Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9BOIDUONGTOAN.COM
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, đăng ký học Toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10, mua tài liệu liên quan Toán lớp 9, liên hệ: 0976.179.282.
Chuyên đề Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 7. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, đăng ký học vui lòng liên hệ tới văn phòng gia sư thủ khoa Hà Nội theo số máy: 0936.128.126. Website: http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9BOIDUONGTOAN.COM
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, đăng ký học Toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10, mua tài liệu liên quan Toán lớp 9, liên hệ: 0976.179.282.
Chuyên đề Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 7. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, đăng ký học vui lòng liên hệ tới văn phòng gia sư thủ khoa Hà Nội theo số máy: 0936.128.126. Website: http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Tài liệu rất hay, dày 63 trang gồm các dạng toán luyện thi đại học như các phương trình liên quan đến Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp, hệ số của khai triển nhị thức Newton, các phương pháp đếm từ cơ bản đến nâng cao... thích hợp cho học sinh lớp 11 tự học, học sinh luyện thi đại học.
Bồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy ThíchBồi dưỡng Toán lớp 6
Bồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy Thích. Mọi thông tin về tư vấn và đăng ký đặt mua tài liệu vui lòng liên hệ trực tiếp Thầy Thích theo:
- Điện thoại: 0919.281.916
- Email: doanthich@gmail.com
- Website: www.ToanIQ.com
Tài liệu rất hay, dày 63 trang gồm các dạng toán luyện thi đại học như các phương trình liên quan đến Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp, hệ số của khai triển nhị thức Newton, các phương pháp đếm từ cơ bản đến nâng cao... thích hợp cho học sinh lớp 11 tự học, học sinh luyện thi đại học.
Bồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy ThíchBồi dưỡng Toán lớp 6
Bồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy Thích. Mọi thông tin về tư vấn và đăng ký đặt mua tài liệu vui lòng liên hệ trực tiếp Thầy Thích theo:
- Điện thoại: 0919.281.916
- Email: doanthich@gmail.com
- Website: www.ToanIQ.com
Tập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vnMegabook
Đây là Tập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ của Megabook. Các em có thể tham khảo nhé!
------------------------------------------------------------------------------
Các em có thể tham khảo bộ sách hay của Megabook tại địa chỉ sau nhé ;)
http://megabook.vn/
Chúc các em học tốt! ^^
GIÁO TRÌNH 2-TÀI LIỆU SỬA CHỮA BOARD MONO TỦ LẠNH MÁY GIẶT ĐIỀU HÒA.pdf
https://dienlanhbachkhoa.net.vn
Hotline/Zalo: 0338580000
Địa chỉ: Số 108 Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
:
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
GIAO TRINH TRIET HOC MAC - LENIN (Quoc gia).pdfLngHu10
Chương 1
KHÁI LUẬN VỀ TRIẾT HỌC VÀ TRIẾT HỌC MÁC - LÊNIN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức: Trang bị cho sinh viên những tri thức cơ bản về triết học nói chung,
những điều kiện ra đời của triết học Mác - Lênin. Đồng thời, giúp sinh viên nhận thức được
thực chất cuộc cách mạng trong triết học do
C. Mác và Ph. Ăngghen thực hiện và các giai đoạn hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin;
vai trò của triết học Mác - Lênin trong đời sống xã hội và trong thời đại ngày nay.
2. Về kỹ năng: Giúp sinh viên biết vận dụng tri thức đã học làm cơ sở cho việc nhận
thức những nguyên lý cơ bản của triết học Mác - Lênin; biết đấu tranh chống lại những luận
điểm sai trái phủ nhận sự hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin.
3. Về tư tưởng: Giúp sinh viên củng cố niềm tin vào bản chất khoa học và cách mạng
của chủ nghĩa Mác - Lênin nói chung và triết học Mác - Lênin nói riêng.
