KONİKLER - HİPERBOL - PARABOL - ELİPS

1. Tanım:Sabit bir noktası F ve sabit bir doğrusu Δ olan bir Π
düzleminin (P) = {P:|PF| = |PH| , Δ , F , P € Π } noktalarının
kümesine parabol denir.
Burada F odak,O tepe(köşe), Δ doğrultman,2p parametre ve
parabolün simetrik olduğu doğru da eksen adını alır.Ekseni X
ve Y,köşesi başlangıç noktası olan parabolleri görüyorsunuz.
,

2. Ötelenmiş Parabol Denklemi
−b 4ac − b 2 +1
y = ax2 + bx2 + c ise F( , ) ve
2a 4a
4ac − b 2 +1
doğrultman denklemi y= dır.
4a
,

3. Parabol Ve Doğru
y2 = 2px parabolü ile y = m.x + n doğrusu kesiştiğinde
( m.x + n )2 = 2px denkleminden kesim noktalarının apsisleri
bulunur.Burada :
p - 2mn < 0 durumunda doğru parabolü kesmez.
P - 2mn > 0 durumunda doğru parabolü farklı 2 noktada keser.
P - 2mn = 0 durumunda doğru parabole teğet olur(değme koşulu).
n
Değme Noktası ( , 2n ) olur.
m
Parabole Bir Noktadan Çizilen Teğet Denklemi
Parabol ve (x0 , y0 ) noktası verilsin.Bu noktadaki teğet denklemi :
,

4. y2 = 2px için yy0 = p( x + x0 )
x2 = 2py için xx0 = p( y + y0 ) dır.
Parabolün Köşegeni
Eğimleri aynı olan kirişlerin orta noktalarının kümesine köşegen
denir. y 2 = 2px parabolünün eğimi m olan kirişlerinin orta noktalarını
kümesi y=p / m olur. y = p / m doğrusu ,eğimi m olan teğetin
değme noktasından geçer. y = p / m doğrusuna ve eğimi m olan
kirişlere birbirinin eşleniği denir.
ELİPS
Tanım: π düzleminin farklı ve sabit iki noktası F , F’ ; değişen bir
noktası P ise düzlemin P noktalarının
(E) = {P,|PF| + |PF’ | = 2a , F , F’ , p € π , a > c > 0 , |FF’ | = 2c}
kümesine elips denir.
,

5. a2
y=
c
a2
y=
c
y2 x2
2
+ 2 =1
a b
Burada , F , F’ odakları ; A , A’ , B , B’ köşeler ; Δ ve Δ’
doğrultmanlardır. |AA’ | = 2a , |BB’ | = 2b ve |FF’ | = 2c olur. a2 = b2 + c 2
olduğunu görünüz.
,

6. Elips Ve Doğru
x2 y2
2
+ 2 = 1 elipsi ile y = m.x + n doğrusunun kesişmeleri durumu :
a b
a2 m2 + b2 - n2 > 0 ise iki farklı noktada kesişirler.
a2 m2 + b2 - n2 < 0 ise kesişmezler.
a2 m2 + b2 - n2 = 0 ise bir noktada keser, teğet olur(değme koşulu).
a 2m b2
Değme noktası ise (− , ) dır.
n n
Elipse Bir Noktasından Çizilen Teğet Denklemi
Elips merkezinden geçen kirişlere elipsin köşegeni denir.
,

7. b2
Eğimleri arasında m1 . m2 = − 2 bağıntısı bulunan iki köşegene
eşlenik köşegenler adı verilir., a
b2
y = m.x köşegeninin eşleniği y=− 2 x olur.
a m
Elipsin Parametresi
Elipsin odaklarından birinden eksene çizilen dik kiriş uzunluğuna
parametre denir. 2
2b
Parametre = 2p = a dır.
Elipsin Dışmerkezliği
c
Elipste dışmerkezlik =e oranına verilen addır. e < 1 dır.
a
Elipsi Alanı2
x2 y
2
+ 2 =1 elipsinin alanı πab dır.
a b
,

8. HİPERBOL
Tanım: π düzleminin sabit iki noktası F , F’ ve herhangi bir noktası P
ise P noktalarının ;
( H ) = { P : [|PF | - |PF’ | = 2a , |FF’ | = 2c , a < c , F , F’ , F € π }
kümesine hiperbol denir.
Burada ; F , F’ odaklar ; A , A’ , B , B’ köşeler ; Δ ve Δ
doğrultmanlardır. a2 = a2 + b2 olduğunu görüyorsunuz. ,

