โ
100.387๐ง
๐ง โ 0.9569
Tomando la transformada inversa ๐ง resulta:
๐๐ ๐๐ = 71.3777 + 29.0095(0.8586)๐
โ 100(0.9569)๐
c) El valor del รกngulo en estado estable al aplicar el escalรณn de 5 V es:
๐๐ = 71.3777ยฐ
54. EL PLANO Z Y SU RELACIรN CON EL PLANO S
En los sistemas de control en tiempo continuo, la localizaciรณn de los polos y de los
ceros en el plano ๐ permite establecer el comportamiento dinรกmico del sistema.
En los sistemas de control en tiempo discreto, la ubicaciรณn de los polos y de los
ceros en el plano ๐ง posibilita analizar el desempeรฑo del sistema discreto.
Luis Edo Garcรญa Jaimes
TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA z
โ ๐ ๐ก = ๐น ๐ = เถฑ
0
โ
๐ ๐ก ๐โ๐๐ก
๐๐ก
โ ๐ก = โ ๐๐ = ๐น ๐ง =
0
โ
๐ ๐๐ ๐งโ๐
๐ก ๐๐
๐โ๐๐ก ๐งโ๐
๐๐๐ ๐ง
Cuando en el proceso se involucra un muestreo por impulsos, las variables
complejas ๐ง y ๐ se relacionan, mediante la ecuaciรณn:
๐ง = ๐๐๐
55. MAPEO DE POLOS Y CEROS EN EL PLANO S Y Z
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Para un polo en el plano ๐ ubicado en ๐ = โ4, y periodo de muestreo ๐ = 0.2 ๐ , la
ubicaciรณn del polo correspondiente en el plano ๐ง es ๐ง = 0.449
๐ง = ๐๐๐
= ๐โ4โ0.2
๐ง = 0.449
Im
Re
Im
Re
Plano S Plano Z
x x
x x
x
-4 0.449
x
56. SISTEMA DE PRIMER ORDEN
La funciรณn de transferencia de un sistema de primer orden con retardo es:
๐บ๐ ๐ =
๐พ๐โ๐๐
๐๐ + 1
๐พ = Ganancia del sistema
๐ = Constante de tiempo
๐ = Retardo o tiempo muerto
La ecuaciรณn caracterรญstica es:
๐๐ + 1 = 0 ๐ = โ
1
๐
๐ง = ๐๐๐
Por lo tanto:
๐ง = ๐โ
๐
๐ ๐ = โ
๐
๐๐ ๐ง
Luis Edo Garcรญa Jaimes
57. SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Para un sistema de segundo orden, con funciรณn de transferencia dada por:
๐บ ๐ =
๐พ๐ค๐
2
๐2 + 2๐๐ค๐๐ + ๐ค๐
2
๐ค๐ = ๐น๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐ข๐๐๐
๐ = ๐ถ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐ก๐
๐พ = ๐บ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
Las raรญces de la ecuaciรณn caracterรญstica: ๐2
+ 2๐๐ค๐๐ + ๐ค๐
2
= 0 son:
๐1,2 = โ๐๐ค๐ ยฑ ๐๐ค๐ 1 โ ๐2
Utilizando la ecuaciรณn ๐ง = ๐๐๐
y teniendo en cuenta que ๐ยฑ๐๐ผ
= ๐๐๐ ๐ผ ยฑ ๐๐ ๐๐๐ผ :
๐ง = ๐โ๐๐ค๐ ๐
โ ยฑ ๐ค๐๐ 1 โ ๐2 = ๐ง โ ยฑ ๐
Haciendo ๐ค๐ = ๐ค๐ 1 โ ๐2, la ecuaciรณn anterior se transforma en:
๐ง = ๐โ๐๐ค๐ ๐
โ ยฑ ๐ค๐ ๐
El รกngulo ๐ค๐๐ estรก dado en radianes. Para darlo en grados:
๐ง = ๐โ๐๐ค๐ ๐
๐ = 57.3๐ค๐๐ 1 โ ๐2
58. EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Para los sistemas de control de tiempo discreto, con periodo de muestreo ๐ = 1.5 ๐
๐) ๐บ1 ๐ง =
2
๐ง โ 0.5
๐) ๐บ2 ๐ง =
0.6๐ง
๐ง2 โ 1.2๐ง + 0.4
๐) ๐บ3(๐ง) =
0.2๐ง
(๐ง โ 0.6)(๐ง2 โ 1.4๐ง + 0.6)
Determinar la constante de tiempo y la ganancia DC.
a) Para el sistema: ๐บ1 ๐ง =
2
๐งโ0.5
Ecuaciรณn caracterรญstica: ๐ง โ 0.5 = 0 Raices de la ecuaciรณn caracterรญstica: ๐ง = 0.5
Constante de tiempo: ๐ = โ
๐
๐๐ ๐ง
๐ = โ
1.5
๐๐ 0.5
๐ = 2.16 ๐ .
Ganancia DC ๐พ๐ท๐ถ = lim
๐งโ1
๐บ ๐ง ๐พ๐ท๐ถ = lim
๐งโ1
2
๐งโ0.5
๐พ๐ท๐ถ = 4
b) Para el sistema: ๐บ2 ๐ง =
0.6๐ง
๐ง2โ1.2๐ง+0.4
Ecuaciรณn Caracterรญstica: ๐ง2
โ 1.2๐ง + 0.4 = 0 Raรญces: ๐ง = 0.6 ยฑ ๐0.2
๐ง = ๐ ๐2 + ๐ผ๐2 ๐ง = 0.62 + 0.22 ๐ง = 0.632
Constante de tiempo: ๐ = โ
๐
๐๐ ๐ง
๐ = โ
1.5
๐๐ 0.632
๐ = 3.26 ๐ .
Ganancia DC ๐พ๐ท๐ถ = lim
๐งโ1
0.6๐ง
๐ง2โ1.2๐ง+0.4
๐พ๐ท๐ถ = 3
59. CONTINUACIรN EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
c) Para el sistema: ๐บ3(๐ง) =
0.2๐ง
(๐งโ0.6)(๐ง2โ1.4๐ง+0.6)
Ecuaciรณn caracterรญstica: ๐ง โ 0.6 ๐ง2
โ 1.4๐ง + 0.6 = 0 Raรญces: ๐ง = 0.6 ๐ง = 0.7 ยฑ 0.5567
Constante de tiempo: ๐ = โ
1.5
๐๐ 0.6
โ
1.5
๐๐ 0.8943
๐ = 16.36 ๐
Ganancia: ๐พ๐ท๐ถ = 2.5
60. ANรLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Para el sistema de control en tiempo discreto de la figura, la funciรณn de transferencia
de pulso en lazo cerrado estรก dada por:
๐บ๐ค ๐ง =
๐ถ(๐ง)
๐ (๐ง)
=
๐บ(๐ง)
1 + ๐บ๐ป(๐ง)
La ecuaciรณn caracterรญstica del sistema es:
1 + ๐บ๐ป ๐ง = 0
Si ๐ง es una raรญz de la ecuaciรณn caracterรญstica y teniendo en cuenta que
๐ง = ๐๐๐
Si ๐ < 0 Entonces: ๐ง < 1 El sistema es estable
Si ๐ = 0 Entonces: ๐ง = 1 El sistema es crรญticamente estable
Si ๐ > 0 Entonces: ๐ง > 1 El sistema es inestable
61. CONDICIONES DE ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DISCRETO
๏ท El sistema es estable si todos sus polos de lazo cerrado estรกn ubicados dentro
del cรญrculo unitario del plano ๐ง. Cualquier polo de lazo cerrado localizado fuera
del cรญrculo unitario genera un sistema inestable.
๏ท Un polo simple o un solo par de polos complejos conjugados ubicados sobre el
cรญrculo unitario ( ๐ง = 1), hace que el sistema sea crรญticamente estable. Polos
mรบltiples ubicados sobre el cรญrculo unitario hacen que el sistema sea inestable.
๏ท Los ceros de lazo cerrado no afectan la estabilidad del sistema.
Luis Edo Garcรญa Jaimes
62. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE JURY
Para aplicar esta prueba a la ecuaciรณn caracterรญstica ๐(๐ง) = 0, se construye una
tabla cuyos elementos estรกn determinados por los coeficientes de ๐(๐ง).
Para construir la tabla la ecuaciรณn caracterรญstica se debe escribir en la forma:
๐ ๐ง = ๐๐๐ง๐
+ ๐๐โ1๐ง๐โ1
+ ๐๐โ2๐ง๐โ2
+ โฏ ๐1๐ง + ๐0 = 0 ๐๐ > 0
El arreglo de Jury se construye como se indica en la tabla
Luis Edo Garcรญa Jaimes
63. CONSTRUCCIรN DE LA TABLA DE JURY
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Los coeficientes del arreglo de Jury se calculan asรญ:
๐0 =
๐0 ๐๐
๐๐ ๐0
๐1 =
๐0 ๐๐โ1
๐๐ ๐1
๐2 =
๐0 ๐๐โ2
๐๐ ๐2
๐๐ =
๐0 ๐๐โ๐
๐๐ ๐๐
๐0 =
๐0 ๐๐โ1
๐๐โ1 ๐0
๐1 =
๐0 ๐๐โ2
๐๐โ1 ๐1
๐๐ =
๐0 ๐๐โ1โ๐
๐๐โ1 ๐๐
๐๐ =
๐0 ๐3โ๐
๐3 ๐๐
Para que el sistema sea estable, se requiere el cumplimiento de ๐ + 1 condiciones,
en donde ๐ es el orden de la ecuaciรณn caracterรญstica. Dichas condiciones son:
1. ๐ 1 > 0
2. โ1 ๐
๐(โ1) > 0
3. ๐0 < ๐๐
4. ๐0 > ๐๐โ1
5. ๐0 > ๐๐โ2
. . . . .