B. NỘI DUNG
I- TRIẾT HỌC VÀ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TRIẾT HỌC
1. Khái lược về triết học
a) Nguồn gốc của triết học
Là một loại hình nhận thức đặc thù của con người, triết học ra đời ở cả phương Đông và
phương Tây gần như cùng một thời gian (khoảng từ thế kỷ VIII đến thế kỷ VI trước Công
nguyên) tại các trung tâm văn minh lớn của nhân loại thời cổ đại. Ý thức triết học xuất hiện
không ngẫu nhiên, mà có nguồn gốc thực tế từ tồn tại xã hội với một trình độ nhất định của
sự phát triển văn minh, văn hóa và khoa học. Con người, với kỳ vọng được đáp ứng nhu
cầu về nhận thức và hoạt động thực tiễn của mình đã sáng tạo ra những luận thuyết chung
nhất, có tính hệ thống, phản ánh thế giới xung quanh và thế giới của chính con người. Triết
học là dạng tri thức lý luận xuất hiện sớm nhất trong lịch sử các loại hình lý luận của nhân
loại.
Với tư cách là một hình thái ý thức xã hội, triết học có nguồn gốc nhận thức và nguồn
gốc xã hội.
* Nguồn gốc nhận thức
Nhận thức thế giới là một nhu cầu tự nhiên, khách quan của con người. Về mặt lịch
sử, tư duy huyền thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là loại hình triết lý đầu tiên mà con
người dùng để giải thích thế giới bí ẩn xung quanh. Người nguyên thủy kết nối những hiểu
biết rời rạc, mơ hồ, phi lôgích... của mình trong các quan niệm đầy xúc cảm và hoang
tưởng thành những huyền thoại để giải thích mọi hiện tượng. Đỉnh cao của tư duy huyền
thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là kho tàng những câu chuyện thần thoại và những tôn
9
giáo sơ khai như Tô tem giáo, Bái vật giáo, Saman giáo. Thời kỳ triết học ra đời cũng là
thời kỳ suy giảm và thu hẹp phạm vi của các loại hình tư duy huyền thoại và tôn giáo
nguyên thủy. Triết học chính là hình thức tư duy lý luận đầu tiên trong lịch sử tư tưởng
nhân loại thay thế được cho tư duy huyền thoại và tôn giáo.
Trong quá trình sống và cải biến thế giới, từng bước con người có kinh nghiệm và có
tri thức về thế giới. Ban đầu là những tri thức cụ thể, riêng lẻ, cảm tính. Cùng với sự tiến
bộ của sản xuất và đời sống, nhận thức của con người dần dần đạt đến trình độ cao hơn
trong việc giải thích thế giới một cách hệ thống
CÁC BIỆN PHÁP KỸ THUẬT AN TOÀN KHI XÃY RA HỎA HOẠN TRONG.pptxCNGTRC3
Cháy, nổ trong công nghiệp không chỉ gây ra thiệt hại về kinh tế, con người mà còn gây ra bất ổn, mất an ninh quốc gia và trật tự xã hội. Vì vậy phòng chông cháy nổ không chỉ là nhiệm vụ mà còn là trách nhiệm của cơ sở sản xuất, của mổi công dân và của toàn thể xã hội. Để hạn chế các vụ tai nạn do cháy, nổ xảy ra thì chúng ta cần phải đi tìm hiểu nguyên nhân gây ra các vụ cháy nố là như thế nào cũng như phải hiểu rõ các kiến thức cơ bản về nó từ đó chúng ta mới đi tìm ra được các biện pháp hữu hiệu nhất để phòng chống và sử lý sự cố cháy nổ.
Mục tiêu:
- Nêu rõ các nguy cơ xảy ra cháy, nổ trong công nghiệp và đời sống; nguyên nhân và các biện pháp đề phòng phòng;
- Sử dụng được vật liệu và phương tiện vào việc phòng cháy, chữa cháy;
- Thực hiện được việc cấp cứa khẩn cấp khi tai nạn xảy ra;
- Rèn luyện tính kỷ luật, kiên trì, cẩn thận, nghiêm túc, chủ động và tích cực sáng tạo trong học tập.
2. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
Loại 1: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH THEO NGHIỆM ĐA THỨC
Ví dụ mở đầu: Cho hàm số: 3 2 2 2
2 (4 5) 2( ) 1y x m x m m x m có đồ thị (C).