9. Ötelenmiş Hiperbol Denklemi
Hiperbol Ve Doğru
x2 y2
2
− 2 = 1 hiperbolü ile y = m.x + n doğrusunun kesişmeleri
a b
durumu :
,

10. n2 + b2 - a2 m2 > 0 ise doğru hiperbolü iki noktada keser.
n2 + b2 - a2 m2 <0 ise doğru hiperbolü kesmez.
n2 + b2 - a2 m2 = 0 ise doğru hiperbole teğet olur (değme koşulu)
Değme noktası da a 2m h2 dır.
(− , )
a n
Hiperbole Bir Noktasından Çizilen Teğet Denklemi
Hiperbol ve P ( x0 , y0 ) noktası verilsin.Bu noktadaki teğet
denklemi :
x2 y2 xx0 yy0
2
− 2 =1 için 2
− 2 =1
a b a b
( x − h) 2 ( y − k ) 2 ( x − h)( x1 − h) ( y − k )( y1 − k )
2
− 2
= 1 için 2
− 2
=1 dır.
a b a b ,

11. Hiperbolün Köşegeni
Hiperbolün merkezinden geçen doğrulara köşegen denir.Eğimleri
b2 b2
arasında m1 .m2 = 2 bağıntısı bulunan y = m.x ve y = 2 . X
a a m
köşelerine de eşlenik köşegenler adı verilir.
Hiperbolün Parametresi
Hiperbolün bir odağında eksene dik olan kiriş uzunluğuna parametre
b2
denir. 2p = 2 dır.
a
Hiperbolün Dışmerkezliği
c
e=
a oranına dışmerkezlik denir. e>1 dır.
,

12. Hiperbolün Asimptotları
b
b x -a y =a b
2 2 2 2 2 2
hiperbolünün asimptot denklemleri y =  x
a
dır.
İkizkenar Hiperbol
a = b olan hiperbole ikizkenar hiperbol denir.denklemi x2 - y2 = a2
olur.
Eşlenik Hiperboller
Birinin asal köşeleri , diğerinin yedek köşeleri olan hiperbollere
eşlenik hiperboller denir.
x2 y2 x2 y2
2
− 2 = 1 ile 2
− 2 = −1 eşlenik hiperbol denklemleridir.
a b a b
,

13. MERKEZLİ KONİKLERİN SINIFLANDIRILMASI
Tanım: R2 uzayının sabit bir Δ doğrusu ile
P(x,y)
bunun dışında sabit bir F noktası verilsin.F ------------ H
-
----
noktasına olan uzaklığın Δ doğrusuna olan
-
----
uzaklığa oranı sabit olan P ( x , y ) noktalarının F(m,n)
kümesine konik denir.Yani , a.x + b.y + c = 0
|PF |
(K)={P: =e ve e > 0 } dır.
|PH |
Konik ; e < 1 ise elips , e = 1 ise parabol ve e > 1 ise hiperbol olur.
Bu koniğin genel denklemi
Ax2 + B.x.y + Cy2 +D.x + Ey + F = 0 biçimindedir.
,

14. Koniğin merkezinin koordinatları ;
fx = 0 2Ax + B.y + D = 0
Sisteminin çözümünden elde
fy = 0 B.x + 2C.y + E = 0 edilir.
Sistemin çözümü varsa , denklem , merkezli konik (elips,hiperbol)
belirtir.
2A B
δ = | B 2C | = 4AC - B2 = 0 ise merkezli konik vardır.
A B/2 D/2
Δ= B/2 C E/2 diyelim.
D/2 E/2 F
1. 4AC - B2 > 0 ya da B2 - 4AC < 0 ise konik elips türündendir.
a) δ = 4AC - B2 > 0 ve A . Δ < 0 ise gerçel elips ,
b) δ > 0 ve A . Δ > 0 ise sanal elips ,
,