๐ + 1. ๐0 > ๐2
64. PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR LA PRUEBA DE JURY
El procedimiento para efectuar la prueba es el siguiente:
Paso1: Determinar si se cumplen las condiciones 1, 2 y 3. Si no se cumplen, el
sistema es inestable, si se cumplen se efectรบa el paso 2
Paso 2: Determinar el mรกximo valor de ๐, asรญ:
๐๐๐๐ฅ = ๐ โ 2
Si ๐๐๐๐ฅ = 0, no se continรบa el procedimiento pues la informaciรณn del paso 1 es
suficiente para determinar la estabilidad del sistema.
Paso 3: El mรกximo nรบmero de filas que ha de tener el arreglo estรก dado por:
๐น
๐๐๐ฅ = 2๐๐๐๐ฅ + 1 = 2๐ โ 3
Paso 4: Se completa el arreglo. A cada fila se le aplica la restricciรณn. Si รฉsta no se
cumple, no se continรบa y el sistema es inestable
Luis Edo Garcรญa Jaimes
65. EJEMPLO 1 CRITERIO DE JURY
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Determinar la estabilidad del sistema de control discreto cuya funciรณn de
transferencia en lazo cerrado es:
๐บ๐ค ๐ง =
๐ถ(๐ง)
๐ (๐ง)
=
๐ง2
(๐ง + 0.5)
๐ง4 โ 0.8๐ง3 + 0.5๐ง2 + 0.2๐ง โ 0.1
SOLUCIรN: La ecuaciรณn caracterรญstica del sistema es:
๐ง4
โ 0.8๐ง3
+ 0.5๐ง2
+ 0.2๐ง โ 0.1 = 0
๐4 = 1 ๐3 = โ0.8 ๐2 = 0.5 ๐1 = 0.2 ๐0 = โ0.1
Para evaluar la estabilidad el procedimiento se inicia asรญ:
Nรบmero de condiciones: ๐ + 1 = 4 + 1 = 5
Paso 1: Verificaciรณn de las condiciones 1, 2 y 3.
1. ๐ 1 > 0 ๐ 1 = 1 โ 0.8 + 0.5 + 0.2 โ 0.1 = 0.8 > 0
2. โ1 4
๐ โ1 > 0 ๐ โ1 = 1 + 0.8 + 0.5 โ 0.2 โ 0.1 = 2 > 0
3. ๐0 < ๐๐ โ0.1 < 1
Las condiciones 1, 2 y 3 se cumplen.
67. CONTINUACIรN EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
๐0 =
โ0.99 โ0.12
โ0.12 โ0.99
= 0.9657 ๐1 =
โ0.99 โ0.55
โ0.12 0.78
= โ0.8382
๐2 =
โ0.99 0.78
โ0.12 โ0.55
= 0.6381
๐0 > ๐2 0.9657 > 0.6381 Cumple
Dado que se cumplen todas las condiciones el sistema es estable.
Utilizando el Matlab se obtienen las raรญces de la ecuaciรณn caracterรญstica:
๐ง4
โ 0.8๐ง3
+ 0.5๐ง2
+ 0.2๐ง โ 0.1 = 0
Asรญ
๐ง = 0.4521 ยฑ ๐0.7257 ๐ง = 0.855
๐ง = โ0.4256 ๐ง = 0.3213
Se observa entonces que todas las raรญces de la ecuaciรณn caracterรญstica estรกn
ubicadas dentro del cรญrculo unitario, con lo cual se cumple la condiciรณn de
estabilidad.
68. EJEMPLO 2
Para el sistema de control discreto de la figura, determinar el valor o valores de la
ganancia ๐พ para los cuales el sistema es estable. Asumir como periodo de
muestreo ๐ = 1 ๐ y que ๐ป(๐) es un retenedor de orden cero.
Luis Edo Garcรญa Jaimes
SOLUCIรN: La funciรณn de transferencia de pulso para el sistema estรก dada por :
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
โ
๐บ ๐
๐
= 1 โ ๐งโ1
โ
3
๐2(๐ + 5)
Con un periodo de muestreo ๐ = 1 ๐ se obtiene:
๐ป๐บ ๐ง =
0.4808(๐ง + 0.2394)
๐ง โ 1 (๐ง โ 0.00673)
La funciรณn de transferencia en lazo cerrado es:
๐บ๐ค ๐ง =
๐ถ(๐ง)
๐ (๐ง)
=
๐พ. ๐ป๐บ(๐ง)
1 + ๐พ. ๐ป๐บ(๐ง)
๐บ๐ค ๐ง =
๐ถ(๐ง)
๐ (๐ง)
=
0.4808๐พ(๐ง + 0.2394)
๐ง โ 1 ๐ง โ 0.00673 + 0.4808๐พ(๐ง + 0.2394)
70. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH PARA SISTEMAS DISCRETOS
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Un mรฉtodo muy utilizado en el anรกlisis de estabilidad de sistemas discretos es el
uso de la transformaciรณn bilineal junto con el criterio de Routh. La transformaciรณn
bilineal permite transformar el plano ๐ง en otro plano ๐ค y estรก definida por:
๐ง =
1 +
๐๐ค
2
1 โ
๐๐ค
2
๐ค =
2
๐
๐ง โ 1
๐ง + 1
Lo cual posibilita transformar la ecuaciรณn caracterรญstica:
๐ ๐ง = ๐๐ ๐ง๐
+ ๐๐โ1๐ง๐โ1
+ ๐๐โ2๐ง๐โ2
+ โฏ ๐1๐ง + ๐0 = 0 ๐๐ > 0
En otra ecuaciรณn caracterรญstica de la forma:
๐ ๐ค = ๐ผ๐ ๐ค๐
+ ๐ผ๐โ1๐ค๐โ1
+ โฏ ๐ผ1๐ค + ๐ผ0
Asรญ, el arreglo de Routh toma la forma:
๐ค๐
๐ค๐โ1
๐ค๐โ2
๐ค๐โ3
โฎ
๐ค2
๐ค1
๐ค0
๐ผ๐ ๐ผ๐โ2 ๐ผ๐โ4 โฏ
๐ผ๐โ1 ๐ผ๐โ3 ๐ผ๐โ5 โฏ
๐1 ๐2 ๐3 โฆ
๐1 ๐2 ๐3 โฏ
โฎ โฎ โฎ โฎ
๐1 ๐2
๐1
๐1
71. COEFICIENTES DEL ARREGLO DE ROUTH
En donde:
๐1 =
(๐ผ๐โ1)(๐ผ๐โ2) โ ๐ผ๐ (๐ผ๐โ3)
๐ผ๐โ1
๐1 =
๐1 ๐ผ๐โ3 โ ๐2 (๐ผ๐โ1)
๐1
๐2 =
(๐ผ๐โ1)(๐ผ๐โ4) โ ๐ผ๐ (๐ผ๐โ5)
๐ผ๐โ1
๐2 =
๐1 ๐ผ๐โ5 โ ๐3 (๐ผ๐โ1)
๐1
๐3 =
(๐ผ๐โ1)(๐ผ๐โ6) โ ๐ผ๐ (๐ผ๐โ7)
๐ผ๐โ1
. . . . . . .
El criterio de Routh-Hurwist establece que: el sistema es estable sรญ y solo sรญ todos
los coeficientes de la primera columna del arreglo son positivos.
โEl nรบmero de raรญces de la ecuaciรณn caracterรญstica con parte real positiva es igual
al nรบmero de cambios de signo que se presentan en los coeficientes de la primera
columna del arregloโ.
Luis Edo Garcรญa Jaimes
72. EJEMPLO ESTABILIDAD SEGรN CRITERIO DE ROUTH
Determinar el valor de ๐พ para el cual el sistema de control discreto de la figura es
estable. ๐ป(๐) es un retenedor de orden cero. Periodo de muestreo ๐ = 2 ๐ .