Tìm m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Kinh nghiệm:
3 2 2 2 2 2 3 2
( , ) 2 (4 5) 2( ) 1 (2 1) ( 4 2 ) 2 5 1y f x m x m x m m x m x m x x m x x
( , )f x m biểu diển về được dạng tích khi hê (*) : 2
3 2
2 1 0
4 2 0
2 5 1 0
x
x x
x x
có nghiệm
Dễ thấy (*) có nghiệm
1
2
x nên ( , ) (2 1) ( , )f x m x g x m
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 2 2
2 (4 5) 2( ) 1 0 1x m x m m x m
2 2
2 2
1
2 1 2( 1) 1 0 2
2( 1) 1 0 (2)
x
x x m x m
x m x m
(1)ycbt phải có 3 nghiệm phân biệt (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác
1
2
2 2
2 2
1 1 1
2( 1) 1 0 24 4 7 0
4 2 2
2 2 0
1' ( 1) ( 1) 0
m m mm m
m
mm m
Vậy khi m thỏa mãn điều kiện
1
2
2
1
m
m
thì (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
Bình luận:
Trong phép giải trên ta đã tìm nhóm phần tử chung bằng cách tách nhỏ
thành các đa thức(2 1)x , 2
( 4 2 )x x và 3 2
2 5 1x x chỉ chứa một biến và tìm nghiệm
chung của các đa thức đó. Phép giải này cũng có thể áp dụng vào việc giải hệ
phương trình , phương trình chứa căn hoặc phương trình lượng giác….Vấn đề lớn
nhất trong phép giải này là việc chọn biến và đa thức sao cho nó có được nghiệm
chung.
3. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
Phương pháp chung:
(sin ,cos ) (sin ) (sin ) 0pt f x x h x g x với
(sin ) 0
(sin ) 0
h x
g x
có nghiệm
(sin ,cos ) (cos ) (cos ) 0pt f x x h x g x với
(cos ) 0
(cos ) 0
h x
g x
có nghiệm
Dạng cớ bản:
Dạng 1: .sin2 .cos2 .sin .cos 0a x b x c x d x e
Dạng 2: .sin3 .sin2 .cos2 .sin .cos 0m x a x b x c x d x e
Dạng 3: .cos3 .sin2 .cos2 .sin .cos 0m x a x b x c x d x e
Cộng thức thường dùng:
Công thức nhân ba :
3 3
3 3sin 4sin 3 4cos 3cossin a a a cos a a a
Công thức nhân đôi :
2 2
2 2sin cos 2 2cos 1 1 2sinsin a a a cos a a a
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1(D - 2010): Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 1 0x x x x
Ta thấy . Do đó ta sẽ có 2hướng biến đổi như sau
Dễ thấy: và
không có nghiệm chung
Dễ thấy và
Có nghiệm chung
4. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
Kinh nghiệm: Thông thường ta sẽ thử với nhóm cho ra nghiệm đẹp trước
Giải :
sin2 cos2 3sin cos 1 0x x x x 2
2sin cos 2sin 3sin cos 2 0x x x x x
2
cos 2sin 1 2sin 3sin 2 0x x x x cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0x x x x
cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0x x x x 2sin 1 sin cos 2 0x x x
2sin 1 0
sin cos 2 sin 2 ( )
4
x
x x x VN
2
1 6
sin
52
2
6
x k
x
x k
Vậy phương trình có hai nghiệm 2
6
x k
và
5
2
6
x k
(với k Z )
Ví dụ 2: Giải phương trình: sin3 2cos2 3sin 2cosx x x x
Giải :
3 2
3sin 4sin 2(2cos 1) 3sin 2cospt x x x x x
3 2
2sin 2cos cos 1 0x x x
2 2
2sin 1 cos 2cos cos 1 0x x x x
2sin 1 cos 1 cos 1 cos 2cos 1 0x x x x x
cos 1 2
2(sin cos ) 2sin cos 1 0 (1)
x x k
x x x x
Đặt: sin cos 2 sin 2, 2
4
t x x x
.