15. 2. 4AC - B2 < 0 ya da B2 - 4AC > 0 ise konik hiperbol türündendir.
a) δ = 4AC - B2 < 0 ve Δ = 0 ise denklem hiperbol belirtir.
b) δ < 0 ve Δ = 0 ise kesişen doğru çifti (yozlaşmış hiperbol)
belirtir.
Genel Konik Denkleminin Parabol Olması Durumu
δ = 4AC - B2 = 0 durumunu göz önüne alalım.
2A B D
i) = = ise
B 2C E
a) D2 - 4AF > 0 iken parabol bir çift paralel doğru olur.
b) D2 - 4AF = 0 iken parabol çakışık iki doğru olur.
c) D2 - 4AF < 0 ise parabol sanal bir çift doğru gösterir.
2A B D
i i) = = ise konik parabol gösterir.
B 2C E
,

16. GENEL KONİK DENKLEMİNİN STANDART DURUMA
DÖNÜŞTÜRÜLMESİ
Ax2 + B.x.y + C.y + D.x +E.y +F = 0 denklemi ile verilen genel
koniğin
fx = 2Ax + B.y + D = 0 sisteminin çözümünden merkez M(h,k)
fy = B.x + 2C.y + E = 0 elde edilir.
x = x’ + h ve y = y’ + k konularak x’li ve y’li terimler yok edilir.O
zaman genel konik denklemi Ax’2 + B.x’.y’ + C.y’2 + F’ = 0 durumuna
girer.
x‘y’ lü terimin yok edilebilmesi için eksenlerin döndürülmesi
yapılır.Bunun için B eşitliğini gerçekleyen Dθ
tan2θ
dönme dönüşümü ; A−C
x’ ] = [ cosθ -sinθ ][ x ] x’ = x . cosθ - y . sinθ
[ y’ sinθ cosθ y y’ = x . sinθ + y . cosθ
,

17. konularak uygulanır.Denklem A1x2 + C1y2 + F’ = 0 biçimine gelir.
A1 , C1 katsayılarını θ açısına gerek kalmadan aşağıdaki gibi
bulabilirsiniz.
1) A1 + C1 = A + C dır.
 ( A − C )2 + B 2
2) A1 - C1 = dır.Karekök önündeki işaret B’
nin işareti olarak alınır.
3) 4A1 . C1 = 4AC - B2 olur.
Bu üç eşitlikten uygun biçimde olanlar alınarak A1 ve C1 katsayıları
elde edilir.

18. ÇÖZÜMLÜ TEST SORULARI
1. y2=4x parabolü için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Odağının koordinatları (1, 0) dır.
B) Doğrultman denklemi x= -1 dir.
C) (1, -2) noktasındaki teğetin denklemi y = -2x-2 dir.
E) Tepesi (0, 0) noktasıdır.

19. ÇÖZÜM: p
A) y = 2px parabolünde odak (
2
,0) dır. 2p = 4 olduğundan
2
p
=1 Odak (1,0) olur.
2
p
B) Doğrultman denklemi x = - = -1 dir.
2
C) ( x0 ,y0 ) noktasındaki teğet denklemi y y0 = p( x + x0 ) dir. (1, -2)
noktasındaki teğet ise y.(-2) = 2(x+1) den y = -x-1 olur.
(YANLIŞ)
D) Bir doğrultuya paralel kirişlerin eşleniği olan çap (köşegen)
p
y= dir.
m
Burada y = 2x doğrusunun eğimi 2 dir. Öyleyse çap y = =1
olur.
E) Tepesi (köşesi) (0,0) noktasıdır. YANIT : C

20. x2 y2
2. + = 1 elipsi için aşağıdakilerden hangisi
25 9
yanlıştır?
A) Odakların koordinatları (
5  4,0) dır.
B) Dış merkezliği e = 4 dir.
25
C) Doğrultmanlarının denklemleri y =  dir.
18 4
D) Parametresi 2p = dür.
5
E) Alanı 15 л dir.