Luis Edo Garcรญa Jaimes
SOLUCIรN: Como la funciรณn de transferencia del proceso presenta retardo, es
necesario trabajar con la transformada ๐ง modificada. Por lo tanto:
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
๐งโ๐
โ๐
๐บ๐ ๐
๐
๐บ๐ (๐) =
5๐โ3๐
10๐ + 1
๐ =
๐โฒ
๐
=
3
2
= 1 (๐๐๐๐ก๐ ๐๐๐ก๐๐๐)
๐ = ๐โฒ
โ ๐๐ = 3 โ 2 ๐ = 1
๐ = 1 โ
๐
๐
= 1 โ
1
2
๐ = 0.5
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
๐งโ1
โ๐
5
๐ 10๐ + 1
=
5(๐ง โ 1)
๐ง2
โ๐
0.1
๐ ๐ + 0.1
74. CONTINUACIรN EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
1 + 0.025๐พ ๐ค3
+ 2.0996 + 0.448๐พ ๐ค2
+ 1.1993 โ 0.971๐พ ๐ค + 0.0996 + 0.498๐พ = 0
El arreglo de Routh para la ecuaciรณn anterior es:
๐ค3
๐ค2
๐ค1
๐ค0
1 + 0.025๐พ 1.1993 โ 0.971๐พ
2.0996 + 0.448๐พ 0.0996 + 0.498๐พ
2.4184 โ 2.006๐พ โ 0.446๐พ2
2.0996 + 0.448๐พ
0
0.0996 + 0.498๐พ
Para que el sistema sea estable, se debe cumplir:
1 + 0.025๐พ > 0 ๐พ > โ40
2.0996 + 0.448๐พ > 0 ๐พ > โ4.686
2.4184 โ 2.006๐พ โ 0.446๐พ2
2.0996 + 0.448๐พ
> 0 ๐พ < 0.998
0.0996 + 0.498๐พ > 0 ๐พ > โ0.2
Considerando los resultados anteriores, se deduce que el sistema es estable si:
โ0.2 < ๐พ < 0.988
75. CONTINUACIรN EJEMPLO
La frecuencia de oscilaciรณn para ๐พ = 0.988 se puede determinar a partir de la fila
de ๐ค2
en el arreglo. En esta fila, se reemplaza ๐พ y se resuelve la ecuaciรณn resultante
para ๐ค๐ค, cuyo valor corresponde a la parte imaginaria de ๐ค.
Para el caso del ejemplo que se analiza, la ecuaciรณn para evaluar a ๐ค๐ค es:
2.0996 + 0.448(0.988) ๐ค๐ค
2
+ 0.0996 + 0.498 0.988 = 0
2.542๐ค๐ค
2
+ 0.591 = 0 ๐ค๐ค = ยฑ๐0.482
Si se desea hallar la frecuencia real ๐ค en el plano ๐ se debe utilizar la ecuaciรณn:
๐ค๐ค =
2
๐
tan
๐ค๐
2
๐ค =
2
๐
tanโ1
๐ค๐ค ๐
2
๐ค =
2
2
tanโ1
0.482 โ 2
2
๐ค = 0.449 ๐๐๐/๐
Luis Edo Garcรญa Jaimes
76. ANรLISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA Y DE ESTADO ESTABLE
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Con frecuencia, las caracterรญsticas de funcionamiento del sistema se especifican en
funciรณn de su respuesta transitoria ante un escalรณn unitario, ya que รฉste tipo de
entrada es fรกcil de generar y permite obtener informaciรณn รบtil del sistema.
La figura muestra las especificaciones de respuesta transitoria, de un sistema de
segundo orden subamortiguado, ante una entrada en escalรณn unitario.
77. ESPECIFICACIONES DE RESPUESTA TRANSITORIA
Tiempo de retardo (๐๐ ): Es el tiempo necesario para que la respuesta del sistema
alcance por primera vez, el 50% de su valor final.
๐ก๐ =
1 + 0.7๐
๐ค๐
0 < ๐ < 1
๐ก๐ =
1.1 + 0.125๐ + 0.46๐2
๐ค๐
0 < ๐ < 1
Tiempo de crecimiento (๐๐): Es el tiempo que requiere la respuesta al escalรณn
para pasar del 10% al 90% de su valor final.
๐ก๐ =
0.8 + 2.5๐
๐ค๐
0 < ๐ < 1
๐ก๐ =
1 โ 0.4167๐ + 2.9๐2
๐ค๐
0 < ๐ < 1
Tiempo de pico (๐๐): Es el tiempo necesario para que la respuesta al escalรณn
alcance su mรกximo sobreimpulso.
๐ก๐ =
๐
๐ค๐ 1 โ ๐2
0 < ๐ < 1
Luis Edo Garcรญa Jaimes
78. ESPECIFICACIONES DE RESPUESTA TRANSITORIA
Mรกximo sobreimpulso (๐ด๐): Es el valor mรกximo de la curva de respuesta al
escalรณn medido partir del valor de estado estable.
๐๐๐ฅ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐ ๐ =
๐ ๐ก๐ โ ๐(โ)
๐(โ)
โ 100%
En donde ๐(๐ก๐ ) representa el valor mรกximo alcanzado por la respuesta y ๐(โ)
representa el valor de estado estable de la misma. En tรฉrminos de ๐ y ๐ค๐ el valor
del mรกximo sobreimpulso estรก dado por:
๐๐ = ๐โ๐๐ 1โ๐2
0 < ๐ < 1
Tiempo de establecimiento (๐๐): Es el tiempo requerido para que la curva de
respuesta al escalรณn alcance y se quede variando, alrededor de su valor final dentro
2% del valor absoluto de su valor final.
๐ก๐ =
4
๐๐ค๐
0 < ๐ < 1
Para sistemas con ๐ โฅ 1, el tiempo de establecimiento estรก dado por:
๐ก๐ =
8๐
๐ค๐
๐ โฅ 1
Luis Edo Garcรญa Jaimes
79. ERROR EN ESTADO ESTABLE EN SISTEMAS DISCRETOS
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Para el sistema de control de la figura, la seรฑal de error ๐(๐ก), estรก dada por:
๐ ๐ก = ๐ ๐ก โ ๐ ๐ก
Tomando la transformada ๐ง se obtiene:
๐ธ ๐ง = ๐ ๐ง โ ๐ถ ๐ง
La funciรณn de transferencia de pulso de lazo cerrado para el sistema es:
๐บ๐ค ๐ง =
๐ถ(๐ง)
๐ (๐ง)
=
๐ป๐บ(๐ง)
1 + ๐ป๐บ(๐ง)
Al despejar ๐ถ(๐ง) y llevar el resultado a la ecuaciรณn de ๐ธ(๐ง) se obtiene:
๐ธ ๐ง = ๐ ๐ง โ
๐ป๐บ ๐ง . ๐ ๐ง
1 + ๐ป๐บ ๐ง
๐ธ ๐ง =
๐ (๐ง)
1 + ๐ป๐บ(๐ง)
El error de estado estable se puede evaluar aplicando el teorema del valor final:
๐๐ ๐ ๐๐ = lim
๐งโ1
๐ง โ 1 ๐ธ ๐ง = lim
๐งโ1
๐ง โ 1
๐ ๐ง
1 + ๐ป๐บ ๐ง
80. ERROR DE ESTADO ESTABLE ANTE DIFERENTES ENTRADAS
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Entrada escalรณn: Para una entrada en escalรณn ๐(๐ก) = ๐ด se tiene:
๐ (๐ง) =
๐ด๐ง
๐ง โ 1
๐๐ ๐ ๐๐ = lim
๐งโ1
๐ง โ 1
๐ด๐ง
๐ง โ 1 (1 + ๐ป๐บ(๐ง)
= lim
๐งโ1
๐ด
1 + ๐ป๐บ(๐ง)
Se define la Constante de error de posiciรณn estรกtica como:
๐๐ = lim
๐งโ1
๐ป๐บ ๐ง = lim
๐งโ1
(๐น๐๐ฟ๐ด) ๐๐ ๐ =
๐ด
1 + ๐๐
Entrada rampa: Para una entrada rampa ๐(๐ก) = ๐ด๐ก se tiene:
๐ ๐ง =
๐ด๐๐ง
๐ง โ 1 2
๐๐ ๐ ๐๐ = lim
๐งโ1
๐ง โ 1
๐ด๐๐ง
๐ง โ 1 2 1 + ๐ป๐บ(๐ง)
= lim
๐งโ1
๐ด๐
๐ง โ 1 ๐ป๐บ(๐ง)
Si se define la Constante de error de velocidad estรกtica como:
๐๐ฃ =
1
๐
lim
๐งโ1
๐ง โ 1 ๐ป๐บ ๐ง =
1
๐
lim
๐งโ1
๐ง โ 1 . ๐น๐๐ฟ๐ด ๐๐ ๐ ๐๐ =
๐ด
๐๐ฃ
81. ERROR DE ESTADO ESTABLE ANTE DIFERENTES ENTRADAS
Luis Edo Garcรญa Jaimes
๐ป๐๐๐ ๐ฌ๐๐๐๐รณ๐ ๐น๐๐๐๐ ๐ท๐๐รก๐๐๐๐
0 ๐ด
1 + ๐๐
โ โ
1 0
๐ด
๐๐ฃ
โ
2 0 0
๐ด
๐๐
Entrada parรกbola: Para una entrada parรกbola ๐ ๐ก = ๐ด๐ก2
2, se tiene:
๐ ๐ง =
๐ด๐2
(๐ง + 1)
2(๐ง โ 1)3
Si se define la Constante de error de aceleraciรณn estรกtica como:
๐๐ =
1
๐2
lim
๐งโ1
๐ง โ 1 2
. ๐น๐๐ฟ๐ด ๐๐ ๐ ๐๐ =
๐ด
๐๐
La funciรณn de transferencia en lazo abierto ๐ป๐บ(๐ง) se puede escribir en la forma:
๐ป๐บ ๐ง =
๐ (๐ง โ ๐ง๐)
(๐ง โ 1)๐ (๐ง โ ๐๐)
๐ indica el tipo del sistema y representa el nรบmero de integradores. ๐ = 0 Sistema
tipo cero, ๐ = 1 Sistema tipo 1, para ๐ = 2 el sistema es tipo 2, etc.