2
1
sin cos
2
t
x x
2 2 0
(1) 2 1 1 0 2 0
2 ( )
t
t t t t
t loai
0 2 sin 0 sin 0
4 4 4
t x x x k
Vậy phương trình có hai nghiệm 2x k và
4
x k
(với k Z )
5. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 3: Giải pt: 3
sin 2 cos 3 2 3cos 3 3cos2 8 3cos sinx 3 3x x x x x
Giải :
3
3 2cos 3cos2 8cos 3 2sin cos cos 3 8sin 0pt x x x x x x x
3 2 2
3 2cos 6cos 8cos sin 2cos 6cos 8 0x x x x x x
2
2cos 6cos 8 3 cos sin 0x x x x
2 cos 4 ( ) 2
2cos 6cos 8 0
cos 1
3 cos sin 0
3
cos 0
6
x VN x k
x x
x
x kx x
x
Vậy phương trình có hai nghiệm: 2x k và
3
x k
(với k Z )
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giải phương trình : 82cos2sin3cos6sin9 xxxx
HD: sử dụng công thức: 2
cos2 1 2sinx x . Xét đa thức theo sin x
Bài 2: Giải phương trình : xxxx cos4sin12cos22sin
HD: sử dụng công thức: 2
cos2 2cos 1x x . Xét đa thức theo cos x
Bài 3: Giải phương trình : 4cos2sin72cos2sin2 xxxx
HD: sử dụng công thức: 2
cos2 1 2sinx x . Xét đa thức theo sin x
Bài 4: Giải phương trình : 2cossin32cos2sin xxxx
HD: sử dụng công thức: 2
cos2 1 2sinx x . Xét đa thức theo sin x
Bài 5: Giải phương trình : 02cos2sincossin1 xxxx
HD: sử dụng công thức: 2
cos2 2cos 1x x
Bài 6: Giải phương trình : )cos)(sincos2(252cos xxxx
HD: sử dụng công thức: 2
cos2 2cos 1x x . Đặt t = sinx – cosx.
Bài 7: Giải phương trình : 0sin2coscos2 3
xxx
6. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
HD: sử dụng công thức: 2
cos2 2cos 1x x và 2 2
cos 1 sin 1 sin 1 sinx x x x
Bài 8: Giải phương trình : 0cos2sin3cos2 xxx
HD: sin 2 cos cos (2sin 1)x x x x
3 2
3 4cos 3cos cos (1 4sin )cos x x x x x
Bài 9: Giải phương trình : xxxxx 2coscos13sin2sinsin
HD: sin sin2 sin3 2sin2 cos sin2 sin2 (2cos 1) 2sin cos (2cos 1)x x x x x x x x x x x
2
1 cos cos2 1 cos 2cos 1 cos (2cos 1)x x x x x x
Bài 10: Giải phương trình : 02cos3sin32cos2sin33sin xxxxx
HD: 3sin 2 3cos 3cos (2sin 1)x x x x
2 2
sin3 cos2 3sin 2 4sin 2sin 6sin 3x x x x x x
Bài 11: Giải phương trình : 1 sin cos3 cos sin2 cos2x x x x x
HD: sin 2 sin sin (2cos 1)x x x x
3 2
cos3 cos2 cos 1 4cos 2cos 4cos 1x x x x x x
Bài 12: Giải phương trình : xxxx 4sin12sin3cossin2
HD: 2
sin 4 sin 2 sin 2 (2cos2 1) sin 2 (1 4sin )x x x x x x
3 2
cos3 4cos 3cos cos (1 4sin )x x x x x
Loại 2: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VỚI NHÓM PHẦN TỬ CHUNG
Công thức thường dùng :
Công thức biến đổi tổng thành tích :
cos cos 2cos .cos cos cos 2sin .sin
2 2 2 2
sin sin 2sin .cos sin sin 2cos .sin
2 2 2 2
a b a b a b a b
a b a b
a b a b a b a b
a b a b
Dấu hiệu sử dụng công thức tổng thành tích: Phương trình có hai số hạng có
cùng hệ số, cùng hàm (sin hoặc cos) và cùng tình chẵn hoặc lẻ của cung.
7. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
Kinh nghiệm khi biến đổi phương trình tích theo nhóm phần tử chung:
Cấu trúc mẫu mực:
1 0 1 1 0uv u v u v
0 0mn mb na ab m a n b
Trong quá trình biến đổi phương trình tích : ta có thể biến đổi đồng thời nhiều
nhóm số hạng và hết sức để ý đến các nhóm chung của chúng
Phương trình có hai số hạng có cùng hệ số, cùng hàm (sin hoặc cos) và cùng
tình chẵn hoặc lẻ của cung.thì ngây lập tức sử dụng công thức biến đổi tổng
thành tích và phân tích các số hạng còn xuất hiện nhóm chung với thành phần
của tích đó.