21. ÇÖZÜM :2
x2 y
+ 2 = 1 elipsinde m ve n den büyük olanı a ve eksen onun üzerindekidir.
m2 n
x2 y2
A) + =1 elipsinde a2 = 25, b2 = 9 ve a2 =b2 + c2 den
25 9
c2 =16, c =  4 bulunur. Odaklar (  4, 0) olur.
c 4
B) Dışmerkezlik e = = 5 dir.
a a2
C) Asal eksen x ekseni olduğundan doğrultmanlar x =  ⇒
25 c
x= olur.
4 b2 4 9 18
D) Parametresi 2p = 2 olduğundan 2p = 2. = elde
a 5 5 5
edilir.
E) Alan л ab dir. A = л. 5 . 3 = 15 л olur.
YANIT : C

22. 3. y = 2px2 parabollerinden (-1,2) noktasından geçeni aşağıdaki-
lerden hangisidir?_
A) y = 8x2 B) y = 2x2 C) y = 4x2 D) y = -4x2 E) y = -2x2

23. ÇÖZÜM :
Parabol (-1,2) noktasından geçeceğinden, nokta denklemi
sağlar.
2 = 2p. (-1)2 p = 1 ve parabol y = 2x2 olur.
YANIT : B

24. 4. y2 = 4x parabolünün ,üzerindeki, (1, -2) noktasından çizilen
teğet denklemi nedir?
A) y=x+1 B) y=x-1 C) y=-x-1 D) y=-x+1 E) y=-x+3

25. ÇÖZÜM :
y2 = 2px parabolünün üzerindeki noktasından çizilen teğet
denklemi
yy0 = p(x + x0) idi. Öyleyse (1, -2) noktasındaki teğet y.(-2) =
2(x +1) ya da y = - x-1 olur.
UYARI : (1,-2) noktasındaki teğetin eğimi, m = y`(x ) dır.
2y. y` = 4 m = = -1 olur. y - (-2) = -1(x-1) den y = -x-
1 elde edilir.
YANIT : C

26. 5. y = 2x - 1 doğrusunun y = x2 + kx + k parabolüne teğet olması
için k nın değerler kümesi ne olmalıdır?
A) ø B) {- 1,2} C) {8} D) {0,8} E) {0,4}

27. ÇÖZÜM :
Doğrunun parabole teğet olması için kesim noktalarının bir tane olması
gerekir.
Öyleyse :
2x - 1 = x2 + kx + k dan x2 + (k - 2) x + k + 1 = 0 denklemi elde
edilir. Bu denklem kesim noktalarının apsislerini veren denklemdir.
Çözüm kümesinin bir elemanlı olması için Δ = 0 olmalıdır.
Δ = (k -2)2 - 4(k + 1) = k2 - 8k elde edilir.
Δ = 0 için k2 - 8k = 0 k = 0 vk = 8
Demek ki küme {0,8} dir.
YANIT : D

28. 6. 4x2 - 9y2 = 36 hiperbolüne y = mx doğrusuna paralel iki
teğet çizilebilmesi için m ne olmalıdır?
2 1
A) m ≤ B) m = 5 C) m = D) m>0
3 2
2 2
E) m< - v m>
3 3

29. ÇÖZÜM :
Hiperbole y = mx doğrusuna paralel çizilebilecek teğetler asimptotları
geçememelidir. Öyleyse, teğetin eğiminin mutlak değeri asimptotların
eğiminden küçük ya da 2 eşit 2
ona olmalıdır.
x y
4x2 - 9y2 =36 ise - =1 ve a2 =9, b2 =4 olur.
9 4
b
m ≤ dan m ≤ 2 elde edilir.
a 3
YANIT : A

30. 7. y2 =8x parabolünün 0x ekseni ile 135º lik açı yapan teğeti-
nin denklemi nedir?
A) y = – x–2 B) y = – x–1 C) y = –x + 2 D) y = –x +1
E) y = x –1

31. ÇÖZÜM :
Teğet olacak doğru y = mx + n olsun. m = tan ∝ = tan 135º = – 1
dir. y2 = 2px parabolüne teğet olma koşulu ise p – 2mn = 0 idi.
2p = 8 ⇒ p = 4 dür. 4– 2. (– 1).n = 0 dan n = – 2 elde edilir.
Öyleyse teğet denklemi y = – x– 2 dir.
YANIT : A

32. 8. 2x2 + 3y2 =6 elipsinin dışındaki P(3, 4) noktasından çizilen
teğetlerinin değme noktalarını birleştiren kirişin denklemi nedir?
A) x + y =2 B) 2x + y =1 C) x – 2y =1 D) x + 2y =1
E) 2x + 3y =1