82. EJEMPLO RESPUESTA Y ERROR DE ESTADO ESTABLE
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Considerando el sistema de control de lazo cerrado que se muestra en la figura
Calcular a) La respuesta ๐(๐๐) del sistema ante una entrada en escalรณn unitario
con ๐ท(๐ง) = 1 y ๐ = 0.5 ๐ . b) La respuesta ๐(๐ก) del sistema continรบo al escalรณn
unitario (es decir, removiendo el muestreador, el controlador digital y el retenedor).
c) Calcular el error de estado estable del sistema discreto ante entradas escalรณn,
rampa y parรกbola unitarias.
๐บ๐ ๐ =
0.5
๐ + 0.5
SOLUCIรN: a) La funciรณn de transferencia de pulso para la planta es:
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
โ
๐บ ๐
๐
= 1 โ ๐งโ1
โ
0.5
๐(๐ + 0.5)
=
0.2212
๐ง โ 0.7788
83. CONTINUACION EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
La funciรณn de transferencia de lazo cerrado es:
๐บ๐ค ๐ง =
๐ถ(๐ง)
๐ (๐ง)
=
๐ท ๐ง ๐ป๐บ(๐ง)
1 + ๐ท ๐ง ๐ป๐บ(๐ง)
=
0.2212
๐ง โ 0.5576
Si la entrada es un escalรณn unitario:
๐ ๐ง =
๐ง
๐ง โ 1
y ๐ถ ๐ง = ๐บ๐ค ๐ง . ๐ (๐ง)
๐ถ ๐ง =
0.2212๐ง
๐ง โ 1 (๐ง โ 0.5576)
Si se expande ๐ถ(๐ง)/๐ง en fracciones parciales se obtiene, al despejar ๐ถ(๐ง):
๐ถ ๐ง =
0.5๐ง
๐ง โ 1
โ
0.5๐ง
๐ง โ 0.5576
๐ ๐๐ = 0.5 โ 0.5(0.5576)๐
b) La funciรณn de transferencia de lazo cerrado para el sistema continuo es:
๐บ๐ค ๐ =
๐ถ(๐)
๐ (๐)
=
๐บ(๐)
1 + ๐บ(๐)
=
0.5
๐ + 1
Si la entrada es un escalรณn unitario ๐ (๐) = 1/๐ y ๐ถ(๐) = ๐บ๐ค (๐). ๐ (๐) es decir:
84. CONTINUACIรN EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
๐ถ ๐ = ๐บ๐ค ๐ ๐ ๐ =
0.5
๐(๐ + 1)
=
0.5
๐
โ
0.5
๐ + 1
๐ ๐ก = 0.5 โ 0.5๐โ๐ก
c) El error actuante de estado estable ante una entrada en escalรณn es:
๐๐ ๐ =
๐ด
1 + ๐๐
๐๐ = lim
๐งโ1
(๐น๐๐๐ฟ๐ด)
๐๐ = lim
๐งโ1
0.2212
๐ง โ 0.7788
= 1 ๐๐ ๐ =
1
1 + 1
๐๐ ๐ = 0.5
El error actuante de estado estable para una entrada rampa es:
๐๐ ๐ =
๐ด
๐๐ฃ
๐๐ฃ =
1
๐
lim
๐งโ1
(๐ง โ 1) ๐น๐๐๐ฟ๐ด
๐๐ฃ =
1
0.5
lim
๐งโ1
(๐ง โ 1)
0.2212
๐ง โ 0.7788
= 0 ๐๐ ๐ =
1
0
๐๐ ๐ = โ
El error actuante de estado estable para una entrada parรกbola es:
๐๐ ๐ =
๐ด
๐๐
๐๐ =
1
๐2
lim
๐งโ1
(๐ง โ 1)2
๐น๐๐๐ฟ๐ด
๐๐ =
1
0.25
lim
๐งโ1
(๐ง โ 1)2
0.2212
๐ง โ 0.7788
= 0 ๐๐ ๐ =
1
0
๐๐ ๐ = โ
85. EJEMPLO
Para el sistema de control discreto de lazo cerrado mostrado en la figura hallar: a)
La constante de tiempo para ๐ = 0.5 ๐ b) El tiempo requerido para que la respuesta
del sistema, a una entrada en escalรณn, alcance el 98% de su valor final. c) Repita
las partes a y b para el sistema continuo, es decir, si se remueven el retenedor, y
el controlador digital.
Luis Edo Garcรญa Jaimes
๐บ๐ ๐ =
0.5
๐ + 0.5
SOLUCIรN: a) La funciรณn de transferencia de pulso para la planta es:
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
โ
๐บ ๐
๐
= 1 โ ๐งโ1
โ
0.5
๐(๐ + 0.5)
=
0.2212
๐ง โ 0.7788
La funciรณn de transferencia de lazo cerrado es:
๐บ๐ค ๐ง =
๐ถ(๐ง)
๐ (๐ง)
=
๐ท ๐ง ๐ป๐บ(๐ง)
1 + ๐ท ๐ง ๐ป๐บ(๐ง)
=
0.2212
๐ง โ 0.5576
86. CONTINUACIรN DEL EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
La ubicaciรณn de un polo en el plano ๐ง estรก dada por:
๐ง = ๐โ๐๐ค๐ ๐
๐ = 57.3๐ค๐๐ 1 โ ๐2
De las ecuaciones anteriores se obtiene:
๐๐ค๐ = โ
ln ๐ง
๐
pero: ๐ =
1
๐๐ค๐
= โ
๐
ln ๐ง
El sistema en lazo cerrado tiene un polo en ๐ง = 0.5576, entonces:
๐ = โ
0.5
ln 0.5576
๐ = 0.856 ๐ .
b) El sistema alcanza el 98% del valor final de la respuesta al escalรณn cuando el
tiempo transcurrido es ๐ก = 4๐, en este caso ๐ก = 4 โ 0.856 ๐ก = 3.42 ๐ .
c) La funciรณn de transferencia de lazo cerrado para el sistema continuo es:
๐บ๐ค ๐ =
๐บ(๐)
1 + ๐บ(๐)
๐บ๐ค ๐ =
0.5
๐ + 1
๐ = 1 ๐
87. RAICES DOMINANTES Y RAICES NO DOMINANTES
Luis Edo Garcรญa Jaimes
En el plano ๐, las raรญces mรกs cercanas al eje imaginario en el semiplano izquierdo
son las raรญces dominantes. Las raรญces que estรกn mรกs alejadas del eje imaginario
corresponden a raรญces no dominantes.
En el plano ๐ง las raรญces dominantes estรกn dentro del cรญrculo unitario y mรกs cercanas
a รฉste. Las raรญces cercanas al origen del plano ๐ง son raรญces no dominantes.
Para el diseรฑo se recomienda seleccionar las raรญces dominantes con coeficiente de
amortiguamiento ๐ = 0.707 y ubicadas en la regiรณn derecha del cรญrculo unitario.
La figura muestra las regiones en las que se recomienda ubicar las raรญces.
88. MรTODO DEL LUGAR GEOMรTRICO DE LAS RAICES
Luis Edo Garcรญa Jaimes
El mรฉtodo del LGM de las raรญces permite encontrar los polos de la funciรณn de
transferencia de lazo cerrado a partir de la funciรณn de transferencia de lazo abierto.
Condiciรณn de รกngulo y condiciรณn de mรณdulo: Para un sistema de control discreto
como el de la figura, la ecuaciรณn caracterรญstica es:
1 + ๐บ๐ป ๐ง = 0 ๐บ๐ป ๐ง = โ1
Como ๐บ๐ป(๐ง) es una cantidad compleja, debe cumplir dos condiciones a saber:
Condiciรณn de รกngulo: โก๐บ๐ป ๐ง = ๐ = ยฑ180 2๐ + 1 ๐ = 0, 1, 2, โฏ
Condiciรณn de mรณdulo: ๐บ๐ป(๐ง) = 1
Los valores de ๐ง que cumplen simultรกneamente las dos condiciones, son las raรญces
de la ecuaciรณn caracterรญstica, es decir, son los polos de lazo cerrado del sistema.
89. EJEMPLO TRAZADO LGR
Para el sistema de control discreto mostrado en la figura, a) Trazar el lugar
geomรฉtrico de las raรญces para tiempo de muestreo ๐ = 1 ๐ . b) Para quรฉ valor de
๐พ el sistema tiene un polo de lazo cerrado en ๐ง = 0.6967 ยฑ ๐0.549.