Với bài toán có chứa số hạng không chứa biến (số hạng là một số) thì ta phải
phân tích theo một trong các hướng sau:
Sử dụng công thức lượng giác để khử số đó đi
(công thức thường dùng: 2 2
cos2 2cos 1 1 2sina a a )
Phân nhỏ số hạng đó để có thể đưa chúng vào các nhóm phần tử chung.
Chuyển số hạng đó về dạng lượng giác sau đó sử dụng công thức tổng
thành tích
(ví dụ:
1
cos cos
2 3 3
hoặc
1 5
sin sin
2 6 6
hoặc
3 5
cos
2 6
)
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình : cos cos3 1 2 sin 2
4
x x x
cos3 cos 1 sin2 cos2pt x x x x
2
2 cos2 cos 1 2sin cos 2cos 1x x x x x
Dấu hiệu sử dụng công
thức tồng thành tích
Mục đích làm mất số 1
đồng thời làm xuất hiện
Cần biến đổi các số hạng còn lại đều
xuất hiện hoặc đều xuất hiện
8. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 2: (Trích D – 2012) Giải phương trình : sin3 cos3 sin cos 2 cos2x x x x x
Giải :
sin3 cos3 sin cos 2 cos2x x x x x
cos3 cos sin3 sin 2 cos2 0x x x x x
2cos2 cos 2cos2 sin 2cos2 0x x x x x
2 cos2 2 cos 2 sin 1 0x x x
cos2 0 2
2 4 2
2 cos sin 1 (1)
x x k x k
x x
7
2 2
1 4 3 12(1) 2cos 1 cos
4 4 2
2 2
4 3 12
x k x k
x x
x k x k
Vậy phương trình có 3 nghiệm
4 2
x k
,
7
2
12
x k
và 2
12
x k
Ví dụ 3: Giải phương trình : 3(cot cos ) 5(tan sin ) 2x x x x
Điều kiện :
sin 0
( )
cos 0 2
x
x k k Z
x
3(cot cos 1) 5(tan sin 1) 0pt x x x x
3 cos cos sin sin 5 cos cos sin sin
0
sin cos
x x x x x x x x
x x
3 5
cos cos sin sin 0
sin cos
x x x x
x x
cos sin cos sin 0 (1)
3 5 3 3
0 tan arctan
sin cos 5 5
x x x x
x x k
x x
Đặt: sin cos 2 cos 2; 2
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
Phân tích: 2 = 5 - 3 để có thể
đứa chúng vào nhóm chung
Dấu hiệu sử dụng công
thức tồng thành tích
9. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
2
2 1 2 ( )1
(1) 0 2 1 0
2 1 2
t loait
t t t
t
2 2 2 2
2 cos 1 2 cos arccos 2
4 4 2 4 2
x x x k
Vậy phương trình có 3 nghiệm:
3
arctan
5
x k và
2 2
arccos 2
4 2
x k
Ví dụ 4: Giải phương trình:
1
sin 4 sin3 sin
6 2
x x x
Giải:
sin3 sin sin sin 4
6 6
pt x x x
2sin 2 cos 2cos 2 sin 2
6
x x x x
sin 2 0
2
2sin 2 cos cos 2 0
6
cos cos 2 (1)
6
x x k
x x x
x x
2
2 2
6 18 3
(1)
2 2 2
6 6
x x k x k
x x k x k
Vậy phương trình có 3 nghiệm:
2
x k
,
2
18 3
x k
và 2
6
x k
Ví dụ 5: Giải phương trình:
3. 6. 2
2
2 1
cosx sinx sin x
cos x
Điều kiện: cos2 1x x k
3 6 2 2 2 1pt cosx sinx sin x cos x
2
2 2 sin 6 2sin cos 3cos 0x sinx x x x
2sin 3 0 (1)
2sin 3 2 sin cos 0
2 sin cos 0 (2)
x
x x x
x x
Dấu hiệu sử dụng công
thức tồng thành tích
Chuyển .sử dụng
công thức tồng thành tích
Dạng:
10. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
2
3 3
1 sin
22
2
3
x k
x
x k
(thỏa điều kiện)
1 2
2 tan arctan
22
x x k
(thỏa điều kiện)