33. ÇÖZÜM :
x2 y2
2 + x y
2 =1 elipsinin dışındaki P( 0 , 0 ) noktasından çizilen
a b
teğetlerin değme noktalarından geçen kiriş denklemi
xx0 yy0 x2 y2
2 + b2 =1 dir. Buna göre:
3
+ =1 elipsinde
a 2
x.3 y.4
P(3, 4) noktası için kiriş + =1 ya da x+ 2y =1 denklemi
3 2
olur.
YANIT : D

34. 13
9. y = 5x parabolünün hangi kirişinin orta noktası M(
2
, –2)
5
dir?
A) x + y = – 3 = 0 B) 5x + 4y – 5 = 0 C) 5x + 4y + 13 = 0
D) 4x + 5y – 13 = 0 E) x + 2y – 5 = 0

35. ÇÖZÜM :
p
Eğimi m olan kirişlerinin orta noktalarının kümesi, y =
çapıdır. m
5
2
5
–2= den m= bulunur. Öyleyse kiriş denklemi
m 4
5 13
y – y0 = m(x – x0) dan y – ( – 2) = – (x – ) ya da
4 5
5x + 4y – 5 = 0 elde edilir.
YANIT : B

36. 10. x2 + 8y = 0 parabolünün dik kesişen teğetlerinin kesim nokta-larının
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2 B) x – 2 = 0 C) y + 2 = 0 D) x =1 E) y = 4

37. ÇÖZÜM :
Bir parabolde birbirine dik olan teğetlerin geometrik yeri doğrultmandır.
x2 = – 8y ve 2p = – 8 dir. Öyleyse geometrik yerin denklemi
p
y=– den y = + 2 olur.
2 YANIT : A

38. 11. 4x2 + 9y2 – 48x + 72y + 144 = 0 elipsinin merkezi aşağıdaki-
lerden hangisidir?
A) (4, 6) B) (6, 4) C) (3, 4) D) (5, 3) E) (2, 6)

39. ÇÖZÜM :
Merkezli koniklerin (elips, hiperbol ) merkezi fx = 0 ve fy = 0
denklemlerinin ortak çözümünden elde edilir.
fx = 8x – 48 = 0
fy = 18y – 72 = 0 〉 sisteminin çözümünden x = 6, y = 4
elde edilir.
( x − h) 2 ( y − k )2
UYARI : 2 + b2 = 1 durumuna dönüştürerek de
a
(h,k) merkezini bulabilirsiniz.
YANIT : B

40. TAMAMLAMALI TEST SORULARI
1. Merkezi elips merkezi ve yarıçapı yarı yedek eksen uzunluğu olan
çembere .......... ,merkezi elips merkezi ve yarıçapı yarı büyük eksen olan
çembere .......... denir.(elipsin yedek çemberi,elipsin asal çemberi)
2. Elipsin bir odağı merkez ve yarıçapı büyük eksen uzunluğu olan çembere ..........
denir.(doğrultma çemberi)
3. Bir elipsin odağından geçen en kısa kiriş .......... kiriştir. (odağa dik olarak
çizilen)
4. Bir hiperbolün birbirine dik teğetlerinin kesim noktalarının geometrik yeri (monj
çemberinin denklemi) .......... ve odaklarından biri merkez,asal eksen uzunluğu da
yarıçap olan çembere .......... denir. (x2 + y2 = a2 - b2 ,
doğrultman çemberi )
5. Bir elipsin yarıçap vektörlerinin uzunluğu .......... ile .......... ve
hiperbolün yarıçap vektörlerinin uzunlukları .......... dır.
cx cx cx cx
( a − , − a; + a İle +a )
a a a a
6. Bir ikizkenar hiperbolün odaklar uzunluğu türünden denklemi .......... ya da
x.y= .......... dür. 2 2
c c
x2 − y2 = ,
( 2 4 )

41. 7. Bir hiperbolde değişken bir teğetle,asimptotların teşkil ettiği
üçgenin alanı sabit ve .......... dır. (a .b )
8. Bir hiperbolde her teğetin asimptotlar üzerinde ayırdığı parçaların
çarpımı sabit ve .......... dır. ( c2 )
9. Bir parabolde odaktan geçen kirişlerin uçlarındaki teğetlerin kesim
noktalarının geometrik yeri .......... dır. ( doğrultman )
10. Elipsin(ya da hiperbolün) odaklarının herhangi bir teğetine olan
uzaklıkları çarpımı sabit ve ........... dır. ( b2 )