Luis Edo Garcรญa Jaimes
SOLUCIรN: la funciรณn de transferencia de pulso del sistema con ๐ก = 1๐ es:
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
โ
๐พ
๐2 ๐ + 0.5
๐ป๐บ ๐ง =
0.4261๐พ(๐ง + 0.8467)
๐ง โ 1 (๐ง โ 0.6065)
La funciรณn de transferencia de lazo cerrado para el sistema es:
๐บ๐ค ๐ง =
๐ท ๐ง . ๐ป๐บ(๐ง)
1 + ๐ท ๐ง . ๐ป๐บ(๐ง)
=
๐ป๐บ(๐ง)
1 + ๐ป๐บ(๐ง)
La ecuaciรณn caracterรญstica del sistema es: 1 + ๐ป๐บ(๐ง) = 0 es decir:
1 + ๐ป๐บ ๐ง = 1 +
0.4261๐พ(๐ง + 0.8467)
๐ง โ 1 (๐ง โ 0.6065)
= 0
90. CONTINUACIรN EJEMPLO
% Programa para obtener el LGR del ejemplo
clc
n=[1];
d=[1 0.5 0]; %Planta continua
[nd,dd]=c2dm(n,d,1,'zoh'); %Discretizaciรณn con T=1 seg
x=0:0.1:2*pi;
figure(1)
plot(sin(x),cos(x),'.') %Dibuja el circulo unitario
hold
rlocus(nd,dd) %Grafica del lugar geomรฉtrico de las raรญces
axis([-3 1.5 -2 2]) %Escala para los ejes
Luis Edo Garcรญa Jaimes
92. CรLCULO DE LA GANANCIA PARA UN POLO
DETERMINADO
b) Para obtener el valor de la ganancia ๐พ de modo que la ecuaciรณn caracterรญstica
contenga un polo especรญfico se procede asรญ: polo deseado ๐ง = 0.6967 ยฑ ๐0.549.
1 +
0.4261๐พ(๐ง + 0.8467)
๐ง โ 1 (๐ง โ 0.6065)
= 0
Reemplazando ๐ง por ๐ง = 0.6967 ยฑ ๐0.549 en la ecuaciรณn caracterรญstica resuta:
1 +
0.4261๐พ 0.6967 + ๐0.549 + 0.8467
0.6967 + ๐0.549 โ 1 0.6967 + 0.549 โ 0.6065
= 0
1 +
0.4261๐พ(1.5464 + ๐0.549)
(โ0.3033 + ๐0.549)(0.0902 + ๐0.549)
= 0
1 +
0.65892๐พ + ๐0.23392
โ0.32875 โ ๐0.11699
= 0 ๐พ = 0.5
Luis Edo Garcรญa Jaimes
93. LGR (EJEMPLO 2)
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Obtener el LGR al variar ๐พ desde 0 hasta โ y hallar la ganancia crรญtica para el
sistema de control discreto cuya funciรณn de transferencia de lazo abierto es:
๐ป๐บ ๐ง =
0.5๐พ(๐ง + 0.5)
๐ง ๐ง โ 0.8 (๐ง2 โ 0.8๐ง + 0.41)
% Programa para obtener el LGR del ejemplo
clc
nd=[0.5 0.25];
dd=[1 -1.6 1.05 -0.328 0]; %Planta discreta
x=0:0.1:2*pi;
figure(1)
plot(sin(x),cos(x),'.') %Dibuja el circulo unitario
hold
rlocus(nd,dd) %Grafica del lugar geomรฉtrico de las raรญces
axis([-1.2 1.2 -1.2 1.2]) %Escala para los ejes
95. CรLCULO DE LA GANACIA CRรTICA (MรXIMA)
Luis Edo Garcรญa Jaimes
El valor de la ganancia crรญtica se obtiene haciendo ๐พ๐ป๐บ(๐ง) = 1. En el punto en
donde se interceptan el LGR y el cรญrculo unitario o sea ๐ง = 0.821 + ๐0.587:
0.5๐พ(๐ง + 0.5)
๐ง ๐ง โ 0.8 (๐ง2 โ 0.8๐ง + 0.41) ๐ง=0.821+๐0.587
= 1
0.5๐พ 0.821 + ๐0.587 + 0.5
0.821 + ๐0.587 (0.821 + ๐0.587 โ 0.8) 0.821 + ๐0.587 2 โ 0.8 0.821 + ๐0.587 + 0.41
= 1
0.5๐พ 1.321 + ๐0.587
0.821 + ๐0.587 (0.021 + ๐0.587) 0.0827 + ๐0.4942
= 1
0.5 โ 1.4455 โ ๐พ
1 โ 0.5873 โ 0.501
= 1 ๐พ = 0.41
96. RESPUESTA EN FRECUENCIA: DIAGRAMAS DE BODE
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Un diagrama de Bode consta de dos trazados, uno el diagrama del logaritmo del
mรณdulo de la funciรณn de transferencia senoidal y el otro, el diagrama del รกngulo de
fase. Los dos en funciรณn de la frecuencia en escala logarรญtmica.
Margen de ganancia (MG): es la magnitud del recรญproco de la funciรณn de
transferencia de lazo abierto, calculada a la frecuencia de cruce de fase ๐ฃ๐ , mide
cuanto se puede incrementar la ganancia del sistema, antes que se haga inestable.
๐๐บ =
1
๐บ(๐๐ฃ๐ )
๐๐บ ๐๐ = 20 log
1
๐บ(๐๐ฃ๐ )
Frecuencia de cruce de fase (๐ฃ๐ ): Es la frecuencia a la cual el รกngulo de fase de
la funciรณn de transferencia de lazo abierto alcanza โ180ยบ, es decir:
๐๐ = โก๐บ ๐๐ฃ๐ = โ180๐
Margen de fase (๐๐๐): Se define como la suma de 180ยบ al รกngulo ๐๐, medido a la
frecuencia de cruce de ganancia.
๐๐๐ = 180๐
+ ๐๐
97. MรRGEN DE GANANCIA Y MARGEN DE FASE
Frecuencia de cruce de ganancia (๐ฃ๐): Se define como la frecuencia a la cual la
magnitud de la funciรณn de transferencia de lazo abierto es igual a 1 es decir 0 db.
๐บ(๐๐ฃ๐) = 1 20 log ๐บ(๐๐ฃ๐) = 0
La figura indica cรณmo determinar, el margen de ganancia y el margen de fase.
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Sistema estable Sistema inestable
98. EJEMPLO DIAGRAMA DE BODE
Para el sistema de control digital de la figura con ๐ = 0.8 ๐ , obtener el diagrama de
Bode correspondiente para ๐พ = 1 y determinar: a) El margen de ganancia y el
margen de fase. b) El valor crรญtico de ๐พ para estabilidad del sistema.
Luis Edo Garcรญa Jaimes
SOLUCIรN: utilizando la transformada ๐ง modificada se obtiene:
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
๐งโ๐
โ๐
๐บ๐ ๐
๐
๐ =
๐โฒ
๐
=
0.8
0.8
= 1
๐ = ๐โฒ
โ ๐๐ = 0
๐ = 1 โ
๐
๐
= 1
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
๐งโ1
โ๐
2
๐ 5๐ + 1
= 2 1 โ ๐งโ1
๐งโ1
โ๐
0.2
๐(๐ + 0.2)
๐ป๐บ ๐ง =
0.2957
๐ง(๐ง โ 0.8521)
99. PROGRAMA EN MATLAB PARA EL DIAGRAMA DE BODE
% Programa para obtener diagrama de Bode.
clc
n=[2];
d=[5 1];
[a,b,c,d]=tf2ss(n,d); % Obtenciรณn de variables de estado
[ad,bd,cd,dd]=c2dt(a,b,c,0.8,0.8); % Discretiza sistemas con retardo
[nd1,dd1]=ss2tf(ad,bd,cd,dd); % Funciรณn de transferecia de pulso
printsys(nd1,dd1,'z');
pause
w=0.01:0.05:3;
[mag,fase,w]=dbode(nd1,dd1,0.8,w);
imargin(mag,fase,w) % Calcula margen de ganancia y de fase
Luis Edo Garcรญa Jaimes
101. SINTONรA DE CONTROLADORES DIGITALES
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Los procedimientos de sintonรญa de controladores requieren del conocimiento de la
dinรกmica del proceso la cual se obtiene generalmente, por medio de un modelo
identificado mediante mรฉtodos experimentales.
Los pasos para la puesta en servicio del lazo de control se pueden resumir asรญ:
๏ท Identificar el proceso a controlar (modelado).
๏ท Establecer las caracterรญsticas de comportamiento deseadas para el sistema
de control realimentado (criterio de diseรฑo).
๏ท Seleccionar el mรฉtodo de sintonรญa de controlador.
๏ท Calcular los parรกmetros del controlador.
๏ท Analizar el comportamiento del lazo de control con el modelo (simulaciรณn).
๏ท verificar la funciรณn de transferencia del controlador a sintonizar.
๏ท ajustar el controlador (parametrizacion).
๏ท verificar el comportamiento del controlador en el proceso real.