Vậy phương trình có 3 nghiệm :
2
3
x k
,
2
2
3
x k
và
2
arctan
2
x k
(vớik Z )
Ví dụ 6: Giải phương trình: )cos3(sin4cot3tan xxxx
Điều kiện:
sin 0
( )
cos 0 2
x
x k k Z
x
sin cos
3 4(sin 3 cos )
cos sin
x x
pt x x
x x
2 2
sin 3cos 4sin cos (sin 3cos )x x x x x x
(sin 3cos )(sin 3cos ) 2sin2 (sin 3cos )x x x x x x x
sin 3 cos 0 (1)
(sin 3 cos )(sin 3 cos 2sin 2 ) 0
sin 3 cos 2sin 2 (2)
x x
x x x x x
x x x
1 3
(1) sin cos 0 sin cos cos sin 0
2 2 3 3
x x x x
sin 0
3 3
x x k
1 3
(2) sin cos sin 2 sin cos cos sin sin 2
2 2 3 3
x x x x x x
2
3
sin sin 2
4 23
9 3
x k
x x
x k
Vậy phương trình có 2 nghiệm
3
x k
và
4 2
9 3
x k
11. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 7: Giải phương trình: 2
4cos 2 sin 2cos sin 4 2 3cos2 2sin3 3 0x x x x x x
Giải:
1 cos4
4sin 2cos sin 4 2sin3 2 3 cos2 3 0
2
x
pt x x x x x
2sin 2sin cos4 2cos sin4 2sin3 2 3cos2 3 0x x x x x x x
2 sin5 sin 2sin3 2 3cos2 3 0x x x x
4sin3 cos2 2sin3 2 3cos2 3 0x x x x
2sin3 2cos2 1 3 2cos2 1 0x x x
2cos2 1 0 (1)
2cos2 1 2sin3 3 0
2sin3 3 0 (2)
x
x x
x
1 2
1 cos2 2 2
2 3 3
x x k x k
2
3 9 3
2 sin3
4 22
9 3
x k
x
x k
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt:
3
x k
,
3
x k
,
2
9 3
x k
và
4 2
9 3
x k
Ví dụ 8: Giải phương trình: 0cos2sin3cos2 xxx
Giải:
2 cos3 cos sin 2 cos 0pt x x x x
4cos2 cos 2sin cos cos 0x x x x x
2
cos 0
cos 4cos2 2sin 1 0 2
8sin 2sin 3 0 (1)
x x k
x x x
x x
Dạng:
12. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
2
1 6
sin
72
2
6
1
3
arcsin 2
3 4
sin
34
arcsin 2
4
x k
x
x k
x k
x
x k
Vậy phương trình có 5 nghiệm:
2
x k
, 2
6
x k
,
7
2
6
x k
,
3
arcsin 2
4
x k và
3
arcsin 2
4
x k
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Giải phương trình : 2 2 2
sin cos 2 cos 3x x x
HD: 2 2
cos6 cos2 2cos 2 0 2cos4 cos2 2cos 2 0pt x x x x x x
Bài 2: Giải phương trình :
sin cos
cos2 sin 2 cos 0
1 cot
x x
x x x
x
HD:
sin cos (sin cos )sin
1 cot sin cos
x x x x x
x x x
2
cos2 2sin cos sin 0 cos2 sin cos2 0pt x x x x x x x
Bài 3: Giải phương trình :
4cos 3sin 2
2 1 sin
1 sin
x x
x
x
HD: 2
4cos 2 3sin cos 2 1 sin cos cos 3sin 2 0x x x x x x x
Bài 4: Giải phương trình : 2cos4 3 2 cos2 sin 2 3x x x
HD: 2
4cos3 cos 3 2cos 1 2sin cos 3pt x x x x x
13. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com
Bài 5: Giải phương trình :
2
1
cos22
3
cos
xx
HD: cos cos 2 2cos 0
3 3
pt x x
Bài 6: Giải phương trình : xxxx 4sin12sin3cossin2
HD: 2cos3 sin cos3 2sin 1 0pt x x x x
Bài 7: Giải phương trình : xxx
x
tan2cossin
cos
1
HD:
2
cos 1 sin cos 1 0pt x x
Bài 8: Giải phương trình :
)1(cos31cos22cos
5sin7cos22cos
3cos2
1sin2
xxx
xxx
x
x
HD: cos2 2cos 1 3(cos 1) (cos 1)(2cos 3)x x x x x
(2sin 1)(cos 1) cos2 2cos 7sin 5pt x x x x x
2
cos (2sin 1) 2sin 9sin 5 0x x x x