102. APROXIMACIรN DISCRETA DE LOS MODOS DE CONTROL P, PI Y PID
Control Proporcional (P): Este tipo de controlador genera una salida que es
proporcional al error actuante. En el control proporcional existe una relaciรณn lineal
entre el valor de la variable controlada y la posiciรณn del elemento final de control.
La ecuaciรณn de un controlador proporcional continuo estรก dada por:
๐ ๐ก = ๐พ๐๐ ๐ก + ๐0
๐(๐ก) = Salida del controlador.
๐(๐ก) = Seรฑal de error actuante.
๐พ๐ถ =Ganancia del controlador. (Parรกmetro de ajuste).
๐0 = Salida del controlador para error nulo.
La forma discreta de la ecuaciรณn del controlador P es:
๐ ๐ = ๐พ๐๐ ๐ + ๐0
La funciรณn de transferencia del controlador P es:
๐ท ๐ง =
๐(๐ง)
๐ธ(๐ง)
= ๐๐ ๐๐ = ๐พ๐
Luis Edo Garcรญa Jaimes
103. APROXIMACIรN DISCRETA DE LOS MODOS DE CONTROL P, PI Y PID
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Control Proporcional mรกs Integral (PI): En este controlador, la seรฑal de salida
experimenta un salto inicial proporcional al error actuante y a continuaciรณn presenta
una variaciรณn gradual a una velocidad proporcional al error.
La ecuaciรณn de un controlador proporcional mรกs integral continuo estรก dada por:
๐ ๐ก = ๐พ๐ ๐ ๐ก +
1
๐๐
เถฑ ๐ ๐ก ๐๐ก + ๐๐
๐พ๐ = Ganancia del controlador. (Parรกmetro de ajuste).
๐๐ =Tiempo Integral en min/repeticiรณn o repeticiones/min. (Parรกmetro de ajuste).
La forma discreta de la ecuaciรณn del controlador PI es:
๐ ๐ = ๐๐๐ ๐ + ๐1๐ ๐ โ 1 + ๐ ๐ โ 1
๐๐ = ๐พ๐ 1 +
๐
2๐๐
๐1 = โ๐พ๐ 1 โ
๐
2๐๐
La funciรณn de transferencia de pulso del controlador PI es:
๐ท ๐ง =
๐(๐ง)
๐ธ(๐ง)
=
๐๐ + ๐1๐งโ1
1 โ ๐งโ1
=
๐๐๐ง + ๐1
๐ง โ 1
104. APROXIMACIรN DISCRETA DE LOS MODOS DE CONTROL P, PI Y PID
Control Proporcional mรกs Integral mรกs Derivativo (PID): La ecuaciรณn de un
controlador PID continuo es:.
๐ ๐ก = ๐พ๐ ๐ ๐ก +
1
๐๐
เถฑ ๐ ๐ก ๐๐ก + ๐๐
๐๐(๐ก)
๐๐ก
+ ๐๐
๐พ๐ = Ganancia del controlador. (Parรกmetro de ajuste)
๐๐ =Tiempo integral en min/repeticiรณn o repeticiones/min. (Parรกmetro de ajuste).
๐๐ =Tiempo derivativo en min. (Parรกmetro de ajuste).
La forma discreta de la ecuaciรณn del controlador PID es:
๐ ๐ = ๐๐๐ ๐ + ๐1๐ ๐ โ 1 + ๐2๐ ๐ โ 2 โ ๐ ๐ โ 1
La funciรณn de transferencia del controlador PID es:
๐ท ๐ง =
๐(๐ง)
๐ธ(๐ง)
=
๐๐ + ๐1๐งโ1
+ ๐2๐งโ2
1 โ ๐งโ1
=
๐๐๐ง2
+ ๐1๐ง + ๐2
๐ง(๐ง โ 1)
๐๐ = ๐พ๐ 1 +
๐
2๐๐
+
๐๐
๐
๐1 = โ๐พ๐ 1 โ
๐
2๐๐
+
2๐๐
๐
๐2 =
๐พ๐๐๐
๐ Luis Edo Garcรญa Jaimes
105. PONDERACIรN DE LOS PARรMETROS DE LOS
CONTROLADORES P, PI Y PID
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Factor de peso: El controlador genera una seรฑal de control como respuesta a un
error. Es posible manipular el valor del error introduciendo un factor de peso con
el fin de mejorar la respuesta del sistema de manera que tenga menor sobreimpulso
ante los cambios en el valor de la referencia sacrificando en parte su velocidad de
respuesta, pero obteniendo mรกs flexibilidad para satisfacer los compromisos de
diseรฑo. Para casos prรกcticos se recomienda considerar los siguientes valores
para ๐พ๐ถ:
๐พ๐ถ = ๐พ๐ถ Para controladores rรกpidos
๐พ๐ถ = 0.75 โ ๐พ๐ถ Para controladores moderados
๐พ๐ถ = 0.5 โ ๐พ๐ถ Para controladores lentos
106. AJUSTE DE CONTROLADORES P, PI Y PID POR GANANCIA LรMITE
Para determinar los parรกmetros de ajuste del controlador utilizando este mรฉtodo se
trabaja con el sistema en lazo cerrado es decir, con el controlador en automรกtico y
se procede experimentalmente asรญ:
a) Eliminar las acciones integral y derivativa del controlador, es decir trabajar con
el controlador como proporcional รบnicamente.
b) Con el controlador en automรกtico, colocar una ganancia pequeรฑa e irla
incrementando paso a paso hasta que el sistema empiece a oscilar con amplitud
constante. Se anota el valor de la ganancia ๐พ๐ข con la cual se produce la oscilaciรณn.
Esta ganancia se denomina ganancia รบltima.
c) En la grรกfica que se obtiene de la variable con el registrador o con los datos
adquiridos en el proceso, se mide el perรญodo de oscilaciรณn o perรญodo รบltimo ๐๐ข
Luis Edo Garcรญa Jaimes
107. GANANCIA LรMITE
Una vez estimados la ganancia รบltima (๐พ๐ข) y el periodo รบltimo (๐๐ข), se utiliza la tabla
adjunta para calcular los parรกmetros de ajuste del controlador.
Luis Edo Garcรญa Jaimes
๐ช๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฒ๐ ๐๐ ๐๐
๐ 0.5๐พ๐ข โ โ
๐๐ผ 0.45๐พ๐ข 0.83๐๐ข โ
๐๐ผ๐ท 0.6๐พ๐ข 0.5๐๐ข 0.125๐๐ข
108. MรTODO DE ZIEGLER-NICHOLS (CURVA DE REACCIรN)
Ziegler y Nichols propusieron un mรฉtodo de ajuste de controladores asumiendo que
la funciรณn de transferencia de lazo abierto de la planta se puede aproximar a un
modelo de primer orden con retardo.
Entonces, dada la funciรณn de transferencia en lazo abierto:
๐บ๐ ๐ =
๐พ๐โ๐โฒ ๐
๐๐ + 1
En donde ๐พ es la ganancia, ๐ la constante de tiempo y ๐โฒ
es el retardo, los
parรกmetros de ajuste del controlador se estiman a partir de la tabla (๐ = ๐โฒ
+ ๐ 2)
Luis Edo Garcรญa Jaimes
๐ช๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฒ๐ ๐๐ ๐๐
๐ท
๐
๐พ๐
โ โ
๐ท๐ฐ 0.9๐
๐พ๐
3.33๐ โ
๐ท๐ฐ๐ซ 1.2๐
๐พ๐
2๐ 0.5๐
109. AJUSTE DE CONTROLADORES MEDIANTE CRITERIOS DE LA
INTEGRAL DEL ERROR
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Una de las exigencias que debe cumplir un sistema de control es la exactitud. Esto
implica que el error, es decir, la diferencia entre el Set-point y el valor de la variable
controlada se debe minimizar.
A continuaciรณn se presentan algunos รญndices de desempeรฑo basados en integrales
del error y utilizados ampliamente en el diseรฑo de sistemas de control.
Integral del valor absoluto del error: ๐ผ๐ด๐ธ = ๐(๐ก) ๐๐ก
โ
0
Integral del cuadrado del error: ๐ผ๐ถ๐ธ = ๐2
๐ก ๐๐ก
โ
0
Integral del error absoluto del error por el tiempo: ๐ผ๐ด๐ธ๐ = ๐ก ๐(๐ก)
โ
0
๐๐ก
Integral del cuadrado del error por el tiempo: ๐ผ๐ถ๐ธ๐ = ๐ก๐2
โ
0
๐ก ๐๐ก
110. AJUSTE DE CONTROLADORES MEDIANTE CRITERIOS DE LA
INTEGRAL DEL ERROR
Luis Edo Garcรญa Jaimes
๐ช๐๐๐๐๐๐ ๐ท ๐ฐ๐ช๐ฌ ๐ฐ๐จ๐ฌ ๐ฐ๐จ๐ฌ๐ป
๐พ๐ =
๐
๐พ
๐
๐
๐ ๐ = 1.411
๐ = โ0.917
0.902
โ0.985
0.940
โ1.084
๐ช๐๐๐๐๐๐ ๐ท๐ฐ ๐ฐ๐ช๐ฌ ๐ฐ๐จ๐ฌ ๐ฐ๐จ๐ฌ๐ป
๐พ๐ =
๐
๐พ
๐
๐
๐ ๐ = 1.305
๐ = โ0.959
0.984
โ0.986
0.859
โ0.977
๐๐ =
๐
๐
๐
๐
๐ ๐ = 0.492
๐ = 0.739
0.608
0.707
0.674
0.680
Ajustes para el controlador PI. ๐ = ๐โฒ
+ ๐ 2
Ajustes para el controlador P. ๐ = ๐โฒ
+ ๐ 2
๐ช๐๐๐๐๐๐ ๐ท๐ฐ๐ซ ๐ฐ๐ช๐ฌ ๐ฐ๐จ๐ฌ ๐ฐ๐จ๐ฌ๐ป
๐พ๐ =
๐
๐พ
๐
๐
๐ ๐ = 1.495
๐ = โ0.945
1.435
โ0.921
1.357
โ0.947
๐๐ =
๐
๐
๐
๐
๐ ๐ = 1.101
๐ = 0.771
0.878
0.749
0.842
0.738
๐๐ = ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = 0.560
๐ = 1.006
0.482
1.137
0.381
0.995
Si el sistema se puede aproximar a un modelo de primer orden con retardo
๐บ๐ ๐ =
๐พ๐โ๐โฒ ๐
๐๐ + 1
Ajustes para el controlador PID. ๐ = ๐โฒ
+ ๐ 2
111. EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
La funciรณn de transferencia de lazo abierto de un sistema tรฉrmico resultรณ ser:
๐บ๐ ๐ =
2.38๐โ0.45๐
1.39๐ + 1
Obtener para este sistema: a) Un controlador PI por ganancia lรญmite. b) Un
controlador PI utilizando el mรฉtodo de Ziegler-Nichols. c) Un controlador PI a partir
del mรฉtodo de la integral IAE. (Los tiempos estรกn en min.) .
SOLUCIรN: Para calcular los controladores es necesario estimar, inicialmente, el
perรญodo de muestreo adecuado. Prescindiendo del tiempo de retardo, la funciรณn de
transferencia de lazo cerrado es:
๐บ๐ค ๐ =
๐บ๐(๐)
1 + ๐บ๐(๐)
=
0.704
0.411๐ + 1
๐๐๐ = 0.411 ๐๐๐
El periodo de muestreo se puede seleccionar dentro del intervalo:
0.2 ๐๐๐ + ๐โฒ
โค ๐ โค 0.6 ๐๐๐ + ๐โฒ
0.2 0.411 + 0.45 โค ๐ โค 0. 0.411 + 0.45 ๐ = 0.32 ๐๐๐
112. a) CONTROLADOR PI POR GANANCIALรMITE
Luis Edo Garcรญa Jaimes
a) Control PI por ganancia lรญmite: se deben calcular ๐พ๐ข y ๐๐ข.Las expresiones para
evaluar la magnitud y el รกngulo de fase del sistema continuo son respectivamente:
๐บ๐(๐๐ค) =
2.38
1.932๐ค2 + 1
๐ = โ25.8๐ค โ tanโ1
(1.39๐ค)
El margen de ganancia se calcula con ๐ค๐ cuando ๐ = โ180๐
es decir:
โ180๐
= โ25.8๐ค๐ โ tanโ1
1.39๐ค๐ ๐ค๐ = 3.89 ๐๐๐/๐๐๐
๐๐บ =
1
๐บ๐(๐๐ค๐ )
=
2.38
1.932 โ 3.892 + 1
๐๐บ = 0.432
๐พ๐ข =
1
๐๐บ
๐๐ข =
2๐
๐ค๐
๐พ๐ข =
1
0.432
= 2.31 ๐๐ข =
2๐
3.89 ๐๐๐/๐๐๐
= 1.61 ๐๐๐
Con los resultados obtenidos, los parรกmetros para el ajuste del controlador PI son:
๐พ๐ = 0.45๐พ๐ข = 1.0395 ๐๐ = 0.83๐๐ข = 1.336 ๐๐๐
113. CONTROLADOR PI POR GANANCIA LรMITE (CONT)
Los parรกmetros del controlador PI discreto se obtienen con las ecuaciones:
๐๐ = ๐พ๐ 1 +
๐
2๐๐
= 1.0395 1 +
0.32
2 โ 1.336
= 1.164
๐1 = โ๐พ๐ 1 โ
๐
2๐๐
= โ1.0395 1 โ
0.32
2 โ 1.336
โ 0.915
La ecuaciรณn del controlador PI es: ๐ท ๐ง =
๐(๐ง)
๐(๐ง)
=
๐๐ ๐ง+๐1
๐งโ1
๐ท ๐ง =
๐(๐ง)
๐ธ(๐ง)
=
1.164 โ 0.915๐งโ1
1 โ ๐งโ1
=
1.164๐ง โ 0.915
๐ง โ 1
Luis Edo Garcรญa Jaimes
114. b) CONTROLADOR PI UTILIZANDO ZIEGLER- NICHOLS
Luis Edo Garcรญa Jaimes
De la funciรณn de transferencia del sistema se obtiene: ๏ด = 1.39 ๐๐๐, ๐โฒ = 0.45 ๐๐๐
y ๐พ = 2.38. Segรบn la tabla de Ziegler-Nichols y con ๏ฑ = ๐โฒ + ๐/2 = 0.61 ๐๐๐.
๐พ๐ =
0.9๐
๐พ๐
=
0.9 โ 1.39
2.38 โ 0.61
= 0.8616 ๐๐ = 3.33๐ = 3.33 โ 0.61 = 2.031 ๐๐๐
๐๐ = ๐พ๐ 1 +
๐
2๐๐
= 0.8616 1 +
0.32
2 โ 3.031
= 0.9294
๐1 = โ๐พ๐ 1 โ
๐
2๐๐
= โ0.8616 1 โ
0.32
2 โ 3.031
= โ0.7937
โด ๐ท ๐ง =
๐(๐ง)
๐ธ ๐ง
=
0.9294 โ 0.7937๐งโ1
1 โ ๐งโ1
=
0.9294๐ง โ 0.7937
๐ง โ 1
116. DISEรO DE CONTROLADORES PI Y PID POR
CANCELACIรN DE CEROS Y POLOS
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Este mรฉtodo consiste en obtener los parรกmetros del controlador cancelando ceros
del controlador con polos de la planta. Para llevar a cabo el diseรฑo, se asume que
las funciones de transferencia de los controladores son:
Controlador PI
๐ท ๐ง =
๐(๐ง)
๐ธ(๐ง)
=
๐พ๐๐ + 2๐พ๐ ๐ง +
๐พ๐๐ โ 2๐พ๐
๐พ๐๐ + 2๐พ๐
2(๐ง โ 1)
Controlador PID
๐ท ๐ง =
๐(๐ง)
๐ธ(๐ง)
=
๐พ๐๐2
+ 2๐พ๐ + 2๐พ๐๐ ๐ง2
+
๐พ๐๐2
โ 2๐พ๐๐ โ 4๐พ๐
๐พ๐๐2 + 2๐พ๐ + 2๐พ๐๐
๐ง +
2๐พ๐
๐พ๐๐2 + 2๐พ๐ + 2๐พ๐๐
2๐๐ง(๐ง โ 1)
En donde: ๐พ๐ =ganancia proporcional, ๐พ๐ =ganancia integral 1 ๐๐ , ๐พ๐ =tiempo
derivativo y ๐ = periodo de muestreo.
117. PROCEDIMIENTO PARA EL DISEรO DEL CONTROLADOR
Luis Edo Garcรญa Jaimes
a) Seleccionar inicialmente un error de estado estable ๐๐ ๐ adecuado. Esto permite
calcular el parรกmetro ๐พ๐
b) Controlador PI: se cancela el cero del controlador con un polo de la planta.
Esto permite calcular el parรกmetro ๐พ๐.
c) Controlador PID: Se cancelan los dos ceros del controlador con dos polos de
la planta. Esto permite calcular los parรกmetros ๐พ๐ y ๐พ๐.
Los errores de estado estable para escalรณn, rampa y parรกbola unitarias, son:
๏ท Para entrada escalรณn:
๐๐ ๐ =
1
1 + ๐พ๐
๐พ๐ = lim
๐งโ1
๐ท ๐ง ๐ป๐บ(๐ง) ๐พ๐ = Coeficiente de error de posiciรณn
๏ท Para entrada rampa:
๐๐ ๐ =
1
๐พ๐ฃ
๐พ๐ฃ =
1
๐
lim
๐งโ1
๐ง โ 1 ๐ท ๐ง ๐ป๐บ(๐ง) ๐พ๐ฃ = Coeficiente de error de velocidad
๏ท Para entrada parรกbola:
๐๐ ๐ =
1
๐พ๐
๐พ๐ =
1
๐2
lim
๐งโ1
๐ง โ 1 2
๐ท ๐ง ๐ป๐บ ๐ง ๐พ๐ = Coeficiente de error de aceleraciรณn
118. EJEMPLO CANCELACIรN CEROS Y POLOS
Para el sistema de control de la figura, diseรฑar un controlador PI por cancelaciรณn
de ceros y polos. La funciรณn de transferencia de la planta es:
๐บ๐ ๐ =
0.5
๐ + 0.1 (๐ + 0.4)
Luis Edo Garcรญa Jaimes
SOLUCIรN: El diseรฑo debe comenzar con la selecciรณn adecuada del periodo de
muestreo, calculando la constante de tiempo del sistema continuo en lazo cerrado.