Bài 9: Giải phương trình : xxxx 6cos5sin4cos3sin 2222
HD: cos6 cos8 cos10 cos12 2cos cos7 cos11 0pt x x x x x x x
Bài 10: Giải phương trình : 24cos3cos2coscos 2222
xxxx
HD: cos2 cos4 cos6 cos8 0 2cos cos3 cos7 0pt x x x x x x x
Bài 11: Giải phương trình :
2
3
4cos3cos2coscos 2222
xxxx
HD: 2
cos2 cos4 cos6 2cos 4 0pt x x x x
2
2cos4 cos2 cos4 2cos 4 0x x x x
14. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 www.toanhocdanang.com
Bài 12: Giải phương trình : 2
4sin3 13sin2 4sin 3cos3 13cos 8cosx x x x x x
HD: 2
4sin3 4sin 8cos 8cos sin 2 cosx x x x x x
13sin2 13cos 13(sin2 cos )x x x x
2 2
3cos3 3 4cos 3cos 3cos 4sin 1 3 2sin 1 sin 2 cosx x x x x x x x
Bài 13: Giải phương trình : sin2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x
HD:
2
2sin cos sin cos2 sin cos cos 0pt x x x x x x x
sin cos2 cos2 sin cos cos 0x x x x x x
Bài 14: Giải phương trình : cos cos3 1 2 sin 2
4
x x x
HD:
2
2cos2 cos 1 sin 2 cos2 2cos2 cos 2sin cos 2cospt x x x x x x x x x
Bài 15: Giải phương trình : 4sin 2sin 2 1
3 6
x x
HD:
5
2sin sin 2 sin
3 6 6
pt x x
;
5 1
sin
6 2
Bài 16: Giải phương trình :
3 2
cos cos
2 1 sin
sin cos
x x
x
x x
HD: 2
cos (cos 1) 2 1 sin sin cosx x x x x
2
1 sin (cos 1) 2 1 sin sin cosx x x x x
Bài 17: Giải phương trình :
5 os2
2cos
3 2 tan
c x
x
x
HD: 5 os2 6cos 4sinpt c x x x
2 22 2
5 cos sin 6cos 4sin cos 3 sin 2 0x x x x x x
Bài 18: Giải phương trình :
2sin 1 os2 sinx 1
3 2cos
3sinx sin 2
x c x
x
x
HD: 2sin 1 os2 sinx 1 sin 3 2cos 3 2cospt x c x x x x
2sin 1 os2 sinx 1 sin 2sin 1 2sin 1 0x c x x x x
15. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 www.toanhocdanang.com
Bài 19: Giải phương trình : 2 2
2sin (2cos 1) 2 3cos cos2 4cos 1 0x x x x x
HD: 1 3 1
2cos2 sin 3cos 2cos2 1 0 2cos2 sin cos cos2 0
2 2 2
x x x x x x x x
2cos2 cos cos2 cos 0 2cos cos2 cos 0
6 3 6 6
x x x x x x
Bài 20: Giải phương trình : 2cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
HD:
cos cos sin
cot 1 1
sin sin
x x x
x
x x
2 2
cos2 (cos sin )cos
(cos sin )cos
1 tan cos sin
x x x x
x x x
x x x
2 21
sin sin 2 sin cos sin sin (cos sin )
2
x x x x x x x x
Bài 21: Giải phương trình :
sin 2 cos2
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
Bài 22: Giải phương trình :
3
2 2 cos2 sin 2 cos 4sin 0
4 4
x x x x
Bài 23: Giải phương trình : 2 tan sin 3 cot cos 1 0x x x x
Bài 24: Giải phương trình :
3 2cos
2sin 1 tan
cos sin 1
x
x x
x x
Bài 25: Giải phương trình :
sin3
sin 2 cos2 tan sin cos
cos
x
x x x x x
x
Bài 26: Giải phương trình :
tan cos3 2cos2 1
3 sin 2 cos
1 2sin
x x x
x x
x
Bài 27: Giải phương trình :
2
cos2 3sin 2 6sin 5
2 3
2cos 1
2
x x x
x
Bài 28: Giải phương trình :
sin3 2sin 4
t nx 2 3 os2
cos
x x
a c x
x
--- Hết ---