๐บ๐ค ๐ =
๐บ๐(๐)
1 + ๐บ๐ (๐)
=
0.5
๐2 + 0.5๐ + 0.54
๐๐๐ = 4 ๐ .
El periodo de muestreo se selecciona con el criterio de la constante de tiempo:
0.2(๐๐๐ + ๐โฒ
) โค ๐ โค 0.6(๐๐๐ + ๐โฒ
). Se toma ๐ = 2 ๐ , entonces:
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
โ
๐บ๐ ๐
๐
= (1 โ ๐งโ1
)โ
0.5
๐ ๐ + 0.1 (๐ + 0.4)
119. EJEMPLO CONTINUACIรN
Luis Edo Garcรญa Jaimes
๐ป๐บ ๐ง =
0.7267๐ง + 0.5211
๐ง2 โ 1.268๐ง + 0.3679
=
0.7267(๐ง + 0.717)
๐ง โ 0.8185 (๐ง โ 0.4494)
Diseรฑo del controlador: asumiendo un error de estado estable ๐๐ ๐ = 2 se obtiene:
๐๐ ๐ =
1
๐พ๐ฃ
๐พ๐ฃ =
1
๐๐ ๐
๐พ๐ฃ =
1
๐
lim
๐งโ1
๐ง โ 1 ๐ท ๐ง ๐ป๐บ(๐ง)
0.5 =
1
๐
lim
๐งโ1
๐ง โ 1
๐พ๐๐ + 2๐พ๐ ๐ง +
๐พ๐๐ โ 2๐พ๐
๐พ๐๐ + 2๐พ๐
โ 0.7267 ๐ง + 0.717
2 ๐ง โ 1 ๐ง โ 0.8185 (๐ง โ 0.4494)
Tomando el lรญmite con ๐ = 2 ๐ resulta que ๐พ๐ = 0.04.
Se asume que el cero del controlador cancela el polo ๐ง = 0.8185 de la planta.
๐พ๐๐ โ 2๐พ๐
๐พ๐๐ + 2๐พ๐
= โ0.8185
0.08 โ 2๐พ๐
0.08 + 2๐พ๐
= โ0.8185 ๐พ๐ = 0.4007
๐ท ๐ง =
๐(๐ง)
๐ธ(๐ง)
=
0.4407(๐ง โ 0.8185)
๐ง โ 1
120. DISEรO DE CONTROLADORES POR ASIGNACIรN DE POLOS
La tรฉcnica consiste en determinar los polos de lazo cerrados deseados, tomando
como base los requisitos de respuesta transitoria tales como: coeficiente de
amortiguamiento, mรกximo sobreimpulso, tiempo de establecimiento, etc.
Para diseรฑar un controlador digital por asignaciรณn de polos se procede asรญ:
a) Conformar la ecuaciรณn caracterรญstica del sistema incluyendo el controlador
1 + ๐ท ๐ง ๐ป๐บ ๐ง = 0
b) Conformar la ecuaciรณn caracterรญstica deseada seleccionando los polos dentro
del cรญrculo unitario, de acuerdo a los requisitos del diseรฑo especificados. Esta
ecuaciรณn debe ser del mismo orden que la del sistema planta-controlador.
๐ง + ๐1 ๐ง + ๐2 โฏ ๐ง + ๐๐ = 0
En donde ๐1, ๐2. . . ๐๐ son los polos deseados para el sistema en lazo cerrado
c) Comparar los coeficientes de igual potencia en ๐ง en las ecuaciones anteriores,
resultando ๐ ecuaciones cuya soluciรณn, son los parรกmetros del controlador. Luis Edo Garcรญa Jaimes
121. EJEMPLO ASIGNACIรN DE POLOS
La figura muestra un sistema de control de flujo. Utilizando la curva de reacciรณn se
encontrรณ que la funciรณn de transferencia del proceso en lazo abierto es:
๐บ๐ ๐ =
0.45๐โ0.1๐
0.8๐ + 1
Diseรฑar un controlador PI por asignaciรณn de polos de modo que el sistema, en lazo
cerrado, tenga coeficiente de amortiguamiento 0.8 y tiempo de establecimiento 2 ๐ .
Luis Edo Garcรญa Jaimes
122. SOLUCIรN EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
Sin tener en cuenta el retardo, la constante de tiempo del sistema continuo en lazo
cerrado es ๐๐๐ = 0.551 ๐ . Segรบn el criterio de la constante de tempo: 0.2(๐๐๐ +
๐โฒ
) โค ๐ โค 0.6(๐๐๐ + ๐โฒ
) el periodo de muestreo estรก en el rango: 0.13 โค ๐ โค 0.39 ๐ .
Se asume ๏ = 0.2 ๐ , entonces:
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
๐งโ๐
โ๐
๐บ๐(๐)
๐
๐ =
ฮธโฒ
๐
=
0.1
0.2
= 0
๐ = ๐โฒ
โ ๐๐ = 0.1 โ 0 โ 0.2 = 0.1
๐ = 1 โ
๐
๐
= 1 โ
0.1
0.2
= 0.5
๐ป๐บ ๐ง = 1 โ ๐งโ1
๐งโ๐
โ๐
0.45
๐(0.8๐ + 1)
=
0.05288๐ง + 0.04666
๐ง2 โ 0.7788๐ง
=
0.05288(๐ง + 0.8824)
๐ง(๐ง โ 0.7788)
La ecuaciรณn caracterรญstica del sistema planta-controlador, en lazo cerrado, es:
1 + ๐ท ๐ง ๐ป๐บ ๐ง = 0 1 +
๐๐๐ง + ๐1
๐ง โ 1
โ
0.05288(๐ง + 0.8824)
๐ง(๐ง โ 0.7788)
= 0
๐ง3
+ 0.05288๐๐ โ 1.7788 ๐ง2
+ 0.04666๐๐ + 0.05288๐1 + 0.7788 ๐ง + 0.04666๐1 = 0
123. CONTINUACIรN DEL EJEMPLO
Luis Edo Garcรญa Jaimes
La ecuaciรณn caracterรญstica deseada debe ser de tercer orden y satisfacer los
requerimientos de funcionamiento especificados: ๐ = 0.8 y ๐ก๐ = 2๐ .
La ubicaciรณn del polo dominante en lazo cerrado es:
๐ง = ๐โ๐๐ค๐ ๐
๐ = 57.3๐ค๐๐ 1 โ ๐2
๐ก๐ =
4
๐๐ค๐
๐ค๐ =
4
๐๐ก๐
=
4
0.8 โ 2
๐ค๐ = 2.5 ๐๐๐/๐
๐ง = ๐โ(0.8โ2.5โ0.2)
= 0.6703 ๐ = 57.3 โ 2.5 โ 0.2 1 โ (0.8)2 = 17.19๐
๐ง = ๐ง ๐๐๐ ๐ ยฑ ๐๐ ๐๐๐ = 0.6403 ยฑ ๐0.1981
Asรญ, la ecuaciรณn caracterรญstica deseada serรก:
๐ง โ 0.6403 โ ๐0.1981 ๐ง โ 0.6403 + ๐0.1981 ๐ง + ๐ = 0
๐ง3
+ ๐ โ 1.2806 ๐ง2
+ 0.4492 โ 1.2806๐ ๐ง + 0.4492๐ = 0
Comparando tรฉrmino a tรฉrmino las dos ecuaciones caracterรญsticas se obtiene:
0.05288๐๐ โ 1.7788 = ๐ โ 1.2806
0.04666๐๐ + 0.05288๐1 + 0.7788 = 0.4492 โ 1.2806๐
0.04666๐1 = 0.4492๐
124. CONTINUACIรN DEL EJEMPLO
Resolviendo las ecuaciones anteriores resulta que:
๐๐ = 3.977 ๐1 = โ2.7713 ๐ = โ0.2878
๐0 > 0 y ๐1
๐ < 1
Con los valores obtenidos para ๐๐ y ๐1 el controlador pedido es:
๐ท ๐ง =
๐(๐ง)
๐ธ(๐ง)
=
3.977๐ง โ 2.7713
๐ง โ 1
=
3.977(๐ง โ 0.6968)
๐ง โ 1
La funciรณn de transferencia de lazo cerrado del sistema toma la forma:
๐บ๐ค ๐ง =
๐ถ(๐ง)
๐ (๐ง)
=
0.2103 ๐ง + 0.8824 (๐ง โ 0.6968)
๐ง โ 0.2878 ๐ง2 โ 1.2806๐ง + 0.4492
Luis Edo Garcรญa Jaimes